(68)--9.5笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

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C C C C C C C C C C C
第九章 多元函数微分法及其应用
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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第五节 隐函数的求导公式
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C C C C C C C C C C C
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主讲 武忠祥 教授
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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大一、一个大方程的情形大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
隐函数存在定理1 如果函数 满足：
F(x, y)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O (1) F(x , O y )  0; O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学0 0 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 （2）在国点 (x , y ) 国的某邻域中国有连续的偏导国数； 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0 0
（3） F (x , y )  0;
C y 0 C0 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 则方程 F M (x, y)  0 在M点 (x , y ) M的某一邻域M中唯一确定M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
0 0
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 了一个中具有连续导中数的函数 中 ，它中满足 中 中 中 中 中 中
y  f ( x)
dy F
O Cy  f (x ) O C及 F[x, f (Ox C )]  0 ，并且 O C   x O C . O C O C O C O C O C O C
O 0 0 O O O O O O O O O O
dx F
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 y 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 d国y d 2 y 国 国 国 国 国 国
中 例1 设 中 x 2  y 2  1 确中定了函数 y中 y(x) ,求中 及 . 中 中 中 中 中 中
2
dx dx
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 隐函数存国在定理2 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
若 在点 的某一邻域内有连续
F(x, y, z) P(x , y , z )
C C C 0 0 0 C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 偏导数学,且 F (x , y 学 , z )  0, F 学 (x , y , z )  学 0. 则方程 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
0 0 0 z 0 0 0
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
在点 的某邻域可唯一确定一个
F(x, y, z)  0 (x , y , z )
0 0 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 有连续偏导 O 数的函数 Oz  z(x, y), 并 O 有 O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 z F 中 z 中 F  中 中 中 中 中 中 中
  x ,   y .
x F  y F 
C C z C z C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 z z 学2 z 学 学 学 学 学
大 例2 设 x 2大 y 2  z 2  1大 确定了函数 大 z  z(x, y)大 ,求 , 及 大 . 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 x y中 x 2 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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大二、方程大组的情形（大仅数一要大求） 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
隐函数存在定理3 设有函数方程组
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O FO(x, y,u,v) O0, O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
1
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国  F (x, y,u国,v)  0. 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 2 中 中 中 中 中 中 中 中 中
如果函数 满足：
F ,F
1 2
O C （1） F O C C (1) (U(x O, C y ,u ,v )),iO C  1,2 O C O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
i 0 0 0 0
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 （2）大 F (x , y ,u大 ,v )  0,i 大 1,2 大 F F 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
i 0 0 0 0
中 中 中 中 中 1 中 1 中 中 中 中 中
(F ,F )
u v
（3）Jacobi行列式 J  1 2   0
(u,v)
F F
C C C C C C C C C C C
2 2
O O O O (x ,y ,u ,v ) O O O O O O O
O O O O 0 0 0 0 O O O O O O O
M M M M M
u v
M M M M M M
学 学 学 学 学 学(x ,y ,u ,v ) 学 学 学 学 学
0 0 0 0
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 则在点 国(x , y ,u ,v 国)  R 4的某邻 国 域 U((x , y国 ,u ,v )) 内 国 该方 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0 0 0 0 0 0 0 0
程组唯一确定了两个单值且有连续偏导数的二元函数
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM u  uMM(x, y), v  vMM(x, y) MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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 x  y  u  v  0,
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 例3 设 u中(x, y),v(x, y中)由方程 中 中 所确定，中求 中 中 中 中 中

x  y  u 2  v 2  0.
O Cu v u  O C v O C O C O C O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
, , .
M M M M M M M M M M M
学 x x 学y, y 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 内容小国 结 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 1. 隐函学数( 组) 存学在定理 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 方法1O. 代公式 . O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
方法2. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
方法3. 利用微分形式不变性 ;
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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作业
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
P91 2 , 3, 5 , 7 ,
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中