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2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级
第 1 试）
一、每题6分，共120分
1．（6分） + + + + ．
2．（6分）将 化成小数，小数部分第2015位上的数字是 ．
3．（6分）若四位数 能被13整除，则两位数 的最大值为 ．
4．（6 分）若一个分数的分子减少 20%，并且分母增加 28%，则新分数比原来的分数减少
了 %．
5．（6分）若a＜ ＜a+1，则自然数a＝ ．
6．（6 分）定义：符号{x}表示的 x 的小数部分，如：{3.14}＝0.14，{0.5}＝0.5．那么
公众号：
{ }+{ }+{ }＝ ．（结果用小数表示）
7．（6分）甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的30%，乙、丙制作的件数
之比是3：4．已知丙制作了20件，则甲制作了 件．
羊城升学
8．（6分）已知 都是最简真分数，并且他们的乘积是 ，则x+y+z＝ ．
9．（6分）有三只老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分，第二天，第一只老鼠最早来
到，他发现花生无法平分，就吃了一颗，余下的恰好可以分成3份，他拿了自己的一份．第
二只，第三只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也取了同样的方法，都是吃掉一粒
后，把花生米分成三份，拿走其中的一份．那么这堆花生米至少有几粒？
10．（6分）如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作 圆，
若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长和宽的比值是 ．
第1页（共12页）11．（6分）六年级甲班的女生人数是男生人数的 倍．新年联欢会中， 的女生和 的男
生参加了演出，则参加演出的人数占全班人数的 ．
12．（6分）有80颗珠子，5年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再
次按年龄的比例重新分配，又恰好分完．已知姐姐比妹妹大 2 岁，那么，姐姐两次分到
的珠子相差 颗．
13．（6分）如图，分别以B，C为圆心的两个半圆的半径都是1厘米，则阴影部分的周长是
厘米．（π 取3）
公众号：
14．（6 分）一个 100 升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；混合均匀后，倒出
与第一次所倒出体积相等的液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的3 倍，
则第一次倒出的纯酒精是 升．
羊城升学
15．（6 分）如图，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3 厘米．已知甲容器
装满水，乙容器是空的．现将甲容器中的水全部倒人乙容器，水面的高比甲容器高的 少
6厘米，则甲容器的高是 厘米．
16．（6分）如图，《经典童话》一书共有382页，则这本书的页码中数字0共有 个．
第2页（共12页）17．（6分）如图所示的7个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，
5，6，7，则图中阴影部分的面积是 平方米．（ π 取3）
公众号：
18．（6 分）将一个棱长为 6 的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些
小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的 2 倍，则切割成的小正方体的棱
羊城升学
长是 ．
19．（6分）有长度分别是1厘米，2厘米，3厘米，4厘米5厘米的小木棍各若干根，从中
任取3根组成一个三角形，则最多可以组成几个不同的三角形？
20．（6分）一条路有上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3，小羊经过各段路的
速度之比是3：4：5，如图．已知小羊经过三段路共用1小时26分钟，则小羊经过下坡
路用了 小时．
第3页（共12页）2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六
年级第 1 试）
参考答案与试题解析
一、每题6分，共120分
1．（6分） + + + + ．
【解答】解： + + + + ，
＝（1﹣ ）+（ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ），
＝1﹣ + + ﹣ + ﹣ + ﹣ ，
＝1﹣ ，
公众号：
＝ ．
2．（6分）将 化成小数，小数部分第2015位上的数字是 1 ．
【解答】解： ＝13÷999＝0.013013013013013013013013013013013…
羊城升学
2015÷3＝671…2
所以小数部分的第2015位置上的数字是：1．
故答案为：1．
3．（6分）若四位数 能被13整除，则两位数 的最大值为 97 ．
【解答】解：要使四位数 能被13整除，那么 ﹣2＝ 的差能被13整除，
最大是995，995÷13＝76…7，所以995不合要求，
则，985÷13＝75…10，所以985不合要求，
则，975÷13＝75，能被13整除，
所以， ＝2975，那么 的最大值为97．
答： 的最大值为97．
故答案为：97．
4．（6分）若一个分数的分子减少20%，并且分母增加28%，则新分数比原来的分数减少了
37.5 %．
第4页（共12页）【解答】解：设原分数为 ，
则新分数为 ＝ × ，所以新分数为原分数的 ，
（1﹣ ）÷1＝ ＝37.5%．
故答案为：37.5．
5．（6分）若a＜ ＜a+1，则自然数a＝ 402 ．
【解答】解：因为 ＜ + + + + ＜ ，
设 + + + + ＝s，
则 ＜ ＜ ，
所以 ＜s＜ ，
公众号：
即402.2＜s＜403，
因此a＝402．
故答案为：402．
6．（6 分）定义：符号{x}表示的 x 的小数部分，如：{3.14}＝0.14，{0.5}＝0.5．那么
羊城升学
{ }+{ }+{ }＝ 1.82 ．（结果用小数表示）
【解答】解：{ }+{ }+{ }
≈{671.66 }+{78.75}+{82.4}
＝0.66 +0.75+0.4
＝1.81
故答案为：1.81 ．
7．（6分）甲、乙、丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的30%，乙、丙制作的件数
之比是3：4．已知丙制作了20件，则甲制作了 15 件．
【解答】解：20÷4×3＝15（件）
15+20＝35（件）
35÷（1﹣30%）
第5页（共12页）＝35÷70%
＝50（件）
50×30%＝15（件）；
答：甲制作了15件．
故答案为：15．
8．（6分）已知 都是最简真分数，并且他们的乘积是 ，则x+y+z＝ 21 ．
【解答】解：根据题意，可得
× × ＝
则，xyz＝9×15×14÷6＝3×3×5×7，
根据最简真分数的特征，可得
x＝5，y＝7，z＝9，
所以x+y+z 公＝5+7+9＝21． 众号：
故答案为：21．
9．（6分）有三只老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分，第二天，第一只老鼠最早来
到，他发现花生无法平分，就吃了一颗，余下的恰好可以分成3份，他拿了自己的一份．第
羊城升学
二只，第三只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也取了同样的方法，都是吃掉一粒
后，把花生米分成三份，拿走其中的一份．那么这堆花生米至少有几粒？
【解答】解：
（1）最后一只老鼠取走1粒，
最后一位老鼠取前有：1×3+1＝4（粒）；
第二只老鼠取前有：4×3÷2+1＝7（粒）；
第一只老鼠取前有：7×3÷2+1＝12.5（粒）不能整除，舍去．
（2）最后一只老鼠取走2粒，
最后一位老鼠取前有：2×3+1＝7（粒）；
第二只老鼠取前有：7×3÷2+1＝12.5不能整除，舍去．
第6页（共12页）（3）最后一只老鼠取走3粒，
最后一位老鼠取前有：3×3+1＝10（粒）；
第二只老鼠取前有：10×3÷2+1＝16（粒）；
第一只老鼠取前有：16×3÷2+1＝25（粒），符合题意．
所以，最初这堆花生至少有25粒．
答：这堆花生至少有25粒．
10．（6分）如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作 圆，
若图中的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长和宽的比值是 ．
公众号：
【解答】解：设长方形的长和宽分别为a和b，
则 ×π×b 2×2＝ab
羊城升学
b＝a
所以 ＝ ．
答：长方形的长和宽的比值是 ．
故答案为： ．
11．（6分）六年级甲班的女生人数是男生人数的 倍．新年联欢会中， 的女生和 的男
生参加了演出，则参加演出的人数占全班人数的 ．
【解答】解：（ × +1× ）÷（1+ ）
＝（ ）÷
＝ ×
＝
第7页（共12页）答：参加演出的人数占全班人数的 ．
故答案为： ．
12．（6分）有80颗珠子，5年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再
次按年龄的比例重新分配，又恰好分完．已知姐姐比妹妹大 2 岁，那么，姐姐两次分到
的珠子相差 4 颗．
【解答】解：设5年妹妹的年龄是x，那么：
5年前 今年
妹妹 x x+5
姐姐 x+2 x+7
5 年前和今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以 2x+2 与 2x+12 均为 80 的因
数，且这两个因数的差为10；80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，所以
公众号：
只有10与20的差为10，所以2x+2＝10，求得x＝4．
那么x+2＝4+2＝6，即5年前按照4：6的比例分配，姐姐分到：
80÷（4+6）×6
＝80÷10×6
羊城升学
＝48（颗）；
x+5＝9，x+7＝11，即今年按照9：11的比例分配，姐姐分到：
80÷（9+11）×11
＝80÷20×11
＝4×11
＝44（颗）；
两次分配相差：
48﹣44＝4（颗）．
答：姐姐两次分到的珠子相差4颗．
故答案为：4．
13．（6分）如图，分别以B，C为圆心的两个半圆的半径都是1厘米，则阴影部分的周长是
第8页（共12页）3 厘米．（π 取3）
【解答】解：连接BE、CE，则BE＝CE＝BC＝1（厘米）
故三角形BCE为等边三角形．于是∠EBC＝∠ECB＝60°
于是弧BE＝弧CE＝3×1× ＝1（厘米）
则阴影部分周长为1×2+1＝3（厘米）
答：阴影部分周长是3厘米．
故答案为：3．
公众号：
14．（6 分）一个 100 升的容器，盛满了纯酒精，倒出一部分后注满水；混合均匀后，倒出
与第一次所倒出体积相等的液体，再注满水，此时容器内水的体积是纯酒精体积的3 倍，
则第一次倒出的纯酒精是 50 升．
羊城升学
【解答】解：设第一次倒出的纯酒精是x升，
则100﹣x﹣ ＝ ×100
整理得x 2﹣200x+7500＝0
解得x ＝150＞100，舍去，x ＝50，
1 2
所以x＝50
答：第一次倒出的纯酒精是50升．
故答案为：50．
15．（6 分）如图，甲，乙两个圆柱形容器的底面半径分别是 2 厘米和 3 厘米．已知甲容器
装满水，乙容器是空的．现将甲容器中的水全部倒人乙容器，水面的高比甲容器高的 少
6厘米，则甲容器的高是 27 厘米．
第9页（共12页）【解答】解：设容器的高为 x 厘米，则容器 B 中的水深就是（ x﹣6）厘米，根据题意
可得方程：
3.14×2 2×x＝3.14×3 2×（ x﹣6）
3.14×4×x＝3.14×9×（ x﹣6），
4x＝6x﹣54
2x＝54
x＝27
答：甲容器的高度是27厘米．
故答案为：27．
16．（6分）如图，《经典童话》一书共有382页，则这本书的页码中数字0共有 68 个．
公众号：
羊城升学
【解答】解：9+27+26+6＝68（次）．
答：则这本书的页码中数字0共有68次．
故答案为：68．
17．（6分）如图所示的7个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1，2，3，4，
5，6，7，则图中阴影部分的面积是 0.84 平方米．（ π 取3）
【解答】解：（3×7 2﹣3×6 2）+（3×5 2﹣3×4 2）+（3×3 2﹣3×2 2）+3×1 2
＝39+27+15+3
第10页（共12页）＝84（平方分米）
84平方分米＝0.84平方米
答：图中阴影部分的面积是0.84平方分米．
故答案为：0.84．
18．（6 分）将一个棱长为 6 的正方体切割成若干个相同的棱长为整数的小正方体，若这些
小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的 2 倍，则切割成的小正方体的棱
长是 3 ．
【解答】解：因为切一刀多两面；小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积
的2倍；
所以增加的面积等于原表面积；
所以平行于三个面各切一刀；
所以切割成的小正方体的棱长是：6÷2＝3
公众号：
答：切割成的小正方体的棱长是3．
故答案为：3．
19．（6分）有长度分别是1厘米，2厘米，3厘米，4厘米5厘米的小木棍各若干根，从中
任取3根组成一个三角形，则最多可以组成几个不同的三角形？
羊城升学
【解答】解：（1）1厘米，1厘米，1厘米；
（2）1厘米，2厘米，2厘米；
（3）1厘米，3厘米，3厘米；
（4）1厘米，4厘米，4厘米；
（5）1厘米，5厘米，5厘米；
（6）5厘米，5厘米，5厘米；
（7）2厘米，2厘米，2厘米；
（8）2厘米，2厘米，3厘米；
（9）2厘米，3厘米，3厘米；
（10）2厘米，3厘米，4厘米；
（11）2厘米，4厘米，4厘米；
（12）2厘米，4厘米，5厘米；
（13）2厘米，5厘米，5厘米；
（14）3厘米，3厘米，3厘米；
第11页（共12页）（15）3厘米，3厘米，4厘米；
（16）3厘米，3厘米，5厘米；
（17）3厘米，4厘米，4厘米；
（18）3厘米，4厘米，5厘米；
（19）3厘米，5厘米，5厘米；
（20）4厘米，4厘米，4厘米；
（21）4厘米，4厘米，5厘米；
（22）4厘米，5厘米，5厘米．
答：最多可以组成22个不同的三角形．
20．（6分）一条路有上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3，小羊经过各段路的
速度之比是3：4：5，如图．已知小羊经过三段路共用1小时26分钟，则小羊经过下坡
路用了 0.6 小时．
公众号：
【解答】解：1÷3＝
羊城升学
2÷4＝
3÷5＝
： ： ＝10：15：18
1小时26分＝86分
86×
＝86×
＝36（分）
＝0.6（小时）；
答：小羊经过下坡路用了0.6小时．
故答案为：0.6．
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日期：2019/4/22 15:45:56；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
