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潞河中学 2021-2022 学年度高三模拟试题
数学试卷
2022年5月
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，若直线 与直线 平行，则 的值是（ ）
A. 1 B. C. 0 D. 0，1
3. 在二项式 的展开式中，含 项的系数为（ ）
.
A B. C. D.
4. 以角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角 终边过点 ，则
A. B. C. D. 3
5. 已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，若 为正三角形，则实数 的值
为
A. B.
.
C 或 D. 或6. 已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是
A. B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知 是等差数列， 是其前 项和.则“ ”是“对于任意 且 ， ”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知正方体 的棱长为2，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 在底面
内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为
A. B. C. D.
10. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ，空气温度为
，则 后物体的温度 （单位：℃）满足： （其中k为常数，
…）．现有某物体放在20℃的空气中冷却， 后测得物体的温度为52℃，再经过 后物体的温度
冷却到24℃，则该物体初始温度是（ ）
A. 80℃ B. 82℃ C. 84℃ D. 86℃
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数 为纯虚数，则实数 ________.
12. 在等比数列 中， ，则公比 _______；若 ，则n的最大值为
_________．
13. 已知双曲线 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则 ___________；
若双曲线 与 不同，且与 有相同的渐近线，则 的方程可以为___________.（写出一个答案即可）
14. 函数 的最大值为______；若函数 的图象与直线 有且只有一
个公共点，则实数 的取值范围是_______
15. 已知函数 ，在下列结论中：
① 是 的一个周期；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上单调递减；
④ 在 无最大值.
正确结论的有___________.
三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1） 的值；
（2） 的面积.
条件①： ；条件②： .17. 如图，三棱柱 中，侧面 底面 ，
分别为棱 的中点.
（1）求证： ；
（2）求三棱柱 的体积；
的
（3）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 .若存在，求出 长；若不存在，说明
理由.
18. 某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10
年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75
年利润（单位：百万元）
注：年返修率
的
（1）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产 产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机
选出3年，记 表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求 的分布列和数学期望；
（3）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为 .若，其中 表示 这两个数中最大的数.请写出 的最大值和最小值.（只需
写出结论）
19. 已知函数 ，，其中 ．
(I)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(Ⅱ)证明： 在区间 上恰有2个零点．
20. 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过椭圆右焦点的直线 交椭圆于 两点，过原点的直线 交椭圆于 两点.若 ，求证：
为定值.
21. 数列 满足： 或 .对任意 ，都
存在 ，使得 ，其中 且两两不相等.
（1）若 ，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
① ；② ；③
（2）记 .若 ，证明： ；
（3）若 ，求 的最小值.
