文档内容
专练 10 几何压轴大题（10 题）
1．（2021·四川开江·八年级期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，
∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，
并加以说明．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）2AC2＝CD2+CE2，理由见解析
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）如图②，连接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝ ∠ADE＝ ×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝5，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴ ．
（3）2AC2＝CD2+CE2，
理由如下：连接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AC2＝CD2+CE2．
【点睛】
此题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
2．（2021·四川内江·八年级期末）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、
BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量
关系为___；位置关系为 ．
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则 AE与 BD 之间的
关系是否仍然成立?请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AB、AE、AD，把线段 AB
绕点A旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．【答案】（1） ， ；（2）成立，理由见解析；（3） ．
解：（1）问题发现
如图①，延长BD交AE于H，
∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCD＝90°，CA＝CD，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠EAC，
∵∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠CBD+∠EAC＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；
拓展探究：（2）成立．
理由：如图2，
设 与BD相交于点G．∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
拓展延伸：（3）AE的最大值为 ．
如图3，连接BD．
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
当点 在线段DA的延长线时等号成立，
故AE的最大值为 ．【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，证明
△ACE≌△DCB是本题的关键．
3．（2020·浙江浙江·八年级期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ．
（1）如图1，点 、 都在 外部，连结 和 相交于点 ．
①判断 与 的位置关系和数量关系，并说明理由；
②若 ， ，求 的值．
（2）如图2，当点 在 内部，点 在 外部时，连结 、 ，当 ， 时，求
的值．
【答案】（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由见详解；②14；（2）22
（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由如下：
设BD与AC交于点G，如图，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE；
② ， ，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，
∵BD⊥CE，
∴ = BC2+ DE2=8+6=14；
（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，
同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，
∵ ， ，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC2=2AB2=18，DE2=2AD2=4，
设DG=x，CG=y，EG=z，则在Rt∆DEG中，x2+z2= DE2=4，在Rt∆BCG中，（x+y+z）2+y2= BC2=18，在
Rt∆CDG中，x2+y2= CD2，在Rt∆BEG中，（x+y+z）2+z2=BE2，
∴ =（x+y+z）2+z2+ x2+y2= DE2+ BC2=4+18=22．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关的判定定理和性
质定理是解题的关键．
4．（2020·重庆沙坪坝·八年级期末）如图，在 中， ，点D是线段BC边上的一
点，连结AD，点E在射线BC上，过E作 交AD于点F．（1）如图1，当D是BC的中点，且 时，若 ，求CE的长；
（2）如图2，当 时，延长EF交AB于点G，取AD的中点H，连结EH，过点A作 ，交
EH的延长线于点M，猜想AM与BG之间的数量关系并证明．
【答案】（1） ；（2） BG=
解：（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ，
∴AC＝BC＝4，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD= BC＝2，
在Rt△ACD中
∴AD＝ ＝ ；
∵ ， ，
∴∠ACD=∠DFE=90°，
∵
∴DC=DF=2，
∵∠ADC=∠EDF
∴△ADC≌△EDF
∴AD=DE=
∴CE=DE-DC= -2（2）过G作GN⊥BC于N，连接AE，
∵AC⊥BE，CD＝CE，
∴AE＝AD，
∴∠EAC＝∠DAC，
∵EF⊥AD，
∴∠EFD＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠DEF，
∴∠CAD＝∠DEF，
∴∠EAC＝∠DEF，
∵∠AGE＝∠B+∠BEG，∠EAG＝∠BAC+∠EAC，∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴AE＝EG，
∴AD＝EG，
∵∠ACD＝∠ENG＝90°，∠CAD＝∠DEF，
∴△ACD≌△ENG（AAS），
∴CD＝GN，
在Rt△BNG中，∠B=45°
∴BG＝ GN＝ CD=
∵
∴∠M=∠DEH
∵H是AD的中点
∴AH=DH,
∵∠AHM=∠DHE
∴△AMH≌△DEH
∴AM=DE∴BG= ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三
角形解决问题．
5．（2021·河北永年·八年级期末）在 中， ， ， 为 上一点，连接 ，
过点 作 上 于点 ．
（1）如图，过点 作 交 的延长线于点 ，求证 ；
（2）如图，若 为 的中点， 交 于点 ，连接 ， 求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， ，直接写出 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：由（1）得： ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：连接 ，如图所示：
∵ ， ， ，∴ ，
由（2）得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在Rt△DEM中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知
识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等相关知识是解题的关键．
6．（2021·辽宁太平·八年级期末）如图， 平分 ．
（1）如图1，求证： // ；
（2）如图2，点F为线段 上一点，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线 上取点G，连接 ，使得 ，当时，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
证明： （1）∵AE平分∠BAC，
（解平分线定义），
，
，
（内错角相等两直线平行），
（2）证明：如图，过F作
（两直线平行同旁内角互补），
由（1）得 ，
又 ，
（同平行于一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
（3）解：设 ，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
即 ，
为 外角，
，
由（1）得 ，
，
，
（一平角 ），，
，
解得 ，
，
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是
解此题的关键.
7．（2021·广东南海·八年级期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，
∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，
， ，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）30°；（3） ，见解析
（1）证明：∵
∴ ，
同理， ，
又∵ ，
∴ ；
（2）如图，
由（1）得， ；
同理， ， ，
∴
∵DE、BE分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图：由（2）得， ， ；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∴ ， ；
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的
关键．
8．（2019·浙江·八年级期末）（1）如图1所示，在 中， 和 的平分线将于点O，则有
，请说明理由．
（2）如图2所示，在 中，内角的平分线 和外角 的平分线交于点O，请直接写出
与 之间的关系，不必说明理由．
（3）如图3所示，AP，BP分别平分 ， ，则有 ，请说明理由．
（4）如图4所示，AP，BP分别平分 ， ，请直接写出 与 ， 之间的关系，不必说
明理由．【答案】(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4)
解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线
∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠OCB+∠OBC=
∴∠BOC=
(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD
∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD
∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD
∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD
∴∠BAC=2∠BOC
(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C
∴∠D-∠P=∠P-∠C
∴
(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线
∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC
设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y
∴∠AGB=∠C+2x
∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y
∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP
∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y
∴x+y=
∴
∴
【点睛】
本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．
9．（2019·江西鹰潭·八年级期末）如图，在 中， 平分 ．
（1）若 为线段 上的一个点，过点 作 交线段 的延长线于点 ．
①若 ， ，则 _______ ；
②猜想 与 、 之间的数量关系，并给出证明．
（2）若 在线段 的延长线上，过点 作 交直线 于点 ，请你直接写出 与 、
的数量关系．
【答案】（1）① ，② ；（2）
（1）①∵ ，
∴
∵AD平分
∴
∴
∵PE⊥AD
∴ ；
②数量关系：
，理由如下：
设
∵AD平分
∴
∵
∴
∴
∴
∵PE⊥AD
∴
∴ ；
（2） ，
如下图：
设
∵AD平分
∴
∵
∴
∴
∴∵PE⊥AD
∴
∴ .
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定理以及角的和差倍分计算，熟练掌握相关角的计算是解
决本题的关键.
10．（2020·辽宁沈河·八年级期末）如图1，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是
射线EA上的一个动点（不包括端点）
（1）若∠CFE＝119°，PG交∠FEB的平分线EG于点G，∠APG＝150°，则∠G的大小为 ．
（2）如图2，连接PF．将△EPF折叠，顶点E落在点Q处．
①若∠PEF＝48°，点Q刚好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP的大小为 ．
②若∠PEF＝75°，∠CFQ＝ ∠PFC，求∠EFP的度数．
【答案】（1）29.5°；（2）①42°或66°；②35°或63°．
（1）∵直线AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE＝119°，∠PEF＝180°﹣∠CFE＝61°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG＝ ∠BEF＝59.5°，
∵∠APG＝150°，
∴∠EPF＝30°，
∴∠G＝180°﹣30°﹣61°﹣59.5°＝29.5°；
故答案为：29.5°；
（2）①Ⅰ、当点Q落在AB上时，易证PF⊥AB，可得∠EPF＝90°，
∴∠EFP＝90°﹣∠PEF＝90°﹣48°＝42°．
Ⅱ、当点Q落在CD上时，∠PQF＝∠PEF＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°，
∴∠EPQ＝132°，
∵∠EPF＝∠QPF，
∴∠EPF＝ ×132°＝66°，
∴∠EFP＝180°﹣48°﹣66°＝66°．
综上所述，满足条件的∠EFP的值为42°或66°，
故答案为：42°或66°．
②Ⅰ、当点Q在平行线AB，CD之间时．设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x，
∵2∠CFQ＝∠CFP，
∴∠PFQ＝∠CFQ＝x，
∴75°+3x＝180°，
∴x＝35°，
∴∠EFP＝35°．
Ⅱ、当点Q在CD下方时，
设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x，
∵2∠CFQ＝∠CFP，
∴∠PFC＝ x，
∴75°+ x+x＝180°，
解得x＝63°，
∴∠EFP＝63°．
【点睛】
本题考查了三角形的角度问题，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
