真题大题讲评:手拉手的第三问,答案藏在面积里

 适用：初三 · 全等与旋转 · 期中讲评周 ｜ 承接周五「手拉手模型」

嗨～老师们，也嗨～同学。上周五我们搭了「手拉手」的骨架，讲完后台就有老师留言：中考真题里，手拉手常常不止两问——再往深走一问，让你证「AP 平分某个角」，班上一半同学第一反应是过 A 作垂线，作完两条垂线就愣在原地，不知道下一步往哪走。其实这一问的钥匙不是新模型，而是很多人只在求面积时才想起来的老工具——面积法。今天我们就按讲评课的节奏，把一道改编自中考真题的大题从读条件走到踩分点。

今日例题（中考真题经典原型改编，图形可还原）

如图，△ABC 与 △ADE 均为等边三角形，顶点 A 重合，AB = 6，AD = 2。小等边三角形 △ADE 站在大三角形的「肩上」：点 D 在 ∠BAC 的外部、射线 AC 的另一侧，E 在 D 的更外侧。连接 BD、CE，两线相交于点 P。求证：① BD = CE；② 连接 AP，则 AP 平分 ∠BPE。

第一步 · 条件：每一条都在告诉你什么

两个等边三角形，共顶点 A：全题的发动机还是它。「等边」意味着每个三角形自带 60° 顶角和三条相等的边——这里我们要用的是两组腰：AB = AC = 6，AD = AE = 2。共顶点意味着两个 60° 叠在同一个点上，这正是 SAS 最喜欢的配料。

点 D 在 ∠BAC 外部、AC 的另一侧：这句话决定了图形怎么摆，也决定了公共角怎么用。AC 从中间穿过：∠BAD 被 AC 切成 ∠BAC 和 ∠CAD 两块，所以 ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD；同理 ∠CAE = ∠DAE + ∠CAD。两个「大角」都等于「顶角 + 同一个公共角 ∠CAD」——注意这次是加法对齐（周五那道题 D 在角内部，用的是减法；加还是减，全看图怎么摆）。

BD、CE 交于点 P，要证 AP 平分 ∠BPE：第①问连的两条线是「两只手」，第②问再连 AP，就是让塔尖上的 A 也参与进来。命题人的意图藏在「平分」两个字里：角平分线的判定定理走的是「距离相等」这条路，而「点到直线的距离」天生和面积挂钩。这条路子现在先记下，第三步展开。

第二步 · 模型：还是手拉手，但多带一件工具

母模型：手拉手（共顶点双等边） + 面积法

识别信号和周五完全一样：两个形状相同的等腰三角形共顶点，连交叉线证相等。第①问它独挑大梁；第②问它退到幕后——全等负责送来「BD = CE」这个等底，面积法负责把等底换成等高，等高再换成角平分线。换个角度看第②问为什么必然成立：△ACE 绕点 A 旋转 60°（顶角），C 落到 B，E 落到 D，线段 CE 整体落到 BD 上——旋转角 60°，所以直线 BD 与 CE 的夹角恰好 60°，∠BPE 是它的补角 120°。而点 A 到这两条线的距离相等，A 就落在夹角的平分线上。下面第三步，把「旋转直觉」翻译成卷面上能写的严格推理。

第三步 · 推导：不跳步，一步一步来

先证 ①：加法对齐公共角，SAS 配齐。因为 D 在 ∠BAC 外部：∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + ∠CAD∠CAE = ∠DAE + ∠CAD = 60° + ∠CAD所以 ∠BAD = ∠CAE。在 △ABD 和 △ACE 中：AB = AC，∠BAD = ∠CAE，AD = AE。边角边，得△ABD ≌ △ACE（SAS）　→　BD = CE顺手把全等送的两对等角记在草稿上：∠ABD = ∠ACE，∠ADB = ∠AEC——后面如果还有第三问求线段长，它们就是接力棒。

再证 ② 第一层：两个三角形面积相等。过 D 作 AB 边上的高，这条高恰好等于 AD·sin∠BAD（斜线段乘以夹角正弦，就是「斜」化「垂」，九下解直角三角形的老朋友，忘了可以现场推）。于是S△ABD = ½·AB·AD·sin∠BAD，　S△ACE = ½·AC·AE·sin∠CAE由①的全等：AB = AC，AD = AE，∠BAD = ∠CAE——三个量全部对上，所以S△ABD = S△ACE这一步我们回到条件重新读一遍：什么都没多加，只是把「全等」用面积的语言重新说了一次。

第二层：等积 + 等底 → 等高。换一组底重新表达这两个面积。过 A 作 AM⊥BD 于 M，AN⊥CE 于 N，则S△ABD = ½·BD·AM，　S△ACE = ½·CE·AN面积相等、底相等（BD = CE 正是①的结论，顺序不能反：先有①，②才走得通），所以AM = ANAM、AN 是什么？是点 A 到直线 PB（即直线 BD）、直线 PE（即直线 CE）的距离。两条看不见的辅助线，到这一步露面了。

第三层：等高 → 角平分线。角平分线的判定定理说：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。点 A 到 ∠BPE 两边所在直线的距离相等（AM = AN），且由图形摆放，点 A 落在 ∠BPE 的内部，所以AP 平分 ∠BPE证毕。回头看：辅助线 AM、AN 不是灵光一现，是「平分 → 距离 → 面积」这条逻辑链倒着走回来的必然。

第四步 · 运用：中考怎么考，什么时候要小心

卷面上，这套组合的三种常见考法

• 考法一（本例原型）：
  两问标准型——证相等 + 证平分（或证垂直），各地中考与模拟卷的几何大题高频原题，两问分别考「SAS 全等」与「面积法」；
• 考法二：
  三问型——第三问求线段长，用①的全等把边「搬家」，再勾股收尾，前两问的每一步都是第三问的台阶；
• 考法三：
  面积法单独出场——不给手拉手背景，直接让你「证明某线是角平分线」，会作两条垂线、会算两次面积的同学，一眼就看出路。

什么时候要小心（边界条件）：① 两个三角形必须形状相同（顶角相等），一个是等边一个是等腰直角，手拉不上，面积法也失去「等积」的来源；② 「等积等底出等高」要求先用①证出 BD = CE，两问顺序不能颠倒——有同学跳过①直接写 AM = AN，采分点全丢；③ 角平分线判定定理要求点 A 在∠BPE 内部，这由图形摆放保证——小三角形若转到另一侧，A 落在角的外部，就要改选对顶角那一条平分线重新说理，先画对图，再下笔。

方法口诀（人话版）：手拉手，拉完手，第三问里找面积；等积等底出等高，等高画出平分线。先懂原理，再练题型。

你可以慢慢理顺。

数学不难，思路有路。