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第 01 讲 概率初步
1.了解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.
2.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概
念，理解概率取值范围的意义.
3.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.
4.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，
了解频率与概率的区别与联系.
5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.
知识点1：事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能
事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫
随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，
其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
知识点2：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称
为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这
个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们
发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能
性越大，则它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越
接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则
它的概率越接近0．
2. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可
能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能
性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来
辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现
的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从 3个口袋中
取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
知识点3：频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某
个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【题型1：事件类型】
【典例1】（2023春•成华区期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．三角形内角和是 180°
【答案】D
【解答】解：A．打开电视，正在播放神舟载人飞船发射，是随机事件，故A
不符合题意；
B．掷一枚骰子，点数是3的面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，故C不符合题意；
D．三角形内角和是 180°，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023•武昌区一模）彩民小明购买 10000张彩票，中一等奖．这
个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【解答】解：彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是随机事件，
故选：D．
【变式1-2】（2023春•高港区月考）“水中捞月”是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．确定事件 D．随缘事件
【答案】C
【解答】解：水中捞月不可能达成，故为确定事件中的不可能事件．故选：C．
【变式1-3】（2023春•江岸区校级月考）下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶1000km，从未出现故障
D．购买1张彩票，中奖
【答案】A
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是 180°，是必然事件，故A
符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故 B不符合
题意；
C、汽车累积行驶1000km，从未出现故障，是随机事件，故C不符合题意；
D、购买1张彩票，中奖，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A
【题型2：可能性大小】
【典例2】（2023•西湖区开学）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球
和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有
颜色不同），0＜4＜10＜16，
∴摸到红球可能性最大的是D选项．
故选：D．【变式2-1】（2023•成武县校级开学）同时掷两个骰子，算点数之和．如果小
芳选5、6、7、8、9五个数，而小明选2、3、4、10、11、12六个数，掷20
次，（ ）赢的可能性大．
A．小芳 B．小明 C．机会均等 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵掷出和是5有4种情况，和是6有5种情况，和是7有6种情
况，和是8有5种情况，和是9有4种情况，即这五个数的情况有24种，
掷出和是2有1种情况，和是3有2种情况，和是4有3种情况，和是10有
3种情况，和是11有2种情况，和是12有1种情况，即这六个数的情况有12
种，
∴小芳赢的可能性大，
故选：A．
【变式2-2】（2023春•乳山市期末）一个不透明的盒子中装有 3个红球和5个
白球，它们除颜色外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确
的是（ ）
A．摸到白球是必然事件
B．摸到黑球是不可能事件
C．摸到红球比摸到白球的可能性大
D．摸到红球与摸到白球的可能性相等
【答案】B
【解答】解：A、摸到白球是随机事件，选项错误，不符合题意；
B、摸到黑球是不可能事件，选项正确，符合题意；
C、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不
符合题意；
D、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不
符合题意；
故选：B．
【变式2-3】（2023•白云区二模）一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余
完全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，小星将盒中小球搅匀后，每次从
中随机摸出一球，记下颜色后放回盒中搅匀，再从中随机摸出一球下面是他前两次摸球的情况：当小星第三次摸球时，下列说法正确的是（ ）
次数 第1次 第2次 第3次
颜色 红球 红球 ？
A．一定摸到红球
B．摸到红球的可能性小
C．一定摸不到红球
D．摸到红球、白球、黄球的可能性一样大
【答案】D
【解答】解：∵不透明的盒子内装有完全相同的2个红球，2个白球，2个黄
球，
∴小星第三次摸到红球、白球、黄球的可能性一样大．
故选：D．
【题型3：概率的意义】
【典例3】（2023•上城区开学）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满 100
元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是 85%，也就是说抽奖
（ ）
A．100个人抽奖必有85个人中奖
B．抽100次必有85次中奖
C．一定中奖
D．有可能中奖
【答案】D
【解答】解：某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满 100元，就可以获得
一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖有可能中奖，
故选：D．
【变式3-1】（2023春•北票市期末）小刚掷一枚均匀的硬币，一连 99次都掷
出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：根据概率的意义，无论哪一次掷硬币，都有2种情况，即正面、反面朝上，
正面朝上的概率都为 ，
故选：C．
【变式3-2】（2023春•清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，
下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【答案】D
【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，就是经过大量重复的实
验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在 左右，因此，
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因
此选项A不符合题意；
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于 ，这种说法是正
确的，因此选项B不符合题意；
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项
C不符合题意；
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D
符合题意；
故选：D．
【变式3-3】（2023春•龙华区期末）某气象台预报“本市明天下雨的概率为
90%”对此信息，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定会下雨
B．明天全市90%的地方在下雨
C．明天90%的时间在下雨D．明天下雨的可能性比较大
【答案】D
【解答】解：某气象台预报“本市明天下雨的概率为 90%”，意思是：明天
下雨的可能性比较大，
故选：D．
【题型4：几何意义】
【典例4】（2023春•沙坪坝区校级期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转
盘转动并停止后，指针落在B区域的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得，指针落在B区域的概率是 ＝ ．
故选：C．
【变式4-1】（2022秋•连云港期末）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意
转动转盘1次，指针落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，∴指针落在阴影部分的概率为 ．
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•仓山区校级期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地
板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，
那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小
正方形的面积，
∴小球停留在阴影部分的概率是 ，
故选：A．
【变式4-3】（2023春•汝州市期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随
机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，
则 地 板 的 总 面 积 为 5a×4a ＝ 20a2 ， 黑 砖 的 面 积 为 20a2﹣（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a2，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是 ＝ ，
故选：D．
【题型5：概率公式】
【典例5】（2022秋•铜梁区校级期末）一个布袋中放着 12个黑球和8个红球，
除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出红球的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：布袋中球的总数为：8+12＝20（个），
因此从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ．
故选：C．
【变式5-1】（2023•柯桥区一模）学校招募运动会广播员，从三名男生和一名
女生中随机选取一人，则选中女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，
∴选中女生的概率为 ，
故选：C．
【变式5-2】（2023春•渠县校级期末）某路口南北方向信号灯的设置时间为：
红灯25s，绿灯30s，黄灯5s．王老师随机地由南往北开车到达该路口，他遇
到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为红灯25s，绿灯30s，黄灯5s，所以他遇到绿灯的概率是 ，
故选：D．
【变式5-3】（2023•锡林浩特市二模）质检人员从编号为 1，2，3，4，5的五
种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于 4的概
率为（ ）
A．. B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵抽取的产品数为5种，编号不小于4的情况有2种，
∴所抽到的产品编号不小于4的概率为 ．
故选：B．
【题型6：列表法与树状图法】
【典例6】（2023•朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校
园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”
“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为 A，B，C，D）．学校要求八年
级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几
项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果
绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 5 0 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表
演”的人数；（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．
用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【答案】（1）50；
（2） ．
【解答】解：（1）12÷24%＝50（人），
所以本次一共抽样调查了50名学生；
故答案为：50；
（2）B组人数为50﹣18﹣5﹣12＝15（人），
条形统计图补充为：
（3）600× ＝60（人），
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为
2，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率＝ ＝ ．
【变式6-1】（2023•东城区校级模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，
除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从
中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：列表如下：
红 绿
红 （红，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿）
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种
情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为 ，
故选：C．
【变式6-2】（2023春•渠县校级期末）有五条线段，长度分别是2，4，6，8，
10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，
6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其
中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，
则P＝ ．
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•昌图县期末）小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉
色，有两条围巾，分别为白色和红色．她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，
恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，
所以恰好为红色帽子和红色围巾的概率＝ ．
故选：C．
【变式6-4】（2023•舒城县模拟）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙
恰好相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：用树状图分析如下：
∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，
∴甲、乙两人相邻的概率是 ．
故选：D．
【变式6-5】（2023•江山市模拟）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某
校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的
四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据
获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
分数/分 80 85 90 95
人数/人 4 2 10 4
根据图形信息，解答下列问题：
（1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图；
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90
分；
（3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随
机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰
好抽到甲和乙的概率．
【答案】（1）200人，统计图见解答；
（2）90，90；
（3） ．
【解答】解：（1）本次获奖人数有：20÷10%＝200（人），
则获得“秦九韶奖”的人数有200×46%＝92（人）．
则刘徽奖的人数为200×（1﹣24%﹣46%﹣10%）＝40（人），
补全条形统计图如解图所示：（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分；
故答案为：90，90；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，
恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）．
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是 ＝ ．
【题型7：游戏的公平性】
【典例7】（2021秋•乌兰察布期末）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备
了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并
在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，
指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果
指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）列表：
由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为 1的有3
种结果．
∴P ＝ ；
（乙获胜）
（2）公平．
∵P ＝ ，P ＝ ．
（乙获胜） （甲获胜）
∴P ＝P
（乙获胜） （甲获胜）
∴游戏公平．
【变式7-1】（2023春•酒泉期末）在“五•四”青年节中，全校举办了文艺汇
演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了
一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．
游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳
去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？【答案】见试题解答内容
【解答】解：不会同意．
因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是 ，而小芳去的
可能性是 ，
所以游戏不公平．
【变式7-2】（2023春•梅江区期末）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都
想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主
意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，
抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
（1）求小明抽到4的概率；
（2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗请说明理由；若不公平，请你修
改游戏规则，使游戏对双方都公平．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有 8
种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有2种．所以，P（抽到
4）＝ ．（2分）
答：小明抽到4的概率为 ．（3分）
（2）解：不公平．
理由如下：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每
种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种．所以，P（抽到比
4大）＝ ．
所以小明去看演唱会的概率为 ，则小亮去看演唱会的概率为：
1﹣ ＝ ．因为 ＜ ，所以，游戏不公平．（5分）
修改游戏规则如下：（答案不唯一）从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；抽到比4小的牌，小亮去，
抽到4重新抽，游戏对双方都公平．（7分）
【变式7-3】（2023•定西模拟）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中
的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，
小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大
者获胜．
（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）树状图如右：
则小红获胜的概率： ＝ ，小丁获胜的概率： ＝ ，
所以这个游戏比较公平．
【题型8：用频率估计概率】
【典例8】（2022秋•路北区校级期末）在一个不透明的盒子中装有 a个除颜色
外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意
摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频
率稳定在20%左右，则a的值大约为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【解答】解：根据题意知 ＝20%，
解得a＝20，经检验：a＝20是原分式方程的解，
故选：B．
【变式8-1】（2022秋•吉安期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统
计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验
最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出
一个球是黄球
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布折线图．
版权所有
【答案】D
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，
计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪
刀”的概率为 ，故本选项不符合题意；
B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出
一个球是黄球的概率为 ，故本选项不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是 ，故本
选项不符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是 6的概率为
≈0.17，故本选项符合题意．故选：D．
【变式8-2】（2023•巴中模拟）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的
候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的 A种候鸟的情况，从中捕
捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中
有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 80 0 只A种候鸟．
【考点】利用频率估计概率．
版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识
别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：10＝x：40，
解得x＝800．
故答案为：800．
【变式8-3】（2023春•盐都区期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜
色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，
他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述
过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次 52 138 178 302 481 599 1803
数m
摸到白球的频 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
率
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 0.6
（精确到0.1）
（2）盒子里白色的球有 1 2 只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是
白球的概率是0.8，求m的值．
【考点】利用频率估计概率．
版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；（3）利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵摸到白球的频率约为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，共有20只球，
∴则白球的个数为20×0.6＝12只；
（3）根据题意得： ，
解得：m＝20．
故答案为：0.6；12
1．（2023•呼和浩特）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全
部从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张图片中
随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一
张完整图片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：四张形状相同的小图片分别用 A、a、B、b表示，其中A和a
合成一张完整图片，B和b合成一张完整图片，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为4，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率＝ ．
故选：B．
2．（2023•镇江）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡
片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其
中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，
∴P＝ ，
故选：B．
3．（2023•盘锦）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】A
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是 180°，是必然事件，故A
不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故B符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故C不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
4．（2023•阜新）某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选
取一个主题参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿
精神”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：用 1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精
神”三个主题，
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为
1，
所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率＝ ．
故选：D．
5．（2023•哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，
这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子
是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋
子是黑棋子的有10种结果，
所以其概率为 ＝ ，
故选：D．
6．（2023•德阳）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字
之和为奇数的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，这两个数字之和为奇数的有8种情况，
∴这两个数字之和为奇数概率为 ＝ ．
故选：C．
7．（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所
统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数 100 300 600 1000 7000 15000
a
成活的棵数 84 279 505 847 6337 13581
b
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到
0.1）（ ）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【答案】C
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活
的频率稳定在0.9左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．
故选：C．
8．（2023•北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、
第二次反面向上的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，
分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正
面向上、第二次反面向上的概率是 ，
故选：A．
9．（2023•湘西州）在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜
色不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是
．
【答案】 ．
【解答】解：摸到红球的概率为 ．
答案为： ．
10．（2023•广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从
中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概
率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面
向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？
为什么？
【答案】（1） ；
（2）公平，理由见解答．
【解答】解：（1）画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴P（乙选中球拍C）＝ ；
（2）公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有 2
种可能的结果，
∴P（甲先发球）＝ ，
P（乙先发球）＝ ，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
11．（2023•盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学
生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所
示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长 人数
x/min
0＜x≤20 20
20＜x≤40 a
40＜x≤60 25
60＜x≤80 15
x＞80 10根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 10 0 名学生，统计表中a＝ 3 0 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心
角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生
人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书
中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片 A，B，C，D标记，先随
机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，
求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】（1）100，30；
（2）54°；
（3）140名；
（4） ．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝
100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数
为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；
（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同
的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即
D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝ ．
1．（2022秋•临汾期末）一只不透明的袋子中装有 4个黑球、2个白球，每个
球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是
（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
【答案】A
【解答】解：一只不透明的袋子中装有 4个黑球、2个白球，每个球除颜色
外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有
1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选：A．
2．（2022秋•辛集市期末）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一
个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为 ；
故选：A．
3．（2023春•环翠区期中）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．三角形的外心到三边的距离相等
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
【答案】C
【解答】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的
内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符
合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（2022秋•南关区校级期末）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形
构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部
分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后
可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，
∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是： ．
故选：B．
5．（2023•工业园区校级模拟）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外
都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖
落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4× ×1×2＝4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故选：C．6．（2022秋•鸡西期末）从 ，0， ，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，
π
抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵在 ，0， ，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
π
∴从 ，0， ，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是
π
．
故选：C．
7．（2023•西岗区模拟）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们
分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，
两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于4的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号的积小于4的概率是： ＝ ．
故选：C．
8．（2023春•皇姑区期末）下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【答案】A
【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定
是多少次，故本选项错误；
故选：A．
9．（2023•齐齐哈尔模拟）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作
边，能构成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，
3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
则P（构成三角形）＝ ．
故选：C．
10．（2023春•砀山县校级期末）小燕抛一枚硬币 10次，有7次正面朝上，当
她抛第11次时，正面向上的概率为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或
反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为 ．
故答案为： ．11．（2023春•徐州月考）事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，事
件A平均每100次发生的次数是 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，
则事件A平均每100次发生的次数为：100× ＝5．
故答案为：5．
12．（2022秋•甘井子区校级期末）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结
果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 0. 5 （精确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
（m/n）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为 1550 次，投中的次数为
796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为： ≈0.5．
故答案为：0.5．
13．（2022秋•路南区校级期末）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假
定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是 ．
【答案】见试题解答内容【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是 ＝ ．
故答案为 ．
14．（2023•福田区校级模拟）为了了解全校 1500名学生对学校设置的篮球、
羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内
随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调
查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答
下列各题．
（1）m＝ 2 0 %，这次共抽取了 5 0 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 36 0 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体
能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）m＝100%﹣14%﹣8%﹣24%﹣34%＝20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%＝50；
故答案为：20，50；
如图所示；50×20%＝10（人）．（2）1500×24%＝360；
故答案为：360；
（3）列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中
一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P＝ ＝ ．
15．（2023•未央区校级三模）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫
困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”
的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A ，A ，A ，A ，现对
1 2 3 4
A ，A ，A ，A 统计后，制成如图所示的统计图．
1 2 3 4
（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；
（2）将条形统计图补充完整，并求出A 所在扇形的圆心角的度数；
1
（3）现从A ，A 中各选出一人进行座谈，若 A 中有一名女生，A 中有两名
1 2 1 2
女生，请用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生
的概率．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）总数人数为：6÷40%＝15人
（2）A 的人数为15﹣2﹣6﹣4＝3（人）
2
补全图形，如图所示
A 所在圆心角度数为： ×360°＝48°
1
（3）画出树状图如下：
故所求概率为：P＝ ＝
16．（2023•东莞市三模）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题
班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关
注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信
息，解答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应
的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用
树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平
等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）56÷20%＝280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）280×15%＝42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280＝30%，360°×30%＝108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感
恩”用列表法为：
A B C D E
A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D）
用树状图为：共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是 ．
17．（2023•大丰区校级模拟）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学
生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三
字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三
字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小
组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红
抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方
法进行说明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的
概率＝ ；
（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”
的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率＝ ．
18．（2023•惠阳区校级开学）小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4
张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．
（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为 25%
（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品
总值不低于30元的概率为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵1÷4＝0.25＝25%，
∴抽中20元奖品的概率为25%．
故答案为：25%．
（2） ，
∵所获奖品总值不低于30元有4种情况：30元、35元、30元、35元，
∴所获奖品总值不低于30元的概率为：
4÷12＝ ＝ ．
19．（2023•义乌市校级开学）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、
书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查
（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了
整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 5 0 人，在扇形统计图中，m的值是 30% ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从
中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽
取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人）
15÷50＝30%
答：本次调查的学生共有50人，在扇形统计图中，m的值是30%．
（2）50×20%＝10（人）
50×10%＝5（人）
．
（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男 男 男 女 女
男 / （男，男） （男，男） （男，女） （男，女）男 （男，男） / （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，男） / （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） / （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） /
所有等可能的情况有20种，所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同
学的情况有12种，
则P（一男一女）＝ ＝
答：所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率是 ．
故答案为：50、30%．
20．（2023•海州区校级二模）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求：垃圾要按
A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，
B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一
袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为： ；
（2）如图所示：
由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾
是同类的结果有12种，所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）＝ ＝ ；
即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是： ．
