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考向 40 离散型随机变量的期
望与方差
1．（2022·浙江卷T15）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3
张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
【答案】 ， ．
【解析】 ．
的所有可能取值为1，2，3，4．
， ， ， ，
故 = ．
2. （2022·北京卷T18）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以
上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比
赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（1）0.4 （2） （3）丙
【解析】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A,乙获得优秀为事件A，丙获得优秀为事件A
1 2 3
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得9.80的概率为 ，乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
1．求离散型随机变量X的分布列的步骤
2．期望与方差的一般计算步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．
3．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，即X～H(N，M，n)，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列．
4．求超几何分布的均值与方差的方法
(1)列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；
(2)利用公式E(X)＝，D(X)＝求解．
1.分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
2.牢记均值与方差的四个常用性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
一、单选题
1．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为 ，则随机变量
的数学期望 （ ）
A． B． C． D．
2．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达
的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小
林最后获得的奖励为X元，则 （ ）
A．176 B．182 C．184 D．186
3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是 的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
4．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则
E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
5．随机变量 的分布列为
0 1则 等于（ ）A． B． C． D．
6．若随机变量X的分布列如下所示，且 ，则a､b的值分别是（ ）
-1 0 1 2
0.3 0.2
A．0.1，0.4 B．0.4，0.1
C．0.3，0.2 D．0.2，0.3
7．下图是国家统计局发布的生产资料出厂价格涨跌幅以及生活资料出厂价格涨趺幅的统计图，现有如下
说法：①2020年下半年生产资料出厂价格的环比涨幅呈现上升趋势；
②可以预测，在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数；
③从2020年1月~12月生活资料出厂价格同比的数据中随机抽取3个，恰有2个是正数的概率为 ；
④将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为 ，
则正确的有（ ）
A．①③④ B．②③ C．②③④ D．②④
二、填空题
9．袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出
一个白球记1分， 表示取出的4个球的得分之和，求 的数学期望______（数字作答）
10．某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机
抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为___________.
11．从2020年开始，学习强国开通了一项“争上游答题”栏目，其规则是在一天内参与答题活动，仅前两
局比赛有积分，首局获胜积3分，次局获胜积2分，失败均得1分.若甲每局比赛获胜的概率为 ，每局比
赛相互独立.记甲某天参加答题活动(参与2局比赛以上)的得分为 ，则得分的数学期望 ___________.
12．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指
针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为 ，停在不同区域的概率为 ，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为 ，若开始时指针停在红色区域，则 ______.
三、解答题
13．某公司在年会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，
每次抽奖的中奖率均为 ，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，
决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得奖金500元，不进行第二次抽
奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，
则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 ，每次中奖均可获得奖金500元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 （元）的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？请说明理由.
14．有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一
个球.
(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：
(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下 个球，则求 的分布列与数学期望 .
15．某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，
积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束
比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为 .
(1)在一场比赛中，甲的积分为 ，求 的概率分布列；
(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.
16．已知一个袋子里装有颜色不同的 个小球，其中红球 个，黄球 个，现从中随机取球，每次只取一球．
(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球三次，至少两次取得红球”的概率
(2)若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有红球或取球次数达到四次就终止取球，记取球结束时一共
取球 次，求随机变量 的分布列与期望．一、单选题
1．（2022·江苏江苏·二模）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松
分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数， 是泊松分布的均值.已知
某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为 的泊松分布.若每周销售 件该商品与每周销售
件该商品的概率相等，则两周共销售 件该商品的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·模拟预测（理））某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班
团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的
感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2021·黑龙江·哈师大附中三模（理））下面说法错误的是（ ）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的；
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值；
C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大．
4．（2022·山东潍坊·模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德
尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数，
是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大 而p很小 时，Poisson分布可作为二项分
布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用 紫外线照射大肠杆菌时，每个
核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）
A． B． C． D．5．（2021·全国·模拟预测（理））2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100
万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业
产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企
业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自
国际出版商协会.1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人去阅
读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保
护知识产权．每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021年4月
23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，其中
女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．
分组（时间：分钟） 频数 频率
50 0.25
20 0.1
50 0.25
60 0.3
12 0.06
8 0.04
将日均课外阅读时间在 内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”
的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（ ）A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟
B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，
则这2人恰好是一男一女的概率为
C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟
D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人
7．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯
笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个
“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
8．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分
分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣 分，但小明自己不会给老师说，
小王有 的可能告诉老师，小丁有 的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣
下来，则最后小明的听写本上的得分期望 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·浙江·模拟预测）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6
个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或
5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．
记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是__________．
10．（2022·浙江·模拟预测）有 个人在一楼进入电梯，楼上共有 层，设每个人在任何一层出电梯的概率
相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为 ，则 _________.
11．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发
现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为 （ 为参数），则这个
随机变量 的数学期望 ___________.
12．（2022·山东·模拟预测）射击运动是用枪支对准目标打靶的竞技项目，该项目在世界上居于领先地位
的国家有中国､美国､匈牙利､俄罗斯和德国射击运动可以培养细致､沉着､坚毅等优良品质，有益于身心健
康.已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有 发子弹，假设某人每次打靶的命中率均为0.8，靶场规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记标靶上的子弹数量为随机
变量X，则X的数学期望为___________.
三、解答题
13．（2018·陕西·安康市教学研究室三模（理））某学校为了解高三尖子班数学成绩，随机抽查了60名尖
子生的期中数学成绩，得到如下数据统计表：
频
期中数学成绩（单位：分） 频率
数
3 0.05
x p
9 0.15
15 0.25
18 0.30
y q
合计 60 1.00
若数学成绩超过135分的学生为“特别优秀”，超过120分而不超过135分的学生为“优秀”，已知数学
成绩“优秀”的学生与“特别优秀”的学生人数比恰好为 ．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)学校教务为进一步了解这60名学生的学习方法，从数学成绩“优秀”、“特别优秀”的学生中用分层
抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查．设X为抽取的3人中数学成绩“优秀”
的人数，求X的分布列和数学期望．
14．（2022·江西南昌·模拟预测（理））如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若
抛出的点数为5，6，飞机向前移两格．记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件 ．记抛掷骰子两次后，
飞机到达2号格为事件 ．
(1)求 ；
(2)判断事件 是否独立，并说明理由；
(3)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
15．（2022·山东济南·模拟预测）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织团员参加知识
竞赛.根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)计算 的值；
(2)采用按比例分层抽样的方法从成绩在 ， 的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取3
人，记 为这3人中成绩落在 的人数，求 的分布列和数学期望.
16．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相
关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主
题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须
在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰
出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开
密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 的数学期望达到最小？并说明理由．1．（2019·浙江·高考真题）设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
2．（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，
且 ，定义X的信息熵 .（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y)
3．（2015·广东·高考真题（理））已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）
=20，则P=__________．
4．（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，
若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ___________， ___________.
5．（2020·浙江·高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则 _______；
______．
6．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行
1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结
束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测
结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
8．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，
经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有
相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
9．（2017·全国·高考真题（理））为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上
随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.1 10.0 10.0
9.95 9.96 9.96 9.92 9.98
2 1 4
10.2 10.1 10.0 10.0 10.0
9.91 9.22 9.95
6 3 2 4 5
经计算得 ， ，其中xi为抽取的第i个零件
的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，
.
10．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设点集 ，
令 .从集合Mn中任取两个不同的
点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
11．（2019·北京·高考真题（理））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付
已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随
机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生
的支付金额分布情况如下：（0,1000] （1000,2000] 大于2000
交付金额（元）
支付方式
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000
元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发
现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大
于2000元的人数有变化？说明理由．
12．（2019·全国·高考真题（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有
效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白
鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约
定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以
乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得
0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药
比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ，
， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
13．（2020·江苏·高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的
概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p，q 和p，q；
1 1 2 2
（2）求2pn+qn与2pn-+qn- 的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ．
1 1
14．（2014·重庆·高考真题（理））一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3
张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2） 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 的分布列与数学期望.
（注：若三个数 满足 ，则称 为这三个数的中位数）.
1．【答案】B
【解析】 盒中有大小相同的5个红球和3个白球，
从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为 ，
的可能取值为0，1，2，3，
所以 ， ，
， ，
的分布列为：
0 1 2 3
．故选：B．
2．【答案】B
【解析】依题意可得X的可能值为200，180，160.
， ， ，
X的分布列为
200 180 160
0.4 0.3 0.3
所以 .
故选：B.
3．【答案】C
【解析】 盒 中有10个螺丝钉 ，
从盒中随机地抽取4个的总数为： ，
其中有3个是坏的，
恰有1个坏的，恰有2个好的， 4个全是好的，至多2个坏的取法数分别为：
， ， ， ，
恰有1个坏的概率分别为： ，
恰有2个好的概率为 ，
4个全是好的概率为 ，
至多2个坏的概率为 ；
故选： ．
4．【答案】C
【解析】 的可能取值为 .， ， .
∴ 的分布列为：
ξ 0 1 2
P
于是 ，
故 .
故选：C.
5．【答案】C
【解析】 .
故选：C
6．【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故选：A
7．【答案】C
【解析】由图（1）可知，2020年下半年生产资料出厂价格环比涨幅先下降后上升，故①错误；
由图（2）中的环比折线可知：
生活资料出厂价格的环比涨跌幅后一个月与前一个月的差介于 之间，
因为2021年1月环比的涨幅为 ，
所以在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数，故②正确；
结合图像易知，2020年1月~12月生活资料出厂价格同比的数据中有8个正数、4个负数，
则随机抽取3个恰有2个是正数的概率 ，故③正确；
将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列，依次为：、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
则中位数为 ，故④正确，
故选：C.
8．【答案】B
【解析】由分布列可知： .
，
，即
所以联立方程组得： ，解得：
故选：B
9．【答案】
【解析】由题意， 的所有可能取值为0,1,2,3,4，
， ， ， ，
，
所以 的数学期望 ，
故答案为： .
10．【答案】
【解析】设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为 .故答案为： .
11．【答案】3
【解析】根据题意，该人参加一次答题活动得分为 ，则可取的值为2，3，4，5，
若 ，即该人两局都失败了，则 ,
若 ，即该人第一局失败了，而第二局胜利，则
若 ，即该人第一局胜利，而第二局失败，则 ,
若 ，即该人两局都胜利了，则
.
故答案为：3.
12．【答案】
【解析】该游客转动指针三次的结果的树形图如下：
则 的分布列如下：
0 1 2 3故 .
故答案为：
13．【答案】(1)答案见解析(2)选择方案甲更划算，理由见解析
【解析】（1） ， ， ，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 （元）的分布列为
0 500 1000
（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金 的均值 ，
若选择方案乙进行抽奖中奖次数 ，则 ，
抽奖所获奖金 的均值 ，
故选择方案甲更划算.
综上，方案甲更划算.
14．【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一
定是甲盒中的球，
前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，
所以
（2）由题意知： 的可能取值为1.2.3.4，
当 时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，
若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中
的球，另外3次取到乙盒子中的球，所以 ，
当 时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，
若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，
若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒
子中的球，
故
当 时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次有
1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，
所以 ，
当 时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，
故 .
即 的分布列为：
1 2 3 4
计算可得：
15．【答案】(1)见解析(2)
【解析】（1）由题意可知， 可能取值为 ， ， ， ，
当 时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则 ，当 时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则 ；
当 时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则 ，
当 时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则 ，
故 的概率分布列如下：
0 1 2 3
（2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件 ，
则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故 ，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为 .
16．【答案】(1) (2)分布列见解析，
【解析】（1）连续取球三次，记取得红球的次数为 ，则 ，
则 ．
（2）随机变量 的所有可能取值为 ， ， ，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为所以随机变量 的期望为 ．
1．【答案】D
【解析】依题意得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
则两周销售 件的概率为 .
故选：D.
2．【答案】C
【解析】记所选取的3人中女生人数为X，则X的可能值为1，2，3，
则 ，
，
则X均值 ．
故选：C.
3．【答案】D
【解析】对于A中，离散型随机变量的各个可能值表示的事件时彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；对于B中，利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数字特征的估计值，所以B正确；
对于C中，两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近与1，所以C正确；
对于D中，在分层抽样的过程中，哪一层的样本即便越多，该层中个体被抽到的可能性也是相同的，所以
D不正确.
故选：D.
4．【答案】A
【解析】由题， ， ，此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，此时
，故不致死的概率为 ，故致死的概率为
故选：A
5．【答案】D
【解析】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概
率为
故选：D
6．【答案】B
【解析】 ，A错；
合格的同学有80人，其中男生20人，女生60人
不合格的同学有120人，其中男生60人，女生60人
在不合格的同学中分层抽样抽10人，则男生5人，女生5人
10人中任取两人为一男一女的概率为 ，B对；
设中位数为x，则
∴ ，C错
课外阅读合格女生所占全体学生的概率
人，D错．
故选：B．7．【答案】B
【解析】设小华收到的“冰墩墩”的个数为 ，则 .
则 ； ；
； .
所以 .
故选：B
8．【答案】D
【解析】由题意可知 的可能取值为： 、 ，
则 ， ，
因此， .
故选：D.
9．【答案】
【解析】由题知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，则
，．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P
所以X的数学期望为： ．
故答案为： ．
10．【答案】
【解析】由题意知：大楼共 层，
设随机变量 ，则 ，
， ，
则 的分布列如下：
，
.故答案为： .
11．【答案】
【解析】由离散型随机变量分布列性质：
，得 ，
所以 ，①
，②
由① +②得：
，
所以 .
故答案为：5.
12．【答案】
【解析】由题意 的所有可能取值为： .
因为每次打靶的命中率均为0.8，
则 ，
所以X的分布列为
0 1 2 …
…
所以 的数学期望为 ，
令 ，①
则 ，②所以① ②可得：
，
则 ；
故答案为：
13．【答案】(1) ， ；
(2)分布列见解析， ．
【解析】（1）根据题意，得
，解得 ，
所以 ，
故 ，
（2）用分层抽样的方法选取5人，则数学成绩“特别优秀”的有 人，“优秀”的有 人，
故X的可能取值为0，1，2，则
， ， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故 ．14．【答案】(1)
(2)事件 ， 相互独立，理由见解析
(3)分布列见解析，2
【解析】（1）由题意，因为飞机每前移一格的概率为 ，故 ；
（2）由题意， 事件抛掷骰子一次后，飞机到达1号格，只能是前移了1格； 事件抛掷骰子两次后，飞
机到达2号格可能前移了两次一格，或一次前移两格一次原地不动.
故 ， ，
因此 ，所以事件 ， 相互独立．
（3）随机变量 的可能取值为0，1，2，3，4，
， ，
， ， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
所以 ．
15．【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）由频率分布直方图知： ，
所以 ；
（2）按比例分层抽样抽取7人，成绩在 ， 的人数分别为3人，4人.所以 的所有可能取值
为：0，1，2，3；则 ， ， ， ；
则 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望为： .
16．【答案】(1)
(2)先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小，理由见解
析.
【解析】（1）解：记“团队能进入下一关”的事件为 ，则“不能进入下一关”的事件为 ，
，
所以该团队能进入下一关的概率为 ．
（2）解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别 ， ， ，且 ， ， 互不相等，
根据题意知 的所有可能的取值为1，2，3；
则 ， ， ，
，
所以 ．
若交换前两个人的派出顺序，则变为 ，
由此可见，当 时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，由交换前 ，
所以交换后的派出顺序则变为 ，
当 时，交换后的派出顺序可增大均值．
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
1．【答案】D
【解析】方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先
减小后增大.
方法2：则
故选D.
2．【答案】AC
【解析】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （
）.
.
由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
3．【答案】
【解析】随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q= ，则p= ，
故答案为 ．
4．【答案】 1
【解析】 ，所以 ，, 所以 , 则 ．
由于
．
故答案为：1； ．
5．【答案】
【解析】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以 ，
随机变量 ，
，
，
所以 .
故答案为： .
6．【答案】（1）① 次；②分布列见解析；期望为 ；（2） ．
【解析】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意， 可以取20，30，
， ，
则 的分布列:所以 ；
（2）由题意， 可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为 ，不在同一组的概率为 ，
则 .
7．【答案】（1）见解析；（2） 类．
【解析】（1）由题可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
；
；
．
所以 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
8．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1） .
（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过
1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
9．【答案】（1） ， （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在 之外的概率为0.0026，
故 .
因此 .
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 ，
得 的估计值为 ， 的估计值为 ，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的平均数为 ，
因此 的估计值为 .
，
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的样本方差为 ，
因此 的估计值为 .
【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤
其是正态分布的 原则，审清题意，细心计算，属中档题.
10．【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）当 时， 的所有可能取值是 ．
的概率分布为 ，
．
（2）设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况．
①若 ，则 ，不存在 的取法；
②若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或
，有2种取法；③若 ，则 ，因为当 时， ，所以 当且仅当
，此时 或 ，有2种取法；
④若 ，则 ，所以 当且仅当 ，此时 或
，有2种取法．
综上，当 时， 的所有可能取值是 和 ，且
．
因此， ．
11．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.
【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率 .
(Ⅱ)由题意可知，
仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，
仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，
且X可能的取值为0,1,2.
， ， ，
X的分布列为：
X 0 1 2
其数学期望： .(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于
概率．
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这
种现象可能是发生了“小概率事件”.
12．【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） .
【解析】（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
则 的分布列如下：
（2） ，
， ，
（i）
即
整理可得：
是以 为首项， 为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
， ，……，
作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲
药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
13．【答案】（1） （2）
【解析】（1） ，
，
.
（2） ，
，
因此 ，
从而 ，
即 .
又 的分布列为
0 1 2
故 .
14．【答案】（1） （2） .【解析】（1）
（2） 的所有可能值为1，2，3，且
故 的分布列为
1 2 3
从而
