文档文本内容
专题 2.9 弧长及扇形的面积（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:19)....................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:27)(cid:43)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:19)............................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:27)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:19)....................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:44)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:19)......................................................................................................................10
知识点1 弧长公式
(cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:57)R(cid:34)(cid:29)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:57)360°(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:65)(cid:25) =2 (cid:59)(cid:61)(cid:66)1°(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:59)
𝟐𝝅𝑹
𝐶 𝜋𝑅 𝟑𝟔𝟎
(cid:67) (cid:59)(cid:68)(cid:64) °(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:57) = = (cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:57)l(cid:34)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:57) = (cid:28)(cid:69)
𝝅𝑹 𝒏 𝒏𝝅𝑹 𝟏𝟖𝟎𝒍
𝟏𝟖𝟎 𝑛 𝒍 𝟑𝟔𝟎⋅𝟐𝝅𝑹 𝟏𝟖𝟎 𝒏 𝝅𝑹
知识点2 扇形的面积公式
1. (cid:40)(cid:35)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:56)(cid:39)(cid:75)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:34)(cid:44)(cid:35)(cid:77)(cid:78)(cid:40)(cid:35)(cid:69)
2. (cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:10)(cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:57)R(cid:34)(cid:29)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:57)360°(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:41)(cid:42) = (cid:59)(cid:61)(cid:66)(cid:29)
2
𝑆 𝜋𝑅
(cid:30)(cid:31)(cid:64)1°(cid:34)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:64) (cid:59)(cid:68)(cid:64)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:57) °(cid:34)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:64) = (cid:59)(cid:79)(cid:80)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42) =
𝟐 扇形 𝟐 扇形
𝝅𝑹 𝒏𝝅𝑹
𝟑𝟔𝟎 𝑛 𝑆 𝟑𝟔𝟎 𝑆
(cid:59)(cid:83)(cid:58)l(cid:57)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:69)
𝟏
𝟐𝒍𝑹【题型1 利用弧长公式求弧长】
(cid:15)(cid:84)1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:86)(cid:87)·(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:20)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:92)(cid:93) (cid:94)(cid:49)(cid:29)(cid:30) (cid:59)(cid:95) (cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:59) (cid:57) (cid:34)(cid:96)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59)
= =30°(cid:69) 𝐴𝐵 𝑂 ⊙𝑂 𝐴 𝐶 𝐴𝐷 ⊙𝑂 𝐵𝐷
∠𝐴 ∠𝐵
(1)(cid:27)(cid:99)(cid:10)(cid:100)(cid:92) (cid:64) (cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:102)
(2)(cid:103)(cid:104) =2𝐵(cid:59)𝐷(cid:27) ⊙(cid:34)𝑂(cid:25)(cid:85)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108) (cid:90)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:26)𝐵1-𝐶1(cid:19)(cid:85)2025𝐷·(cid:110)𝐶 (cid:111)(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)π(cid:90)(cid:111)(cid:118)“(cid:50)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:122)”(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:14)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:34)(cid:134)(cid:135)(cid:59)(cid:136)(cid:137)(cid:138)
(cid:139)(cid:131)(cid:8)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:34)(cid:143)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:85)(cid:91)(cid:44)①(cid:90)(cid:59)(cid:44)②(cid:64)(cid:150)(cid:151)(cid:41)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:50)(cid:119)(cid:120)(cid:34)(cid:35)(cid:155)(cid:82)(cid:156)(cid:44)(cid:85)(cid:157)(cid:29)(cid:30)(cid:57)
O(cid:90)(cid:69)(cid:103)(cid:104)(cid:50)(cid:119)(cid:120)(cid:34)(cid:158)(cid:159) (cid:59) (cid:160)(cid:161)(cid:162) (cid:163)(cid:101)(cid:68)(cid:33)A(cid:59)B(cid:69)(cid:164)(cid:154)(cid:29)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:64)3cm(cid:59) =60°(cid:59)(cid:52) (cid:34)(cid:25)
(cid:64)(cid:85) (cid:90) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 ∠𝑃 𝐴𝑀𝐵
A(cid:69)6 B(cid:69)4 C(cid:69)3 D(cid:69)2
(cid:15)(cid:109)(cid:26)1π-2c(cid:19)m(cid:85)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)π(cid:168)cm·(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)·(cid:173)(cid:174)(cid:90)(cid:91)(cid:44)πc(cid:59)m(cid:55)(cid:175)(cid:41)(cid:100)(cid:31)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:58)πc(cid:59)m(cid:103)(cid:104)(cid:33) (cid:59) (cid:59)
(cid:59)(cid:179)(cid:33)B(cid:59)C(cid:55) (cid:168)(cid:69)(cid:164) =22.5°(cid:59)(cid:52) (cid:34)(cid:25)(cid:57) (cid:69) 𝐴(−4,0) 𝐵(0,2)
𝐷(4,0) 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:109)(cid:26)1-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:169)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:183)·(cid:184)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:64)(cid:70)(cid:8)(cid:140)(cid:158)(cid:25)(cid:57)2(cid:34)(cid:151)(cid:184)(cid:31)(cid:35)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:185)(cid:186)(cid:59)B(cid:187)C(cid:187)D(cid:188)(cid:57)(cid:189)
(cid:33)(cid:59)(cid:52) (cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:85) (cid:90)
𝐵𝐶𝐷2 7 7 7 14
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
3 2 2 3
π π π π
【题型2 利用弧长公式求长度】
(cid:15)(cid:84)2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:193)·(cid:194)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59) (cid:101) (cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:96) (cid:59)(cid:164) =30°(cid:59)(cid:195)(cid:24) (cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:57) (cid:59)
3
𝜋
(cid:52)(cid:92)(cid:93) (cid:34)(cid:25)(cid:57)( ) 𝑃𝑀 ⊙𝑂 𝑃 𝑃𝑄∥𝑂𝑀 ∠𝑂𝑀𝑃 𝑃𝑄
𝑂𝑀
A(cid:69)1 B(cid:69)2 C(cid:69)3 D(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:26)2-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:118)(cid:196)(cid:197)(cid:198)·(cid:199)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)1(cid:59)(cid:200)(cid:64)(cid:58)(cid:127)(cid:201)(cid:191)(cid:202)(cid:58)(cid:34)(cid:151)(cid:203)(cid:158)π(cid:35)(cid:204)(cid:205)(cid:157)(cid:53)(cid:44)(cid:59)(cid:44)2(cid:64)(cid:70)(cid:83)(cid:206)(cid:207)(cid:208)
2
(cid:72)(cid:34)(cid:151)(cid:203)(cid:158)(cid:35) (cid:59) (cid:64)(cid:209)(cid:34)(cid:210)(cid:98)(cid:29)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59)(cid:211) (cid:69)(cid:164)(cid:195)(cid:24) (cid:34)(cid:25)(cid:57) (cid:59)(cid:52) = (cid:69)
3
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐺⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝜋 𝑂𝐺
(cid:15)(cid:109)(cid:26)2-2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:212)(cid:111)(cid:213)(cid:172)·(cid:199)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:57)(cid:214)(cid:215)(cid:137)(cid:173)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:26)(cid:221)(cid:199)(cid:34)(cid:182)(cid:41)(cid:220)(cid:59)(cid:91)(cid:44)2(cid:182)(cid:41)(cid:220)(cid:80)(cid:66)(cid:222)(cid:223)
2 11
(cid:224)(cid:152)(cid:211)(cid:40)(cid:225)(cid:59)(cid:83)(cid:58) (cid:25)(cid:28)(cid:57) (cid:226)(cid:59) (cid:25)(cid:28)(cid:57) (cid:226)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31) =60°(cid:59)(cid:52)(cid:220)(cid:25) (cid:57) (cid:226)(cid:69)
5 15
𝐴𝐷 𝜋 𝐵𝐶 𝜋 ∠𝐴𝑂𝐷 𝐴𝐵(cid:15)(cid:109)(cid:26)2-3(cid:19)(cid:85)24-25(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)·(cid:170)(cid:227)(cid:228)(cid:113)·(cid:173)(cid:58)(cid:90)(cid:44)1(cid:64)(cid:199)(cid:229)(cid:224)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:34)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:69)(cid:91)(cid:44)2(cid:59)(cid:209)(cid:34)(cid:234)(cid:235)(cid:238)(cid:239)
(cid:137)(cid:59)(cid:234)(cid:235)(cid:158)(cid:159)(cid:34)(cid:240)(cid:33) (cid:162) (cid:221)(cid:241)(cid:34)(cid:242)(cid:243)(cid:57)10cm(cid:59)(cid:234)(cid:235)(cid:34)(cid:24) (cid:162)(cid:24) (cid:34)(cid:25)(cid:244)(cid:57)12 (cid:59)(cid:179)(cid:162)(cid:236)(cid:237)(cid:245)(cid:246)(cid:41)(cid:247)(cid:31)
=
=30°𝐴
(cid:69)(cid:248)
𝐵
(cid:234)(cid:235)(cid:249)(cid:250)(cid:137)(cid:59)(cid:80)(cid:66)(cid:251)(cid:49)(cid:236)(cid:237)(cid:34)(cid:252)
𝐴
(cid:253)
𝑃
(cid:34)(cid:254)
𝐵
(cid:132)
𝑄
(cid:255)(cid:28)(cid:57)(cid:85) (cid:90)
π
∠𝑃𝐶𝐴 ∠𝐵𝐷𝑄
A(cid:69)72cm B(cid:69)(72 3+10)cm C(cid:69)(72 2+10)cm D(cid:69)82cm
【题型3 利用弧长公式求圆心角】
(cid:15)(cid:84)3(cid:19)(cid:121)(cid:214)(cid:256)(cid:257)(cid:257)(cid:258)(cid:42)(cid:259)(cid:34)(cid:137)(cid:260)(cid:59)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:55)(cid:136)(cid:199)(cid:264)(cid:175)(cid:41)(cid:168)(cid:34)(cid:73)(cid:229)(cid:42)(cid:259)(cid:34)(cid:265)(cid:266)(cid:41)(cid:160)(cid:161)(cid:64)(cid:66) =20 (cid:57)(cid:100)
(cid:39)(cid:34)(cid:56)(cid:29) (cid:75)(cid:158)(cid:25)(cid:57)4 (cid:34)(cid:151)(cid:267)(cid:35) (cid:59) (cid:59) (cid:160)(cid:161)(cid:57)(cid:56)(cid:29) (cid:168)(cid:34)(cid:33)(cid:59)(cid:91)(cid:44)1(cid:61)(cid:82)(cid:59)(cid:268)(cid:137)(cid:56)𝑀(cid:29)𝑁(cid:162)(cid:264)(cid:175) cm(cid:41)(cid:269)(cid:270)
(cid:101)(cid:68)(cid:33) (cid:59)𝑂 =12 c(cid:59)m(cid:271)(cid:25) (cid:162)𝐴(cid:56)𝐵𝐶(cid:29)𝐷 (cid:160)𝑃(cid:161)(cid:95)𝑄(cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:69)𝑂(cid:272)(cid:56)(cid:29) (cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:37)(cid:277)(cid:37)(cid:59)(cid:278)(cid:33)𝑂(cid:279)(cid:55)(cid:56)(cid:29) (cid:168)(cid:59)
(cid:268)(cid:137)(cid:56)𝑃(cid:29) 𝐴(cid:162)𝑃(cid:264)(cid:175)(cid:41) c(cid:269)m(cid:270)(cid:101)(cid:68)(cid:33)𝐶𝐷 (cid:59)(cid:91)(cid:44)𝑂2(cid:61)(cid:82)(cid:69) 𝐸 𝐹 𝑂 𝐷 𝑂
𝑂 𝑄
(1)(cid:55)(cid:44)1(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:96) (cid:34)(cid:25)(cid:102)
(2)(cid:55)(cid:44)2(cid:58)(cid:59)(cid:27) 𝐸(cid:61)𝐹(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:280)(cid:102)(cid:85)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108) (cid:90)
𝑃𝑄 6 π
(cid:15)(cid:109)(cid:26)3-1(cid:19)(cid:199)(cid:229)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:64) cm(cid:59)(cid:56)(cid:39)(cid:64)6cm(cid:59)(cid:52)(cid:268)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:64) (cid:28)(cid:69)
5
(cid:15)(cid:109)(cid:26)3-2(cid:19)(cid:199)(cid:229)(cid:276)(cid:281)(cid:250)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:91)𝜋(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:59)(cid:276)(cid:281)(cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:64)8cm(cid:59)(cid:248)(cid:282)(cid:252)(cid:168)(cid:285)2 (cid:137)(cid:59)(cid:276)(cid:281)(cid:34)(cid:199)(cid:74)(cid:56)(cid:39) (cid:286)
(cid:287)(cid:30)O(cid:288)(cid:289)(cid:137)(cid:290)(cid:267)(cid:273)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:57)(cid:85) (cid:90) π cm 𝑂𝐴A(cid:69)60° B(cid:69)90° C(cid:69)120° D(cid:69)180°
(cid:15)(cid:109)(cid:26)3-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:291)(cid:292)(cid:72)(cid:244)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:90)“(cid:281)(cid:37)(cid:261)(cid:293)(cid:294)”(cid:55)(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:127)(cid:137)(cid:173)(cid:298)(cid:212)(cid:299)(cid:300)(cid:23)(cid:59)(cid:114)(cid:21)(cid:301)(cid:37)(cid:302)(cid:160)(cid:91)(cid:44)(cid:61)
(cid:82)(cid:59)(cid:83)(cid:58) (cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:160)(cid:161)(cid:64)1cm(cid:75)8cm(cid:59)(cid:248) (cid:303)(cid:137)(cid:290)(cid:46)(cid:37)3(cid:65)(cid:137)(cid:59) (cid:168)(cid:34)(cid:33)P(cid:304)(cid:221)(cid:45)(cid:46) (cid:59)(cid:52)
= ⊙(cid:69)𝑀,⊙𝑁 ⊙𝑀 ⊙𝑁 𝑛°
𝑛
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】
(cid:15)(cid:84)4(cid:19)(cid:85)2025·(cid:169)(cid:170)(cid:305)(cid:264)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:90)(cid:91)(cid:306)(cid:44)(cid:59)(cid:307)(cid:158) (cid:34)(cid:158)(cid:25)(cid:57)2(cid:59) (cid:55)(cid:100)(cid:92)l(cid:168)(cid:286)(cid:83)(cid:274)(cid:306)(cid:31)(cid:34)(cid:189)
(cid:33)C(cid:303)(cid:137)(cid:290)(cid:45)(cid:46)120°(cid:308)(cid:44)①(cid:309)(cid:284)(cid:59)(cid:123)(cid:286)(cid:274)(cid:306)(cid:31)(cid:34)(cid:189)△(cid:33)(cid:310)𝐴𝐵(cid:311)𝐶(cid:303)(cid:137)(cid:290)(cid:45)(cid:46)12△0°𝐴(cid:308)𝐵(cid:44)𝐶②(cid:309)(cid:284)(cid:59)…(cid:59)(cid:66)(cid:268)(cid:312)(cid:313)(cid:59)(cid:200)
(cid:314)(cid:97)(cid:311)(cid:45)(cid:46)9(cid:124)(cid:47)(cid:59)(cid:189)(cid:33)A(cid:55)(cid:315)(cid:229)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:316)(cid:58)(cid:61)(cid:94)(cid:49)(cid:34)(cid:38)(cid:316)(cid:221)(cid:75)(cid:64) (cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:26)4-1(cid:19)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:272)(cid:307)(cid:158) ABC(cid:34)(cid:158)AC(cid:317)(cid:318)(cid:109)(cid:72)(cid:66)B(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:187)BA(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:34) (cid:59)(cid:25)(cid:28)(cid:50)(cid:109)(cid:59)AB(cid:187)BC(cid:34)(cid:25)
(cid:28)(cid:319)(cid:50)(cid:109)(cid:59)(cid:52) ABC(cid:34)(cid:28)(cid:280)(cid:132)△(cid:121)(cid:70)60°(cid:109)(cid:57)(cid:85) (cid:90) 𝐴𝐶
∠
60 90 120 180
A(cid:69)(cid:85) (cid:90)° B(cid:69)(cid:85) (cid:90)° C(cid:69)(cid:85) (cid:90)° D(cid:69)(cid:85) (cid:90)°
(cid:15)(cid:109)(cid:26)4-2𝜋
(cid:19)(cid:85)2025·(cid:320)(cid:172)(cid:321)(cid:322)
𝜋
·(cid:199)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)①(cid:59)(cid:64)(cid:199)(cid:323)
𝜋
(cid:41)(cid:57)(cid:151)(cid:267)(cid:35)(cid:34)(cid:293)(cid:324)(cid:59)(cid:83)
𝜋
(cid:323)(cid:41)(cid:158)(cid:25)(cid:57)30cm(cid:59)(cid:44)②(cid:64)(cid:83)
(cid:323)(cid:41)(cid:82)(cid:156)(cid:44)(cid:59)(cid:325)(cid:128)(cid:55)(cid:326)(cid:142)(cid:276)(cid:37)(cid:34)(cid:327)(cid:328)(cid:306)(cid:59)(cid:272)(cid:293)(cid:324)(cid:286)(cid:329)(cid:33) (cid:55)(cid:224)(cid:41)(cid:303)(cid:137)(cid:290)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:248)(cid:45)(cid:46)60°(cid:137)(cid:59)(cid:33) (cid:55)(cid:224)(cid:41)(cid:330)(cid:331)
𝐴 𝐶(cid:34)(cid:332)(cid:333)(cid:25)(cid:57)(cid:85) (cid:90)
A(cid:69) cm B(cid:69)10 2 cm C(cid:69)10 3 cm D(cid:69) cm
(cid:15)(cid:109)(cid:26)140-3𝜋(cid:19)(cid:85)2025·(cid:118)(cid:196)(cid:334)(cid:172)·(cid:199)𝜋(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:158)(cid:25)(cid:57)2 3c𝜋m(cid:34)(cid:151)(cid:203)(cid:158)(cid:35)(cid:335)(cid:336)20(cid:59)𝜋(cid:58)(cid:30)(cid:57)(cid:33) (cid:59) (cid:337)(cid:100)(cid:175)(cid:160)(cid:158) (cid:59)
(cid:337)(cid:338)(cid:57)B(cid:59) =17cm(cid:59)(cid:23)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:37)(cid:335)(cid:336)(cid:45)(cid:46)90°(cid:59)(cid:52)(cid:33)A(cid:55)(cid:154)(cid:49)(cid:316)(cid:58)(cid:61)(cid:94)(cid:49)(cid:34)(cid:38)(cid:39)(cid:25)𝑂(cid:57)𝑂(cid:85)𝐴 (cid:90) 𝐶𝐷
𝐴𝐵
A(cid:69)(17+ 3) B(cid:69)(17+2 3) C(cid:69)10 D(cid:69)20
πcm πcm πcm πcm
【题型5 利用扇形面积公式求面积】
(cid:15)(cid:84)5(cid:19)(cid:85)2025·(cid:342)(cid:180)(cid:343)(cid:344)·(cid:194)(cid:114)(cid:90)(cid:44)1(cid:57)(cid:128)(cid:345)(cid:251)(cid:346)(cid:40)(cid:35)(cid:236)(cid:193)(cid:59)(cid:44)2(cid:57)(cid:83)(cid:168)(cid:56)(cid:302)(cid:160)(cid:34)(cid:175)(cid:41)(cid:82)(cid:156)(cid:44)(cid:69)(cid:236)(cid:193)(cid:3)(cid:347)(cid:155)
(cid:348)(cid:137)(cid:59)(cid:40)(cid:35) (cid:162)(cid:40)(cid:35) (cid:163)(cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:179)(cid:73)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:160)(cid:161)(cid:64)(cid:349)(cid:35) (cid:34)(cid:73)(cid:62)(cid:158) (cid:75) (cid:69)(cid:103)(cid:104)
=60cm𝐴(cid:59)𝑀(cid:29)𝐶(cid:30)(cid:31) 𝐵𝑁𝐶= 𝐶=30°(cid:59)(cid:52)(cid:40)(cid:35) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:307)(cid:68)𝐴 𝑀 𝑁 𝐵 cm (cid:69)𝐴(cid:85)𝑀(cid:105)(cid:106)𝐵𝑁(cid:107)(cid:108) (cid:90)
2
𝑀𝑁 ∠𝐴𝑀𝐶 ∠𝐵𝑁𝐶 𝐴𝑀𝐶 𝜋
(cid:15)(cid:109)(cid:26)5-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:350)(cid:351)(cid:352)(cid:353)·(cid:184)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59) (cid:57) (cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:59) (cid:34)(cid:101)(cid:92) (cid:95) (cid:34)(cid:271)(cid:25)(cid:92)(cid:68)(cid:33)E(cid:59)(cid:33)D
(cid:55) (cid:168)(cid:59) = (cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59) (cid:69) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐶𝐸 𝐵𝐴
𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷(1)(cid:91)(cid:44)1(cid:59)(cid:27)(cid:99)(cid:10) = (cid:102)
(2)(cid:91)(cid:44)2(cid:59)(cid:164) ∠𝐶=𝐸𝐴 ∠𝐶(cid:59)𝐴𝐷 =5 2(cid:59)(cid:27)(cid:40)(cid:35) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:26)5-2(cid:19)(cid:85)∠𝐶20𝐸2𝐵5·(cid:291)2(cid:292)∠(cid:180)𝐶𝐵(cid:354)𝐸·(cid:184)𝑂(cid:114)𝐸(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:151)(cid:355)(cid:158)(cid:35)𝐵𝑂(cid:75)𝐷(cid:151)(cid:203)(cid:158)(cid:35)(cid:142)(cid:7)(cid:356)(cid:158) =5cm(cid:69)(cid:66)(cid:33) (cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59) (cid:57)
(cid:56)(cid:39)(cid:357)(cid:29)(cid:69)(cid:52)(cid:40)(cid:35) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:69) 𝐴𝐵 𝐴 𝐴𝐵
𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:109)(cid:26)5-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:169)(cid:180)(cid:358)(cid:113)·(cid:184)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:29)O(cid:64)(cid:307)(cid:158)(cid:184)(cid:31)(cid:35) (cid:34)(cid:210)(cid:98)(cid:29)(cid:59)(cid:33)D(cid:64)(cid:24) (cid:34)(cid:58)(cid:33)(cid:59)(cid:97)(cid:98)
𝐴𝐵𝐶 16 𝐵𝐶
(cid:187) (cid:69)(cid:66)(cid:33)D(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59) (cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:55)(cid:29)O(cid:359)(cid:357)(cid:24)(cid:59)(cid:360)(cid:361)(cid:302)(cid:160)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:59)(cid:52)(cid:307)(cid:158)(cid:184)(cid:31)(cid:35) (cid:34)(cid:158)(cid:25)
3
π
𝐵(cid:57)𝐷(cid:85) 𝐶 𝐷(cid:90) 𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)4 B(cid:69)4 2 C(cid:69)4 3 D(cid:69)2
【题型6 求弓形面积】
(cid:15)(cid:84)6(cid:19)(cid:85)2025·(cid:362)(cid:16)(cid:180)(cid:251)·(cid:194)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:349)(cid:35) (cid:58)(cid:59) =4 2(cid:59) =2(cid:59)(cid:66) (cid:57)(cid:100)(cid:39)(cid:211)(cid:56)(cid:29) (cid:59)(cid:52)(cid:44)(cid:58)
(cid:360)(cid:361)(cid:302)(cid:160)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:64)(cid:85) (cid:90) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑂
4 8 2 4
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
3 3 3 3
4𝜋−8 2𝜋−4 𝜋− 𝜋−(cid:15)(cid:109)(cid:26)6-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:363)(cid:364)(cid:58)(cid:365)·(cid:184)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:160)(cid:161)(cid:66)(cid:307)(cid:158)(cid:184)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:184)(cid:229)(cid:189)(cid:33)(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:66)(cid:184)(cid:31)(cid:35)(cid:158)(cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:357)
(cid:24)(cid:59)(cid:366)(cid:153)(cid:34)(cid:367)(cid:347)(cid:44)(cid:35)(cid:64)“(cid:368)(cid:358)(cid:184)(cid:31)(cid:35)”(cid:59)(cid:164)(cid:307)(cid:158)(cid:184)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:158)(cid:25) =2(cid:59)(cid:52)“(cid:368)(cid:358)(cid:184)(cid:31)(cid:35)”(cid:162)(cid:307)(cid:158) (cid:76)(cid:72)(cid:360)
(cid:361)(cid:302)(cid:160)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:307)(cid:68) (cid:85)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108) (cid:90)(cid:69) 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐶
π
(cid:15)(cid:109)(cid:26)6-2(cid:19)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:21)(cid:373)(cid:374)(cid:73)(cid:158)(cid:375)(cid:239)(cid:47)(cid:72)(cid:29)(cid:35)(cid:374)(cid:41)(cid:85)(cid:91)(cid:44)①(cid:90)(cid:59)(cid:373)(cid:374)(cid:73)(cid:158) (cid:75) (cid:175)(cid:345)(cid:179)(cid:163)(cid:307)(cid:85)(cid:91)(cid:44)
②(cid:90)(cid:59)(cid:121)(cid:376)(cid:23)(cid:377)(cid:378)(cid:379)(cid:331) =1(cid:226)(cid:59) =0.5(cid:226)(cid:59)(cid:52)(cid:360)(cid:361)(cid:302)(cid:160)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:85) (cid:90)𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐵𝐷 𝐵𝐶
3 3 3 3
A(cid:69) (cid:175)(cid:267)(cid:226) B(cid:69) (cid:175)(cid:267)(cid:226) C(cid:69) (cid:175)(cid:267)(cid:226) D(cid:69) (cid:175)
12 8 6 8 12 4 6 4
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
(cid:267)(cid:226) − − − −
(cid:15)(cid:109)(cid:26)6-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:380)(cid:363)(cid:230)(cid:381)·(cid:194)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:307)(cid:382)(cid:184)(cid:31)(cid:35) (cid:58)(cid:59) = (cid:59) = (cid:59) (cid:68)(cid:33) (cid:59)
(cid:64) (cid:34)(cid:210)(cid:98)(cid:29)(cid:59)(cid:95) (cid:34)(cid:271)(cid:25)(cid:92)(cid:68)(cid:33) (cid:69) 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸 ⊙𝑂
△𝐴𝐵𝐷 𝐶𝐴 𝐹
(1)(cid:383)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:214) (cid:162) (cid:34)(cid:309)(cid:284)(cid:3)(cid:178)(cid:102)
(2)(cid:248) =30°𝐷(cid:59)𝐸 ⊙=1𝑂(cid:137)(cid:59)(cid:27)(cid:24) (cid:162)(cid:96) (cid:61)(cid:76)(cid:72)(cid:34)(cid:43)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:85)(cid:360)(cid:361)(cid:302)(cid:160)(cid:90)(cid:69)
【题型
∠𝐵7
求图形
𝐴
旋
𝐸
转后扫过的面
𝐴
积
𝐹
】
𝐴𝐹
(cid:15)(cid:84)7(cid:19)(cid:85)2025·(cid:291)(cid:292)(cid:387)(cid:172)·(cid:194)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:175)(cid:41)(cid:100)(cid:31)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:58)(cid:59) (cid:34)(cid:189)(cid:33)(cid:176)(cid:177)(cid:160)(cid:161)(cid:64) (0,4)(cid:59) (0,2)(cid:59) (3,2)(cid:69)
Δ𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶(1)(cid:272) (cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:30)(cid:45)(cid:46)270°(cid:59)(cid:357)(cid:331)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:62)(cid:300)(cid:34) (cid:102)(cid:385)(cid:27)(cid:331) (cid:158)(cid:45)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
(2)(cid:272)Δ𝐴𝐵𝐶(cid:175)𝑂(cid:388)(cid:47)(cid:366)(cid:153) (cid:59)(cid:164)(cid:33) (cid:34)(cid:62)(cid:300)(cid:33)
(cid:34)(cid:176)(cid:177)Δ𝐴(cid:57)1𝐵(21𝐶,21)(cid:59)(cid:27)
𝐴𝐶 (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:26)Δ𝐴7𝐵-𝐶1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:362)Δ(cid:16)𝐴(cid:97)2𝐵(cid:389)2𝐶(cid:390)2 ·(cid:199)(cid:114)(cid:90)𝐴(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:307)𝐴2(cid:382)(cid:100)(cid:31)(cid:184)(cid:31)(cid:35) (cid:58)Δ(cid:59)𝐴1(cid:100)𝐶1(cid:31)𝐶2(cid:158)(cid:25)(cid:64)2(cid:59)(cid:164)(cid:272)(cid:268)(cid:184)(cid:31)(cid:35)(cid:286)(cid:100)
(cid:31)(cid:189)(cid:33)C(cid:303)(cid:137)(cid:290)(cid:45)(cid:46)90°(cid:59)(cid:391)(cid:392)(cid:393)(cid:158) (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:85) (cid:90) 𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵
3
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69)2 D(cid:69)2
2
(cid:15)(cid:109)(cid:26)7π-2(cid:19)(cid:85)24-25(cid:394)(cid:166)(cid:167)π(cid:306)−·2(cid:362)(cid:16)(cid:275)(cid:395)·(cid:173)(cid:58)(cid:90)(cid:248)(cid:396)π(cid:294)(cid:55)(cid:397)(cid:398)(cid:345)(cid:399)(cid:137)(cid:59)(cid:57)(cid:131)π−(cid:152)2(cid:215)(cid:346)(cid:38)(cid:59)(cid:400)(cid:237)(cid:219)(cid:401)(cid:37)(cid:402)(cid:267)(cid:403)(cid:134)
(cid:404)(cid:405)(cid:168)(cid:34)(cid:397)(cid:406)(cid:407)(cid:69)(cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:64)(cid:32)(cid:396)(cid:294)(cid:34)(cid:199)(cid:229)(cid:397)(cid:406)(cid:407)(cid:82)(cid:156)(cid:44)(cid:59)(cid:397)(cid:406)(cid:407)(cid:408) (cid:162)(cid:397)(cid:406) (cid:55) (cid:409)(cid:410)(cid:411)(cid:97)(cid:98)(cid:85)(cid:50)(cid:412)(cid:46)
(cid:37)(cid:90)(cid:59)(cid:164)(cid:117)(cid:366) =80cm(cid:59) =20cm(cid:59)(cid:248)(cid:408) (cid:286)(cid:33) (cid:46)(cid:37)90°(cid:137)(cid:59)(cid:397)𝑂𝑀(cid:406) (cid:48)(cid:49)𝐴(cid:34)𝐵 (cid:41)𝑀(cid:42)(cid:64)(cid:85) (cid:90)
𝐴𝑂 𝐵𝑂 𝑂𝑀 𝑂 𝐴𝐵
A(cid:69)1600 B(cid:69)1500 C(cid:69)900 D(cid:69)800
2 2 2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:26)7-3(cid:19)(cid:85)πc2m025·(cid:350)(cid:351)(cid:351)(cid:413)·(cid:114)π(cid:115)cm(cid:116)(cid:117)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)Rt πcm (cid:58)(cid:59) =90°(cid:59)πcm =30°(cid:59) =2(cid:69)Rt
(cid:80)(cid:66)(cid:286)(cid:33)A(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:57)60°(cid:59)(cid:97)(cid:311)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:124)△(cid:59)𝐴(cid:160)𝐵(cid:161)𝐶(cid:366)(cid:153)∠R𝐴t𝐵𝐶 (cid:75)∠R𝐵t𝐴𝐶 (cid:59)𝐴(cid:52)𝐶 (cid:44)(cid:58)(cid:360)(cid:361)△(cid:302)𝐴(cid:160)𝐵𝐶
(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:69) △𝐴𝐵1𝐶1 △𝐴𝐵2𝐶2【题型8 不规则图形的面积计算】
(cid:15)(cid:84)8(cid:19)(cid:85)2025·(cid:342)(cid:170)(cid:414)(cid:113)·(cid:199)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59) (cid:64) (cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:59)C(cid:59)E(cid:64) (cid:168)(cid:73)(cid:33)(cid:59) (cid:175)(cid:160) (cid:59) (cid:95)
(cid:34)(cid:271)(cid:25)(cid:92)(cid:68)(cid:33)D(cid:69) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐸 𝐶𝐷⊥𝐴𝐸
𝐴𝐸
(1)(cid:27)(cid:99)(cid:10) (cid:64) (cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:102)
(2)(cid:164) =𝐶𝐷 =⊙2(cid:59)𝑂(cid:27)(cid:44)(cid:58)(cid:360)(cid:361)(cid:302)(cid:160)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:26)𝐴𝐸8-1(cid:19)𝐵𝐶(cid:85)2025·(cid:350)(cid:351)(cid:86)(cid:415)·(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:20)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:40)(cid:35) (cid:58)(cid:59) =30°(cid:59) =2 3(cid:59)(cid:33) (cid:55) (cid:168)(cid:59)(cid:179)
= (cid:69)(cid:271)(cid:25) (cid:153) (cid:59)(cid:278) = (cid:69)(cid:66) (cid:59) (cid:57)(cid:416)(cid:158)𝐴(cid:211)𝑂(cid:175)𝐵(cid:345)(cid:291)∠(cid:158)𝐴(cid:35)𝑂𝐵 (cid:59)(cid:52)𝑂(cid:44)𝐴(cid:58)(cid:360)(cid:361)(cid:302)(cid:160)𝐶(cid:34)(cid:41)𝑂(cid:42)𝐵(cid:57)
𝑂(cid:85)𝐶(cid:105)(cid:106)𝐴(cid:107)𝐶(cid:108) (cid:90)(cid:69)𝐶𝐵 𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐶𝐷𝐸
𝜋
(cid:15)(cid:109)(cid:26)8-2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:169)(cid:180)(cid:180)(cid:113)·(cid:184)(cid:114)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)Rt (cid:58)(cid:59) =90°(cid:59) = (cid:59)(cid:33) (cid:55)(cid:158) (cid:168)(cid:59) =2
2(cid:59)(cid:66) (cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59) (cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:211)(cid:56)(cid:29)(cid:59)(cid:269)(cid:270)(cid:162) △(cid:163)𝐴(cid:101)𝐵(cid:68)𝐶(cid:33) (cid:59)∠𝐶(cid:95) (cid:68)(cid:33)𝐴𝐶(cid:59)(cid:52)𝐵(cid:360)𝐶(cid:361)(cid:302)(cid:160)𝑂 (cid:34) 𝐴 𝐵 (cid:69)𝑂𝐴
𝑂 𝑂𝐴 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐸
(cid:15)(cid:109)(cid:26)8-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:291)(cid:292)(cid:417)(cid:113)·(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:20)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:151)(cid:203)(cid:158)(cid:35) (cid:58)(cid:59) =2(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59)(cid:66)(cid:33)D(cid:57)
(cid:29)(cid:30)(cid:187) (cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:211)(cid:29)(cid:24) (cid:59)(cid:52)(cid:44)(cid:58)(cid:360)(cid:361)(cid:302)(cid:160)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:64) 𝐴 𝐵 𝐶𝐷(cid:69)𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐸
𝐶𝐷 𝐶𝐸
