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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.2勾股定理的逆定理专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022秋•章丘区期中）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B． ， ， C．4，6，9 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解．
【解答】解：∵22+32≠42，（ ） ，42+62≠92，52+122＝132，
∴选项D中数据能作为直角三角形的三边长，
故选：D．
2．（2022秋•建邺区校级期中）若三角形的三边长为a，b，c，且b2﹣c2＝a2，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】根据b2﹣c2＝a2，可以得到a2+c2＝b2，然后根据勾股定理的逆定理即可判断该三角形的形状．
【解答】解：∵b2﹣c2＝a2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
3．（2022秋•西安月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂
直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝ AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝ ＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
4．（2022秋•西安月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．13，14，15 B．40，9，41 C．3，4， D．1， ，
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长
边的平方．
【解答】解：A、132+142≠152，故不是勾股数，故选项不符合题意；
B、92+402＝412，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；
C、3，4， ，不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；
D、1， ， ，不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．
故选：B．
5．（2022春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆
B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”
如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝ ＝ ＝15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），
故选：A．
6．（2022春•延津县期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）高 3.6米，在一次强台风中树被强风折断，
倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的
和即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，
∴BC2＝AB2+AC2，
即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，
解得：AB＝1，
故选：D．
7．（2022秋•乳山市期中）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的
交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据勾股定理求出各个边的平方，再根据求出的结果得出 AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，
AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可．
【解答】解：连接AB，BD，AC，AD，
由勾股定理得：AB2＝22+12＝5，AC2＝22+42＝20，BD2＝32+42＝25，AD2＝CD2＝12+32＝10，
∵BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，AB2+AD2≠BD2，BD2+CD2≠BC2，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，△ABD和△CBD不是直角三角形，
即直角三角形有2个，故选：B．
8．（2022秋•锦江区校级期中）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm）堆在一起，要给
它盖一个遮雨棚，遮雨棚的高度至少为（ ）
A．300． B． C． D．
【分析】仔细观察上图，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油
桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是 4×60＝240，雨棚起码的高度是该三角形的高加一只
油桶的高．
【解答】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，
它的边长是4×60＝240cm，
这个等边三角形的高是 ＝120 cm，雨棚起码高是：（120 +60）cm．
故选：D．
9．（2022春•海安市期中）《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去
本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处
离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2−3＝（10−x）2 B．x2−32＝（10−x）2
C．x2+3＝（10−x）2 D．x2+32＝（10−x）2
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
故选：D．
10．（2022秋•海淀区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点P（x ，y ），Q（x ，y ），定义它们
1 1 2 2
之间的一种“距离”为d ＝|x ﹣x |+|y ﹣y |．已知不同三点A，B，C满足d ＝d ﹣d ，下列四个结
PQ 2 1 2 1 AC AB BC
论中，不正确的结论是（ ）A．A，B，C三点可能构成锐角三角形
B．A，B，C三点可能构成直角三角形
C．A，B，C三点可能构成钝角三角形
D．A，B，C三点可能构成等腰三角形
【分析】不妨设C（0，0），A（1，0），B （x ，y ），则||AC||＝1，||CB||＝|x |+|y |，||AB||＝|x ﹣1|+|
1 1 1 1 1
y |，讨论x ，y 的值即可判定．
1 1 1
【解答】解：不妨设C（0，0），A（1，0），B （x ，y ），则d ＝1，d ＝|x |+|y |，d ＝|x ﹣1|+|
1 1 AC CB 1 1 AB 1
y |，
1
由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x |＝|x ﹣1|，
1 1
当x ＝0，y ≠0时1+|x |＝|x ﹣1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；
1 1 1 1
当x ＝0，y ＝0时，此时△ABC为等腰三角形，故D正确；
1 1
当x ＞0时，无解，故A错；
1
当x ＜0时，此时∠BCA为钝角，且1+|x |＝|x ﹣1|成立，故C正确．
1 1 1
故答案为：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•金乡县期末）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，
26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为 1 8 ， 8 0 ， 8 2 ．
【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中
的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可
解答．
【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是 2（n+2），第二个是：
（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑦组勾股数是18，80，82．
故答案为选：18，80，82．
12．（2022春•南充期末）某校教学楼在校门的正北200m处，实验楼在教学楼正西100m处，若实验楼的
坐标为（﹣100，0），则校门的坐标为 （ 0 ，﹣ 20 0 ） ．
【分析】根据已知条件实验楼的坐标，即可得到结论．
【解答】解：如图，点A表示实验楼，点B表示校门，点O表示教学楼，
∵实验楼的坐标为（﹣100，0），教学楼在校门的正北200m处，实验楼在教学楼正西100m处，
∴校门的坐标为（0，﹣200），
故答案为：（0，﹣200）．13．（2022春•大足区期末）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝ 1 米．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝ ＝ ＝4（米），
∴DC＝AC﹣AD＝4﹣1＝3（米），
在Rt△DCE中，CE＝ ＝ ＝4（米），
∴BE＝CE﹣BC＝4﹣3＝1（米），
故答案为：1．
14．（2022秋•江阴市期中）木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为 6分米，宽为4分米，对角线
为7分米，则这扇纱窗 不合格 （填“合格”或“不合格”）．
【分析】直接利用勾股定理逆定理分析得出答案．
【解答】解：∵42+62＝52≠72＝49，
∴这扇纱窗不是直角，故不合格．
故答案为：不合格．
15．（2022春•东莞市期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 1 3 m ．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：建立数学模型，两棵树的高度差AC＝10﹣5＝5m，间距AB＝DE＝12m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝ ＝13（m）．
故答案为：13m．
16．（2022春•长沙月考）如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则
S△ABC ＝ 12 6 ．
【分析】在△ACD中，根据勾股定理逆定理判断出∠ADC＝90°，在△ABD中利用勾股定理求得BD＝
16，再利用面积公式求解可得．
【解答】解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2，
∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°，
则△ABD是直角三角形，
∵AB＝20，
∴BD＝ ＝ ＝16，
则S△ABC ＝ •BC•AD＝ ×（16+5）×12＝126，
故答案为：126．
17．（2021秋•建邺区期末）如图，一根长为 18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯
中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是 5 ≤ h ≤ 6 ．
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝18﹣12＝6（cm）．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时，AB＝ ＝ ＝13（cm），
则h＝18﹣13＝5（cm）．
∴h的取值范围是5≤h≤6．
故答案为：5≤h≤6．
18．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF
＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至
终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是
21 ．
【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作
F′H⊥AB 于点 H，连接 FF′，则四边形 FGHF′是矩形，Rt△ABC 的外部被染色的区域是梯形
MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．
【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点
F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形
MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，
∴DE＝ ＝ ＝5，
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝ ＝ ＝15，
∵ •DF•EF＝ •DE•GF，
∴FG＝ ，
∴BG＝ ＝ ＝ ，
∴GE＝BE﹣BG＝ ，AH＝GE＝ ，
∴F′H＝FG＝ ，
∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，
∵BF∥AC，
∴ ＝ ＝ ，
∴BM＝ AB＝ ，
同法可证AN＝ AB＝ ，
∴MN＝15﹣ ﹣ ＝ ，
∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝ ×（10+ ）× ＝21，
故答案为：21．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•桂平市期末）已知△ABC的三边长a、b、c满足| a﹣4|+（2b﹣12）2+ ＝0，试判断
△ABC的形状，并说明理由．
【分析】根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形．
【解答】解：△ABC为直角三角形，理由如下：由题意得 a﹣4＝0，2b﹣12＝0，10﹣c＝0，
所以a＝8，b＝6，c＝10，
因为82+62＝102，
所以a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
20．（2021秋•淇县期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，
∠B＝90°．求阴影部分的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得
出结论．
【解答】解：如图，连接AC．
∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5．
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影 ＝S△ACD ﹣S△ABC ＝ ×5×12﹣ ×3×4＝30﹣6＝24．
21．（2022春•昭平县期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为 1，A、B、C为格点（格子线的
交点）
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高．【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB＝ ＝5 ，BC＝ ＝2 ，AC＝ ＝ ，
∴BC2+AC2＝（2 ）2+（ ）2＝（5 ）2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AB边上的高为h，
∵S△ABC ＝ BC×AC＝ AB×h，
∴h＝ ＝2 ．
即AB边上的高为2 ．
22．（2022春•潼关县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外
一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
23．（2022春•武安市期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝5，AB＝4
．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证∠C＝90°；
（2）在Rt△ACB中，先根据勾股定理得到BC的长，再根据线段的和差关系可求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC2+CD2＝42+32＝25，AD2＝52＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．
24．（2022秋•晋源区校级月考）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，C，D为两村庄，DA⊥AB于
点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12km．CB＝5km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得
C，D两村到公交车站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？
【分析】根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE＝CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE
＝BC．
【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（17﹣x）km．
∵DA＝12km．CB＝5km，
∴x2+122＝（17﹣x）2+52，
解得x＝5，
∴AE＝5km，
答：收购站E应建在离A点5km处．
