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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C 第C十二章C 无穷C级数 C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 第七节大 傅里大叶级数 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
主讲 武忠祥 教授
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
一、三角级数 三角函数系的正交性
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1．三角函数系：
1,cos x,sin x,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 2．正交性学： cos 学 nxdx sin 学 nxdx 0 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0, m n
sin mx cosnxdx 0 cos mx cos nxdx
, m n
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O 0,Om n O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 sin mx学sin nxdx 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 , m n 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
a
设
f (x) 0 (a cos nx b sin nx)
n n
C C2 C C C C C C C C C
O O n1 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 1 M M M M M M M M M M
学 a 学 f (x)cos nx 学 dx. n 0,1, 学 2 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
n
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
Fourier系数
1
b f (x)sin nxdx. n 1,2,
n
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
a
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
Fourier级数
大大 f (x) ~ 0大大 (a cos n大大x b sin nx大大) 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 n 国国 n 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
2
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中
n1C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
二、函数展开成傅里叶级数
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
收敛定理（狄利克雷）
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 设 f ( x学) 在 [,] 上 学 连续或有有 学 限个第一类 学 间断点,且只 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
有 有 限 个 极值点,则
f ( x)
的傅里叶级数在 [,] 上处处收
敛C,且收敛于C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 1) 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中S(x) f (x)中 中 当 x 为 中f (x) 的连续 中 点. 中 中 中 中 中
O C O C f (x ) f (Ox C ) O C O C O C O C O C O C O C O C
M O 2) S(x) M O M O M O当 x 为 f (M x O ) 的间断点 M .O M O M O M O M O M O
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
2
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
f (() ) f ( )
3) S(x) 当 x .
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO 2 OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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1 x 0
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国 例1 设 f 国 ( x) 是周期为国 2 的函数国， f (x) 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 0 x
将 展开为Fourier级数.
f ( x)
C C C C C C C C C C C
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解： a f (x)cos nxdx 0
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国 n 国
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4
2 n 为奇
Cb sinCnxdx nC C C C C C C C C
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n
O 0 O O O O O O O O O O
M M M 0 n 为偶 M M M M M M M M
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国 国 4 国 1 国1 国 国 国 国 国 国 国
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f (x) (sin x sin 3x sin 5x ) 0 x
3 5
C C C C C C C C C C C
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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国 国 国 国 国0 x国 0 国 国 国 国 国
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例2 设 f ( x) 是周期为 2 的函数， f (x)
x 0 x
将C 展开为CFourier级数C . C C C C C C C C
O f ( x) O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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2
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大 大1 大 1 大 大 , n 为 大 奇 大 大 大 大 大
国 解： a 国 xdx 国 , a 国 x cos nxdx 国 n 2 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0 0 2 n 0
为偶
0, n
O C 1 O C O C (1) n1 O C O C O C O C O C O C O C O C
O b Ox sin nxdx O O O O O O O O O
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n
学 学 0 学 n 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2 cos x cos 3x 1 1
f (x) ( ) (sin x sin 2x sin 3x )
4 1 2 3 2 2 3
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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三、正弦级数和余弦级数
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1． 为奇函数：
f ( x)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M2 M M M M M M M M
学 a 学0 b 学 f (x)s学in nxdx 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
n n
国 国 国 0 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2． 为偶函数
f ( x)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O 2 O O O O O O O O
M b M 0 M a f ( M x)cos nxdx M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 n 大 大 n 大 大 大 大 大 大 大 大
0
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 x 0
例 已知 f ( x) 以 2 为周期， f (x)
1 0 x
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 将 O 展开为FOourier级数O O O O O O O O
M Mf ( x) M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 0, 国n 为偶数， 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
解：
a 0 b 4
n n n 为奇数，
CC CC CC n CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM4 1 MM 1 MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 f (x) 学学 (sin x 学学 sin 3x sin 学学 5x ) 学学 0 x 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国3 5国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 函数展开 国 为正弦或余弦 国 级数： 国 定义在 [0 国 ,] 上 国 国 国 国 国 国
中 中 中 f (中x) 中 中 中 中 中 中 中
1．展为正弦级数
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 f (x) ， 学0 x 学 学 学 学 学 学 学 学
大
F(x
大
)
大 大 奇大延拓 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 f (中x) ， x 中 0 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O 2 O O O O O O O O O
O a 0 O b O f (x)sinOnxdx O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 n 学 n 学 学 学 学 学 学 学 学 学
0
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2．展为余弦级数：
C f (Cx) ， 0 xC C C C C C C C C
O O O O 偶延拓 O O O O O O O
O F(x) O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学f ( x) ， 学 x 0 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2
a f (x)cos nxdx
b 0
n
CC n CC 0 CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
例 将 分别展开为正弦级数和余
中 中f (x) x 1(中0 x ) 中 中 中 中 中 中 中 中
弦级数。
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
2 2
大 解：1．奇大延拓： 大 大 大 大 大 大 大 大 大
为奇
国 国 国 国 国 国n 国 国 国 国 国
中 中
2
中
中 中
n
中 中 中 中 中 中
b (x 1)sin nxdx
n
2
0
C C C C C n 为偶 C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O n O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 2 中 中 1 中 中 中 中 中 中 中
x 1 [( 2)sin x sin 2x ( 2)sin 3x
2 3
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M sin 4x M ] 0 x M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 4 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
在 x 0, 处收敛于零.
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
2
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 2．偶延中拓： a中 (x 中1)dx 2中 中 中 中 中 中 中
0
0
， 为偶
C C C 0 Cn C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 2 O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 a 学 (x 1)cos学 nxdx 4学 学 学 学 学 学 学 学
大 n 大 0 大 大 ， n 为奇大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中n 2 中 中 中 中 中 中 中
4 1 1
x C 1 1 C (cos x C cos 3x C cos 5x ) C 0 x C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 2O O3 2 O5 2 O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 内容小大结 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O1. 周期为O 2 的函O数的傅里叶O级数及收O敛定理 O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
a
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 f中(x) 0 中 (a cos n中x b sin n 中x) (x 间中断点 ) 中 中 中 中 中
n n
2
n1
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O 1 π O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 a 学 f (x) cos学n xdx (n学 0,1,2,学) 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
n π
国 国 国 π 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
其中
1 π
C C b C f (x)sin n xd C x (n C1,2,) C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O n π Oπ O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 f (x ) 中f (x ) 中 中 中 中 中
则级数收敛于
注意: 若x 为间断点, 0 0
0
2
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
• 奇函数 正弦级数
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 • 偶国 函数 国 余弦级国 数 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
3. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法
C C C C C C C C C C C
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• 作奇周期延拓 展, 开为正弦级数
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• 作偶周期延拓 展, 开为余弦级数
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作业
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P320 1 (1) , (3) ; 2 (2) ;
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