(75)--10.3笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

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第十章 重 积 分
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第三节 三重积分
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主讲 武忠祥 教授
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大一、三重大积分的概念大 大 大 大 大 大 大 大 大
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n
O C  f (x,O C y, z)dv  limO C f (  , O C )v O C O C O C O C O C O C O C
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大二、三重大积分的计算大 大 大 大 大 大 大 大 大
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1. 利用直角坐标计算三重积分
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M  M M M  M M M M M M M
学   (x, y, 学 z) z (x, y) 学 z  z (x, y), 学 (x, y) D 学 学 学 学 学 学 学
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1 2 xy
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z (x,y)
 C  f ( x, y, z)dCV   [  2 C f ( x, y, z)dCz]d C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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例1 计算 I   xyzdv ，其中  由坐标面
1
[ ]
C C C C C C C C C C C
O O O O O 720 O O O O O O
O O O O 所围成. O O O O O O O
Mx  0, y  0M, z  0 和平面 M x  y  z  M1 M M M M M M M
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国 例2 计算 国I   zdv ， 国 其中  是 国 由 z  2 国x 2  y 2 和 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中

z  x 2  y 2 所围成的区域.
C C C C C C C C C C C
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大 大 大  大 2 2 大2  大 大 大 大 大 大
x y z 4
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 例3 计算 中I   z 2 dv中,   (x, y中, z)   中  1. [中 abc 3 ] 中 中 中 中 中
2 2 2
 a b c  15

C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O z O O O O O O
b
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学  f (x, y,学z)dV   [  学  f (x, y, z)d 学]dz 学 学 学 学 学 学 学
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a
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中  中 中 D 中 中 中 中 中 中 中 中
z
y
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b
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大 2. 利用柱坐 大 标计算三重 大 积分  f 大 (x, y, z)dv 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中

0   
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 0  2 O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国   国 z   国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x  cos
C C C C C C C C C C C
O  O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M  y   Msin M M M M M M M M M
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大  大 大 大 大 z 大 大 大 大 大 大
国 国z  z 国 国 国 国 国 国 国 国 国

中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
z
dv  ddd z
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O dzO O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大

国 f (国x, y, z)dv 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 O 中 中 中 中 中 中
 y

CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO   f (coOO OO s,sin, zOO OO )ddd zOO OO x OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM d  MM MM MM MM MM MM
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大大  大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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国 例4 计算 国I   x 2  国y 2 dV ,其中 国 (V ) 由锥面 国 z  x 2 国y 2 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(V )
圆柱面 x 2  y 2  2x 及平面 z  0 所围成.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
例5 计算 I   z dV ,其中 (V ) 由曲面 z  4  x 2  y 2 与
(V )
C C C C C C C C C C C
O O O 13 O O O O O O O O
Ox 2  y 2  3zO所围成. O O O O O O O O O
M M M [ ]M M M M M M M M
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大 大 大 4大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大
3. 利用球坐
大
标计算三重
大
积分
大
f (x, y, z)dv
大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中

0  r  
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 0  M  M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
0  2
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x  r sincos
z
C C C C C C C C C C C
O  O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M  y  r siMnsin M M M M M M M M M
d r
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大  大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国

z国 r cos 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
r
C dv Cr 2 sind r dCd C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
y
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国  f (x国 , y, z)dv 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 x 中 中 中 中 中 中

CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO   fOO (r sincosOO , r sinsin, OOr cos)r 2 sin OOd r dd. OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大

国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大例6 设 (V ) 大为球面 z 大 2  x 2  y 大2 和锥面 z 大 x 2  y 2 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
所围成的空间区域,求 的体积.
(V )
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
例7 计算 I   x 2  y 2  z 2 dv ,其中 (V ) 由曲面
(V )
C C C C C C C C C C C
O O O所围成. O O O O O O O O
Ox 2  y 2  z 2O R 2 (R  0)O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 内容小国 结 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
三重积分计算计算
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 1) 直角坐学标: 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
z (x,y)
i) 先一后二; 
f (x, y, z)dv
 d 2
f (x, y, z)dz
z (x,y)
C C  C D C 1 C C C C C C C
O O O Oxy O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M c M M M M M M M
学
ii) 先
学
二后一; 
学f (x, y,
z)dv学 2
dz

f (学x, y, z)dxdy 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 c 国 国 国 国 国 国 国
1
中 中 中 中 D 中 中 中 中 中 中 中
z
2) 柱坐标:
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
 f (x, y, z)dv  f (cos,sin, z)dddz
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
 
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
3) 球坐标:
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 f (x, y, z)d学学v  f (r si学学ncos,r si学学nsin,r co学学s)r 2 sindr学学dd 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中  中中  中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
作业
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
P166 1 ; 4; 5;
(2),(3),(4)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 7; 大 8; 大 9 ; 大 大 大 大 大 大 大
(2)
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