专题2.9弧长及扇形的面积(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(苏科)

专题 2.9 弧长及扇形的面积（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:19)............................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:24)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:25)(cid:28)(cid:19)..............................................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:19)..................................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:27)(cid:43)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:19)..........................................................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:27)(cid:44)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:19)..................................................................................................................24
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:44)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:19)......................................................................................................................31
知识点1 弧长公式
(cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:57)R(cid:34)(cid:29)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:57)360°(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:65)(cid:25) =2 (cid:59)(cid:61)(cid:66)1°(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:64) (cid:59)
𝟐𝝅𝑹
𝐶 𝜋𝑅 𝟑𝟔𝟎
(cid:67) (cid:59)(cid:68)(cid:64) °(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:57) = = (cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:57)l(cid:34)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:57) = (cid:28)(cid:69)
𝝅𝑹 𝒏 𝒏𝝅𝑹 𝟏𝟖𝟎𝒍
𝟏𝟖𝟎 𝑛 𝒍 𝟑𝟔𝟎⋅𝟐𝝅𝑹 𝟏𝟖𝟎 𝒏 𝝅𝑹
知识点2 扇形的面积公式
1. (cid:40)(cid:35)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:73)(cid:74)(cid:56)(cid:39)(cid:75)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:24)(cid:76)(cid:72)(cid:34)(cid:44)(cid:35)(cid:77)(cid:78)(cid:40)(cid:35)(cid:69)
2. (cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:10)(cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:57)R(cid:34)(cid:29)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:57)360°(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:41)(cid:42) = (cid:59)(cid:61)(cid:66)(cid:29)
2
𝑆 𝜋𝑅
(cid:30)(cid:31)(cid:64)1°(cid:34)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:64) (cid:59)(cid:68)(cid:64)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:57) °(cid:34)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:64) = (cid:59)(cid:79)(cid:80)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:81)(cid:82)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42) =
𝟐 扇形 𝟐 扇形
𝝅𝑹 𝒏𝝅𝑹
𝟑𝟔𝟎 𝑛 𝑆 𝟑𝟔𝟎 𝑆
(cid:59)(cid:83)(cid:58)l(cid:57)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:69)
𝟏
𝟐𝒍𝑹【题型1 利用弧长公式求弧长】
(cid:15)(cid:84)1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:86)(cid:87)·(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:20)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:92)(cid:93) (cid:94)(cid:49)(cid:29)(cid:30) (cid:59)(cid:95) (cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:59) (cid:57) (cid:34)(cid:96)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59)
= =30°(cid:69) 𝐴𝐵 𝑂 ⊙𝑂 𝐴 𝐶 𝐴𝐷 ⊙𝑂 𝐵𝐷
∠𝐴 ∠𝐵
(1)(cid:27)(cid:99)(cid:10)(cid:100)(cid:92) (cid:64) (cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:102)
(2)(cid:103)(cid:104) =2𝐵(cid:59)𝐷(cid:27) ⊙(cid:34)𝑂(cid:25)(cid:85)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108) (cid:90)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)𝐵𝐶(1)(cid:111)(cid:112)(cid:113)𝐷𝐶 π
2
(2)
3
(cid:15)(cid:114)π(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:122)30(cid:28)(cid:31)(cid:34)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:69)
(cid:85)1(cid:90)(cid:126)(cid:70)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:127)(cid:31)(cid:75)(cid:121)(cid:128)(cid:129)(cid:130) =120°(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:133) = (cid:129) = =30°(cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:80)(cid:129)
=90°(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:80)∠𝐴(cid:129)𝐷(cid:130)𝐵 (cid:105)(cid:136)(cid:102) 𝑂𝐴 𝑂𝐷 ∠𝐴 ∠𝑂𝐷𝐴
∠𝑂𝐷𝐵 1 1
(cid:85)2(cid:90)(cid:132)(cid:133)(cid:122)30(cid:28)(cid:31)(cid:34)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129) = (cid:59)(cid:137) = = (cid:59)(cid:52) = ( +2)(cid:59)(cid:27)(cid:130) (cid:59)(cid:131)(cid:129)
2 2
= + =60°(cid:59)(cid:138)(cid:47)(cid:132)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:7)𝑂𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:112)𝑂𝐵(cid:67)(cid:80)(cid:69)𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟
∠(cid:15)𝐷(cid:139)𝑂(cid:112)𝐵 (cid:19)∠(cid:85)𝐴1(cid:90)∠(cid:99)𝑂(cid:140)𝐷𝐴(cid:10)(cid:97)(cid:98) (cid:59)
𝑂𝐷
= =30°(cid:59)
∵∠𝐴 ∠=𝐵 =120°(cid:59)
∴∠𝐴𝐷=𝐵 1(cid:59)80°−∠𝐴−∠𝐵
∵𝑂𝐴= 𝑂𝐷 =30°(cid:59)
∴∠𝐴 ∠=𝑂𝐷𝐴 =90°(cid:59)
∴∠𝑂𝐷𝐵 (cid:59)12 0°−30°
∴(cid:141)𝑂𝐷⊥(cid:64)𝐵𝐷 (cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:59)
(cid:100)𝑂(cid:92)𝐷 ⊙(cid:64)𝑂 (cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:102)
∴ 𝐵𝐷 ⊙𝑂(cid:85)2(cid:90)(cid:112)(cid:10)(cid:55)Rt (cid:58)(cid:59) = =30°(cid:59)
1 △𝐷𝑂𝐵 ∠𝑂𝐷𝐵 90°,∠𝐵
= (cid:59)
2
∴(cid:137)𝑂𝐷 =𝑂𝐵= (cid:59)
𝑂𝐷1 𝑂𝐶 𝑟
= ( +2)(cid:59)
2
∴(cid:112)𝑟(cid:129) = 𝑟 2(cid:59)
𝑟 = + =60°(cid:59)
∵∠𝐷𝑂𝐵 ∠𝐴 ∠𝑂𝐷2𝐴
(cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:10) = (cid:69)
180 3
60𝜋𝑟
∴(cid:15)𝐷(cid:142)𝐶(cid:26)1-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:143)𝜋(cid:144)(cid:145)(cid:146)·(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:90)(cid:144)(cid:151)“(cid:50)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:155)”(cid:131)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:14)(cid:119)(cid:163)(cid:164)(cid:34)(cid:165)(cid:166)(cid:59)(cid:167)(cid:168)(cid:169)
(cid:170)(cid:119)(cid:8)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:34)(cid:174)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:85)(cid:91)(cid:44)①(cid:90)(cid:59)(cid:44)②(cid:64)(cid:181)(cid:182)(cid:41)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:50)(cid:152)(cid:153)(cid:34)(cid:35)(cid:186)(cid:82)(cid:187)(cid:44)(cid:85)(cid:137)(cid:29)(cid:30)(cid:57)
O(cid:90)(cid:69)(cid:103)(cid:104)(cid:50)(cid:152)(cid:153)(cid:34)(cid:188)(cid:189) (cid:59) (cid:114)(cid:190)(cid:191) (cid:192)(cid:101)(cid:68)(cid:33)A(cid:59)B(cid:69)(cid:193)(cid:185)(cid:29)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:64)3cm(cid:59) =60°(cid:59)(cid:52) (cid:34)(cid:25)
(cid:64)(cid:85) (cid:90) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂 ∠𝑃 𝐴𝑀𝐵
A(cid:69)6 B(cid:69)4 C(cid:69)3 D(cid:69)2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)πBcm πcm πcm πcm
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:171)(cid:188)(cid:35)(cid:127)(cid:31)(cid:75)(cid:69)(cid:22)(cid:23)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:80)(cid:129) = =90°(cid:59)
(cid:134)(cid:135)(cid:129)(cid:184) =120°(cid:59)(cid:66)(cid:194) (cid:61)(cid:62)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:59)(cid:195)(cid:47)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:112)(cid:67)(cid:80)(cid:69) ∠𝑃𝐴𝑂 ∠𝑃𝐵𝑂
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)∠(cid:112)𝐴(cid:10)𝑂𝐵(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59)𝐴𝑀𝐵(cid:59)
𝑂𝐴 𝑂𝐵
(cid:59) (cid:114)(cid:190)(cid:191) (cid:192)(cid:101)(cid:68)(cid:33) A(cid:59) B(cid:59)
= =90°(cid:59)
∵ 𝑃𝐴 𝑃𝐵 ⊙𝑂
∴∠ 𝑃𝐴𝑂=60∠°𝑃(cid:59)𝐵𝑂
∵ ∠𝑃 =120°(cid:59)
∴∠𝐴𝑂𝐵(cid:61)(cid:62)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:57) =240°(cid:59)
∴(cid:185)𝐴(cid:29)𝑀𝐵(cid:56)(cid:39)(cid:64)3cm(cid:59) 360°−∠𝐴𝑂𝐵
∵ 240× ×3
(cid:34)(cid:25)(cid:64) = (cm)(cid:59)
180
𝜋
(cid:196)∴(cid:197)𝐴(cid:10)𝑀𝐵B(cid:69) 4𝜋
(cid:15)(cid:142)(cid:26)1-2(cid:19)(cid:85)24-25(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:206)(cid:207)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:208)(cid:41)(cid:100)(cid:31)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:58)(cid:59)(cid:103)(cid:104)(cid:33) (cid:59) (cid:59)
(cid:59)(cid:141)(cid:33)B(cid:59)C(cid:55) (cid:201)(cid:69)(cid:193) =22.5°(cid:59)(cid:52) (cid:34)(cid:25)(cid:57) (cid:69) 𝐴(−4,0) 𝐵(0,2)
𝐷(4,0) 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐶
5 5
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19) /
4 4
π
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)π(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:29)(cid:34)(cid:192)(cid:3)(cid:104)(cid:212)(cid:59)(cid:213)(cid:194)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:167)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:191)(cid:29)(cid:65)(cid:31)(cid:34)2(cid:216)(cid:3)(cid:211)(cid:59)(cid:66)(cid:194)(cid:24)(cid:25)(cid:34)
(cid:53)(cid:54)(cid:69)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:64)(cid:27)(cid:130)(cid:29)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:191) (cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:69)(cid:132)(cid:133) (cid:59)(cid:218)(cid:25) (cid:184)(cid:29)(cid:30)E(cid:59)(cid:55) (cid:137)(cid:219)
⏜
𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝑂𝐵 𝐵𝑂 𝑅𝑡△𝑂𝐸𝐴
(cid:104)(cid:220)(cid:27)(cid:130)(cid:56)(cid:39)(cid:34)(cid:25)(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:167)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:221)(cid:68)(cid:29)(cid:65)(cid:31)(cid:34)(cid:73)(cid:216)(cid:59)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:130) (cid:29)(cid:30)(cid:31) =45°(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
⏜
(cid:7)(cid:26)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:112)(cid:69) 𝐵𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) (cid:59) (cid:59)
= (cid:59) ∵𝐴(−4,0) 𝐷(4,0)
∴𝐴𝑂 𝐷(cid:222)𝑂(cid:59)
∵(cid:29)𝐴𝐶(cid:30)⊥(cid:55)𝑦 y(cid:222)(cid:201)(cid:59)
∴(cid:137)(cid:29)(cid:30)(cid:57)(cid:33)E(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:223) (cid:223) (cid:59)
𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐷𝐸
(cid:59)
(cid:55)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:58)(cid:10) (cid:59) (cid:59) (cid:59)
∵(cid:80)(cid:104)(cid:10) = 𝐴(−=44,0(cid:59)) 𝐵(=0,22)(cid:59)𝐷(4,0)
∴(cid:224)(cid:168)(cid:70)(cid:68)𝐴(cid:56)𝑂(cid:39)(cid:192)𝑂𝐷(cid:221)(cid:10) 𝑂=𝐵 = (cid:59)
𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐷𝐸(cid:137) = (cid:59)(cid:52) = =2+ (cid:59)
∴(cid:70)(cid:20)𝑂𝐸(cid:80)(cid:104)𝑥(cid:10) 𝐴𝐸 𝐵(cid:59)𝐸 𝑥
∵(cid:55) 𝐴(cid:58)𝐷(cid:173)⊥(cid:214)𝐵𝐸(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:10) + = (cid:59)
2 2 2
∴4 𝑅+𝑡△𝑂=𝐸(𝐴 +2) (cid:59)(cid:112)(cid:129)(cid:10)𝐴𝑂=3(cid:59)𝑂𝐸 𝐴𝐸
2 2 2
∴(cid:56)(cid:39)(cid:57)𝑥(cid:10)5(cid:59)𝑥 𝑥
∴(cid:167)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:221)(cid:68)(cid:29)(cid:65)(cid:31)(cid:34)(cid:73)(cid:216)(cid:59) =22.5°(cid:59)
∵ = =45°(cid:59) ∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐸𝐶 2∠𝐵45𝐴×𝐶×5 5
(cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:10) = (cid:69)
180 4
⏜ π π
∴𝐵𝐶 5
(cid:196)(cid:109)(cid:110)(cid:57)(cid:10) (cid:69)
4
π
(cid:15)(cid:142)(cid:26)1-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:202)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:123)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:64)(cid:70)(cid:8)(cid:171)(cid:188)(cid:25)(cid:57)2(cid:34)(cid:182)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:71)(cid:72)(cid:34)(cid:229)(cid:230)(cid:59)B(cid:223)C(cid:223)D(cid:231)(cid:57)(cid:232)
(cid:33)(cid:59)(cid:52) (cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:85) (cid:90)
𝐵𝐶𝐷
2 7 7 7 14
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
3 2 2 3
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)Aπ π π π
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:80)(cid:129)(cid:10) (cid:57) (cid:61)(cid:55)(cid:29)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:57)(cid:230)(cid:33)(cid:59)(cid:233)(cid:230)(cid:33) (cid:59)(cid:97)(cid:98)
𝑂(cid:59)(cid:49)𝐵𝐶𝐷(cid:234) (cid:68) (cid:59) 𝐴,𝐸,𝐹 (cid:59)(cid:80)(cid:129) (cid:57)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)
𝑂𝐹,𝐵𝐹,𝐵𝐸,𝐷𝐸,𝐴𝐷,𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐷,𝐵𝐷 𝑂 𝑂𝐻⊥𝐴𝐷 𝐻 △𝑂𝐵𝐹≌△𝐷𝑂𝐴≌△𝐵𝐷𝐸 △𝐵𝑂𝐷
(cid:35)(cid:59) =60°(cid:59)(cid:27)(cid:112) = 5 +( 3) = 28=2 7(cid:102)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:80).
2
2
(cid:15)(cid:139)∠(cid:112)𝐵(cid:19)𝑂𝐷(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:70)(cid:20)𝑂(cid:187)𝐷(cid:80)(cid:129)(cid:10) (cid:57) (cid:61)(cid:55)(cid:29)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:57)(cid:230)(cid:33)(cid:59)(cid:233)(cid:230)(cid:33) (cid:59)(cid:97)(cid:98)
(cid:59)(cid:49)𝑂 (cid:234)𝐵𝐶𝐷 (cid:68) (cid:59) 𝐴,𝐸,𝐹
𝑂𝐹,𝐵𝐹,𝐵𝐸,𝐷𝐸,𝐴𝐷,𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐷,𝐵𝐷 𝑂 𝑂𝐻⊥𝐴𝐷 𝐻(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:80)(cid:129)(cid:10) =4= = (cid:59) =120°= = (cid:59) = = =2(cid:59)
∵ 𝑂𝐹 𝐵𝐸(cid:59) 𝐴𝐷 ∠𝑂𝐹𝐵 ∠𝐵𝐸𝐷 ∠𝑂𝐴𝐷 𝐵𝐹 𝑂𝐴 𝐷𝐸
∴△𝑂=𝐵𝐹≌△=𝐷𝑂𝐴(cid:59)≌△𝐵𝐷𝐸
∴𝑂𝐵 𝐷(cid:57)𝑂 (cid:221)(cid:188)𝐵𝐷(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)
∴△𝐵𝑂𝐷=60°(cid:59)
(cid:70)∴∠(cid:221)𝐵𝑂(cid:188)𝐷(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:80)(cid:129)(cid:10) =30°(cid:59) =2(cid:59)(cid:135) =90°(cid:59)
∠𝐴𝑂𝐻 𝑂𝐴 ∠𝐴𝐻𝑂
=1(cid:59) = 2 1 = 3(cid:59)
2 2
∴𝐴𝐻 =5(cid:59)𝑂𝐻 −
∴𝐷𝐻
= 5 +( 3) = 28=2 7(cid:102)
2
2
∴𝑂𝐷 60 ×2 7 2 7
(cid:34)(cid:25) = (cid:102)
180 3
π
∴(cid:196)𝐵(cid:197)𝐶𝐷(cid:10)A π
(cid:15)(cid:33)(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:34)(cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:191)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:34)(cid:236)(cid:23)(cid:59)(cid:158)(cid:221)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:191)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:53)
(cid:54)(cid:59)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:237)(cid:98)(cid:29)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:34)(cid:238)(cid:121)(cid:59)(cid:234)(cid:130)(cid:44)(cid:35)(cid:64)(cid:112)(cid:115)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217).
【题型2 利用弧长公式求长度】
(cid:15)(cid:84)2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:242)·(cid:243)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59) (cid:101) (cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:96) (cid:59)(cid:193) =30°(cid:59)(cid:244)(cid:24) (cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:57) (cid:59)
3
𝜋
(cid:52)(cid:92)(cid:93) (cid:34)(cid:25)(cid:57)( ) 𝑃𝑀 ⊙𝑂 𝑃 𝑃𝑄∥𝑂𝑀 ∠𝑂𝑀𝑃 𝑃𝑄
𝑂𝑀
A(cid:69)1 B(cid:69)2 C(cid:69)3 D(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)B π
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:191)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:122)30(cid:28)(cid:31)(cid:34)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:102)
(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:130) (cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:122)30(cid:28)(cid:31)(cid:34)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:130) = (cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:129)(cid:130)
𝑂𝑃,𝑂𝑄 𝑂𝑃⊥𝑃𝑀 𝑀𝑂 2𝑃𝑂
(cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)(cid:52) =60°(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:244)(cid:24) (cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:57) (cid:59)(cid:137) = (cid:59)(cid:129)(cid:130) =1(cid:59)(cid:134)(cid:245)(cid:246)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:112)(cid:69)
3
𝜋
(cid:15)△(cid:139)𝑂𝑃(cid:112)𝑄(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:97)(cid:98)∠𝑃𝑂𝑄(cid:59) 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑟 𝑟
𝑂𝑃,𝑂𝑄(cid:101) (cid:68)(cid:33) (cid:59)
∵𝑃𝑀 ⊙(cid:59)𝑂 𝑃
∴𝑂𝑃⊥𝑃𝑀=30°(cid:59)
∵∠𝑂𝑀𝑃=60°(cid:59) =
∴∠𝑃𝑂𝑀 (cid:59) 𝑀𝑂 2𝑃𝑂
∵𝑃𝑄∥𝑂𝑀=60°(cid:59)
∴∠𝑂𝑃=𝑄 (cid:59)
∵𝑂𝑃 𝑂(cid:64)𝑄 (cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)
∴△𝑂𝑃𝑄=60°
∴∠𝑃𝑂𝑄
(cid:244)(cid:24) (cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:57) (cid:59)(cid:137) = (cid:59)
3
𝜋
∵60 𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑟
=
180 3
π
∴(cid:112)(cid:129)π(cid:10)𝑟
=1
=𝑟 =2(cid:59)
(cid:196)∴𝑂(cid:197)𝑀(cid:10)B2(cid:69)𝑃𝑂
(cid:15)(cid:142)(cid:26)2-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:151)(cid:247)(cid:248)(cid:249)·(cid:245)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)1(cid:59)(cid:250)(cid:64)(cid:58)(cid:159)(cid:251)(cid:240)(cid:252)(cid:58)(cid:34)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35)(cid:254)(cid:255)(cid:137)(cid:53)(cid:44)(cid:59)(cid:44)2(cid:64)(cid:70)(cid:83)(cid:256)(cid:257)(cid:135)
2
(cid:72)(cid:34)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35) (cid:59) (cid:64)(cid:258)(cid:34)(cid:237)(cid:98)(cid:29)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59)(cid:234) (cid:69)(cid:193)(cid:244)(cid:24) (cid:34)(cid:25)(cid:57) (cid:59)(cid:52) = (cid:69)
3
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐺⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝜋 𝑂𝐺
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19) 3
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:126)(cid:27)(cid:130)(cid:58)(cid:30)(cid:31) =60°(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:129)(cid:56)(cid:39)(cid:57)2(cid:59)(cid:138)(cid:47)(cid:112)Rt (cid:67)(cid:80)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) (cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35)∠𝐶𝑂𝐷 (cid:59) (cid:64)(cid:258)(cid:34)(cid:237)(cid:98)(cid:29)(cid:59) △𝑂𝐺𝐷
∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ⊙𝑂360°
(cid:58)(cid:30)(cid:31) = =60°(cid:59)
6
∴ ∠𝐶𝑂𝐷 2
(cid:244)(cid:24) (cid:34)(cid:25)(cid:57) (cid:59)
3
∵2 𝐶𝐷 × 𝜋
= (cid:59)
3 180
60𝜋 𝑂𝐷
(cid:112)∴ 𝜋(cid:129)(cid:10) =2(cid:59)
𝑂𝐷(cid:59) =
∵𝑂𝐺⊥𝐶𝐷1 𝑂𝐶 𝑂𝐷
= =30°(cid:59)
2
∴∠𝐺𝑂
=
𝐷 3(cid:59)∠𝐶𝑂𝐷
∴(cid:196)𝑂(cid:109)𝐺(cid:110)(cid:57)(cid:10) 3(cid:69)
(cid:15)(cid:33)(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:29)(cid:29)(cid:191)(cid:182)(cid:171)(cid:188)(cid:35)(cid:59)(cid:112)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)(cid:58)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:27)(cid:112)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:259)(cid:248)(cid:124)(cid:260)(cid:261)(cid:59)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)
(cid:104)(cid:212)(cid:33)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
(cid:15)(cid:142)(cid:26)2-2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:266)(cid:144)(cid:267)(cid:205)·(cid:245)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:57)(cid:140)(cid:268)(cid:168)(cid:206)(cid:269)(cid:270)(cid:116)(cid:117)(cid:271)(cid:26)(cid:272)(cid:245)(cid:34)(cid:227)(cid:41)(cid:271)(cid:59)(cid:91)(cid:44)2(cid:227)(cid:41)(cid:271)(cid:80)(cid:66)(cid:273)(cid:274)
2 11
(cid:275)(cid:183)(cid:234)(cid:40)(cid:276)(cid:59)(cid:83)(cid:58) (cid:25)(cid:28)(cid:57) (cid:277)(cid:59) (cid:25)(cid:28)(cid:57) (cid:277)(cid:59)(cid:29)(cid:30)(cid:31) =60°(cid:59)(cid:52)(cid:271)(cid:25) (cid:57) (cid:277)(cid:69)
5 15
𝐴𝐷 𝜋 𝐵𝐶 𝜋 ∠𝐴𝑂𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)1
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:69)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:55)(cid:68)(cid:182)(cid:238)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:69)
2 11
(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:104)(cid:59) = = (cid:59) = = (cid:59)(cid:53)(cid:54)(cid:27)(cid:112) (cid:59) (cid:34)(cid:278)(cid:59)(cid:138)(cid:47)(cid:132)(cid:133) = (cid:53)(cid:54)(cid:27)
180 5 180 15
60𝜋⋅𝑂𝐴 60𝜋⋅𝑂𝐵
(cid:112)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
𝑙𝐴𝐷
𝜋
𝑙𝐵𝐶
𝜋 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 𝑂𝐵−𝑂𝐴
2 11
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:104)(cid:59) = = (cid:59) = = (cid:59)
180 5 180 15
60𝜋⋅𝑂𝐴 60𝜋⋅𝑂𝐵
6 11
𝑙𝐴𝐷
𝜋
𝑙𝐵𝐶
𝜋
(cid:112)(cid:129) = (cid:59) = (cid:59)
5 5
𝑂=𝐴 𝑂𝐵=1(cid:59)
(cid:196)∴𝐴(cid:109)𝐵(cid:110)(cid:57)𝑂𝐵(cid:10)−1𝑂(cid:69)𝐴(cid:15)(cid:142)(cid:26)2-3(cid:19)(cid:85)24-25(cid:198)(cid:199)(cid:200)(cid:201)·(cid:203)(cid:279)(cid:280)(cid:146)·(cid:206)(cid:58)(cid:90)(cid:44)1(cid:64)(cid:245)(cid:281)(cid:275)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:34)(cid:286)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:69)(cid:91)(cid:44)2(cid:59)(cid:258)(cid:34)(cid:286)(cid:287)(cid:290)(cid:291)
(cid:168)(cid:59)(cid:286)(cid:287)(cid:188)(cid:189)(cid:34)(cid:292)(cid:33) (cid:191) (cid:272)(cid:293)(cid:34)(cid:294)(cid:295)(cid:57)10cm(cid:59)(cid:286)(cid:287)(cid:34)(cid:24) (cid:191)(cid:24) (cid:34)(cid:25)(cid:296)(cid:57)12 (cid:59)(cid:141)(cid:191)(cid:288)(cid:289)(cid:297)(cid:298)(cid:41)(cid:299)(cid:31)
=
=30°𝐴
(cid:69)(cid:300)
𝐵
(cid:286)(cid:287)(cid:301)(cid:302)(cid:168)(cid:59)(cid:80)(cid:66)(cid:303)(cid:49)(cid:288)(cid:289)(cid:34)(cid:304)
𝐴
(cid:305)
𝑃
(cid:34)(cid:195)
𝐵
(cid:163)
𝑄
(cid:306)(cid:28)(cid:57)(cid:85) (cid:90)
π
∠𝑃𝐶𝐴 ∠𝐵𝐷𝑄
A(cid:69)72cm B(cid:69)(72 3+10)cm C(cid:69)(72 2+10)cm D(cid:69)82cm
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)D
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:236)(cid:23)(cid:59)(cid:49)(cid:33)A(cid:234) (cid:59)(cid:49)(cid:33)B(cid:234) (cid:59)(cid:55)Rt (cid:58)(cid:59)(cid:80)(cid:27)(cid:129)
1 1 𝐴𝐸⊥𝐶𝑃 𝐵𝐹⊥𝐷𝑄 △𝐴𝐶𝐸
= (cid:59)(cid:167)(cid:128)(cid:80)(cid:27)(cid:129) = (cid:59)(cid:131)(cid:70)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:80)(cid:27)(cid:129) = =36cm(cid:59)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:112)(cid:69)
2 2
𝐴(cid:15)𝐸(cid:139)(cid:112)𝐴(cid:19)𝐶(cid:112)(cid:10)(cid:49)(cid:33)A(cid:234)𝐵𝐹 𝐵(cid:59)𝐷(cid:49)(cid:33)B(cid:234) (cid:59)(cid:91)(cid:44)𝐴𝐸(cid:59) 𝐵𝐹
𝐴𝐸⊥𝐶𝑃 𝐵𝐹⊥𝐷𝑄
(cid:52)Rt (cid:58)(cid:59)
=30°
(cid:59)
△𝐴𝐶𝐸 ∠𝑃𝐶𝐴
1
= (cid:59)
2
∴𝐴𝐸 𝐴𝐶
Rt (cid:58)(cid:59)
=30°
(cid:59)
△𝐵𝐷𝐹 ∠𝐵𝐷𝑄
1
= (cid:59)
2
∴𝐵𝐹 𝐵𝐷
(cid:286)(cid:287)(cid:34)(cid:24) (cid:191)(cid:24) (cid:34)(cid:25)(cid:296)(cid:57)12 (cid:59) =
=30°
(cid:59)
∵
×
𝐴𝑃 𝐵𝑄× π ∠𝑃𝐶𝐴 ∠𝐵𝐷𝑄
= (cid:59) = (cid:59)
180 180
30𝜋 𝐴𝐶 30𝜋 𝐵𝐷
∴ = 1=2𝜋72cm(cid:59) 12𝜋
∴𝐴𝐶 𝐵𝐷= =36cm(cid:59)
∴(cid:286)𝐴𝐸(cid:287)(cid:188)𝐵(cid:189)𝐹(cid:34)(cid:292)(cid:33)A(cid:191)B(cid:272)(cid:293)(cid:34)(cid:294)(cid:295)(cid:57)10cm(cid:59)
∵(cid:300)(cid:286)(cid:287)(cid:301)(cid:302)(cid:168)(cid:59)(cid:80)(cid:66)(cid:303)(cid:49)(cid:288)(cid:289)(cid:34)(cid:304)(cid:305)(cid:34)(cid:195)(cid:163)(cid:306)(cid:28)(cid:57)36+36+10=82cm(cid:59)
∴(cid:196)(cid:197)(cid:10)D(cid:69)
【题型3 利用弧长公式求圆心角】
(cid:15)(cid:84)3(cid:19)(cid:154)(cid:140)(cid:307)(cid:308)(cid:308)(cid:309)(cid:42)(cid:310)(cid:34)(cid:168)(cid:311)(cid:59)(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:55)(cid:167)(cid:245)(cid:315)(cid:208)(cid:41)(cid:201)(cid:34)(cid:73)(cid:281)(cid:42)(cid:310)(cid:34)(cid:316)(cid:317)(cid:41)(cid:114)(cid:190)(cid:64)(cid:66) =20 (cid:57)(cid:100)
(cid:39)(cid:34)(cid:56)(cid:29) (cid:75)(cid:188)(cid:25)(cid:57)4 (cid:34)(cid:182)(cid:318)(cid:35) (cid:59) (cid:59) (cid:114)(cid:190)(cid:57)(cid:56)(cid:29) (cid:201)(cid:34)(cid:33)(cid:59)(cid:91)(cid:44)1(cid:61)(cid:82)(cid:59)(cid:224)(cid:168)(cid:56)𝑀(cid:29)𝑁(cid:191)(cid:315)(cid:208) cm(cid:41)(cid:319)(cid:320)
(cid:101)(cid:68)(cid:33) (cid:59)𝑂 =12 c(cid:59)m(cid:218)(cid:25) (cid:191)𝐴(cid:56)𝐵𝐶(cid:29)𝐷 (cid:114)𝑃(cid:190)(cid:95)𝑄(cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:69)𝑂(cid:321)(cid:56)(cid:29) (cid:322)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:37)(cid:326)(cid:37)(cid:59)(cid:327)(cid:33)𝑂(cid:328)(cid:55)(cid:56)(cid:29) (cid:201)(cid:59)
(cid:224)(cid:168)(cid:56)𝑃(cid:29) 𝐴(cid:191)𝑃(cid:315)(cid:208)(cid:41) c(cid:319)m(cid:320)(cid:101)(cid:68)(cid:33)𝐶𝐷 (cid:59)(cid:91)(cid:44)𝑂2(cid:61)(cid:82)(cid:69) 𝐸 𝐹 𝑂 𝐷 𝑂
𝑂 𝑄
(1)(cid:55)(cid:44)1(cid:58)(cid:59)(cid:27)(cid:96) (cid:34)(cid:25)(cid:102)
(2)(cid:55)(cid:44)2(cid:58)(cid:59)(cid:27) 𝐸(cid:61)𝐹(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:220)(cid:102)(cid:85)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108) (cid:90)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)(1) =𝑃𝑄16 (cid:102) π
72 𝐸𝐹 cm
(2) (cid:102)
∘
(cid:15)(cid:114)π(cid:113)(cid:19)(cid:85)1(cid:90)(cid:91)(cid:44)1(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59) (cid:191) (cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:80)(cid:129)(cid:329)(cid:188)(cid:35) (cid:57)(cid:330)(cid:35)(cid:59)(cid:129)(cid:184) (cid:59)
= =4 (cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:129) 𝑂=𝐸 𝑂(cid:59)𝑃(cid:70)𝑂𝑃 =𝐸2𝐹0 (cid:80)(cid:129)𝑇 =6 (cid:59)(cid:55)𝐴𝐷R𝑇t𝑃 (cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:23)𝑂(cid:214)𝑃(cid:215)⊥(cid:121)𝐸𝐹(cid:128)(cid:27)(cid:130) (cid:59)
𝑃(cid:67)𝑇(cid:80)(cid:27)𝐴(cid:112)𝐷(cid:102) cm 𝐸𝑇 𝐹𝑇 𝑀𝑁 cm 𝑂𝑇 cm △𝑂𝐸𝑇 𝐸𝑇
(cid:85)2(cid:90)(cid:91)(cid:44)2(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59)(cid:218)(cid:25) (cid:95) (cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:80)(cid:129)(cid:329)(cid:188)(cid:35) (cid:57)(cid:330)(cid:35)(cid:59)(cid:129)(cid:184) = (cid:59)
= =4 (cid:59)𝑂𝑄 𝑂𝐷=90 (cid:59)(cid:70)𝐶𝐷 𝑂=𝑄20 𝐺(cid:80)(cid:129) =6 𝐴𝐷(cid:59)𝐺(cid:134)𝑄(cid:135)(cid:70)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)𝐴(cid:129)𝑄 𝐷=𝐺8 (cid:59)(cid:67)(cid:129)
∘
𝑄𝐺=𝐴𝐷=8 cm(cid:59)(cid:129)∠𝑂(cid:184)𝐺𝐷 (cid:34)(cid:25)(cid:57) 𝑀𝑁 =4 cm(cid:59)(cid:131)(cid:132)𝑂𝐺(cid:133)(cid:24)(cid:25) cm(cid:7)(cid:26)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:112)(cid:102) 𝐷𝐺 cm
𝐴(cid:15)𝑄(cid:139)(cid:112)𝐷(cid:19)𝐺(cid:85)1(cid:90) cm(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:44)𝑃1𝑄(cid:59)(cid:97)(cid:98) 𝐴𝑃(cid:59)−𝐴𝑄(cid:59) c(cid:191)m (cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:59)
𝑂𝐸 𝑂𝑃 𝑂𝑃 𝐸𝐹 𝑇(cid:56)(cid:29) (cid:191)(cid:315)(cid:208)(cid:41)(cid:192)(cid:101)(cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:57)(cid:56)(cid:29) (cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:59)(cid:329)(cid:188)(cid:35) (cid:57)(cid:182)(cid:318)(cid:35)(cid:59)
∵ 𝑂= = =𝑃 90𝑂𝑃(cid:59) 𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷
∘
∴(cid:329)∠𝑂(cid:188)𝑃𝐴(cid:35) ∠𝐷𝐴(cid:57)𝑃(cid:330)(cid:35)∠𝐴(cid:59)𝐷𝑇
∴ 𝐴𝐷(cid:59)𝑇𝑃 = =4 (cid:59)
∴𝑂𝑃=⊥𝐸𝐹(cid:59)𝑃𝑇 𝐴𝐷 cm
∴𝐸𝑇 =𝐹2𝑇0 (cid:59)
∵𝑀𝑁= c=m10 (cid:59)
∴𝑂𝐸=6𝑂𝑃 (cid:59) cm
∴𝑂𝑇 cm
(cid:55)Rt (cid:58)(cid:59) = 10 6 =8 (cid:59)
2 2
∴ =△𝑂𝐸𝑇=16 𝐸𝑇(cid:102) − ( cm)
(cid:85)∴𝐸2𝐹(cid:90)(cid:112)2(cid:10)𝐸𝑇(cid:91)(cid:44)2(cid:59) cm(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59)(cid:218)(cid:25) (cid:95) (cid:68)(cid:33) (cid:59)
𝑂𝑄 𝑂𝐷 𝐶𝐷 𝑂𝑄 𝐺
(cid:329)(cid:188)(cid:35) (cid:57)(cid:182)(cid:318)(cid:35)(cid:59)(cid:56)(cid:29) (cid:191)(cid:315)(cid:208)(cid:41)(cid:192)(cid:101)(cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:57)(cid:56)(cid:29) (cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:59)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 = =90𝑂(cid:59) 𝑄 𝑂𝑄 𝑂
∘
∴(cid:329)∠𝐺(cid:188)𝑄𝐴(cid:35) ∠𝐷𝐴(cid:57)𝑄(cid:330)(cid:35)∠𝐴(cid:59)𝐷𝐺
∴ = 𝐴𝐷(cid:59)𝐺𝑄 = =4 (cid:59) =90 (cid:59)
∘
∴𝐴𝑄 =𝐷2𝐺0 𝑄(cid:59)𝐺 𝐴𝐷 cm ∠𝑂𝐺𝐷
∵𝑀𝑁= c=m10 (cid:59)
∴𝑂𝐷=6𝑂𝑄 (cid:59) cm
∴𝑂𝐺 cm
(cid:55)Rt (cid:58)(cid:59) = 10 6 =8(cm)(cid:59)
2 2
∴ =△𝑂𝐷=𝐺8 𝐷(cid:59)𝐺 −
∴𝐴𝑄=1𝐷2𝐺 (cid:59) cm
∵𝐴𝑃(cid:34)(cid:25)(cid:57) cm =4 (cid:59)
∴𝑃𝑄 𝐴𝑃−𝐴𝑄 cm
=4(cid:59)
180
10𝑛π
∴
72
(cid:112)(cid:129) = (cid:59)
𝑛 π72
(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:220)(cid:57) (cid:102)
∘
(cid:15)∴𝑃(cid:33)𝑄(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:101)(cid:92)(cid:34)π(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:101)(cid:92)(cid:25)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:331)(cid:39)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:330)(cid:35)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:191)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:182)
(cid:238)(cid:234)(cid:130)(cid:332)(cid:333)(cid:92)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
6
(cid:15)(cid:142)(cid:26)3-1(cid:19)(cid:245)(cid:281)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:24)(cid:25)(cid:64) cm(cid:59)(cid:56)(cid:39)(cid:64)6cm(cid:59)(cid:52)(cid:224)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:64) (cid:28)(cid:69)
5
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)36 𝜋
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:334)(cid:318)(cid:335)(cid:27)(cid:112)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:137)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:57) (cid:69)
6 6 𝑛°
(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:129)(cid:10) = (cid:59)
5 180
𝑛𝜋⋅
(cid:112)(cid:129)(cid:10) =36𝜋(cid:69)
(cid:196)(cid:109)(cid:110)𝑛(cid:57)36(cid:69)
(cid:15)(cid:33)(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:264)(cid:265)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
(cid:15)(cid:142)(cid:26)3-2(cid:19)(cid:245)(cid:281)(cid:325)(cid:336)(cid:302)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:59)(cid:325)(cid:336)(cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:64)8cm(cid:59)(cid:300)(cid:337)(cid:304)(cid:201)(cid:340)2 (cid:168)(cid:59)(cid:325)(cid:336)(cid:34)(cid:245)(cid:74)(cid:56)(cid:39) (cid:341)
(cid:222)(cid:30)O(cid:342)(cid:343)(cid:168)(cid:344)(cid:318)(cid:322)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:57)(cid:85) (cid:90) π cm 𝑂𝐴
A(cid:69)60° B(cid:69)90° C(cid:69)120° D(cid:69)180°
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)B
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:337)(cid:304)(cid:201)(cid:340)2 (cid:168)(cid:59)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:64)2 (cid:59)(cid:137)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:64) (cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)
(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:80)(cid:129)(cid:130)(cid:109)(cid:110)(cid:59)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:64)(cid:112)(cid:224)(cid:20)π(cid:34)cm(cid:3)(cid:217)(cid:69) πcm 𝑛°
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) (cid:325)(cid:336)(cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:64)8cm(cid:59)
(cid:325)(cid:336)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:64)∵4cm(cid:59)
(cid:137)∴(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:64) (cid:59)
×4𝑛°
(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:129)(cid:10) =2 (cid:59)
180
𝑛π
(cid:112)(cid:129)(cid:10) =90(cid:59) π
(cid:325)(cid:336)𝑛(cid:34)(cid:245)(cid:74)(cid:56)(cid:39) (cid:341)(cid:222)(cid:30) (cid:342)(cid:343)(cid:168)(cid:344)(cid:318)(cid:322)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:345)(cid:57)90°(cid:59)
∴ 𝑂𝐴 𝑂(cid:196)(cid:197)(cid:10)B(cid:69)
(cid:15)(cid:142)(cid:26)3-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:329)(cid:346)(cid:72)(cid:296)·(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:90)“(cid:336)(cid:37)(cid:312)(cid:347)(cid:348)”(cid:55)(cid:349)(cid:350)(cid:351)(cid:159)(cid:168)(cid:206)(cid:352)(cid:266)(cid:353)(cid:236)(cid:23)(cid:59)(cid:147)(cid:21)(cid:354)(cid:37)(cid:355)(cid:114)(cid:91)(cid:44)(cid:61)
(cid:82)(cid:59)(cid:83)(cid:58) (cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:114)(cid:190)(cid:64)1cm(cid:75)8cm(cid:59)(cid:300) (cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:46)(cid:37)3(cid:65)(cid:168)(cid:59) (cid:201)(cid:34)(cid:33)P(cid:357)(cid:272)(cid:45)(cid:46) (cid:59)(cid:52)
= ⊙(cid:69)𝑀,⊙𝑁 ⊙𝑀 ⊙𝑁 𝑛°
𝑛
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)135
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:112)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:220)(cid:69)(cid:126)(cid:27)(cid:130)(cid:33)P(cid:358)(cid:37)(cid:34)(cid:294)(cid:295)(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:67)(cid:80)
(cid:27)(cid:112)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:132)(cid:133)(cid:20)(cid:187)(cid:129)(cid:10)(cid:33)P(cid:358)(cid:37)(cid:34)(cid:294)(cid:295)(cid:57)3×2 ×1=6 (cid:59)
8 π πcm
=6 (cid:59)
180
𝑛⋅π⋅
(cid:112)∴ (cid:129)(cid:10) = π 135(cid:69)
(cid:196)(cid:109)(cid:110)𝑛(cid:57)(cid:10)135(cid:69)
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】
(cid:15)(cid:84)4(cid:19)(cid:85)2025·(cid:202)(cid:203)(cid:359)(cid:315)·(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:90)(cid:91)(cid:360)(cid:44)(cid:59)(cid:221)(cid:188) (cid:34)(cid:188)(cid:25)(cid:57)2(cid:59) (cid:55)(cid:100)(cid:92)l(cid:201)(cid:341)(cid:83)(cid:323)(cid:360)(cid:31)(cid:34)(cid:232)
(cid:33)C(cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)120°(cid:361)(cid:44)①(cid:362)(cid:339)(cid:59)(cid:131)(cid:341)(cid:323)(cid:360)(cid:31)(cid:34)(cid:232)△(cid:33)(cid:363)𝐴𝐵(cid:364)𝐶(cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)12△0°𝐴(cid:361)𝐵(cid:44)𝐶②(cid:362)(cid:339)(cid:59)…(cid:59)(cid:66)(cid:224)(cid:365)(cid:366)(cid:59)(cid:250)
(cid:367)(cid:97)(cid:364)(cid:45)(cid:46)9(cid:156)(cid:47)(cid:59)(cid:232)(cid:33)A(cid:55)(cid:368)(cid:281)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:335)(cid:58)(cid:61)(cid:94)(cid:49)(cid:34)(cid:38)(cid:335)(cid:272)(cid:75)(cid:64) (cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)8(cid:115)𝜋(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:369)(cid:370)(cid:51)(cid:371)(cid:372)(cid:20)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:34)(cid:36)(cid:23)(cid:59)(cid:264)(cid:265)(cid:45)(cid:46)(cid:142)(cid:373)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:223)(cid:374)(cid:375)(cid:36)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:7)(cid:26)(cid:223)
(cid:312)(cid:313)(cid:51)(cid:371)(cid:64)(cid:112)(cid:376)(cid:372)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)(cid:377)(cid:126)(cid:27)(cid:129)(cid:378)(cid:245)(cid:156)(cid:46)(cid:37)(cid:34)(cid:38)(cid:92)(cid:34)(cid:25)(cid:59)(cid:312)(cid:313)(cid:378)3(cid:156)(cid:379)(cid:276)(cid:59)(cid:380)(cid:184)(cid:51)(cid:371)(cid:138)(cid:47)(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112) (cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:59)
∶120 4
(cid:112)(cid:10)(cid:46)(cid:37)(cid:245)(cid:156)(cid:232)(cid:33)A(cid:361)(cid:33) (cid:59)(cid:45)(cid:46)120°(cid:59)(cid:38)(cid:92)(cid:25)(cid:64)(cid:10) × ×2= (cid:59)
180 3
(cid:46)(cid:37)(cid:381)(cid:243)(cid:156)(cid:232)(cid:33) (cid:361)(cid:33) 𝐴 (cid:59) 1 (cid:219)(cid:37)(cid:59)(cid:38)(cid:92)(cid:25)(cid:64)(cid:10)0(cid:59) 𝜋 𝜋
𝐴1 𝐴2
120 4
(cid:46)(cid:37)(cid:381)(cid:123)(cid:156)(cid:232)(cid:33) (cid:361)(cid:33) (cid:59)(cid:45)(cid:46)120°(cid:59)(cid:38)(cid:92)(cid:25)(cid:64)(cid:10) × ×2= (cid:59)
180 3
(cid:66)(cid:224)(cid:365)(cid:366)(cid:59)(cid:378)(cid:123) 𝐴 (cid:156) 2 (cid:379)(cid:276)(cid:59) 𝐴3 𝜋 𝜋
4 8
(cid:196)(cid:232)(cid:33)A(cid:46)(cid:37)(cid:123)(cid:156)(cid:94)(cid:49)(cid:34)(cid:38)(cid:92)(cid:25)(cid:57)(cid:10) ×2= (cid:59)
3 3
9(cid:156)(cid:45)(cid:46)(cid:337)(cid:382)(cid:119)9÷3=3(cid:85)(cid:383)(cid:90)(cid:59) 𝜋 𝜋
∵ 8
(cid:232)(cid:33)A(cid:46)(cid:37)(cid:55)(cid:368)(cid:281)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:335)(cid:58)(cid:61)(cid:94)(cid:49)(cid:34)(cid:38)(cid:335)(cid:272)(cid:75)(cid:57)(cid:10) ×3= (cid:69)
3
∴(cid:196)(cid:109)(cid:110)(cid:57) (cid:69) 𝜋 8𝜋
(cid:15)(cid:142)(cid:26)4-1∶(cid:19)8𝜋(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:321)(cid:221)(cid:188) ABC(cid:34)(cid:188)AC(cid:384)(cid:385)(cid:142)(cid:72)(cid:66)B(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:223)BA(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:34) (cid:59)(cid:25)(cid:28)(cid:50)(cid:142)(cid:59)AB(cid:223)BC(cid:34)(cid:25)
(cid:28)(cid:386)(cid:50)(cid:142)(cid:59)(cid:52) ABC(cid:34)(cid:28)(cid:220)(cid:163)△(cid:154)(cid:70)60°(cid:142)(cid:57)(cid:85) (cid:90) 𝐴𝐶
∠
60 90 120 180
A(cid:69)(cid:85) (cid:90)° B(cid:69)(cid:85) (cid:90)° C(cid:69)(cid:85) (cid:90)° D(cid:69)(cid:85) (cid:90)°
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)D
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:137) ABC(cid:34)(cid:28)(cid:220)(cid:57)n(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:7)(cid:26)(cid:387)(cid:103)(cid:104)(cid:74)(cid:388)(cid:389)(cid:284)(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)∠(cid:10)(cid:137) ABC(cid:34)(cid:28)(cid:220)(cid:163)(cid:154)(cid:70)60(cid:142)(cid:57)n(cid:59)
× ∠
(cid:52)AC= (cid:59)(cid:70)AC=AB(cid:59)
180
𝑛𝜋 𝐴𝐵
180
(cid:112)(cid:129)n=
(cid:196)(cid:197)D(cid:69)𝜋
nπr
(cid:15)(cid:33)(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:34)(cid:64)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:75)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:264)(cid:265)(cid:24)(cid:25)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:7)(cid:26)l= (cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
180
(cid:15)(cid:142)(cid:26)4-2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:390)(cid:205)(cid:391)(cid:392)·(cid:245)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)①(cid:59)(cid:64)(cid:245)(cid:393)(cid:41)(cid:57)(cid:182)(cid:318)(cid:35)(cid:34)(cid:347)(cid:394)(cid:59)(cid:83)(cid:393)(cid:41)(cid:188)(cid:25)(cid:57)30cm(cid:59)(cid:44)②(cid:64)(cid:83)
(cid:393)(cid:41)(cid:82)(cid:187)(cid:44)(cid:59)(cid:395)(cid:160)(cid:55)(cid:396)(cid:173)(cid:325)(cid:37)(cid:34)(cid:397)(cid:398)(cid:360)(cid:59)(cid:321)(cid:347)(cid:394)(cid:341)(cid:399)(cid:33) (cid:55)(cid:275)(cid:41)(cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:300)(cid:45)(cid:46)60°(cid:168)(cid:59)(cid:33) (cid:55)(cid:275)(cid:41)(cid:400)(cid:130)
(cid:34)(cid:401)(cid:402)(cid:25)(cid:57)(cid:85) (cid:90) 𝐴 𝐶A(cid:69) cm B(cid:69)10 2 cm C(cid:69)10 3 cm D(cid:69) cm
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)10B𝜋 𝜋 𝜋 20𝜋
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:34)(cid:236)(cid:23)(cid:69)(cid:112)(cid:20)(cid:3)(cid:217)(cid:55)(cid:68)(cid:238)(cid:121)(cid:33) (cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:403)(cid:402)(cid:64)(cid:29)(cid:24)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:214)(cid:215)(cid:121)
(cid:128)(cid:27)(cid:130)(cid:29)(cid:24)(cid:61)(cid:55)(cid:29)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:59)(cid:131)(cid:404)(cid:238)(cid:36)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:134)(cid:405)(cid:53)(cid:54)(cid:69)(cid:115)(cid:20)(cid:406)(cid:117)(cid:126)(cid:238)(cid:121)𝐶 (cid:33) (cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:403)(cid:402)(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:7)
(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:403)(cid:402)(cid:25)(cid:28)(cid:69)(cid:33) (cid:341)(cid:33) (cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)60°(cid:59)(cid:83)(cid:36)(cid:37)(cid:403)(cid:402)(cid:64)(cid:66) (cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59) (cid:25)(cid:57)𝐶(cid:56)(cid:39)(cid:34)(cid:245)(cid:93)(cid:29)(cid:24)(cid:59)(cid:126)(cid:27)(cid:130)
(cid:34)(cid:25)(cid:28)(cid:59)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐶(cid:7)(cid:26)(cid:53)𝐴(cid:54)(cid:69) 𝐴 𝐴𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) (cid:393)(cid:41)(cid:64)(cid:188)(cid:25)(cid:57)30cm(cid:34)(cid:182)(cid:318)(cid:35)(cid:59)
∵
(cid:62)(cid:31)(cid:92) (cid:34)(cid:25)(cid:28)(cid:57) 30 +30 = 2×30 =30 2cm(cid:69)
2 2 2
∴ =60° 𝐴(cid:59)𝐶(cid:56)(cid:39) = =30 2cm(cid:69)
∵𝑛 𝑟 𝐴𝐶 60× ×30 2
(cid:33) (cid:55)(cid:275)(cid:41)(cid:400)(cid:130)(cid:34)(cid:401)(cid:402)(cid:25) = =10 2 cm(cid:69)
180
𝜋
∴(cid:15)(cid:142)𝐶(cid:26)4-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:151)(cid:247)(cid:407)𝑙 (cid:205)·(cid:245)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:188)(cid:25)𝜋(cid:57)2 3cm(cid:34)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35)(cid:408)(cid:409)(cid:59)(cid:58)(cid:30)(cid:57)(cid:33) (cid:59) (cid:331)(cid:100)(cid:208)(cid:114)(cid:188) (cid:59)
(cid:331)(cid:410)(cid:57)B(cid:59) =17cm(cid:59)(cid:23)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:37)(cid:408)(cid:409)(cid:45)(cid:46)90°(cid:59)(cid:52)(cid:33)A(cid:55)(cid:185)(cid:49)(cid:335)(cid:58)(cid:61)(cid:94)(cid:49)(cid:34)(cid:38)(cid:39)(cid:25)𝑂(cid:57)𝑂(cid:85)𝐴 (cid:90) 𝐶𝐷
𝐴𝐵
A(cid:69)(17+ 3) B(cid:69)(17+2 3) C(cid:69)10 D(cid:69)20
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)C πcm πcm πcm πcm
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:191)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:182)(cid:253)(cid:188)
(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:75)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:27)(cid:130) (cid:34)(cid:25)(cid:28)(cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:129)(cid:184) (cid:34)(cid:25)(cid:28)(cid:59)(cid:195)(cid:47)(cid:132)(cid:133)(cid:24)(cid:25)(cid:7)(cid:26)(cid:134)(cid:405)(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:59)𝑂(cid:97)𝐵(cid:98) (cid:59) (cid:69) 𝑂𝐴
𝑂𝐷 𝑂𝐶360°
= =60°(cid:59) = (cid:59)
6
∵∠𝐷𝑂𝐶 (cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)𝑂𝐷 𝑂𝐶
∴△𝑂=𝐷𝐶 = =2 3cm(cid:59)
∴𝑂𝐷 𝑂𝐶(cid:59) 𝐷𝐶
∵𝑂𝐵=⊥𝐶𝐷 = 3cm(cid:59)
∴𝐵𝐶 𝐵𝐷
= =3cm(cid:59)
2 2
∴𝑂𝐵=17𝑂c𝐷m(cid:59)−𝐵𝐷
∵𝐴𝐵 = + =20cm(cid:59)
∴𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴𝐵 90 20
(cid:33)A(cid:55)(cid:185)(cid:49)(cid:335)(cid:58)(cid:61)(cid:94)(cid:49)(cid:34)(cid:38)(cid:39)(cid:25)= = (cm)(cid:69)
180
⋅𝜋⋅
∴(cid:196)(cid:197)(cid:10)C(cid:69) 10𝜋
【题型5 利用扇形面积公式求面积】
(cid:15)(cid:84)5(cid:19)(cid:85)2025·(cid:414)(cid:225)(cid:415)(cid:416)·(cid:243)(cid:147)(cid:90)(cid:44)1(cid:57)(cid:160)(cid:405)(cid:303)(cid:417)(cid:40)(cid:35)(cid:288)(cid:242)(cid:59)(cid:44)2(cid:57)(cid:83)(cid:201)(cid:56)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:208)(cid:41)(cid:82)(cid:187)(cid:44)(cid:69)(cid:288)(cid:242)(cid:3)(cid:418)(cid:186)
(cid:419)(cid:168)(cid:59)(cid:40)(cid:35) (cid:191)(cid:40)(cid:35) (cid:192)(cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:141)(cid:73)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:114)(cid:190)(cid:64)(cid:330)(cid:35) (cid:34)(cid:73)(cid:62)(cid:188) (cid:75) (cid:69)(cid:103)(cid:104)
=60cm𝐴(cid:59)𝑀(cid:29)𝐶(cid:30)(cid:31) 𝐵𝑁𝐶= 𝐶=30°(cid:59)(cid:52)(cid:40)(cid:35) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:221)(cid:68)𝐴 𝑀 𝑁 𝐵 cm (cid:69)𝐴(cid:85)𝑀(cid:105)(cid:106)𝐵𝑁(cid:107)(cid:108) (cid:90)
2
𝑀𝑁 ∠𝐴𝑀𝐶 ∠𝐵𝑁𝐶 𝐴𝑀𝐶 𝜋
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)3(cid:115)0(cid:20)0𝜋(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:330)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:75)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:192)(cid:3)(cid:104)(cid:212)(cid:33)(cid:64)(cid:112)(cid:20)
(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
×60
(cid:99)(cid:140) (cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)(cid:27)(cid:130) = =60cm(cid:59)(cid:129)(cid:184) = = = (cid:85)cm (cid:90)(cid:59)(cid:67)
扇形 360 2 360 2
30𝜋𝐴𝑀 30𝜋 2
△𝐶𝑀𝑁 𝐴𝑀 𝐶𝑀 𝑆 𝐴𝑀𝐶 300𝜋(cid:80)(cid:129)(cid:184)(cid:109)(cid:110)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10) (cid:330)(cid:35) (cid:59)
= (cid:59)∵ 𝐴=𝑀𝑁𝐵 =90°(cid:59)
∴𝐴 𝑀 𝐵𝑁= ∠𝐴𝑀𝑁=30∠°(cid:59)𝐵𝑁𝑀
∵ ∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐵𝑁𝐶 =60°(cid:59) = =60°(cid:59)
∴∠𝐶𝑀=𝑁 ∠𝐴𝑀=𝑁−∠𝐴(cid:59)𝑀𝑁 ∠𝐶𝑁𝑀 ∠𝐵𝑁𝑀−∠𝐵𝑁𝐶
∵𝐴𝑀= 𝐶𝑀(cid:59),𝐵𝑁 𝐶𝑁
∴𝐶𝑀 𝐵(cid:64)𝑁(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)
∴△𝐶𝑀=𝑁 =60cm(cid:59)
∴𝐶𝑀 =𝑀𝑁=60cm(cid:59)
∴𝐴𝑀 𝐶𝑀 ×60
= = = (cid:85)cm (cid:90)(cid:59)
扇形 360 2 360 2
30𝜋𝐴𝑀 30𝜋 2
(cid:196)∴(cid:109)𝑆 (cid:110) 𝐴 (cid:57) 𝑀 (cid:10) 𝐶 300π 300𝜋
(cid:15)(cid:142)(cid:26)5-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:420)(cid:421)(cid:422)(cid:423)·(cid:123)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59) (cid:57) (cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:59) (cid:34)(cid:101)(cid:92) (cid:95) (cid:34)(cid:218)(cid:25)(cid:92)(cid:68)(cid:33)E(cid:59)(cid:33)D
(cid:55) (cid:201)(cid:59) = (cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59) (cid:69) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐶𝐸 𝐵𝐴
𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷
(1)(cid:91)(cid:44)1(cid:59)(cid:27)(cid:99)(cid:10) = (cid:102)
(2)(cid:91)(cid:44)2(cid:59)(cid:193) ∠𝐶=𝐸𝐴 ∠𝐶(cid:59)𝐴𝐷 =5 2(cid:59)(cid:27)(cid:40)(cid:35) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)(1)(cid:111)∠(cid:112)𝐶(cid:113)𝐸𝐵 2∠𝐶𝐵𝐸 𝑂𝐸 𝐵𝑂𝐷
25
(2)
8
(cid:15)(cid:114)π(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:167)(cid:24)(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:29)(cid:65)(cid:31)(cid:192)(cid:221)(cid:59)(cid:27)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:221)(cid:424)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)
(cid:125)(cid:191)(cid:120)(cid:121)(cid:221)(cid:425)(cid:59)(cid:182)(cid:238)(cid:234)(cid:130)(cid:332)(cid:333)(cid:92)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:426)
(cid:85)1(cid:90)(cid:70)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:80)(cid:129) =90°(cid:59)(cid:52) + =90°(cid:59)(cid:131)(cid:70)(cid:221)(cid:188)(cid:62)(cid:221)(cid:31)(cid:75)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:237)(cid:31)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:184)
= (cid:59)(cid:131)(cid:99)(cid:140) =∠𝑂𝐶(cid:59)𝐸 + ∠=𝐶𝐸9𝐴0°(cid:59)∠(cid:67)3(cid:80)(cid:99)(cid:140) = (cid:69)
∠(cid:85)32(cid:90)(cid:126)2∠(cid:99)2(cid:140) = ∠4 ∠=245°∠(cid:59)𝐶𝐴(cid:52)𝐷 ∠=322.5°(cid:59)(cid:70)(cid:29)(cid:65)(cid:31)(cid:121)∠(cid:128)𝐶𝐸(cid:129)𝐴(cid:184) ∠𝐶𝐴𝐷= =45°(cid:59)(cid:134)(cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:130)
=5(cid:59)(cid:133)(cid:224)∠(cid:22)3 (cid:23)∠(cid:40)𝐶(cid:35)𝐸𝐴(cid:41)(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:7)(cid:26)∠4(cid:27)(cid:112)(cid:67)(cid:80)(cid:69) ∠𝐷𝑂𝐵 2∠4
𝐶𝑂(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:85)1(cid:90)(cid:99)(cid:140)(cid:10)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59)
(cid:64) (cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:59) 𝐶𝑂
∵𝐶𝐸 ⊙𝑂
=90°(cid:59)
∴∠𝑂𝐶𝐸+ =90°(cid:59)
∴∠𝐶𝐸=𝐴 ∠(cid:59)3
∵𝑂𝐶= 𝑂𝐵(cid:59)
∴∠1 =∠2 + = (cid:59)
∴∠3 =∠1(cid:59)∠2 2∠2
∵𝐴𝐶= 𝐵𝐷(cid:59)
∴∠4(cid:57)(cid:100)∠2(cid:39)(cid:59)
∵𝐴𝐵 =90°(cid:59)
∴∠𝐴𝐶𝐵+ + =90°(cid:59)(cid:67) + =90°(cid:59)
∴∠𝐶𝐴𝐷=∠4 ∠(cid:69)2 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠3
(cid:85)∴2∠(cid:90)𝐶𝐸(cid:112)𝐴(cid:10)(cid:91)∠𝐶(cid:44)𝐴(cid:59)𝐷(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59)(cid:70)(cid:85)1(cid:90)(cid:129) = = (cid:59)
𝐶𝑂 𝐷𝑂 ∠3 2∠2 2∠4
= = (cid:59)
∵∠𝐶𝐸𝐴=2∠(cid:59)𝐶𝐵𝐸 2∠4
∴∠𝐶𝐸𝐴 =∠903°(cid:59)
∵∠𝐸𝐶=𝑂 =45°(cid:59)
∴∠3=∠22𝐶.𝐸5°𝐴(cid:59)
∴∠4 = =45°(cid:59)
∴∠𝐷𝑂=𝐵5 22(cid:59)∠4
∵𝑂𝐸=5(cid:59)
∴𝐶𝑂 ×5 25
= = (cid:69)
扇形 360 2 8
45𝜋
∴(cid:15)𝑆(cid:142)(cid:26) 𝐵𝑂5𝐷-2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:329)(cid:346)π(cid:225)(cid:427)·(cid:123)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:182)(cid:428)(cid:188)(cid:35)(cid:75)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35)(cid:173)(cid:7)(cid:429)(cid:188) =5cm(cid:69)(cid:66)(cid:33) (cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59) (cid:57)
(cid:56)(cid:39)(cid:430)(cid:29)(cid:69)(cid:52)(cid:40)(cid:35) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:69) 𝐴𝐵 𝐴 𝐴𝐵
𝐴𝐶𝐷
55
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19) cm
6
π
2
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:75)(cid:182)(cid:171)(cid:188)(cid:35)(cid:127)(cid:31)(cid:75)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:182)(cid:171)(cid:188)(cid:35)(cid:127)(cid:31)(cid:75)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:130) (cid:223) (cid:34)(cid:28)
(cid:220)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:80)(cid:59)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:75)(cid:182)(cid:171)(cid:188)(cid:35)(cid:127)(cid:31)(cid:75)(cid:7)(cid:26)(cid:64)(cid:112)(cid:20)∠(cid:34)𝐶(cid:3)𝐴𝐵(cid:217)(cid:69)∠𝐷𝐴𝐵
( )×180° ( )×180°
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:70)(cid:182)(cid:428)(cid:188)(cid:35)(cid:75)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35)(cid:80)(cid:129)(cid:10) = =108°(cid:59) = =120°(cid:59)
5 5
5−2 6−2
= = ∠𝐶𝐴𝐵 =132°(cid:59) ∠𝐷𝐴𝐵
∴∠𝐶𝐴𝐷 360°−∠𝐶1𝐴3𝐵2×−∠×𝐷5𝐴𝐵1323×60×°2−510855°−120°
(cid:40)(cid:35) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) = = (cm )(cid:59)
360 2 360 6
𝜋 𝜋 π 2
∴
(cid:196)(cid:109)(cid:110)
𝐴
(cid:57)
𝐶𝐷
(cid:10)
55πcm2(cid:69)
6
(cid:15)(cid:142)(cid:26)5-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:202)(cid:225)(cid:431)(cid:146)·(cid:123)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:29)O(cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35) (cid:34)(cid:237)(cid:98)(cid:29)(cid:59)(cid:33)D(cid:64)(cid:24) (cid:34)(cid:58)(cid:33)(cid:59)(cid:97)(cid:98)
𝐴𝐵𝐶 16 𝐵𝐶
(cid:223) (cid:69)(cid:66)(cid:33)D(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59) (cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:55)(cid:29)O(cid:127)(cid:430)(cid:24)(cid:59)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:59)(cid:52)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35) (cid:34)(cid:188)(cid:25)
3
π
𝐵(cid:57)𝐷(cid:85) 𝐶 𝐷(cid:90) 𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶
A(cid:69)4 B(cid:69)4 2 C(cid:69)4 3 D(cid:69)2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)C
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:97)(cid:98) (cid:223) (cid:59) (cid:191) (cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:69)(cid:132)(cid:133)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:75)(cid:29)(cid:127)(cid:98)(cid:329)(cid:188)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:129)(cid:184)
=120°(cid:59)𝑂𝐵(cid:131)(cid:105)𝑂(cid:248)𝐷(cid:40)𝑂(cid:35)𝐷(cid:41)(cid:42)𝐵𝐶(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:27)𝐸(cid:130) =4(cid:59)(cid:70)(cid:331)(cid:39)(cid:121)(cid:128)(cid:80)(cid:129) = (cid:59) (cid:59) = (cid:59)(cid:131)(cid:112)
∠𝐵𝐷𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐸 𝑂𝐶⊥𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)(cid:129)(cid:184) =2 3(cid:59)(cid:181)(cid:135)(cid:129)(cid:184) =4 3(cid:59)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:112)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:44)𝐵(cid:59)𝐸(cid:97)(cid:98) (cid:223) (cid:59) (cid:191)𝐵𝐶 (cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:69)
𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝑂𝐷 𝐵𝐶 𝐸
(cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)
∵△𝐴𝐵=𝐶60°(cid:59)
∴∠(cid:329)𝐴(cid:188)(cid:35) (cid:127)(cid:98)(cid:68) (cid:59)
∵ + 𝐴𝐵𝐶𝐷=180°(cid:59)⊙𝑂
∴∠𝐴 ∠=𝐵𝐷12𝐶0°(cid:59)
∴∠𝐵𝐷𝐶 16
(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:59)
3
π
∵
= (cid:59)
360 2 3
120𝜋⋅𝐵𝐷 16𝜋
∴ =16(cid:59)
2
∴𝐵𝐷=4(cid:85)(cid:434)(cid:278)(cid:435)(cid:436)(cid:90)(cid:59)
∴𝐵𝐷(cid:64)(cid:56)(cid:39)(cid:59)(cid:33)D(cid:64)(cid:24)BC(cid:34)(cid:58)(cid:33)(cid:59)
∵𝑂𝐷= (cid:59) (cid:59) = (cid:59)
∴𝐵𝐸 𝐶=𝐸 𝑂𝐶⊥=𝐵3𝐶0°(cid:59)𝐵𝐷 𝐶𝐷
∴∠𝐷𝐵𝐶1 ∠𝐷𝐶𝐵
= =2(cid:59)
2
∴𝐷𝐸 𝐵𝐷
= =2 3(cid:59)
2 2
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐷=−4𝐷𝐸3(cid:59)
∴𝐵(cid:221)𝐶(cid:188)(cid:123)2(cid:31)𝐵𝐸(cid:35) (cid:34)(cid:188)(cid:25)(cid:57)4 3(cid:59)
(cid:196)∴(cid:197)(cid:10)C(cid:69) 𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:33)(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:29)(cid:127)(cid:98)(cid:329)(cid:188)(cid:35)(cid:59)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:331)(cid:39)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:221)(cid:424)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:75)(cid:124)(cid:125)(cid:59)
(cid:122)30(cid:28)(cid:31)(cid:34)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:221)(cid:104)(cid:212)(cid:59)(cid:264)(cid:265)(cid:29)(cid:34)(cid:192)(cid:3)(cid:124)(cid:125)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
【题型6 求弓形面积】
(cid:15)(cid:84)6(cid:19)(cid:85)2025·(cid:437)(cid:16)(cid:225)(cid:303)·(cid:243)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:330)(cid:35) (cid:58)(cid:59) =4 2(cid:59) =2(cid:59)(cid:66) (cid:57)(cid:100)(cid:39)(cid:234)(cid:56)(cid:29) (cid:59)(cid:52)(cid:44)(cid:58)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑂(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:64)(cid:85) (cid:90)
4 8 2 4
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69) D(cid:69)
3 3 3 3
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)4𝜋B−8 2𝜋−4 𝜋− 𝜋−
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:27)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:331)(cid:39)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:69)(cid:137) (cid:191)(cid:56)(cid:29)O(cid:95)(cid:68)(cid:33)E(cid:59)F(cid:59)(cid:49)(cid:33)O(cid:234)
1 1 𝐶𝐷 𝑂𝑀⊥𝐶𝐷
(cid:68)(cid:33)M(cid:59)(cid:52) = =2(cid:59) = = ×4 2=2 2(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:331)(cid:39)(cid:121)(cid:128)(cid:80)(cid:129) = (cid:59) = (cid:59)
2 2
(cid:131)(cid:105)(cid:248)(cid:214)(cid:215)(cid:121)𝑂𝑀(cid:128)(cid:80)𝐴(cid:129)𝐷 = 𝑂𝐸(cid:59) 𝐴𝐵 = =4(cid:59)(cid:181)(cid:135)(cid:129)(cid:184) =90°(cid:59)(cid:138)(cid:47)𝐸𝐹(cid:132)(cid:133)2𝐸𝑀 ∠𝐹𝑂𝑀 ∠(cid:59)𝐸(cid:67)𝑂𝑀(cid:80)(cid:27)
扇形
(cid:112)(cid:69) 𝑂𝑀 𝐸𝑀 𝐸𝐹 2𝐸𝑀 ∠𝐸𝑂𝐹 𝑆 𝐸𝑂𝐹 −𝑆△𝐸𝑂𝐹
1
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:137) (cid:191)(cid:56)(cid:29)O(cid:95)(cid:68)(cid:33)E(cid:59)F(cid:59)(cid:49)(cid:33)O(cid:234) (cid:68)(cid:33)M(cid:59)(cid:52) = =2(cid:59) = =
2
𝐶𝐷 𝑂𝑀⊥𝐶𝐷 𝑂𝑀 𝐴𝐷 𝑂𝐸 𝐴𝐵
1
×4 2=2 2(cid:59)
2
= (cid:59) = (cid:59)
∴𝐸𝐹 2𝐸𝑀 ∠𝐹𝑂𝑀 ∠𝐸𝑂𝑀
= =2(cid:59)
2 2
∴𝐸𝑀 = 𝑂𝐸(cid:59)−𝐸𝑀= =4(cid:59)
∴𝑂𝑀 𝐸(cid:64)𝑀(cid:221)𝐸(cid:424)𝐹(cid:100)(cid:31)2𝐸(cid:123)𝑀(cid:31)(cid:35)(cid:59)
∴△𝐸𝑂𝑀= =45°(cid:59)
∴∠𝐹𝑂𝑀=9∠0𝐸°(cid:59)𝑂𝑀
∴∠𝐸𝑂𝐹 90 ×(2 2) 1
(cid:44)(cid:58)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:64) = ×2×4=2 (cid:69)
扇形 360 2 2
π
∴(cid:196)(cid:197)(cid:10)B(cid:69) 𝑆 𝐸𝑂𝐹 −𝑆△𝐸𝑂𝐹 − π−4
(cid:15)(cid:142)(cid:26)6-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:438)(cid:439)(cid:58)(cid:440)·(cid:123)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:114)(cid:190)(cid:66)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:123)(cid:281)(cid:232)(cid:33)(cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59)(cid:66)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:188)(cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:430)
(cid:24)(cid:59)(cid:129)(cid:184)(cid:34)(cid:441)(cid:418)(cid:44)(cid:35)(cid:64)“(cid:442)(cid:431)(cid:123)(cid:31)(cid:35)”(cid:59)(cid:193)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:188)(cid:25) =2(cid:59)(cid:52)“(cid:442)(cid:431)(cid:123)(cid:31)(cid:35)”(cid:191)(cid:221)(cid:188) (cid:76)(cid:72)(cid:432)
(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:221)(cid:68) (cid:85)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108) (cid:90)(cid:69) 𝐴𝐵 △𝐴𝐵𝐶
π(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)2 3
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)π(cid:20)−3(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:44)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:49)(cid:33)A(cid:234) (cid:68)H(cid:59)(cid:70)
1 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶
(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:184) =60°(cid:59) = =1(cid:59)(cid:52)(cid:70)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:80)(cid:129) = = 3(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:133)
2
2 2
=3( ∠𝐴)𝐶(cid:53)𝐵(cid:54)(cid:27)(cid:112)(cid:67)𝐵(cid:80)𝐻(cid:69) 𝐵𝐶 𝐴𝐻 𝐴𝐵 −𝐵𝐻
阴影 扇形
𝑆(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)𝑆(cid:10)(cid:91)𝐴𝐶(cid:44)𝐵−(cid:61)𝑆△(cid:82)𝐴(cid:59)𝐵𝐶(cid:49)(cid:33)A(cid:234) (cid:68)H(cid:59)
(cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59) =2(cid:59)𝐴𝐻⊥𝐵𝐶
∵△𝐴=𝐵𝐶 =2(cid:59) =𝐴6𝐵0°(cid:59)
∴𝐵𝐶 𝐴1𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵
= =1(cid:59)
2
∴𝐵𝐻 𝐵𝐶
= = 3(cid:59)
2 2
∴𝐴𝐻 =3𝐴(𝐵 −𝐵𝐻 )
阴影 扇形
∴𝑆
60 ×
𝑆
2 𝐴𝐶1𝐵−𝑆△𝐴𝐵𝐶
=3 ×2× 3
360 2 2
π
−
=2 3(cid:59)
(cid:196)(cid:109)π(cid:110)−(cid:57)3(cid:10)2 3(cid:69)
π−3
(cid:15)(cid:142)(cid:26)6-2(cid:19)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:21)(cid:447)(cid:448)(cid:73)(cid:188)(cid:449)(cid:291)(cid:47)(cid:72)(cid:29)(cid:35)(cid:448)(cid:41)(cid:85)(cid:91)(cid:44)①(cid:90)(cid:59)(cid:447)(cid:448)(cid:73)(cid:188) (cid:75) (cid:208)(cid:405)(cid:141)(cid:192)(cid:221)(cid:85)(cid:91)(cid:44)
②(cid:90)(cid:59)(cid:154)(cid:450)(cid:23)(cid:451)(cid:452)(cid:453)(cid:130) =1(cid:277)(cid:59) =0.5(cid:277)(cid:59)(cid:52)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:85) (cid:90)𝐴𝐵 𝐶𝐷
𝐵𝐷 𝐵𝐶3 3 3 3
A(cid:69) (cid:208)(cid:318)(cid:277) B(cid:69) (cid:208)(cid:318)(cid:277) C(cid:69) (cid:208)(cid:318)(cid:277) D(cid:69) (cid:208)
12 8 6 8 12 4 6 4
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
(cid:318)(cid:277) − − − −
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)B
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:224)(cid:20)(cid:116)(cid:117)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:66)(cid:194)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:66)(cid:194)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:27)(cid:454)(cid:221)(cid:104)(cid:212)(cid:59)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:176)(cid:455)(cid:31)(cid:34)(cid:123)(cid:31)
(cid:456)(cid:220)(cid:3)(cid:211)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:3)(cid:217)(cid:69)(cid:137)(cid:29)(cid:30)(cid:57)O(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:49)(cid:33)O(cid:234) (cid:68)(cid:33)E(cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:129)(cid:130) (cid:59) (cid:34)(cid:25)(cid:66)(cid:194)
(cid:34)(cid:28)(cid:220)(cid:59)(cid:134)(cid:135)(cid:70) 弓形 面积 (cid:457) 扇形 𝐶𝑂(cid:129)(cid:130)(cid:43)(cid:35) 𝑂(cid:34)𝐸(cid:41)⊥(cid:42)𝐶𝐷(cid:59)(cid:134)(cid:245)(cid:246)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:129)(cid:432)𝐶𝐷(cid:433)(cid:355)𝐸(cid:114)𝑂(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)∠𝐶𝑂𝐷
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:137)𝑆(cid:29)(cid:30)(cid:57)𝐶𝐷 O(cid:59)(cid:97)𝑆(cid:98) 𝐶𝑂(cid:59)𝐷−(cid:49)𝑆(cid:33)△𝐶𝑂 O 𝐷(cid:234) 𝐶𝐷(cid:68)(cid:33)E(cid:59)
𝐶𝑂 𝑂𝐸⊥𝐶𝐷
(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:80)(cid:129)(cid:130)(cid:10) =90°(cid:59)
(cid:64) (cid:34)(cid:100)∠(cid:39)𝐵(cid:59)𝐶𝐷
∴𝐵𝐷=⊙1(cid:277)𝑂(cid:59) =0.5(cid:277)(cid:59)
∵𝐵𝐷 1 𝐵𝐶 3
= (cid:59) = = (cid:277)(cid:59)
2 2
2 2
∴𝐵𝐶 =𝐵𝐷30°𝐶(cid:59)𝐷 𝐵𝐷 −𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐷𝐶1 1
= = (cid:277)(cid:59)
2 4
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐷(cid:59)
∵𝑂𝐶 𝑂=𝐷 =30°(cid:59)
∴∠𝑂𝐶𝐷=∠12𝐵0𝐷°𝐶(cid:59)
∴∠𝐶𝑂𝐷 1
× 1 1 3 3
= ﹣ = 2 2 × × = (cid:208)(cid:318)(cid:277)(cid:59)
弓形 面积 扇形 360 2 4 2 12 16
120𝜋 𝜋
∴𝑆 𝐶𝐷 𝑆 𝐶𝑂𝐷 𝑆△𝐶𝑂𝐷 3 −3 −
(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:10)2× = (cid:208)(cid:318)(cid:277)(cid:69)
12 16 6 8
𝜋 𝜋
∴(cid:196)(cid:197)(cid:10)B(cid:69) − −
∴(cid:15)(cid:142)(cid:26)6-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:458)(cid:438)(cid:282)(cid:459)·(cid:243)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:221)(cid:424)(cid:123)(cid:31)(cid:35) (cid:58)(cid:59) = (cid:59) = (cid:59) (cid:68)(cid:33) (cid:59)
(cid:64) (cid:34)(cid:237)(cid:98)(cid:29)(cid:59)(cid:95) (cid:34)(cid:218)(cid:25)(cid:92)(cid:68)(cid:33) (cid:69) 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸 ⊙𝑂
△𝐴𝐵𝐷 𝐶𝐴 𝐹
(1)(cid:120)(cid:460)(cid:461)(cid:462)(cid:140) (cid:191) (cid:34)(cid:362)(cid:339)(cid:3)(cid:211)(cid:102)
(2)(cid:300) =30°𝐷(cid:59)𝐸 ⊙=1𝑂(cid:168)(cid:59)(cid:27)(cid:24) (cid:191)(cid:96) (cid:61)(cid:76)(cid:72)(cid:34)(cid:43)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:85)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:90)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)∠𝐵(cid:19)(1)(cid:100)(cid:92)𝐴𝐸(cid:191) (cid:34)(cid:362)(cid:339)𝐴(cid:3)𝐹(cid:211)(cid:64)(cid:192)𝐴𝐹(cid:101)(cid:59)(cid:128)(cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:102)
2 𝐷𝐸 ⊙𝑂
(2) 3(cid:69)
3
(cid:15)(cid:114)𝜋(cid:113)−(cid:19)(cid:85)1(cid:90)(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:70)(cid:221)(cid:424)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:123)(cid:248)(cid:245)(cid:121)(cid:128)(cid:80)(cid:129) (cid:59)(cid:196)(cid:173) =90°(cid:59)(cid:61)(cid:66) (cid:57) (cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:59)
(cid:181)(cid:135)(cid:129)(cid:184) (cid:64) 𝑂𝐷(cid:58)(cid:362)(cid:92)(cid:59)(cid:52) (cid:59)(cid:129)(cid:184) 𝐴𝐷(cid:59)⊥(cid:195)𝐵(cid:47)𝐶(cid:70)(cid:101)(cid:92)∠(cid:34)𝐴(cid:120)𝐷𝐵(cid:121)(cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:99)(cid:102)𝐴𝐵 ⊙𝑂
(cid:85)2(cid:90)(cid:97)(cid:98)𝑂𝐷 (cid:59)△(cid:49)𝐴𝐵(cid:234)𝐶 (cid:68)(cid:33)𝑂𝐷∥(cid:59)𝐴𝐶(cid:99)(cid:140) 𝐷𝐸⊥(cid:64)𝑂(cid:221)𝐷(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)(cid:52)(cid:173) =60°(cid:59) =30°(cid:59)
= (cid:59)𝑂(cid:138)𝐹(cid:47)(cid:132)𝑂(cid:133)(cid:100)𝑂(cid:31)𝐻(cid:123)⊥(cid:31)𝐴𝐹(cid:35)(cid:34)(cid:124)𝐻(cid:125)(cid:80)(cid:129) △𝑂=𝐴𝐹 =2(cid:59) = =∠𝐴4𝑂(cid:59)𝐹 = ∠=𝐴2𝑂(cid:59)𝐻 =1(cid:59)(cid:195)(cid:47)
𝑂(cid:303)𝐴(cid:49)(cid:43)𝐴(cid:35)𝐹(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:67)(cid:80)(cid:27)(cid:112)(cid:69)𝐴𝐷 2𝐴𝐸 𝐴𝐵 2𝐴𝐷 𝑂𝐴 𝐴𝐹 𝐴𝐻
扇形
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:85)1(cid:90)(cid:112)𝑆(cid:10)(cid:100)𝐴𝑂(cid:92)𝐹 −𝑆△(cid:191)𝐴𝑂𝐹 (cid:34)(cid:362)(cid:339)(cid:3)(cid:211)(cid:64)(cid:192)(cid:101)(cid:59)(cid:128)(cid:70)(cid:10)
(cid:97)(cid:98) (cid:59) 𝐷𝐸 ⊙𝑂
𝑂𝐷
= (cid:59) = (cid:59)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:59)𝐵𝐷 𝐷𝐶
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90°(cid:59)
∴∠𝐴(cid:57)𝐷𝐵 (cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:59)
∴𝐴𝐵 =⊙𝑂(cid:59)
∴𝑂𝐴(cid:64)𝑂𝐵 (cid:58)(cid:362)(cid:92)(cid:59)
∴𝑂𝐷 △(cid:59)𝐴𝐵𝐶
∴𝑂𝐷∥𝐴𝐶 (cid:59)
∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶(cid:59)
∴𝐷𝐸⊥𝑂𝐷(cid:64) (cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:59)
∵𝑂𝐷(cid:191)⊙𝑂(cid:192)(cid:101)(cid:102)
(cid:85)∴𝐷2𝐸(cid:90)(cid:112)⊙(cid:10)𝑂(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:49) (cid:234) (cid:68)(cid:33) (cid:59)
𝑂𝐹 𝑂 𝑂𝐻⊥𝐴𝐹 𝐻
= (cid:59)
∴𝐴𝐻= 𝐹𝐻(cid:59) =30°(cid:59)
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶 =∠3𝐵0°(cid:59)
∴∠𝐵 ∠=𝐶 + =60°(cid:59)
∴∠𝑂𝐴=𝐹 ∠(cid:59)𝐵 ∠𝐶
∵𝑂𝐴 𝑂(cid:64)𝐹 (cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)
∴△𝑂𝐴𝐹=60°(cid:59) =30°(cid:59) = (cid:59)
∴∠𝐴𝑂𝐹 =90°(cid:59)∠𝐴𝑂=𝐻30°(cid:59) 𝑂𝐴 𝐴𝐹
∵∠𝐴𝐷𝐵=60°(cid:59)∠𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐶 (cid:59)
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶90°(cid:59)
∴∠𝐴𝐸𝐷=30°(cid:59)
∴∠𝐴𝐷=𝐸 =2(cid:59)
∴(cid:167)𝐴(cid:128)𝐷(cid:10)2𝐴𝐸= =4(cid:59)
=𝐴𝐵 =22𝐴(cid:59)𝐷
∴𝑂𝐴 =𝐴1(cid:59)𝐹
∴𝐴𝐻
(cid:70)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:129)(cid:10) = = 2 1 = 3(cid:59)
2 2 2 2
(cid:43)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:57) 𝑂𝐻 𝑂𝐴 −𝐴𝐻 −
扇形
∴ ×2 𝑆1 𝐴𝑂𝐹 −𝑆△𝐴𝑂𝐹
= ×2× 3
360 2 2
60𝜋
2 −
= π− 3(cid:69)
3
(cid:15)(cid:33)(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:29)(cid:65)(cid:31)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:221)(cid:424)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:59)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:191)(cid:124)(cid:125)(cid:59)
(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:221)(cid:104)(cid:212)(cid:59)(cid:264)(cid:265)(cid:104)(cid:212)(cid:33)(cid:34)(cid:236)(cid:23)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)【题型7 求图形旋转后扫过的面积】
(cid:15)(cid:84)7(cid:19)(cid:85)2025·(cid:329)(cid:346)(cid:463)(cid:205)·(cid:243)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:208)(cid:41)(cid:100)(cid:31)(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:58)(cid:59) (cid:34)(cid:232)(cid:33)(cid:209)(cid:210)(cid:114)(cid:190)(cid:64) (0,4)(cid:59) (0,2)(cid:59) (3,2)(cid:69)
Δ𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶
(1)(cid:321) (cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:30)(cid:45)(cid:46)270°(cid:59)(cid:430)(cid:130)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:62)(cid:236)(cid:34) (cid:102)(cid:461)(cid:27)(cid:130) (cid:188)(cid:45)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
(2)(cid:321)Δ𝐴𝐵𝐶(cid:208)𝑂(cid:358)(cid:47)(cid:129)(cid:184) (cid:59)(cid:193)(cid:33) (cid:34)(cid:62)(cid:236)(cid:33)
(cid:34)(cid:209)(cid:210)Δ𝐴(cid:57)1𝐵(21𝐶,21)(cid:59)(cid:27)
𝐴𝐶 (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
Δ𝐴𝐵𝐶
Δ𝐴2𝐵2𝐶2
𝐴
𝐴2 Δ𝐴1𝐶1𝐶2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)(1)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:59) (cid:188)(cid:45)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)
4
9𝜋
𝐴𝐶 27 3
(2)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:59) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:464)
2 2
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)Δ𝐴(cid:88) 1𝐶(cid:118) 1𝐶(cid:119) 2 (cid:234)(cid:44)—(cid:45)(cid:46)(cid:142)(cid:373)(cid:59)(cid:209)(cid:210)(cid:191)(cid:44)(cid:35)(cid:142)(cid:175)—(cid:208)(cid:358)(cid:59)(cid:22)(cid:23)(cid:229)(cid:230)(cid:27)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:64)(cid:262)
(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:45)(cid:46)(cid:142)(cid:373)(cid:223)(cid:208)(cid:358)(cid:142)(cid:373)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:69)
(cid:85)1(cid:90)(cid:114)(cid:365)(cid:465)(cid:136)(cid:10)①(cid:300) (cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:30)(cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)270°(cid:168)(cid:102)②(cid:300) (cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:30)(cid:343)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)270°
(cid:168)(cid:59)(cid:384)(cid:245)(cid:234)(cid:44)(cid:27)(cid:112)(cid:67)(cid:80)Δ(cid:102)𝐴𝐵𝐶 𝑂 Δ𝐴𝐵𝐶 𝑂
(cid:85)2(cid:90)(cid:132)(cid:133) (0,4)(cid:322)(cid:323)(cid:208)(cid:358)2(cid:281)(cid:466)(cid:362)(cid:25)(cid:28)(cid:59)(cid:131)(cid:322)(cid:360)(cid:208)(cid:358)2(cid:281)(cid:466)(cid:362)(cid:25)(cid:28)(cid:129)(cid:184) (2,2)(cid:59)(cid:67)(cid:80)(cid:234)(cid:44)(cid:59)(cid:131)(cid:70)①(cid:300)
(cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)𝐴(cid:58)(cid:30)(cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)270°(cid:168)(cid:102)②(cid:300) (cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:30)(cid:343)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)𝐴2270°(cid:168)(cid:59)(cid:114)(cid:365)(cid:465)(cid:136)(cid:59)(cid:67)(cid:80)(cid:112)(cid:109)(cid:69)Δ𝐴𝐵𝐶
(cid:15)𝑂(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:85)1(cid:90)(cid:112)(cid:10)①(cid:300) (cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:58)Δ𝐴(cid:30)𝐵𝐶(cid:356)(cid:168)𝑂(cid:344)(cid:45)(cid:46)270°(cid:168)(cid:59)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:137)(cid:66) (cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:34)(cid:29)(cid:191) (cid:222)(cid:95)(cid:68)(cid:33)
(cid:59) Δ𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝑂𝐶 𝑥,𝑦
𝐹,𝐸(cid:70) (0,4)(cid:59) (3,2)(cid:129) =4(cid:59) = 2 +3 = 13(cid:59)
2 2
(cid:45)𝐴(cid:46)(cid:59) 𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝐶
∵ = (cid:59)
∴∠𝐴𝑂𝐶
∠𝐴1𝑂𝐶1
= (cid:59)
⏜ ⏜
∴𝐶𝐸 𝐶1𝐹 ×4 ×( 13)
(cid:188)(cid:45)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) = (cid:69)
360 2 360 2 4
270𝜋 270𝜋 9𝜋
②∴𝐴𝐶(cid:300) (cid:66) (cid:57)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:30)(cid:343)(cid:168)(cid:344)−(cid:45)(cid:46)270°(cid:168)(cid:59)(cid:91)(cid:44)(cid:59)
Δ𝐴𝐵𝐶 𝑂
×4 ×( 13)
(cid:167)(cid:128)(cid:80)(cid:129)(cid:59) (cid:188)(cid:45)(cid:46)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) = (cid:69)
360 2 360 2 4
270𝜋 270𝜋 9𝜋
(cid:85)2(cid:90)(cid:112)(cid:10)①𝐴𝐶(cid:91)(cid:44), −1 27
= ×9×3= (cid:102)
2 2
∴ ② 𝑆Δ (cid:91) 𝐴1 (cid:44) 𝐶1𝐶 (cid:59) 2
1 3
S ΔA 1 C 1 C 2 = 2 ×3×1= 2 (cid:69)
∴ 27 3
(cid:259)(cid:201)(cid:61)(cid:467)(cid:59)ΔA
1
C
1
C
2
(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57)
2
(cid:464)
2
(cid:69)
(cid:15)(cid:142)(cid:26)7-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:437)(cid:16)(cid:97)(cid:468)(cid:469)·(cid:245)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:221)(cid:424)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35) (cid:58)(cid:59)(cid:100)(cid:31)(cid:188)(cid:25)(cid:64)2(cid:59)(cid:193)(cid:321)(cid:224)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:341)(cid:100)
(cid:31)(cid:232)(cid:33)C(cid:356)(cid:168)(cid:344)(cid:45)(cid:46)90°(cid:59)(cid:470)(cid:471)(cid:472)(cid:188) (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57)(cid:85) (cid:90) 𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵
3
A(cid:69) B(cid:69) C(cid:69)2 D(cid:69)2
2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)πB π−2 π π−2
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:224)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:20)(cid:187)(cid:430)(cid:130)(cid:44)(cid:35)(cid:59) (cid:188)(cid:55)(cid:45)(cid:46)(cid:168)(cid:61)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:223) (cid:61)(cid:76)(cid:72)
⏜ ⏜
𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐷(cid:34)(cid:44)(cid:35)(cid:41)(cid:42) (cid:59)(cid:133)(cid:224)(cid:134)(cid:405)(cid:27)(cid:112)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)𝑆(cid:10)(cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:59)(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:80)(cid:129)(cid:59) = = =2, (cid:296)(cid:64)(cid:221)(cid:424)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)
2 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐷,△𝐴𝐵𝐶,△𝐵𝐶𝐷
(cid:52) = = = 2(cid:59)
2
𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐶
(cid:188)(cid:55)(cid:45)(cid:46)(cid:168)(cid:61)(cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:223) (cid:61)(cid:76)(cid:72)(cid:34)(cid:44)(cid:35)(cid:41)(cid:42) (cid:59)
⏜ ⏜
𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐷 𝑆
=
半圆 扇形
𝑆 1𝑆 −𝑆 𝐸𝐶𝐹×−(𝑆△2𝐴)𝐶𝐸−𝑆1△𝐶𝐷𝐹 1
= ×2 ×( 2) ×( 2)
2 360 2 2 2
2 90𝜋 2 2
1𝜋 −1 − −
= ×
2 2
3 4𝜋− 𝜋−2
=
2
(cid:196)(cid:197)𝜋(cid:10)−B2
(cid:15)(cid:142)(cid:26)7-2(cid:19)(cid:85)24-25(cid:473)(cid:199)(cid:200)(cid:360)·(cid:437)(cid:16)(cid:324)(cid:474)·(cid:206)(cid:58)(cid:90)(cid:300)(cid:475)(cid:348)(cid:55)(cid:476)(cid:477)(cid:405)(cid:478)(cid:168)(cid:59)(cid:57)(cid:119)(cid:183)(cid:268)(cid:417)(cid:38)(cid:59)(cid:479)(cid:289)(cid:117)(cid:480)(cid:37)(cid:481)(cid:318)(cid:482)(cid:165)
(cid:483)(cid:484)(cid:201)(cid:34)(cid:476)(cid:485)(cid:486)(cid:69)(cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:64)(cid:32)(cid:475)(cid:348)(cid:34)(cid:245)(cid:281)(cid:476)(cid:485)(cid:486)(cid:82)(cid:187)(cid:44)(cid:59)(cid:476)(cid:485)(cid:486)(cid:487) (cid:191)(cid:476)(cid:485) (cid:55) (cid:488)(cid:489)(cid:121)(cid:97)(cid:98)(cid:85)(cid:50)(cid:490)(cid:46)
(cid:37)(cid:90)(cid:59)(cid:193)(cid:150)(cid:129) =80cm(cid:59) =20cm(cid:59)(cid:300)(cid:487) (cid:341)(cid:33) (cid:46)(cid:37)90°(cid:168)(cid:59)(cid:476)𝑂𝑀(cid:485) (cid:48)(cid:49)𝐴(cid:34)𝐵(cid:41)𝑀(cid:42)(cid:64)(cid:85) (cid:90)
𝐴𝑂 𝐵𝑂 𝑂𝑀 𝑂 𝐴𝐵
A(cid:69)1600 B(cid:69)1500 C(cid:69)900 D(cid:69)800
2 2 2 2
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)B πcm πcm πcm πcm
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:128)(cid:112)(cid:44)(cid:82)(cid:59)(cid:264)(cid:265)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
(cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:59)(cid:218)(cid:25) (cid:95) (cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:191) (cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:80)(cid:129) (SSS)(cid:59)(cid:52) = (cid:59)
⏜ ⏜
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:70) = 𝐵𝐵 𝑂𝐴 (cid:389)𝐶(cid:284)(cid:53)𝐵𝐵(cid:54)(cid:67)𝑂(cid:80)𝐴(cid:69) 𝐷 △𝑂𝐴𝐵≌△𝑂𝐴 𝐵 𝑆△𝑂𝐴𝐵 𝑆△𝑂𝐴𝐵
圆环 扇形 扇形
′
𝑆 𝑆 𝐴𝑂𝐴 −𝑆 𝑂𝐶𝐷(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:44)(cid:61)(cid:82)(cid:59)(cid:218)(cid:25) (cid:95) (cid:68)(cid:33) (cid:59) (cid:191) (cid:95)(cid:68)(cid:33) (cid:59)
⏜ ⏜
′ ′ ′
𝐵𝐵 𝑂𝐴 𝐶 𝐵𝐵 𝑂𝐴 𝐷
(cid:45)(cid:46)(cid:59)
∵ = = = (cid:59)
′ ′ ′ ′
∴𝑂𝐵 𝑂𝐵 ,𝑂𝐴 𝑂𝐴(S,S𝐴S𝐵)(cid:59) 𝐴 𝐵
′ ′
∴△𝑂𝐴𝐵=≌△𝑂𝐴 𝐵(cid:59)
′ ′
∴(cid:300)𝑆△(cid:487)𝑂𝐴𝐵 (cid:341)𝑆△(cid:33)𝑂𝐴(cid:46)𝐵 (cid:37)90°(cid:168)(cid:59)(cid:476)(cid:485) (cid:48)(cid:49)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:64)(cid:29)(cid:276) (cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:59)
′
∴ =𝑂8𝑀0cm 𝑂 =20cm(cid:59) 𝐴𝐵=90°(cid:59) 𝐴𝐴 𝐷𝐶
′
∵𝐴𝑂 ,𝐵𝑂 ∠𝐴𝑂90𝐴° ×80 90 ×20
= = =1500 (cid:59)
圆环 扇形 扇形 360° 2 360° 2
′ π π 2
(cid:196)∴𝑆(cid:197)(cid:10)B 𝑆(cid:69) 𝐴𝑂𝐴 −𝑆 𝑂𝐶𝐷 − πcm
(cid:15)(cid:142)(cid:26)7-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:420)(cid:421)(cid:421)(cid:491)·(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)Rt (cid:58)(cid:59) =90°(cid:59) =30°(cid:59) =2(cid:69)Rt
(cid:80)(cid:66)(cid:341)(cid:33)A(cid:45)(cid:46)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:31)(cid:28)(cid:57)60°(cid:59)(cid:97)(cid:364)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:156)(cid:59)△(cid:114)𝐴(cid:190)𝐵𝐶(cid:129)(cid:184)R∠t𝐴𝐵𝐶 (cid:75)Rt∠𝐵𝐴𝐶 (cid:59)(cid:52)𝐴(cid:44)𝐶(cid:58)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)△𝐴𝐵𝐶
(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:57) (cid:69) △𝐴𝐵1𝐶1 △𝐴𝐵2𝐶2
7 3
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)
12 2
π
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)−(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:59)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:122)30°(cid:31)(cid:34)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)(cid:264)(cid:265)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:44)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)
(cid:3)(cid:217)(cid:69)
(cid:70)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:27)(cid:130) (cid:59) (cid:34)(cid:25)(cid:59)(cid:70)(cid:432)(cid:433)(cid:34)(cid:41)(cid:42)= (cid:59)(cid:236)(cid:23)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:53)(cid:54)
扇形 扇形
(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:7)𝐵(cid:26)𝐶(cid:59)(cid:67)𝐴𝐵(cid:80)(cid:27)(cid:112)(cid:69) 𝑆
𝐴𝐶1𝐶2
−𝑆
𝐴𝐷𝐵2 −𝑆△𝐴𝐵2𝐶2
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:104) =120°(cid:59) =90°(cid:59)
=90°(cid:59) =∠𝐶310𝐴°(cid:59)𝐶2 =2(cid:59) ∠𝐶1𝐴𝐵2
∵∠𝐴𝐵𝐶1 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐶
= =1(cid:59)
2
∴𝐵𝐶 𝐴𝐶= 3 = 3(cid:59)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 ×2 ×( 3) 1 1 3
= = (cid:59) = = (cid:59) = = ×1× 3= (cid:59)
扇形 360 2 3 扇形 360 2 4 2 2 2
120𝜋 4𝜋 90𝜋 3𝜋
∴(cid:432)𝑆 (cid:433)𝐴(cid:34)𝐶1 (cid:41)𝐶2 (cid:42)= 𝑆 𝐴𝐷𝐵2 𝑆△𝐴𝐵2𝐶2 𝐵2𝐶2⋅𝐴𝐵2
扇形 扇形
∴ 3𝑆
𝐴𝐶1𝐶2
−𝑆
𝐴𝐷𝐵2 −𝑆△𝐴𝐵2𝐶2
=
3 4 2
4𝜋 3𝜋
− −
3
= (cid:69)
12 2
7𝜋
−
3
(cid:196)(cid:109)(cid:110)(cid:57)(cid:10) (cid:69)
12 2
7𝜋
−
【题型8 不规则图形的面积计算】
(cid:15)(cid:84)8(cid:19)(cid:85)2025·(cid:414)(cid:203)(cid:492)(cid:146)·(cid:245)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59) (cid:64) (cid:34)(cid:100)(cid:39)(cid:59)C(cid:59)E(cid:64) (cid:201)(cid:73)(cid:33)(cid:59) (cid:208)(cid:114) (cid:59) (cid:95)
(cid:34)(cid:218)(cid:25)(cid:92)(cid:68)(cid:33)D(cid:69) 𝐴𝐵 ⊙𝑂 ⊙𝑂 𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐸 𝐶𝐷⊥𝐴𝐸
𝐴𝐸
(1)(cid:27)(cid:99)(cid:10) (cid:64) (cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:102)
(2)(cid:193) =𝐶𝐷 =⊙2(cid:59)𝑂(cid:27)(cid:44)(cid:58)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:69)
(cid:15)(cid:109)(cid:110)𝐴𝐸(cid:19)(1𝐵)(cid:111)𝐶(cid:112)(cid:113)
3 3 2
(2)
2 3
π
(cid:15)(cid:114)(cid:113)−(cid:19)(cid:85)1(cid:90)(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:52) = (cid:59)(cid:129)(cid:184) = (cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:31)(cid:208)(cid:114)(cid:92)(cid:34)(cid:121)(cid:493)(cid:129)(cid:184) = (cid:59)(cid:27)(cid:129)
= (cid:59)(cid:132)(cid:133)𝑂𝐶(cid:101)(cid:92)(cid:34)𝑂(cid:120)𝐶 (cid:121)𝑂(cid:121)𝐴(cid:128)(cid:129)(cid:184)∠𝑂(cid:64)𝐶𝐴 ∠(cid:34)𝐵(cid:101)𝐴𝐶(cid:92)(cid:102) ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
∠(cid:85)𝑂2𝐶(cid:90)𝐴(cid:97)(cid:98)∠𝐸𝐴(cid:59)𝐶 (cid:59) (cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:31)(cid:208)(cid:114)(cid:92)(cid:34)(cid:121)𝐶𝐷(cid:493)(cid:129)⊙(cid:184)𝑂 = (cid:59)(cid:27)(cid:129) = = =60°(cid:59)(cid:132)
𝑂𝐸 𝑂𝐶 𝐶𝐸 ∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐵 1
(cid:133)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:184) = =60°(cid:59) = =2(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:184) = =
2
∠𝐶𝐸𝑂 ∠𝐴𝑂𝐸 𝑂𝐸 𝐴𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐶
3
3(cid:59) = =3(cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:75)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:67)(cid:80)(cid:129)(cid:184)(cid:105)(cid:136)(cid:69)
2
(cid:15)(cid:139)(cid:112)𝐴𝐷(cid:19)(cid:85)1(cid:90)𝐴𝐶(cid:99)(cid:140)(cid:10)(cid:97)(cid:98) (cid:59)
(cid:52) = (cid:59) 𝑂𝐶
𝑂𝐶 =𝑂𝐴 (cid:59)
∴∠𝑂𝐶𝐴 ∠𝐵𝐴𝐶(cid:208)(cid:114) (cid:59)
∵𝐴𝐶 =∠𝐵𝐴𝐸 (cid:59)
∴∠𝐸𝐴𝐶 =∠𝐵𝐴𝐶(cid:59)
∴∠𝑂𝐶𝐴 (cid:59)∠𝐸𝐴𝐶
∴𝑂𝐶∥𝐴𝐸(cid:95) (cid:34)(cid:218)(cid:25)(cid:92)(cid:68)(cid:33)D(cid:59)
∵𝐶𝐷⊥𝐴=𝐸 𝐴𝐸 =90°(cid:59)
∴∠𝑂(cid:64)𝐶𝐹 ∠(cid:34)𝐴𝐷(cid:56)𝐶(cid:39)(cid:59)
(cid:141)∵𝑂𝐶 ⊙𝑂(cid:68)(cid:33)C(cid:59)
𝐶𝐷(cid:64)⊥𝑂𝐶 (cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:102)
(cid:85)∴𝐶2𝐷(cid:90)(cid:112)⊙(cid:10)𝑂(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59) (cid:59)
𝑂𝐸 𝑂𝐶 𝐶𝐸
(cid:208)(cid:114) (cid:59)
∵𝐴𝐶 =∠𝐵𝐴𝐸 (cid:59)
∴∠𝐸𝐴=𝐶 (cid:59)∠𝐵𝐴𝐶
∴𝐶𝐸 =𝐵𝐶 =2(cid:59)
∵𝐴𝐸=𝐵𝐶(cid:59)
∴𝐴𝐸=𝐵𝐶= (cid:59)
∴𝐴𝐸 𝐶=𝐸 𝐵𝐶 = =60°(cid:59)
∴∠𝐴𝑂=𝐸 (cid:59)∠𝐶𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐵
∵𝑂𝐸 𝑂(cid:59)𝐶 (cid:296)(cid:64)(cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:59)
∴△𝐶𝑂𝐸 △𝐴𝑂𝐸= =60°(cid:59) = =2(cid:59)
∴∠𝐶𝐸𝑂 (cid:59)∠𝐴𝑂𝐸 = 𝑂𝐸=30𝐴°𝐸(cid:59)
∴𝐶𝐸∥=𝐴𝐵 ∠=𝐵4𝐴(cid:59)𝐶 ∠𝐶𝐴𝐷
∴𝐴𝐵= 2𝐵3𝐶 =2 3(cid:59)
∴𝐴𝐶 1 𝐵𝐶 3
= = 3(cid:59) = =3(cid:59)
2 2
∴𝐶𝐷 =𝐴𝐶 (cid:59) 𝐴𝐷 𝐴𝐶
∴𝑆△𝐴𝐶𝐸 𝑆△𝐶𝑂𝐸
1 ×2 3 3
(cid:44)(cid:58)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)= = ×3× 3 = (cid:69)
扇形 2 360 2 2 3
60𝜋 2𝜋
(cid:15)∴ (cid:33)(cid:235)(cid:19)(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:101)(cid:92)𝑆(cid:34) △ (cid:120) 𝐴𝐶𝐷 (cid:121)−(cid:75)𝑆(cid:124)(cid:125) 𝐶𝑂 (cid:59) 𝐸 (cid:221)(cid:188)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)−(cid:120)(cid:121)(cid:75)(cid:124)(cid:125)(cid:59)−(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:53)
(cid:54)(cid:59)(cid:31)(cid:208)(cid:114)(cid:92)(cid:34)(cid:121)(cid:493)(cid:59)(cid:182)(cid:238)(cid:34)(cid:494)(cid:495)(cid:332)(cid:333)(cid:92)(cid:64)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)
(cid:15)(cid:142)(cid:26)8-1(cid:19)(cid:85)2025·(cid:420)(cid:421)(cid:86)(cid:496)·(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:20)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:40)(cid:35) (cid:58)(cid:59) =30°(cid:59) =2 3(cid:59)(cid:33) (cid:55) (cid:201)(cid:59)(cid:141)
= (cid:69)(cid:218)(cid:25) (cid:184) (cid:59)(cid:327) = (cid:69)(cid:66) (cid:59) (cid:57)(cid:497)(cid:188)𝐴(cid:234)𝑂(cid:208)𝐵(cid:405)(cid:329)∠(cid:188)𝐴(cid:35)𝑂𝐵 (cid:59)(cid:52)𝑂(cid:44)𝐴(cid:58)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)𝐶(cid:34)(cid:41)𝑂(cid:42)𝐵(cid:57)
𝑂(cid:85)𝐶(cid:105)(cid:106)𝐴(cid:107)𝐶(cid:108) (cid:90)(cid:69)𝐶𝐵 𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐶𝐷 𝐴𝐶𝐷𝐸
𝜋
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)3 3
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)−(cid:88)𝜋(cid:118)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:208)(cid:405)(cid:329)(cid:188)(cid:35)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:122)30°(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:182)(cid:238)(cid:321)(cid:432)(cid:433)(cid:41)(cid:42)(cid:134)(cid:405)(cid:71)(cid:248)(cid:64)(cid:112)(cid:376)
(cid:372)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:69)(cid:70)(cid:20)(cid:187)(cid:59)(cid:22)(cid:23) = + (cid:53)(cid:54)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
阴影 扇形
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:49)A(cid:234) 𝑆 (cid:68) (cid:59)𝑆△𝐴𝑂𝐶 𝑆▱𝐴𝐶𝐷𝐸−𝑆 𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐻⊥𝑂𝐷 𝐻
=30°(cid:59) =2 3(cid:59)
∵∠𝐴𝑂𝐵 1 𝑂𝐴
= = 3(cid:59)
2
∴𝐴𝐻= 𝑂(cid:59)𝐴
∵𝑂𝐶 𝐴=𝐶 =30°(cid:59)
∴∠𝑂𝐴𝐶 =∠3𝐴0𝑂°𝐵+30°=60°(cid:59)
∴∠𝐴𝐶𝐵=30°(cid:59)
∴∠𝐶𝐴=𝐻 (cid:59)
(cid:137)∴𝐴𝐶(cid:25)(cid:28)2𝐶(cid:57)𝐻 (cid:59)(cid:52) = (cid:59)(cid:55) (cid:58)(cid:59)(cid:70)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:129)(cid:10)
𝐶𝐻 𝑥 𝐴𝐶 2𝑥 △𝐴𝐶𝐻
+( 3) =( )
2
2 2
(cid:112)𝑥 (cid:129)(cid:10) =±1(cid:59)2𝑥
>0𝑥(cid:59)
∵𝑥=1(cid:59)
(cid:52)∴𝑥 =1(cid:59) =2(cid:59)
𝐶𝐻= =𝐴𝐶 =2(cid:59)
∴𝐶𝐷 =𝐶𝐴 𝑂𝐶+
阴影 扇形
∴𝑆1 𝑆△𝐴𝑂𝐶 𝑆▱𝐴𝐶𝐷𝐸3−0𝑆× 𝑂×𝐴𝐵(2 3)
= ×2× 3+2× 3
2 360 2
𝜋
= 3+2 3 −
=3 3 (cid:69)−𝜋
(cid:196)(cid:109)(cid:110)(cid:57)−𝜋(cid:10)3 3−π(cid:69)
(cid:15)(cid:142)(cid:26)8-2(cid:19)(cid:85)2025·(cid:202)(cid:225)(cid:225)(cid:146)·(cid:123)(cid:147)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)Rt (cid:58)(cid:59) =90°(cid:59) = (cid:59)(cid:33) (cid:55)(cid:188) (cid:201)(cid:59) =2
2(cid:59)(cid:66) (cid:57)(cid:29)(cid:30)(cid:59) (cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:234)(cid:56)(cid:29)(cid:59)(cid:319)(cid:320)(cid:191) △(cid:192)𝐴(cid:101)𝐵(cid:68)𝐶(cid:33) (cid:59)∠𝐶(cid:95) (cid:68)(cid:33)𝐴𝐶(cid:59)(cid:52)𝐵(cid:432)𝐶(cid:433)(cid:355)(cid:114)𝑂 (cid:34) 𝐴 𝐵 (cid:69)𝑂𝐴
𝑂 𝑂𝐴 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐸
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19) +2 2
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)π(cid:115)(cid:20)(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:85)(cid:29)(cid:34)(cid:101)(cid:92)(cid:331)(cid:100)(cid:68)(cid:94)(cid:49)(cid:101)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:39)(cid:90)(cid:59)(cid:221)(cid:424)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:75)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)
(cid:42)(cid:53)(cid:54)(cid:69)(cid:112)(cid:20)(cid:34)(cid:3)(cid:217)(cid:64)(cid:498)(cid:489)(cid:264)(cid:265)(cid:192)(cid:3)(cid:124)(cid:125)(cid:461)(cid:374)(cid:375)(cid:36)(cid:23)(cid:69)(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:234) (cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:126)(cid:22)(cid:23)(cid:221)(cid:424)(cid:100)(cid:31)
2 𝑂𝐷 𝑂𝐻⊥𝐴𝐶 𝐻
(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:184) =45°(cid:59)(cid:52) = =2(cid:59)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:101)(cid:92)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:129)(cid:184) (cid:59)(cid:68)(cid:64)(cid:80)(cid:120)(cid:460) (cid:59)
2
(cid:61)(cid:66) = ∠𝐶=𝐴4𝐵5°(cid:59)(cid:138)(cid:47)(cid:132)(cid:133)𝑂𝐻(cid:123)(cid:31)(cid:35)𝑂(cid:41)𝐴(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:75)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:7)(cid:26)(cid:59)(cid:22)𝑂(cid:23)𝐷(cid:432)⊥(cid:433)𝐵𝐶(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)= 𝑂𝐷∥𝐴𝐶+
∠𝐸𝑂(cid:134)𝐷(cid:405)(cid:53)∠(cid:54)𝐵𝐴(cid:67)𝐶(cid:80)(cid:69) 𝑆△𝐴𝑂𝐷
扇形
𝑆(cid:15)(cid:139)𝐷(cid:112)𝑂𝐸(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:234) (cid:68)(cid:33) (cid:59)(cid:91)(cid:44)(cid:59)
𝑂𝐷 𝑂𝐻⊥𝐴𝐶 𝐻= =2 2(cid:59)
= = (cid:59) ∴𝑂𝐷 𝑂𝐴
∵∠𝐶 9=0°4,𝐴5𝐶°(cid:59) 𝐵𝐶
∴∠𝐶𝐴𝐵 2 2
= = ×2 2=2(cid:59)
2 2
∴𝑂𝐻(cid:191) 𝑂(cid:192)𝐴(cid:101)(cid:68)(cid:33) (cid:59)
∵⊙𝑂 𝐵𝐶(cid:59) 𝐷
∴𝑂𝐷⊥𝐵(cid:59)𝐶
∴𝑂𝐷∥𝐴𝐶= =45°(cid:59)
∴∠𝐸𝑂𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 1 45× ×(2 2)
(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)= + = ×2 2×2+ = +2 2(cid:59)
扇形 2 360 2
𝜋
∴(cid:196)(cid:109)(cid:110)(cid:57)(cid:10)π+2 2(cid:69)𝑆△𝐴𝑂𝐷 𝑆 𝐷𝑂𝐸 π
(cid:15)(cid:142)(cid:26)8-3(cid:19)(cid:85)2025·(cid:329)(cid:346)(cid:499)(cid:146)·(cid:58)(cid:88)(cid:89)(cid:20)(cid:90)(cid:91)(cid:44)(cid:59)(cid:55)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35) (cid:58)(cid:59) =2(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59) (cid:59)(cid:66)(cid:33)D(cid:57)
(cid:29)(cid:30)(cid:223) (cid:34)(cid:25)(cid:57)(cid:56)(cid:39)(cid:234)(cid:29)(cid:24) (cid:59)(cid:52)(cid:44)(cid:58)(cid:432)(cid:433)(cid:355)(cid:114)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:64) 𝐴 𝐵 𝐶𝐷(cid:69)𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐸
𝐶𝐷 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:109)(cid:110)(cid:19)4 3
3
4𝜋
(cid:15)(cid:114)(cid:113)(cid:19)(cid:115)(cid:20)−(cid:88)(cid:118)(cid:119)(cid:182)(cid:171)(cid:188)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:59)(cid:40)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:59)(cid:97)(cid:98) (cid:59)(cid:132)(cid:133)(cid:171)(cid:188)(cid:35)(cid:34)(cid:127)(cid:31)(cid:27)(cid:130)(cid:40)(cid:35)(cid:34)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:59)
(cid:138)(cid:47)(cid:132)(cid:133)30°(cid:31)(cid:34)(cid:100)(cid:31)(cid:123)(cid:31)(cid:35)(cid:34)(cid:124)(cid:125)(cid:75)(cid:214)(cid:215)(cid:121)(cid:128)(cid:27)(cid:130) (cid:25)(cid:59)(cid:131)(cid:132)𝐴𝐷(cid:133) =2 (cid:112)(cid:109)(cid:67)(cid:80)(cid:69)
阴影 扇形
(cid:15)(cid:139)(cid:112)(cid:19)(cid:112)(cid:10)(cid:97)(cid:98) (cid:59) 𝐴𝐶 𝑆 𝑆△𝐴𝐶𝐷−𝑆 𝐷𝐶𝐸
𝐴𝐷(cid:64)(cid:182)(cid:253)(cid:188)(cid:35)(cid:59)
∵𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐹 = =120°(cid:59) = = =2(cid:59)
∴∠𝐵𝐶𝐷=3∠0𝐶°𝐷(cid:59)𝐸 ∠𝐵= =𝐴𝐵60°(cid:59)𝐵𝐶 𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐶𝐴 =90°(cid:59)∠𝐶𝐷𝐴 ∠𝐸𝐷𝐴
∴∠𝐴𝐶𝐷=30°(cid:59)
∴∠𝐶𝐴=𝐷 =4(cid:59)
∴𝐴𝐷 2𝐶𝐷
= =2 3(cid:59)
2 2
∴𝐴𝐶 𝐴𝐷 −𝐶𝐷
1 ×2
=2 =2× ×2×2 3 =4 3 (cid:59)
阴影 扇形 2 360 2 3
120𝜋 4𝜋
∴
(cid:196)
𝑆
(cid:109)(cid:110)(cid:57)(cid:10)
𝑆△
4
𝐴𝐶
3
𝐷
−
−4π 𝑆
(cid:69)
𝐷𝐶𝐸 − −
3