2022 年武汉市初中毕业生学业考试
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(2022湖北武汉,1,3分)实数2 022的相反数是( )
1 1
A.-2 022 B.- C. D.2 022
2 022 2 022
2.(2022湖北武汉,2,3分)彩民李大叔购买1张彩票,中奖.这个事件是 ( )
A.必然事件 B.确定性事件
C.不可能事件 D.随机事件
3.(2022湖北武汉,3,3分)现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些
也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是 ( )
A B C D
4.(2022湖北武汉,4,3分)计算(2a4)3的结果是 ( )
A.2a12 B.8a12 C.6a7 D.8a7
5.(2022湖北武汉,5,3分)如图是由4个相同的小正方体组成的几何体,它的主
视图是 ( )
A B C D
6
6.(2022湖北武汉,6,3分)已知点A(x,y),B(x,y)在反比例函数y= 的图象上,
1 1 2 2 x
且x<0<x,则下列结论一定正确的是 ( )
1 2
A.y+y<0 B.y+y>0
1 2 1 2
C.y<y D.y>y
1 2 1 2
7.(2022湖北武汉,7,3分)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过
程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线).这个容器
的形状可能是 ( )A B C D
8.(2022湖北武汉,8,3分)班长邀请A,B,C,D四位同学参加圆桌会议.如图,班长
坐在⑤号座位,四位同学随机坐在①②③④四个座位,则A,B两位同学座位相邻
的概率是 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
9.(2022湖北武汉,9,3分)如图,在四边形材料ABCD中,
AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20 cm,BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最
大的圆形模板,则此圆的半径是 ( )
110
A. cm B.8 cm
13
C.6√2 cm D.10 cm
10.(2022湖北武汉,10,3分)幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记
载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一
竖列以及两条对角线上的3个数之和相等,例如图(1)就是一个幻方.图(2)是一
个未完成的幻方,则x与y的和是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(2022湖北武汉,11,3分)计算√(-2) 2的结果是 .
12.(2022湖北武汉,12,3分)某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生
运动鞋,各种尺码运动鞋的销售量如下表.
尺码/cm 2424.52525.526
销售量/双 1 3 10 4 2
则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 .
2x 1
13.(2022湖北武汉,13,3分)计算 - 的结果是 .
x2-9 x-3
14.(2022湖北武汉,14,3分)如图,沿AB方向架桥修路,为加快施工进度,在直线
AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC=150°,BC=1 600 m,∠BCD=105°,则
C,D两点的距离是 m.
15.(2022湖北武汉,15,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,
过A(-1,0),B(m,0)两点,且1<m<2.下列四个结论:
①b>0;
3
②若m= ,则3a+2c<0;
2
③若点M(x,y),N(x,y)在抛物线上,x<x,且x+x>1,则y>y;
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.
其中正确的是 (填写序号).
16.(2022湖北武汉,16,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以
△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB
的垂线CJ,垂足为J,分别交DF,LH于点I,K.若CI=5,CJ=4,则四边形AJKL的面积
是 .
三、解答题(共8小题,共72分){x-2≥-5,①
17.(2022湖北武汉,17,8分)解不等式组 请按下列步骤完成解答.
3x<x+2.②
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集是 .
18.(2022湖北武汉,18,8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°.
(1)求∠BAD的度数;
(2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD=50°.求证:AE∥DC.
19.(2022湖北武汉,19,8分)为庆祝中国共青团成立100周年,某校开展四项活
动:A项参观学习,B项团史宣讲,C项经典诵读,D项文学创作,要求每名学生在
规定时间内必须且只能参加其中一项活动.该校从全体学生中随机抽取部分学生,
调查他们参加活动的意向,将收集的数据整理后,绘制成如下两幅不完整的统计
图.
各项活动意向参加人数的条形统计图
各项活动意向参加人数的扇形统计图
(1)本次调查的样本容量是 ,B项活动所在扇形的圆心角的大小是
,条形统计图中C项活动的人数是 ;
(2)若该校约有2 000名学生,请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数.
20.(2022湖北武汉,20,8分)如图,以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点
C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交☉O于点D,连接BD.
(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论;(2)若AB=10,BE=2√10,求BC的长.
21.(2022湖北武汉,21,8分)如图是由小正方形组成的9×6网格,每个小正方形
的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完
成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图1中,D,E分别是边AB,AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转180°得
到点F,画出点F,再在AC上画点G,使DG∥BC;
(2)在图2中,P是边AB上一点,∠BAC=α.先将AB绕点A逆时针旋转2α,得到线
段AH,画出线段AH,再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称.
图1
图2
22.(2022湖北武汉,22,10分)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动,
黑球在A处开始减速,此时白球在黑球前面70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位:cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动
时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.
运动时间t(s) 0 1 2 3 4
运动速度
10 9.5 9 8.5 8
v(cm/s)
运动距离y(cm) 0 9.751927.7536
小聪探究发现,黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系,运动距离y
与运动时间t之间成二次函数关系.
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量
的取值范围);(2)当黑球减速后运动距离为64 cm时,求它此时的运动速度;
(3)若白球一直以2 cm/s的速度匀速运动,问黑球在运动过程中会不会碰到白球,
请说明理由.
23.(2022湖北武汉,23,10分)问题提出 如图1,在△ABC中,AB=AC,D是AC
AF
的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交AB于点F,探究 的值.
AB
AF
问题探究 (1)先将问题特殊化.如图2,当∠BAC=60°时,直接写出 的值;
AB
(2)再探究一般情形.如图1,证明(1)中的结论仍然成立.
CG
问题拓展 如图3,在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,G是边BC上一点,
BC
1 AF
= (n<2),延长BC至点E,使DE=DG,延长ED交AB于点F.直接写出 的值(用
n AB
含n的式子表示).
图1 图2
图3
24.(2022湖北武汉,24,12分)抛物线y=x2-2x-3交x轴于A,B两点(A在B的左边),C
是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.
(1)直接写出A,B两点的坐标;
(2)如图1,当OP=OA时,在抛物线上存在点D(异于点B),使B,D两点到AC的
距离相等,求出所有满足条件的点D的横坐标;
(3)如图2,直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为
FP
m.求 的值(用含m的式子表示).
OP图1 图22022 年武汉市初中毕业生学业考试
1.A 根据相反数的定义知,2 022的相反数是-2 022.故选A.
2.D 彩民李大叔购买1张彩票可能中奖,也可能不中奖,因此他购买1张彩票中奖,这个事件是
随机事件,故选D.
3.D 将各选项中的汉字分别沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够完全重合的只有“荣”字,
故选D.
4.B (2a4)3=8a12,故选B.
5.A 由前向后观察几何体得到的视图是主视图,故选A.
6
6.C 因为点A(x,y),B(x,y)在反比例函数y= 的图象上,所以xy=xy=6.因为x<0<x,所以
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
x
y<0<y,故选C.
1 2
7.A 在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律:最初h升高的速度较慢,然后h升高的速度
变快,最后h升高的速度更快,由此说明从下到上,容器的底面半径依次减小,符合这种变化的是
选项A中的容器,故选A.
8.C 班长坐在⑤号座位,四位同学随机坐在①②③④四个座位,画树状图如下.
共有24种等可能的结果,A,B两位同学座位相邻有12种情况,所以A,B两位同学座位相邻的概
12 1
率为 = .故选C.
24 2
AE AD
9.B 延长BA,CD交于点E,∵AD∥BC,∠BAD=90°,∴∠B=90°,∴△EAD∽△EBC,∴ =
BE BC
AE 9
,∴ = ,∴AE=12 cm,根据勾股定理得DE=15 cm,CE=40 cm.用此材料截出一个面积
AE+20 24
最大的圆形模板,如图,☉O与AB,BC,CD分别相切于点G、H、F,连接OG,OH,根据切线长定
理得EG=EF,CH=CF,GB=BH.∴GB+EG+BH+CH=2GB+EF+CF=2GB+CE=BE+BC,∴GB=BE+BC-CE
=8 cm.∵GB,BH是☉O的切线,∴∠OGB=∠OHB=90°,∵∠B=90°,∴四边形
2
OGBH是矩形,又∵GB=BH,∴四边形OGBH是正方形,∴OG=GB=8 cm,∴此圆的半径是8 cm,
故选B.
10.D 如图,设幻方空格中的数字分别为a、b、m、n.
∵x+6+20=x+22+m,∴m=4.
∵20+a+m=22+a+y,∴y=2.
∵6+a+b=22+a+y,∴b=18.
∵x+6+20=20+a+m,∴a=x+2.
∵x+a+n=20+y+n,∴x+(x+2)=20+2.
∴x=10,∴x+y=10+2=12.故选D.
解题关键
充分利用“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等”这一条件是解题的
关键.
11.答案 2
解析 =|-2|=2.
√(-2) 2
12.答案 25
解析 尺码为25 cm的运动鞋销售量最多,为10双,所以这20双运动鞋的尺码组成的一组数据
的众数是25.
1
13.答案
x+3
2x 1 2x x+3 x-3 1
解析 原式= - = - = = .
(x+3)(x-3) x-3 (x+3)(x-3) (x+3)(x-3) (x+3)(x-3) x+3
14.答案 800√2
解析 过点C作CE⊥BD,垂足为E.∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=30°,∠BCE=60°,∵BC=1 600 m,∴CE=800 m,∵∠BCD=105°,∴∠DCE=∠BCD-
∠BCE=105°-60°=45°,∴CD=√2CE=800√2 m.15.答案 ①③④
解析 ∵抛物线开口向下,∴a<0.
∵抛物线过A(-1,0),B(m,0)两点,且1<m<2,
b
∴对称轴在y轴右侧,即- >0.
2a
又∵a<0,∴b>0,故①正确.
∵点A(-1,0)在抛物线上,∴a-b+c=0.
3
3 b -1+m -1+ 1
∵m= ,∴- = = 2 = ,
2 2a 2 4
2
∴b=-1a,∴a-( 1 )+c=0,
- a
2 2
整理得3a+2c=0,故②错误.
y-y=a +bx+c-(a +bx+c)
1 2 x2 1 x2 2
1 2
=a( - )+b(x-x)
x2 x2 1 2
1 2
=(x-x)[a(x+x)+b].
1 2 1 2
∵-1,m是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,
b b
∴-1+m=- ,∵1<m<2,∴0<- <1,又∵a<0,∴a+b<0.
a a
∵x+x>1,∴a(x+x)<a,∴a(x+x)+b<a+b<0.
1 2 1 2 1 2
∵x<x,∴x-x<0.∴y-y>0,∴y>y,故③正确.
1 2 1 2 1 2 1 2
b
∵-1+m=- ,∴b=a(1-m).
a
∵a-b+c=0,∴a-a(1-m)+c=0,解得c=-am.
∵a≤-1,∴-a≥1. 又∵1<m<2,∴c>1.
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1有两个交点.
∴当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根,故④正确.
综上,正确的是①③④.
难点突破
本题主要考查二次函数的图象与性质及转化和消元的思想.对于②,要判断3a+2c<0是否正
确,首先求出b与a的数量关系,然后结合a-b+c=0消去b可得出3a+2c=0;对于③,要判断y
1
与y的大小关系,可使用作差法,把y-y与x+x联系起来;对于④,关于x的一元二次方程
2 1 2 1 2
ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根问题,可转化为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1有两个交点
问题.16.答案 80
解析 过点D作DM⊥CI,交CI的延长线于M,过点F作FN⊥CI,垂足为N.
∵四边形ACDE为正方形,∴AC=CD,∠ACD=90°,
∴∠DCI+∠ACJ=90°.
又∵∠AJC=90°,∴∠ACJ+∠CAB=90°,∴∠DCI=∠CAB.
又∵∠AJC=∠DMC=90°,AC=CD,
∴△AJC≌△CMD,∴CJ=DM=4,同理可得FN=CJ=4.
1 1 1 1
∴S =S +S = CI·DM+ CI·FN= ×5×4+ ×5×4=20.
△CDF △CDI △CFI
2 2 2 2
∵AC=CD,BC=CF,∠ACB=∠DCF=90°,
∴△ACB≌△DCF,∴S =S =20.
△ABC △CDF
1
∴ AB·CJ=20,∴AB=10.
2
∵四边形ABHL为正方形,
∴AL=AB=10.
∵∠CAB+∠ACJ=90°,∠BCJ+∠ACJ=90°,∴∠CAB=∠BCJ,又∵∠AJC=∠CJB=90°,
AJ CJ AJ 4
∴△AJC∽△CJB,∴ = ,∴ = ,
CJ JB 4 10-AJ
∴AJ=8或2,∵AC>BC,∴AJ=8.
∴S =AJ·AL=8×10=80.
四边形AJKL
17.解析 (1)x≥-3.
(2)x<1.
(3)如图所示.
(4)-3≤x<1.
18.解析 (1)∵AD∥BC,
∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=80°,
∴∠BAD=100°.
(2)证明:∵AE平分∠BAD,
1
∴∠DAE= ∠BAD=50°.
2
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=50°.
∵∠BCD=50°,∴∠BCD=∠AEB.
∴AE∥DC.
19.解析 (1)80;54°;20.12
详解:样本容量是16÷20%=80;B项活动所在扇形的圆心角的大小是360°× =54°;C项活动的
80
人数是80-32-12-16=20.
32
(2)2 000× =800(人).
80
∴该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800.
20.解析 (1)△BDE为等腰直角三角形.
证明:∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠EBC,
∴∠BED=∠DBE,
∴BD=ED.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∴△BDE是等腰直角三角形.
(2)连接OC、CD、OD,OD交BC于点F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,
∴BD=DC.
又∵OB=OC,
∴OD垂直平分线段BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2√10,
∴BD=2√5.
∵AB=10,∴OB=OD=5.
设OF=t(t>0),则DF=5-t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中,52-t2=(2√5)2-(5-t)2,
解得t=3.
∴OF=3,
∴BF=4,
∴BC=8.
21.解析 (1)如图所示.
取格点F,连接AF,AF∥BC且AF=BC,所以四边形ABCF是平行四边形,连接BF,因为AE=CE,所
以点E为平行四边形ABCF对角线的交点,所以BF与AC的交点是点E,所以BE=EF,所以点F即
为所求的点.连接CF,交网格线于点M,因为四边形ABCF是平行四边形,所以连接DM交AC于一点,该点就
是所求的G点.
(2)如图所示.
取格点D、E,连接DE,AC平行于DE,取格点R,连接BR,并延长BR交DE于点H,连接AH,则此
线段即为所求作的线段.连接PH,交AC于点M,连接BM,并延长BM交AH于点Q,则该点就是点
P关于直线AC的对称点.
理由如下:
取格点W,连接AW、CW,设BR交AC于点K,
∴△AWC≌△RCB,
∴∠WAC=∠CRB,
∵∠WAC+∠ACW=90°,
∴∠CRB+∠ACW =90°,
∴∠RKC=90°,
∴AC⊥BH,
∵DH∥CK,
BK BC
∴ = ,
BH BD
∵点C是BD的中点,
∴点K是BH的中点,即BK=KH,
∴AC垂直平分线段BH,
∴∠BMK=∠HMK,∠PAM=∠QAM,
∴∠BMK=∠AMQ=∠HMK=∠AMP,又∵AM=AM,
∴△AMP≌△AMQ,
∴AP=AQ,∴P,Q两点关于直线AC对称.
解题关键
找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本题的关
键.
1 1
22.解析 (1)v=- t+10,y=- t2+10t.
2 4
详解:∵v与t之间成一次函数关系,∴设v=mt+n.
∵当t=0时,v=10;当t=1时,v=9.5,
{ 1
∴{ 10=n, 解得 m=- ,∴v=-1t+10.
2
9.5=m+n, 2
n=10,∵y与t之间成二次函数关系,∴设y=at2+bt+c.
∵当t=0时,y=0;当t=1时,y=9.75;当t=2时,y=19,
1
{
c=0, { a=- ,
∴ 解得 4 ∴y=-1t2+10t.
a+b+c=9.75,
b=10, 4
4a+2b+c=19,
c=0,
1
(2)依题意,得- t2+10t=64,
4
∴t2-40t+256=0,
解得t=8,t=32.
1 2
当t=8时,v=6;当t=32时,v=-6(舍去).
答:当黑球减速后运动距离为64 cm时,它的运动速度为6 cm/s.
(3)解法一:设黑、白两球的距离为w cm.
1 1
w=70+2t-y= t2-8t+70= (t-16)2+6.
4 4
1
∵ >0,∴当t=16时,w的值最小,为6,
4
∴黑、白两球的最小距离为6 cm,
∴黑球不会碰到白球.
1 1 1
解法二:由解法一知,黑、白两球的距离w= t2-8t+70,令 t2-8t+70=0,得Δ=(-8)2-4×
4 4 4
×70=-6<0,
∴方程无解,∴黑球不会碰到白球.
解法三:如果当黑球的速度减小到2 cm/s时,黑球没有碰到白球,那么黑球速度低于白球速度时
1
就不会碰到白球.令- t+10=2,解得t=16,则当黑球速度为2 cm/s时,其运动时间为16 s,此时
2
1
黑球运动了- ×162+10×16=96 cm,白球运动了16×2=32 cm,黑、白两球的运动距离之差为
4
96-32=64 cm,小于70 cm,故黑球不会碰到白球.
1
23.解析 问题探究 (1) .
4
详解:∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,∵D为AC的中点,
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=30°,
2
∵BD=DE,∴∠CBD=∠E=30°.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=60°-30°=30°.
∵∠ADF=∠CDE=30°,∴∠ADF=∠ABD.
AF AD
又∵∠A=∠A,∴△ADF∽△ABD,∴ = ,
AD AB
AF 1
AB AF 1
∴1 =2 ,∴ = .
AB AB 4
2 AB(2)证法一:取BC的中点H,连接DH.
1
∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.
2
∵AB=AC,∴DH=DC,∴∠DHC=∠DCH.
∵BD=DE,∴∠DBH=∠DEC.
∵∠DHC=∠DBH+∠BDH,∠DCH=∠DEC+∠EDC,
∴∠BDH=∠EDC.
∴△DBH≌△DEC,
EB 3
∴BH=EC.∴ = .
EH 2
∵DH∥AB,∴△EFB∽△EDH.
FB EB 3
∴ = = ,
DH EH 2
FB 3
∴ = ,
AB 4
AF 1
∴ = .
AB 4
证法二:∵BD=DE,∴∠DBE=∠E,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD+∠DBE=∠ABD+∠E=∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠ABD=∠CDE=∠ADF,又∵∠A=∠A,
∴△ADF∽△ABD,
AF AD
∴ = ,∴AD2=AF·AB,
AD AB
1 AF 1
即 AB2=AF·AB,∴ = .
4 AB 4
2-n
问题拓展 .
4
详解:设AB=AC=2a,则AD=CD=a.延长DG和AB的延长线交于点Q,过点D作DP∥AB交BC于
点P.1
∵D为AC的中点,∴BP=PC= BC.
2
∵CG=1,故设CG=k,则BC=nk,则BG=(n-1)k,GP=CG-PC=k-nk=( n)k,
1-
BC n 2 2
∵DP∥AB,D为AC的中点,
1 BQ BG
∴PD= AB=a,△BQG∽△PDG,∴ = ,
2 PD GP
(n-1)k
∴BQ= ,解得BQ=2n-2a,∴AQ=AB+BQ=2a+2n-2a.
( n)
a 1- k 2-n 2-n
2
∵DG=DE,∴∠DGE=∠DEG,
又∵∠BGQ=∠DGE,∴∠BGQ=∠DEG,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ABC=∠Q+∠BGQ,∠ACB=∠DEG+∠CDE,
∴∠Q=∠CDE=∠ADF,∵∠A=∠A,
AF AD
∴△ADF∽△AQD,∴ = ,∴AD2=AF·AQ,
AD AQ
∴a2=AF·( 2n-2 ) ,
2a+ a
2-n
2-n
整理得AF= a,
2
2-n
AF a 2-n
∴ = 2 = .
AB 4
2a
难点突破
首先从特殊情况出发探究AF与AB的关系,然后在一般情况下,用同样的方法解决问题,最
后在问题拓展中,大胆应用前两问的解题方法,利用辅助线进行转化,从而使问题得以解决.24.解析 (1) A(-1,0),B(3,0).
详解:令y=0,则x2-2x-3=0,解得x=-1,x=3,∵点A在点B的左边,∴A(-1,0),B(3,0).
1 2
(2)∵OP=OA=1,∴P(0,1),
∴直线AC的解析式为y=x+1.
①当点D在直线AC的下方时,过点B作AC的平行线与抛物线交于点D,点D即为符合条件的
1 1
点D.
∵B(3,0),BD∥AC,
1
∴直线BD的解析式为y=x-3.
1
联立得{ y=x-3, ∴x2-3x=0,
y=x2-2x-3.
解得x=0,x=3(舍去)﹒
1 2
∴点D的横坐标为0.
1
②当点D在直线AC的上方时,点D(0,-3)关于点P的对称点为G(0,5).过点G作AC的平行线
1
l,则l与抛物线的交点即为符合条件的点D.易得直线l的解析式为y=x+5.
联立得{ y=x+5, ∴x2-3x-8=0,
y=x2-2x-3,
3-√41 3+√41
解得x= ,x= .
1 2
2 2
3-√41 3+√41
∴点D,D的横坐标分别为 , .
2 3
2 2
3-√41 3+√41
综上,满足条件的点D的横坐标为0或 或 .
2 2
(3)设点E的横坐标为n,过点P的直线解析式为y=kx+b,则OP=b.
联立得{ y=kx+b, ∴x2-(2+k)x-3-b=0.
y=x2-2x-3.
设x,x是方程x2-(2+k)x-3-b=0的两根,则xx=-3-b.
1 2 1 2
∴xx=xx=-3-b.
AC BE
∵x=-1,∴x=3+b,∴m=3+b,∴b=m-3.
A C
b b
∵x=3,∴x=-1- ,∴n=-1- .
B E
3 3
设直线CE的解析式为y=px+q,
同理可得mn=-3-q,∴q=-mn-3.
∴q=-(3+b)( b)-3=1b2+2b.
-1-
3 3
1
∴OF= b2+2b.
3
1
∵OP=b,∴FP=OF-OP= b2+b.
3
FP 1 1 1
∴ = b+1= (m-3)+1= m.
OP 3 3 3
易错警示
第(2)问中,注意点D可以在直线AC的下方,也可以在直线AC的上方,不要漏掉
解.
