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重难点 01 规律探究与新定义型问题
目 录
类型一 数式规律
题型01 记数类规律
题型02 乘方类规律
题型03 表格类规律
题型04 数阵类规律
题型05 个位数字规律
题型06 新定义运算规律
类型二 图形规律
题型01 图形固定累加型
题型02 图形渐变累加型
题型03 图形个数分区域累加
题型04 图形循环规律
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类型一 数式规律
方法总结：
一、数字规律探索
1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或
经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现
还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)n或(-1)n-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结
合起来从而得到结果.
2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数
字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律.
二、数阵规律探索
此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本
质上讲，这两种方式是相同的.此类型题的解决方法有：
1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一
行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等;
2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系;
3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答案
三、等式规律探索
1）标序数;
2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，...，n)之间的关系，把其蕴含的规律
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用含序数的式子表示出来.通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系
.3）根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验.
题型01 记数类规律
2 8 11 14 17
【例1】（2023岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是 、1、 、 、 、 …按此规律，这列
3 7 9 11 13
数中第100个数是( )
299 299 301 303
A． B． C． D．
199 201 201 203
【答案】B
【分析】观察发现， 是不变的，变的是数字，不难发现数字的规律，代入具体的数就可求解．
2 8 11 14 17 3n−1
【详解】解：由 、1、 、 、 、 ……可得第n个数为 ．
3 7 9 11 13 2n+1
∵n=100，
299
∴第100个数为：
201
故选B．
【点睛】本题考查学生的观察和推理能力，通过观察发现数字之间的联系，找出一般的规律，解决具体的
问题；关键是找出一般的规律．
2 1
【变式1-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）观察下列各式：a =1，a = ，a = ，…，它
1 2 5 3 4
1 1 2
们按一定规律排列，第n个数记为a ，且满足则 + = ，则a =
n a a a 2023
n n+2 n+1
1
【答案】
3034
2
【分析】由题意可得a = ，即可求解．
n 3(n−1)+2
2 1
【详解】解：由题意可得：a =1，a = ，a = ，
1 2 5 3 4
1 1 2
∵ + = ，
a a a
2 4 3
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1 1 2
∴ + = 5 1
2 a 1，即 + =8，
4 2 a
5 4 4
2
∴a = ，
4 11
1 1 2
∵ + = ，
a a a
3 5 4
1 1 2
∴ + = 1
1 a 2 ，即4+ =11，
5 a
4 11 5
1
∴a = ，
5 7
2
同理可求a = ，
6 17
2 2 2 2 2 2
∴a = ,a = ,a = ,a = ,a = ,a = ，…
1 2 2 5 3 8 4 11 5 14 6 17
2
∴a = ，
n 3(n−1)+2
2 2 1
∴a = = = ，
2023 3(2023−1)+2 6068 3034
1
故答案为： ．
3034
【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．
【变式1-2】（2022·河北保定·统考模拟预测）有一列数1，x ，7，x ，x ，…，x ，从第二个数开始，
2 4 5 n
每个数等于与它相邻的两个数的平均数．
（1）则x 为 ；
6
（2）若x =52，则m= ．
m
【答案】 16 18
【分析】（1）根据从第二个数开始，每个数等于与它相邻的两个数的平均数直接计算即可；
（2）根据（1）中计算的前几个数找到规律x =3n−2，根据x =52列出方程求解即可．
n m
【详解】（1）解：∵从第二个数开始，每个数等于与它相邻的两个数的平均数，
1
∴x = (1+7)=4，
2 2
1 1
∴7= (x +x )= (4+x )，解得x =10，
2 2 4 2 4 4
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1 1
∴x = (7+x )，即10= (7+x )，解得x =13，
4 2 5 2 5 5
1 1
∴x = (x +x )，即13= (10+x )，解得x =16，
5 2 4 6 2 6 6
故答案为：16；
（2）解：根据前面几项x =1,x =4,x =7,x =10,x =13,x =16,⋯，可知规律为x =3n−2，
1 2 3 4 5 6 n
∴x =3m−2=52，即3m=54，解得m=18，
m
故答案为：18．
【点睛】本题考查有理数计算及数字规律的寻找，准确理解题意，并根据计算的数据找到规律是解决问题
的关键．
【变式1-3】（2023六安市模拟）判断下面各式是否成立
√ 2 √2 √ 3 √3 √ 4 √ 4
（1） 2 =2 （2） 3 =3 （3） 4 =4
3 3 8 8 15 15
√ 5
探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想： 5 =_____
24
②用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明
√ 5 √ n √ n
【答案】都正确①5 ② n+ =n (n≥2)，证明见解析．
24 n2−1 n2−1
√ 5 √ 5
【分析】（1）①利用已知即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性，猜想可得出 5 =5 ；
24 24
②利用①的方法，可以得出规律，并加以证明即可．
【详解】解：①上面三题都正确，
√ 2 √2
2 =2 ，
3 3
√ 2 √8 √2
2 = =2 ；
3 3 3
√ 3 √3
3 =3 ，
8 8
√ 3 √27 √3
3 = =3 ；
8 8 8
√ 4 √ 4
4 =4 ，
15 15
√ 4 √64 √ 4
4 = =4 ；
15 15 15
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√ 5 √ 5
∴ 5 =5 ；
24 24
√ n √ n
②上面规律： n+ =n (n≥2)，
n2−1 n2−1
√ n √ n3 √ n
证明： n+ = =n .
n2−1 n2−1 n2−1
【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
【变式1-4】（2023·安徽六安·统考模拟预测）观察下列等式：
1 1
第1个等式：1+1+ − =2
2 2
1 1 1 5
第2个等式：2+ + − =
3 4 12 2
1 1 1 10
第3个等式：3+ + − =
5 6 30 3
1 1 1 17
第4个等式：4+ + − = …，
7 8 56 4
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
1 1 1 26
【答案】(1)5+ + − = ；
9 10 90 5
1 1 1 n2+1
(2)n+ + − = ，证明见解析．
2n−1 2n 2n(2n−1) n
【分析】将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母
小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数，分子是分母的平方再加1.
1 1 1 26
【详解】（1）第5个等式为：5+ + − = ，
9 10 90 5
1 1 1 26
故答案为：5+ + − = ．
9 10 90 5
1 1 1 n2+1
（2）猜想第n个等式为：n+ + − = ．
2n−1 2n 2n(2n−1) n
1 1 1
证明：∵左边=n+ + −
2n−1 2n 2n(2n−1)
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2n+(2n−1)−1
=n+
2n(2n−1)
4n−2
=n+
2n(2n−1)
2(2n−1)
=n+
2n(2n−1)
1
=n+
n
n2+1
= ，
n
n2+1
右边= ，
n
左边=右边，
∴等式成立．
1 1 1 n2+1
故答案为：n+ + − = ．
2n−1 2n 2n(2n−1) n
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，以及分式的加减法，根据等式中各数字的变化找出变化规律
是解题的关键．
【变式1-5】（2023·安徽宣城·校联考一模）先观察下列各式：
√1=1；
√1+3=√4=2；
√1+3+5=√9=3；
√1+3+5+7=√16=4
(1)计算：√1+3+5+7+9 ；
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，
请写出： √1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)＝ ；
(3)应用上述结论，请计算√4+12+20+28+36+44+...+204的值．
【答案】(1)6
(2)n
(3)52
【分析】（1）先求出1+3+5+7+9的值，再根据算术平方根的定义求解即可；
（2）观察可知左边根式里面都是奇数，等式右边的结果是等式左边根号里面最后一个数加1后的一半，据
此规律求解即可；
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（3）把根号里面的数字提取公因数4，然后根据（2）的规律求解即可．
【详解】（1）解：√1+3+5+7+9=√25=5，
故答案为：5
（2）解：∵√1=1，
√1+3=√4=2，
√1+3+5=√9=3，
√1+3+5+7=√16=4
……
∴可以发现规律√1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)=n
（3）解：√4+12+20+28+36+44+........+204
=√4×(1+3+5+7+9+……+51)
=√4×[1+3+5+7+9+……+(2×26−1)]
=√4×262
=52．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
题型02 乘方类规律
【例2】（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、−2x2、4x3、−8x4、16x5、
…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A．−256x9 B．256x9 C．−512x9 D．512x9
【答案】B
【分析】根据已知的式子可以得到系数是以−2为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号．
【详解】解：第9个单项式是(−2) 9−1x9=256x9．
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键．
【变式2-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）为了求1+2+22+⋯+22023的值，可令
S=1+2+22+⋯+22023，则2S=2+22+23+⋯+22024，因此2S−S=22024−1，所以
1+2+22+⋯+22023=22024−1，仿照以上推理计算出1+3+32+⋯+32023的值是（ ）
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1−32024 3−32024 32024−1 3−2024−3
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】C
【分析】令S=1+3+32+⋯+32023，则3S=3+32+33+⋯+32024，再将第二个等式与第一个等式左右两边
相减求出3S−S的值即可求解．
【详解】解：令S=1+3+32+⋯+32023①，
∴3S=3+32+33+⋯+32024②，
②减①，得：3S−S=32024−1，
32024−1
∴S= ，
2
32024−1
即1+3+32+⋯+32023= ．
2
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，找到变化规律是解题的关键．
【变式2-2】（2022随州市一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方
等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切
实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i，i4=
（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，
i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【答案】D
【详解】试题解析：由题意得，i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=-1
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0
2017
∵ =504…1
4
∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2017=i
故选：D
【变式2-3】（2022·广西梧州·统考一模）找规律数：0，6，16，30，48，…，则第n个为 （用含n
的代数式表示）．
【答案】2(n2−1)
【分析】现将这列数除以2，再利用平方差公式寻找规律即可求解
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【详解】解：将原数列，每个数除以2，得到新数列，为：0，3，8，15，24，…，
可以发现：
0=1-1=12−1，
3=4-1=22−1，
8=9-1=32−1，
15=16-1=42−1，
24=25-1=52−1，
．．．
依次类推，可知新数列的第n个数为：n2−1，
则原数列的第n个数为：2(n2−1)，
故答案为：2(n2−1)．
【点睛】此题考查了数字的变化规律，根据数字的特点，运用平方差公式找到数字的规律是解答本题的关
键．
【变式2-4】观察等式：1=1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……猜想
1+3+5+7+⋅⋅⋅+2019= .
【答案】10102.
【分析】观察给出的等式得到：从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇
数和分别为42，52…根据规律即可猜想从1开始的连续n个奇数的和，据此可解.
【详解】解：∵从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，
52…；
∴从1开始的连续n个奇数的和：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2；
∴2n-1=2019；
∴n=1010；
∴1+3+5+7…+2019=10102；
故答案是：10102.
【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握，关键是要对给出的等式进行仔细观察分析，发现规律，根
据规律解题．
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题型03 表格类规律
解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律
选择最为常见.这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日
历的表格当中上下相差7，左右相差一，那么将中心的数字看作是字母 a，则左边为a-1，右边为a+1，上
边为a-7，下边为a+7.所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规
律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论.
【例3】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是
2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，
相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都
是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大
数；
（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的
说法是否正确．（不必叙述理由）
【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确
【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用
（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方
程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方
程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确．
【详解】（1）证明：设中间的数为a，
∴(a−1)(a+1)−(a−7)(a+7)=a2−1−(a2−49)
=a2−1−a2+49=48．
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（2）解：设这五个数中最大数为x，
由题意，得x(x−14)=435，
解方程，得x =29，x =−15（不合题意，舍去）．
1 2
答：这5个数中最大的数是29．
（3）他的说法不正确．
解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），
依题意，得：y（y−14）＝120，
解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正
确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3-1】观察表格，回答问题：
10
a … 0.0001 0.01 1 10000 …
0
√a … 0.01 x 1 y 100 …
(1)表格中x=________，y=________；
(2)从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知√10≈3.16，则√1000≈________；
②已知√m=8.973，若√b=897.3，用含m的代数式表示b，则b=________；
(3)试比较√a与a的大小．
当________时，√a>a；当________时，√a=a；当________时，√a1．
【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）分类讨论a的范围，比较大小即可．
【详解】（1）解：x=√0.01=0.1，y=√100=10．
故答案为：0.1；10；
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（2）解：①根据题意得：√1000≈31.6．
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴b=10000m．
故答案为：31.6；10000m；
（3）解：当a=0或1时，√a=a；
当0a；
当a=1或0时，√a=a；
当a>1时，√a1．
【点睛】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键．
【变式3-2】（2021宿州市一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为______________．
（2）a=___________；c=__________．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d=2564，则n的值为___________．
【答案】（1）−152；（2）(−1) n ⋅2n−1；(−1) n ⋅2n+4；（3）10．
【分析】（1）观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；
（2）由已知图形得出a＝（−1）n•2n−1，b＝2a＝（−1）n•2n，c＝b＋4＝（−1）n•2n＋4，即可求解；
（3）根据d＝a＋b＋c＝5×（−1）n•2n−1＋4＝2564求解可得．
【详解】（1）第5个图形中的4个数分别是−16，−32，−28，−76
4个数的和为：−16−32−28−76=−152．
故答案为：−152；
（2）a＝（−1）n•2n−1；
b＝2a＝（−1）n•2n，
c＝b＋4＝（−1）n•2n＋4．
故答案为：(−1) n ⋅2n−1；(−1) n ⋅2n+4．
（3）根据规律知道，若d=2564>0，则n为偶数，
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当n为偶数时a=2n−1，b=2n，
c=2n+4，2n−1+2n+2n+4=2564，2n−1+2n+2n=2560，
2n−1(1+2+2)=2560
2n−1=512
2n−1=29
n−1=9
解得n=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类．关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律．
【变式3-3】（2023·河北保定·统考一模）观察：
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
数 20 21 22 23 24 25 26 …
个位上数
1 2 4 8 6 m n …
字
思考：（1）上面表格中m、n的值分别是多少？
探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？
延伸：（3）22023的个位数字是多少？
拓展：（4）用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号．（k为正整数）
【答案】（1）m=2，n=4；（2）第⑩个数是29，个位上的数字是2；（3）22023的个位数字是4；（4）
第k个6的序号为：4k+1
【分析】（1）不难看出个位上的数字是以2，4，8，6重复出现，则可求解；
（2）根据表格中的规律，可表示出第10个数，即可求解；
（3）结合（1）进行求解即可；
（4）结合表格进行求解即可．
【详解】解：（1）∵25=32，26=64，
∴m=2，n=4；
（2）∵表格中的数是以2为底数，指数是从0开始的自然数，
个位上的数字是以1，2，4，8，6，2，4，8，6，…排列，
∴第⑩个数是29，29=512，
∴个位上的数字是2；
（3）∵(2023−1)÷4=505……2，
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∴22023的个位数字是4；
（4）∵个位上的数字是6的数的序号是：5，9，13，…，
∴第k个6的序号为：4k+1．
【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的乘方，解答的关键是由表格分析出存在的规律．
题型04 数阵类规律
【例4】（2023·福建厦门·厦门双十中学校考三模）将一组数√2，2，√6，2√2，．．．，4√2，．．．
按下列方式进行排列：
√2，2，√6，2√2；
√10，2√3，√14，4；
……
若2的位置记为(1,2)，√14的位置记为(2,3)，则2√10的位置记为 ．
【答案】(5,4)
【分析】先找出被开方数的规律，再求出2√10的位置即可．
【详解】解：原来的一组数即为
√2，√4，√6，√8；
√10，√12，√14，√16；
……
所以，规律为：被开方数为从2开始的偶数，每行4个数，
∵2√10=√40，40是第20个偶数，而20÷4=5，
∴2√10的位置为(5,4)，
故答案为：(5,4)．
【点睛】本题考查了数字的规律探究，找准规律是解题的关键．
【变式4-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第5行从左
边数第6个数是 ．
【答案】22
【分析】根据数阵中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以求得第5行从左边数第6个数，本题得以
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解决．
【详解】解：由数阵可得，
第一行有1个数字，
前2行一共有：4个数字，
前3行一共有：9个数字，
前4行一共有：16个数字，
则第5行从左边数第6个数的绝对值是16+6 = 22，
∵数阵中的奇数都是负数，偶数都是正数，
∴第5行从左边数第6个数是22，
故答案为：22．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字．
【变式4-2】（2023·山东聊城·统考二模）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对(n,m)表示第n排，
从左到右第m个数，如(4,2)表示9，则表示123的有序数对是 ．
【答案】(16,14)
【分析】根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到123在第多
少排，然后即可写出表示123的有序数对，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，
第一排1个数，
第二排2个数，数字从大到小排列，
第三排3个数，数字从小到大排列，
第四排4个数，数字从大到小排列，
…，
n(n+1)
则前n排的数字共有：1+2+3+…+n= 个数，
2
奇数排从小到大排列，偶数排从大到小排列，
15×16
∵当n=15时， =120，
2
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16×17
当n=16时， =136，
2
∴123在第16排，
∵136−123+1=14，
∴表示123的有序数对是(16，14)．
故答案为：(16，14)．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示123的有
序数对．
【变式4-3】（2021·山东济宁·统考一模）将1，√2，√3，√6按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m
排从左向右第n个数，则（6，3）与（2000，4）表示的两数之积是 ．
【答案】2√3．
【分析】首先计算出前5排和前1999排共有多少个数，然后除以4，根据得到的余数确定（6，3）与
（2000，4），即可得到结果．
【详解】前5排共有1+2+3+4+5=15个数，15÷4=3……3，
∴第6排的第1个数为√6，
∴第6排的第3个数为√2，
(1+1999)1999
前1999排共有1+2+3+4+……+1999= =1999000，1999000÷4=499750，
2
∴第2000排的第1个数为1，
∴第2000排的第4个数为√6，
∴√6 ⋅√2=√12=2√3．
故答案为：2√3．
【点睛】本题考查了算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键．
【变式4-4】（2022鄂尔多斯市二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如
图所示)就是一例.
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这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和.事实上，这个三角形
给出了(a+b) n (n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行
的三个数1、2、1，恰好对应(a+b) 2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1，
恰好对应着(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等.根据上面的规律，(a+b) 4的展开式中
各项系数最大的数为 ；式子75+5×74×(−5)+10×73×(−5) 2+10×72×(−5) 3+5×7×
(−5) 4+(−5) 5的值为 .
【答案】 6 32
【分析】根据三角形的构造法则，确定出（a+b）4的展开式中各项系数最大的数；原式变形后，计算即可
得到结果．
【详解】解：根据题意得：（a+b）4的展开式中各项系数分别为：1，4，6，4，1，
∴最大的数为6；
75+5×74×(−5)+10×73×(−5) 2+10×72×(−5) 3+5×7× (−5) 4+(−5) 5
=(7−5) 5
=25=32；
故答案为6；32．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，以及乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-4】（2021·湖北随州·统考一模）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨
辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a ，
1
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1 1 1 1 n
第二个数记为a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为a ． + + +⋅⋅⋅+ = ，则n的值为
2 3 n a a a a 2021
1 2 3 n
．
【答案】4041
1 (1 1 )
【分析】首先根据题意得出an的关系式，然后用“裂项法”将 裂成2 − ，逐步化简，列等式
a n n+1
n
求值即可得出结果．
【详解】解：由题意得a =1，a =3=1+2，a =6=1+2+3，a =10=1+2+3+4，…，
1 2 3 4
n(n+1)
∴a = ，
n 2
1 2 (1 1 )
∴ = =2 − ，
a n(n+1) n n+1
n
1 1 1 1
∴
+ + +⋅⋅⋅+
a a a a
1 2 3 n
( 1) (1 1) (1 1) (1 1 )
=2 1− +2 − +2 − +......+2 −
2 2 3 3 4 n n+1
( 1 1 1 1 1 1 1 )
=2 1− + − + − +......+ −
2 2 3 3 4 n n+1
( 1 )
=2 1− ，
n+1
n ( 1 )
∴ =2 1−
2021 n+1
n 2n
=
2021 n+1
∴n=4041；
故答案为：4041．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律．找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键．
【变式4-5】（2021合肥市一模）如图1，观察数表，如何计算数表中所有数的和?
方法1：如图1，先求每行数的和：
第1行 1+2+3+⋯+n=(1+2+3+...+n)
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第2行 2+4+6+⋯+2n=2(1+2+3+⋯+n)
第n行 n+2n+3n+⋯+n2=n(1+2+3+⋯+n)
故表中所有数的和：
(1+2+3+⋯+n)+2(1+2+3+⋯+n)+⋯+n(1+2+3+⋯+n)= ；
方法2：如图2．依次以第1行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和：
第1组 1=13
第2组 2+4+2=23
第3组 3+6+9+6+3=33
…
第n组 n+2m+⋯+n2+⋯+2n+n= ，
用这n组数计算的结果，表示数表中所有数的和为： ，
综合上面两种方法所得的结果可得等式： ；
利用上面得到的规律计算：13+23+33+⋯+203．
1 1
【答案】方法1： n2(n+1) 2 ；方法2：n3；13+23+33+⋯+n3； n2(n+1) 2=13+23+33+⋯+n3 ；
4 4
44100.
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n(n+1)
【分析】方法1：先提取公因式，然后利用计算公式1+2+3+⋯+n= ，即可求解．
2
方法2：根据规律第1组1=13，第2组2+4+2=23，第3组3+6+9+6+3=33可找到规律，
n+2m+⋯+n2+⋯+2n+n=n3
根据表中所有数的和相等，将方法1和方法2综合即可得等式．
13+23+33+⋯+203结合上一问所得等式即可求出解．
【详解】方法1:
(1+2+3+⋯+n)+2(1+2+3+⋯+n)+⋯+n(1+2+3+⋯+n)
n(n+1) 2n(n+1) 3n(n+1) n2 (n+1)
= + + +⋯+
2 2 2 2
n(n+1)
= (1+2+3+⋯+n)
2
n(n+1) n(n+1)
= ·
2 2
n2 (n+1) 2
=
4
方法2：
n+2m+⋯+n2+⋯+2n+n
=n3
用这n组数计算的结果，表示数表中所有数的和为：
13+23+33+⋯+n3；
综合上面两种方法所得的结果可得等式：
n2 (n+1) 2
=13+23+33+⋯+n3；
4
202 (20+1) 2
计算13+23+33+⋯+203= =44100．
4
n(n+1)
【点睛】本题是找规律的一道题目，掌握计算公式1+2+3+⋯+n= 是解题关键．
2
题型05 个位数字规律
【例5】（2023·湖南岳阳·统考一模）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，
75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+⋅⋅⋅+72022+72023的结果的个位数字是 ．
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【答案】0
【分析】由已知可得7n的尾数1，7，9，3循环，则70+71+⋅⋅⋅+72023的结果的个位数字与70+71+72+73
的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，
∴7n的尾数1，7，9，3循环，
∴70+71+72+73的个位数字是0，
∵0，1，…，2023，一共有2024个数，
∴2024÷4=506，
∴70+71+⋅⋅⋅+72022+72023的结果的个位数字与70+71+72+73的个位数字相同，
∴70+71+⋅⋅⋅+72022+72023的结果的个位数字是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
【变式5-1】（2022·山东聊城·统考二模）计算31，32，33，34，35，36，并观察这些幂的个位数字，根据
你发现的规律，判断32022的个位数字跟（ ）的个位数字相同．
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【提示】先计算几个幂的运算，然后从中发现规律即可得出结果．
【详解】解：31=3，
32=9，
33=27，
34=81，
35=243，
⋯据此发现，这些幂的个位数字分别为 ， ， ， 四个循环一次，
∴2022÷4=505⋯2， 3 9 7 1
32022个位数字为 ，与32个位数字相同，
∴故选：B． 9
【点睛】题目主要考查有理数乘方运算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键．
【变式5-2】计算：21−1=1,22−1=3,23−1=7,24−1=15,25−1=31,…归纳各计算结果中的个位数字
规律，猜测22021−1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
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【答案】A
【提示】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到
22021-1的个位数字．
【详解】解：由21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，26-1=63，27-1=127，28-1=255，…，可知计算
结果中的个位数字以1、3、7、5为一个循环组依次循环，
∵2021÷4=505...1，
∴22021-1的个位数字是1，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求
出所求式子的个位数字．
【变式5-3】发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536
（1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；
（2）依据（1）中的规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是
多少，
【答案】（1）当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数
字是6；（2）个位数字是6．
【提示】（1）注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系；
（2）利用平方差公式进行计算，然后利用（1）中的规律解答．
【详解】解：（1）41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结
果的个位数字是6；
（2）3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（4﹣1）×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（42﹣1）×（42+1）（44+1）…（432+1）+1
＝（44﹣1）（44+1）…（432+1）+1
＝464．
可知464的个位数字是6，故3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的结果的个位数字是6．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生
的观察能力．
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题型06 新定义运算规律
解题技巧：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想
要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏
感程度.
【例6】（2020·河南·统考中考真题）定义运算：m•n=mn2−mn−1．例如:4×2=4×22−4×2−1=7．
则方程1×x=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：1×x=x2−x−1=0,
∵a=1,b=−1,c=−1,
∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×1×(−1)=5＞0,
∴ 原方程有两个不相等的实数根，
故选A.
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握
以上知识是解题的关键．
【变式6-1】（2023·辽宁朝阳·校联考三模）我们知道，一元二次方程x2=−1没有实数根，即不存在一个
实数的平方等于−1．如果我们规定一个新数“i”使它满足i2=−1（即x2=−1有一个根为i），并且进一
步规定：一切实数可以与新数“i ”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：i1=i，
i2=−1，i3=i2 ⋅i=−i，i4=(i2) 2 =1……那么i2023= ．
【答案】−i
【分析】根据所给的新定义找到规律即可得到答案．
【详解】解：i1=i，
i2=−1，
i3=i2 ⋅i=−i，
i4=i3 ⋅i=1，
i5=i4 ⋅i=i，
……
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∴可以发现每4个运算为一个循环，结果为i，−1，−i，1循环出现，
∵2023÷4=505…3，
∴i2023=−i，
故答案为：−i．
【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算和数字类的规律探索，正确得出数字变化规律是解题关键．
1 1
【变式6-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= +
a b
2x+1
．若(x+1)⊗x= ，则x的值为 ．
x
1
【答案】− /−0.5
2
2x+1 2x+1 2x+1
【分析】根据新定义可得(x+1)⊗x=
，由此建立方程
=
解方程即可．
x2+x x2+x x
1 1
【详解】解：∵a⊗b= + ，
a b
1 1 x+1+x 2x+1
∴(x+1)⊗x= + = =
，
x+1 x x(x+1) x2+x
2x+1
又∵(x+1)⊗x= ，
x
2x+1 2x+1
=
∴ ，
x2+x x
∴(x2+x)(2x+1)−x(2x+1)=0，
∴(x2+x−x)(2x+1)=0，
∴x2(2x+1)=0，
2x+1
∵(x+1)⊗x= 即x≠0，
x
∴2x+1=0，
1
解得x=− ，
2
1 2x+1 2x+1
经检验x=− 是方程 = 的解，
2 x2+x x
1
故答案为：− ．
2
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【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关
键．
【变式6-3】（2022·湖南张家界·张家界市民族中学校考一模）定义：如果一个数的平方等于−1，记为
i2=−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，
b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如，计算：
(3−i)+(5+3i)=(3+5)+(−1+3)i=8+2i；
(1+i)×(3−i)=1×3−i+3×i−i2=3+(−1+3)i+1=4+2i．根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：i3=________，i4=_______；
(2)计算：(2+i)×(3−4i)；
(3)计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2022．
【答案】(1)−i，1；
(2)10-5i；
(3)i−1
【分析】（1）把i3化为i2×i，把i4化为i2×i2，再结合i2＝−1进行计算；
（2）根据复数的乘法法则进行计算即可；
（3）根据i2=−1，i3=−i，i4=1可知i+i2+i3+i4=0，i5+i6+i7+i8=0…，且i2021=i，i2022=i2=−1，然后
将原式化简求解即可．
【详解】（1）解：∵i2=−1，
∴i3=i2 ⋅i=−i，i4=i2 ⋅i2=−1×(−1)=1，
故答案为：−i，1；
（2）解：(2+i)×(3−4i)
=6−8i+3i−4i2
=6−5i+4
=10−5i；
（3）∵i2=−1，i3=−i，i4=1，
∴i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，i5＝i，i6＝i2，……，
∴i5+i6+i7+i8=i−1−i+1=0，……，i2021=i，i2022=i2=−1，
∴i+i2+i3+i4+⋯+i2022
＝(i+i2+i3+i4)+……+(i2017+i2018+i2019+i2020)+i2021+i2022
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＝0＋……＋0＋i－1
＝i−1．
【点睛】此题考查了新定义，实数的运算，关键是能根据新定义和实数的运算方法进行准确计算．
【变式6-4】（2023石家庄二模）对于任意一个四位数，我们可以记为abcd，即
abcd=1000a+100b+10c+d．若规定： 对四位正整数abcd进行 F运算，得到整数
F(abcd)=a4+b3+c2+d1．例如，F(1249)=14+23+42+91=34；F(2020)=24+03+22+01=20．
（1）计算：F(2137)；
（2）当c=e+2时，证明：F(abcd)−F(abed)的结果一定是4的倍数；
（3）求出满足F(32xy)=98的所有四位数．
【答案】（1）33；（2）详见解析；（3）满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．
【分析】（1）直接根据定义求解可得；
（2）先根据定义，化简求出F(abcd)−F(abed)，将c=e+2代入，发现刚好是4倍关系；
（3）F(32xy)=34+23+x2+ y，根据x、y都必须是0至9之间的整数，可判断求解．
【详解】解：（1）F(2137)=24+13+32+71=16+1+9+7=33；
（2）∴ F(abcd)−F(abed)
=(a4+b3+c2+d)−(a4+b3+e2+d)
=c2−e2
∵ c=e+2，
原式=(e+2) 2−e2
=4e+4
=4(e+1)．
∵e≥0，且e是整数，∴4(e+1)是4的倍数．
所以，当c=e+2时，F(abcd)−F(abed)的结果一定是4的倍数．
（3）∵F(32xy)=34+23+x2+ y，
∴34+23+x2+ y=98． 即x2+ y=9．
∵0≤ y≤9，∴0≤x2≤9．
∴0≤x≤3，且x为整数．
∴ ¿或¿或¿或¿
所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230．
【点睛】本题是定义新运算的运用，解题关键是根据题干定义的运算规则进行转化求解．
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类型二 图形规律
方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前
一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
题型01 图形固定累加型
解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前一个图
形的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数n
有关的关系式为a+b(n-1).
【例1】（2022·重庆·统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下
去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【答案】C
【提示】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可
得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是
解决问题的关键．
【变式1-1】（2022·重庆·统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱
形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形
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的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【提示】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：1+2=3；第③个图案中菱形的个
数：1+2×2=5；…第n个图案中菱形的个数：1+2(n−1)，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；
第②个图案中菱形的个数：1+2=3；
第③个图案中菱形的个数：1+2×2=5；
…
第n个图案中菱形的个数：1+2(n−1)，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为：1+2×(6−1)=11，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．
【变式1-2】（2022·江西·统考中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4
个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【提示】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3=10，
故选：B．
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【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一
个图形多2个H是解题的关键．
【变式1-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和
正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个正三角形和4个正方形，第（2）个图案有10个正三角形和8个
正方形，第（3）个图案有16个正三角形和12个正方形，…，依此规律，第（n）个图案中正三角形和正
方形的总个数为 个．（用含n的代数式表示）．
【答案】(10n−2)
【提示】先依次写出图图案的序号和对应的正三角形和正方形的个数，观察后写出第n个图案正三角形和
正方形的个数，相加即可．
【详解】解：观察发现：正三角形的个数从4开始依次增加6，正方形的个数从4开始依次增加4．
∴第n个图案有(6n−2)个正三角形，有4n个正方形．
∴第n个图案中正三角形和正方形的总个数为(10n−2)个．
故答案为：(10n−2)．
【点睛】本题考查了图形的变化类，掌握图象的变换规律是解题的关键．
【变式1-4】（2022·湖南怀化·校考二模）观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“
”的个数是 （用含n的代数式表示）
【答案】3n+1
【提示】根据题意可知：第1个图有4个“六边形”，第2个共有7个“六边形”，第3个共有10个“六
边形”，第4个共有13个“六边形”，由此可得出规律，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图有“六边形”的个数为：4，
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第2个图有“六边形”的个数为：7=4+3=4+3×1，
第3个图有“六边形”的个数为：10=4+3+3=4+3×2，
第4个图有“六边形”的个数为：13=4+3+3+3=4+3×3，
..，
∴第n个图有“六边形”的个数为：4+3(n−1)=3n+1．
故答案为：3n+1．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是熟练正确找出图中的规律．
【变式1-5】（2023·山东济南·统考二模）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的张数，
y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式 ．
【答案】y=2x+2
【提示】由图形可知，第一张餐桌上可以摆放4=2+2把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放2把椅
子，则x张餐桌共有2x+2，依此即可得到椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式．
【详解】解：观察图形：
当x=1时，y=2+2=4，
当x=2时，y=2+2×2=6；
当x=3时，y=2+2×3=8；…
可见每增加一张桌子，便增加2个座位，
∴x张餐桌共有2x+2个座位．
∴可坐人数y=2x+2，
故函数关系式可以为y=2x+2．
故答案为：y=2x+2．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，难度一般，关键是依据图形得出变量x的变化
规律．
【变式1-6】（2022·安徽·校联考模拟预测）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律．
① →4×0=4×1−3；
② →4×1+1=4×2−3
；
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③ →4×2+1=4×3−3
；
④ →
；
⑤ →
．
(1)请在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
(2)猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式，并证明．
【答案】(1)4×3+1=4×4−3，4×4+1=4×5−3；
(2)4(n−1)+1=4n−3，证明见解析．
【提示】（1）结合图形，根据所给的等式即可继续写出等式；
（2）在计算（1）的过程中，发现：第n个图中，等式的左边是(n−1)个4，再加上1，右边是n个4减去3．
【详解】（1）∵①→4×0+1=4×1−3；
②→4×1+1=4×2−3；
③→4×2+1=4×3−3；
∴④4×3+1=4×4−3，⑤4×4+1=4×5−3，
故答案为：4×3+1=4×4−3，4×4+1=4×5−3；
（2）由①→4×0+1=4×1−3；
②→4×1+1=4×2−3；
③→4×2+1=4×3−3；
④→4×3+1=4×4−3；
⑤→4×4+1=4×5−3；
⋯；
∴第n个图形：4(n−1)+1=4n−3，
右边=4(n−1)+1=4n−4+1=4n−3，
∴左边=右边，
即4(n−1)+1=4n−3．
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【点睛】此题考查了图形变化规律，仔细观察图形，从每一条线上的点的个数考虑求解是解题的关键．
题型02 图形渐变累加型
解题技巧：对于个数不固定,
1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出
关系式即可.
2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数,在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来
观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系,从而总
结规律推导出关系式.
【例2】（2023·重庆江北·校考一模）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律
排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小
正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是（ ）
A．100 B．99 C．98 D．80
【答案】B
【提示】根据图形间变化可得第n个图中小正方形的个数是(n+1) 2−1，再代入n=9进行计算即可．
【详解】解：∵第1个图中小正方形的个数是3=22−1，
第2个图中小正方形的个数是8=32−1，
第3个图中小正方形的个数是15=42−1，
第4个图中小正方形的个数是24=52−1，
…
∴第n个图中小正方形的个数是(n+1) 2−1，
∴第9个图中小正方形的个数是(9+1) 2−1=100−1=99．
故选：B．
【点睛】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此
题蕴含的规律．
【变式2-1】（2022下·安徽合肥·八年级校考期末）我们用全等的正六边形拼成如下图形，按此规律则第
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10个图形中有小正六边形（ ）个．
A．270 B．271 C．272 D．273
【答案】B
【提示】根据图形特点，首先写出前三个图形中小正六边形的个数，从而得到规律并写出第n个图形中小
正六边形的个数，然后把n=10代入进行计算即可得解．
【详解】解：如图，
第1个图形中有小正六边形1个，1=3×12-3×1+1，
第2个图形中有小正六边形7个，7=3×22-3×2+1，
第3个图形中有小正六边形19个，19=3×32-3×3+1，
…，
依此类推，第n个图形中有小正六边形（3n2-3n+1）个，
所以，第10个图形中有小正六边形3×102-3×10+1=271个．
故选：B．
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，得到第n个图形中小正六边形的个数变化规律的表达式是解
题的关键．
【变式2-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）小明如图叠放了一些星星，第1个图形有4
颗星星，第2个图形有8颗星星，第3个图形有14颗星星，请问第9个图形的星星颗数为（ ）
A．92 B．88 C．76 D．64
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【答案】A
【提示】第1个图形中星星的个数为：4=1×2+2；第2个图形中星星的个数为：8=2×3+2；第3个图
形中星星的个数为：14=3×4+2；由此可推出：第n个图形中星星的个数为n(n+1)+2．从而可求解．
【详解】解：第1个图形中星星的个数为：4=1×2+2；
第2个图形中星星的个数为：8=2×3+2；
第3个图形中星星的个数为：14=3×4+2；
由此可推出：第n个图形中星星的个数为n(n+1)+2．
故第9个图形中星星的个数为：9×10+2=92个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由图形总结出存在的规律．
【变式2-3】（2022·辽宁大连·统考一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方
形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第
（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 .
【答案】10
【提示】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第n个图形需要(2n−1) 2个正方形，
即可得出结论．
【详解】第1个图形是一个小正方形；
第2个图形由9=(2×2−1) 2个小正方形拼成；
第3个图形由25=(2×3−1) 2个小正方形拼成，
……
拼成第n−1个图形需要(2n−3) 2个正方形，
拼成第n个图形需要(2n−1) 2个正方形，
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(2n−1) 2 −(2n−3) 2=72，
解得：n=10；
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．
【变式2-4】如图，用长度相等的小木棒搭成的三角形网格，当层数为n时，所需小木棒的根数为
．
3n(n+1)
【答案】
2
【提示】分别列出一层、二层、三层、四层这四个图形中所含小三角形个数和所需小木棒的根数，得出n
层时，所需小木棒的根数为3×（1+2+···+n）即可．
【详解】解：当n=1时，木棒根数为3×1；
3×2×(2+1)
当n=2时，木棒根数为3×（1+2）= ；
2
3×3×(3+1)
当n=3时，3×（1+2+3）= ，
2
依次规律，当层数为n时，
3n(n+1)
小木棒的根数为3×（1+2+3+…+n）= ．
2
3n(n+1)
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查图形规律列代数式，根据题意找出规律是解题关键．
【变式2-5】（2023·广东·统考二模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中
一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．
……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n= ．
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【答案】11
【提示】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数n(n+1)+2，然后列
出方程，解方程即可．
【详解】解：因为第1个图形中一共有1×(1+1)+2=4个圆，
第2个图形中一共有2×(2+1)+2=8个圆，
第3个图形中一共有3×(3+1)+2=14个圆，
第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n(n+1)+2；
n(n+1)+2=134，
解得n=−12（舍），n=11，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程．
题型03 图形个数分区域累加
解题技巧：首先应观察图形区分图形累加的各部分,分别求出各部分累加规律,再将各部分关系式相加,得
到第n项（某项)图形的数量与序数关系式.
【例3】（2022揭阳市一模）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的
“○”的个数，则第16个“龟图”中有 个“○”．
【答案】245
【分析】由前几个“龟图”可发现，每个“龟图”中的“四脚”和“头”不可缺少，即有5个◯是固定的；
而“龟背”上的◯的个数恰好是两个相邻正整数的积，根据其与排列图形序号间的关系即可由图形序号表
示出来，则每个图形的◯数可知．
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标序数 1 2 3 4 … n
1
n+1
拆分模块
（n-1）2
2
求和（即n个图形各模块和） n2-n+5
【详解】第一个图形有：5个◯，
第二个图形有：2×1+5=7个◯，
第三个图形有：3×2+5=11个◯，
第四个图形有：4×3+5=17个◯，
由此可得第n个图形有：[n(n−1)+5]个◯，
把n=16代入可得：[n(n−1)+5]=245
故填：245．
【点睛】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决
问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
【变式3-1】某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，
图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（ ）
A．22 B．25 C．28 D．32
【答案】B
【提示】根据题意可得图①共用10个●，图②共用13=（10+3）个●，图③共用16=（10+3×2）个●，
……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：图①共用10个●，
图②共用13=（10+3）个●，
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图③共用16=（10+3×2）个●，
……，
由此发现，第n个图共用●的个数是10+3（n-1），
∴第⑥个图共用●的个数是10+3×5=25．
故选B
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【变式3-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考二模）下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成
的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有8个★，第③个图形中共有11个★，…，按此规律排
列下去，第⑥个图形中的★个数为（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．24个
【答案】B
【提示】仔细观察图形，找到图形中★个数的通项公式，然后代入n=6求解即可．
【详解】解：∵第①个图形中共有3×1+2=5个★，
第②个图形中共有3×2+2=8个★，
第③个图形中共有3×3+2=11个★，
…，
∴按此规律排列下去，第n个图形中共有3n+2个★，
∴第⑥个图形中的★个数为3×6+2=20，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大．
【变式3-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规
律组成，其中第1个图形有5个“△”，第2个图形有10个“△”，第3个图形有15个“△”，…，则第
8个图形中“△”的个数为（ ）
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A．40 B．42 C．44 D．46
【答案】A
【提示】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
图①中有1+1+3=5个△，
图②中有2+3+5=10个△，
图③中有3+5+7=15个△，
图④中有4+7+9=20个△，
…，
则第8个图形中有8+15+17=40个△，
故选：A．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，解题的关键是仔细观察图形并找到图形的变化规律，难度不大．
【变式3-4】（2022·安徽芜湖·统考二模）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的
图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆
花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的
数量；
(3)若有n（n为偶数，且n≥2）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为
________．（用含n的代数式表示）
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【答案】(1)12；42
(2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110
n n
(3) ( +1)
2 2
【提示】（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图n中盆
景的数量为：2n；盆花的数量为：n(n+1)，将n=6代入求解即可；
（2）由题意知，2n+n(n+1)=130，求出满足要求的n值，进而可得盆景，盆花的数量；
（3）根据推导出的一般性规律作答即可．
【详解】（1）解：由图可知，盆景的数量依次为：1×2、2×2、3×2、4×2、5×2 ······
盆花的数量依次为：1×2、2×3、3×4、4×5、5×6 ······
∴可推导出一般性规律：图n中盆景的数量为：2n；盆花的数量为：n(n+1)
∴图6中盆景的数量为：2×6=12；盆花的数量为：6×(6+1)=42
故答案为：12；42．
（2）解：由题意知，2n+n(n+1)=130
整理得n2+3n−130=0
(n−10)(n+13)=0
解得n=10，n=−13（不合题意，舍去）
当n=10时，盆景数量为2n=2×10=20，盆花数量为130−20=110
∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
n n
（3）解：由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为 ( +1)
2 2
n n
故答案为： ( +1)．
2 2
【点睛】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．
题型04 图形循环规律
解题技巧： ①先找出一个周期的图形个数n:
②N(第N个)÷n=b……m(0≤m
