文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（山东济南卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段．根据《海水淡化利用发展行动计划（2021-2025年）》，
到2025年我国海水淡化总规模将达到 吨/日以上．数字 用科学记数法表示为
（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么 的度数是（ ）
A．32° B．48° C．58° D．68°
4．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化
遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下
关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，且 ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙
凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题.小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从
中随机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（ ）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，
点 与点 都是函数 图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数
的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 是矩形 对角线， ， ，以 为圆心、 的长为半径作弧，交 于
，交 于 ；再分别以 ， 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，
作射线 交 于点 ，则下列说法错误的是（ ）A． B．
C．点 到 的距离为 D．图中阴影部分面积为
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，
不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有
个白球．
13．关于x的一元二次方程 有两个实数根，则a的最大整数解是 ．
14．如图所示，在 中， ， ，以点 为圆心，以 的长为半径作 ，以
为直径作半圆 ，则阴影部分的面积为 ．
15．甲、乙两车往返 城与 港口之间运送货物．某一天，甲车从 城出发向 港口行进，同时乙车从
港口向 城行进，图中 ， 分别表示甲、乙两车距 城的距离 （千米）与所用时间 （时）的关系
图像，则甲到达 港口所用的时间为 小时．
16．如图，在菱形 中， ，点 在边 上，将 沿直线 翻折 ，得到 ，
点 的对应点是点 ．若 ， ，则 的长是 ．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分6分）计算： ．
18.（本小题满分6分）解不等式组： ，并写出最小整数解．
19.（本小题满分6分）如图，已知O为 对角线 的中点，过点O的直线与 、 的延长线相
交于点E、F．求证： ．
20.（本小题满分8分）如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是
其侧面结构示意图，量得托板 ，支撑板 ，底座 ，托板 固定在支撑板
顶端C处，且 ，托板 可绕点C转动，支撑板 可绕点D转动．
(1)若 ， ，求点A到直线 的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把 绕点C逆时针旋转 后，再将 绕点D顺时针旋转，
使点B落在直线 上，求 旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（ ， ， ， ， ，
， ）．
21.（本小题满分8分）为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机
抽取了 名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，
下面给出了部分信息．
．七年级 名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成 组： ， ，
， ）如图所示：． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
平 均
年级 中位数 众数
数
七年级
八年级
． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中 的值为 ，补全频数分布直方图．
(2)八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为 高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩
高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由．
(3)若该校七年级共有 名学生，测试的成绩 分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成
绩的合格人数．
22.（本小题满分8分）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶
店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶
叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
(1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的
总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，
则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
23.（本小题满分10分）已知：如图，在 中， ，以 为直径的 与边 相交于点D，
，垂足为点E．
(1)求证：点D是 的中点；(2)求证： 是 的切线；
(3)若 的直径为18， ，求 的长．
24.（本小题满分10分）阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是 年 月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人
教九年级下册 页“活动2”的探究活动．
如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧
距离中点O 处挂一个重 的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水
平状态，改变弹簧秤与中点O的距离l（单位： ），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么
变化．
第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录
（共记录了7组数据）．
第二步，整理数据．
第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以
表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了
表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
任务：
(1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来：
(2)在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：(3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式；
(4)点 在这条曲线上吗？说明理由．
25.（本小题满分12分）如图1，抛物线L： 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知
．
(1)求m的值；
(2)点D是直线 下方抛物线L上一动点，当 的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物
线L的交点为E， ，垂足为F．证明 是直角三角形．
26.（本小题满分12分）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形 中， ，则
”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
(1)【问题探究】如图2，在正方形 中，点 分别在线段 上，且
，试猜想 _________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形 中， ，点 分别在线段上，且 ，试猜想 的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形 中， ，点 分别在
线段 上，且 ，求 的值．
