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第七章 微分方程
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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第六节 高阶线性微分方程
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主讲 武忠祥 教授
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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1) 线性微分方程的解的结构
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
齐次方程 y p(x) y q(x) y 0 （1）
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
M O 非齐 M 次O方程 y M O p(x) y qM( O x) y f (x)M O （2） M O M O M O M O M O M O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 定理1 如中果 y (x) 和中 y (x) 是齐中次方程（1）中的两个线性中无关的 中 中 中 中 中
1 2
的特解，那么
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 y C大y (x) C y大(x) 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国1 1 2国2 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
就是方程（1）的通解.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M定理2 如果M y * 是非齐次M方程（2）的M一个特解，M y (x) 和 y M (x) M M M M M
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大 大 大 大 大 1 大2 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，则
OO CC yOO CC C y (x) OOC CC y (x) y OO( CC x) OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC
OO OO 1 1 OO 2 2 OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
武忠祥考研
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大大 是非齐次大大微分方程（大大2）的通解.大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 定理3 如 国 果 y * (x) ， 国y * (x) 是非齐 国 次方程（2） 国 的两个特解 国 ，则 国 国 国 国 国
中 中 1 中2 中 中 中 中 中 中 中 中
y(x) y * (x) y * (x)
C C 2 C 1 C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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是齐次微分方程（1）的解.
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
定理4 如果 y * (x) ，y * (x) 分别是方程
1 2
C C C C C C C C C C C
O y O p(x) y q O (x) y f (x O ) O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M 1 M M M M M M M M
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大 大 y p(x) y 大 q(x) y f 大 (x) 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
的特解，则
C C C C C C C C C C C
O O O O y * (x) Oy O* (x) O O O O O O O O O O O O O O O O
M M 1 M2 M M M M M M M M
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国 是方程 国 y p ( x ) y 国 q ( x) y f ( 国 x) f (x) 的国一个特解.国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 2
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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武忠祥考研
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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武忠祥考研
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