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期中检测01
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100分钟 满分：120分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】B
【解析】
分析：分别根据次根式的加减运算法则以及合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则及同底数
幂的除法法则对各选项进行逐一判断即可．
解析：A. 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B. ，故本选项正确；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误.
故选：B.
点睛：此题考查了二次根式的加减运算以及合并同类项、积的乘方运算和同底数幂的除法法则运算
等知识，正确掌握运算法则是解题的关键.
2．化简 的结果为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
先根据平方根被开方数的非负性求出 的取值范围，再根据绝对值的性质化简.
【解析】解：由题意得 ，
；
故
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平方根被开方数的非负性以及绝对值的性质，理解掌握相关性质是解答关键.
3．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，
分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选B
点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，
等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求
解..
4．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【解析】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符
合题意；B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
5．如图，在正方形 中， ，点 在 边上， ，把 绕点 顺时针旋
转 ，得到 ，连接 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质可知 ,然后由旋转的性质可知 ，进而可求出
的长度，再利用勾股定理即可求出线段 的长．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ．
∵把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ，
，．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，旋转的性质和勾股定理，掌握正方形的性质，旋转的性质和勾股定理
是解题的关键．
6．二次根式 有意义，则 应满足的条件是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】
∵二次根式 有意义，
∴ ，解得： .
故选B.
7．如图，将长为8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为
（ ）
A．8cm B．4 cm C．5cm D．2 cm
【答案】D
【分析】
如图，首先证明四边形AECF为菱形，运用勾股定理分别求出CE，AC的长度，运用菱形的面积公式，即可解决问题．
【解析】
解：如图，连接AF，AC，
∵将长为8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，
∴EF⊥AC，OA＝OC，AE＝CE，AF＝CF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴FC∥AE，∠OAE＝∠OCF；
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形，
∵CE2＝BE2+BC2，
∴CE2＝（8﹣CE）2+16，
∴CE＝5cm，
∵AB＝8cm，BC＝4cm，
∴AC＝ ＝ ＝4 ，
∵S ＝5×4＝ ×4 ×EF，
菱形AECF
∴EF＝2 cm，
故选：D．【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质，平行四边形的判定，勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固
掌握翻折变换的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面
部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边
的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【分析】
我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x
尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.
【解析】
解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键.
9．如图，在 中， ，则 为（ ）度．A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形外角性质可知∠AED=∠C+∠EDC，∠ADC=∠B+∠BAD，根据∠B=∠C，
∠ADE=∠AED，∠EDC=20°即可求出∠BAD的度数．
【解析】
∵∠AED、∠ADC分别是△DEC和△ABD的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADE=∠AED，∠B=∠C，∠EDC=20°，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠B+∠BAD=∠B+∠EDC+∠EDC，
∴∠BAD=2∠EDC=40°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握外角性
质是解题关键．
10．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，
设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（ ）
A．a2＝4b﹣4 B．a2＝4b+4 C．a＝2b﹣1 D．a＝2b+1
【答案】A
【分析】
利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，根据矩形的性质得到EH=FG，
∠A=∠B=∠D=∠C=90°，根据余角的性质得到∠AEH=∠CGF，根据全等三角形的性质得到CF=AH=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】
解：∵∠HEJ=∠AEH，∠BEF=∠FEJ，
∴∠HEF=∠HEJ+∠FEJ= ×180°=90°，
同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EH=FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠C=90°，
∴∠AEH+∠AHE=∠AHE+∠DHG=∠DHG+∠DGH=∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠AEH=∠CGF，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴CF=AH=1，
∴△AEH∽△BFE，
∴ ＝ ，
由折叠的性质的，AE=EJ=BE= AB= a，
∴ = ，
∴a2=4b-4，
故选A．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，
AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解析】
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关
键．
12．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列条
件①∠ABE＝∠CBF；②AE＝CF；③AB＝AF；④BE＝BF．可以判定四边形BEDF是菱形的条件
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角的性质，再加上各
选项的条件，对各选项分析判断后即可得出正确选项的个数
【解析】
解：如图，连接BD，交AC于点O，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠BAC=∠ACB，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
①在△ABE与△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=BF，
∵AC⊥BD，
∴OE=OF，
所以四边形BEDF是菱形，故①选项正确；
②在正方形ABCD中，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，又EF⊥BD，BO=OD，
∴四边形BEDF是菱形，故②选项正确；
③AB=AF，不能推出四边形BEDF其它边的关系，故不能判定是菱形，本选项错误；
④BE=BF，同①的后半部分证明，故④选项正确．
所以①②④共3个可以判定四边形BEDF是菱形．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若a＋ ﹣b＝0且ab≠0，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出a、b同号，分为两种情况：当a＞0时，当b＞0时， ，求出方程的解即可；
当a＜0时，b＜0时 ， ,求出方程的解即可.
【解析】
因为ab≥0，ab≠0，所以ab＞0.
所以a、b同号.
当a＞0，b＞0时， ＝0，
即 ＝0，
解这个方程得， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ＝ ；
当a＜0，b＜0时， ＝0，
即 ＝0，
解这个方程得， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ＝ .综上， ＝ .
【点睛】
本题考查分式的值及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=2，CD=1，则
AC的长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算
即可．
【解析】
解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
由勾股定理得 ，设AC=AE=x，
由勾股定理得x2+32=（x+ ）2，
解得x= ．
∴AC= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理以及角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题
的关键．
15．式子 有意义的条件是__________．
【答案】 且
【分析】
式子 有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解出x的范围即可.
【解析】
式子 有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解得： ， ，故答案为 且 .
【点睛】
此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，
及解不等式是解决本题的关键.
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a=_____，b=_______.
【答案】 12 16
【解析】设a=3x，b=4x，根据勾股定理可得c=5x．又c=20，即5x=20，所以x=4，因此a=3x=12，
b=4x=16．
17．如图，6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶
点都在格点上，D是BC的中点．则AC=__________；AD=__________．【答案】2 ，
【分析】
根据勾股定理计算即可．
【解析】
由题意得,BD=CD= ，
由勾股定理得,AC= =2 ，
AD= = .
故答案为2 ; .
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算法则.
18．如图，E为 ABCD内任一点，且 ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为_____．
▱ ▱
【答案】3
【分析】
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S ＝ S
阴影 四边形
．
ABCD
【解析】解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h，h，则h+h 为平行四边形的高，
1 2 1 2
∴S +S ＝ AB•h+ CD•h＝ AB（h+h）
△EAB △ECD 1 2 1 2
＝ S ＝ ×6＝3．
四边形ABCD
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．(1) ； (2) ．
【答案】(1) ；(2 )
【解析】
【分析】
（1）先把二次根式化简，然后再合并类二次根式
（2）先运用完全平方公式和平方差公式计算，再进行二次根式的加减法即可.
【解析】
解：（1）原式=4 - +
=4
（2）原式=3-2 +2-4+5
=6-2
故答案为(1) ；(2 )
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式和平方差公式.
20．已知 满足 ．
（1） 有意义， 的取值范围是 ；则在这个条件下将 去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求 的值．
【答案】（1） ； ；（2）2020
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，
即可进行化简.
（2）根据（1）的分析进行化简，求出 ，然后求出答案即可.
【解析】
解：（1）∵ 有意义，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
∴ ；
故答案为： ； ；
（2）由（1）可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是
熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
21．如图，在△ABC 中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；
（2）由作法可得DE∥BC，又因为D是AC的中点，可证DE为△ABC的中位线，从而运用三角形
中位线的性质求解．
【解析】
解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE=∠ACB，
∴DE∥BC，
∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE= BC= ．
22．已知：如图，（1）求证: ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据 可得 ；
（2）根据 可得 ，根据 ，有 ，则
（3）根据 可得 ，根据 ，有 ，
【解析】
证明：（1）
∵
∴
（2）
∵
∴
∵
∴
∴
（3）∵∴
∵
∴
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和证明，熟悉相关性质是解题的关键．
23．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形
ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．
（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；
（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．
【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能，理由见解析.
【分析】
（1）过点G作GM⊥BC于M，可以证明△MFG≌△BEF，就可以求出GM的长，进而就可以求出
FC，求出面积．
（2）证明△AHE≌△MFG．得到GM的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．
（3）△GFC的面积不能等于2，根据面积就可以求出a的值，在△BEF中根据勾股定理就可以得
到EF，进而在直角△AHE中求出AH．
【解析】
解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，
∠HEF＝90°，EH＝EF，
∴∠AEH＋∠BEF＝90°．
∵∠AEH＋∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF．
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AHE≌△BEF．
同理可证△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．
∴FC＝BC－BF＝10．
∴ ．
（2）如图2，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．
∵AD∥BC，
∴∠AHF＝∠MFH．
∵EH∥FG，
∴∠EHF＝∠GFH．
∴∠AHE＝∠MFG．
又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，
∴△AHE≌△MFG．
∴GM＝AE＝2．
∴ ．
（3）△GFC的面积不能等于2．
解法一：∵若S ＝2，则12－a＝2，∴a＝10．
△GFC
此时，在△BEF中，
．
在△AHE中，
，
∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S ＝2．
△GFC
解法二：△GFC的面积不能等于2．
∵点H在AD上，
∴菱形边EH的最大值为 ，
∴BF的最大值为 ．
又∵函数S ＝12－a的值随着a的增大而减小，
△GFC∴S 的最小值为 ．
△GFC
又∵ ，
∴△GFC的面积不能等于2．
【点睛】
解决本题的关键是证明三角形全等．
24．如图，在等边 中， 是 的一个外角．
实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）第一步：作 的平分线 ；
第二步：作线段 的垂直平分线，与 交于点 ，与 边交于点 ．
（2）在（1）的基础上，若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】
（1）根据角平分线的作法以及垂直平分线的作法解答即可
（2）根据BF是AC的垂直平分线，证得OC=4，OC⊥BF，∠CBF=30°，进而由勾股定理求得OB=
，再根据CM平分∠ACD，证得CB=CF，最后可求得BF=OM+OB= .【解析】
（1）如图，
（2）∵△ABC为等边三角形，且BC=8，
∴AC=BC=8，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°，
∵BF是AC的垂直平分线，
∴OC= AC=4，OC⊥BF，
∴∠CBF= ∠ABC=30°，
∴在 中， ，
∵CM平分∠ACD，
∴∠ACM= ∠ACD=60°，
∴∠CFB=30°
∴∠CFB=∠CBF，
∴CB=CF，
∴AC是BF的垂直平分线，
∴OM=OB= ，
∴BF=OM+OB=
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、角平分线与垂直平分线的作图及其性质，同时还考查了垂直平分线的
逆定理以及勾股定理，熟练掌握角平分线与垂直平分线的性质是解题的关键.
