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潞河中学 2021-2022 学年度高三模拟试题
数学试卷
2022年5月
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义即可得出答案.
【详解】解：因为 ，
则 .
故选：D.
的
2. 设 ，若直线 与直线 平行，则 值是（ ）
A. 1 B. C. 0 D. 0，1
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.
【详解】 时，两直线为 、直线 ，显然不平行；
所以 ，两直线为 ， ，
所以 ，且 ，
解得 ．
故选：A.3. 在二项式 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二项式定理可得展开式通项为 ，即可求含 项的系数.
【详解】由题设， ，
∴当 时， .
∴含 项的系数为 .
故选：D.
4. 以角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角 终边过点 ，则
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】由三角函数定义可得： .
∴
故选A
5. 已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点，若 为正三角形，则实数 的值
为A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【详解】 由题意得，圆 的圆心坐标为 ，半径 .
因为 为正三角形，则圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，解得 或 ，故选D.
6. 已知菱形 的边长为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 分别用 表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.
【详解】解： ，
则 .
故选：A.
7. 已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由抛物线的定义知： ，∴ ，
∴ ，即当 ， ， 三点共线
时，值最小，故选C．
考点：抛物线的标准方程及其性质．
8. 已知 是等差数列， 是其前 项和.则“ ”是“对于任意 且 ， ”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意 且 ， ”与“ ”推出关系，
进而确定它们的关系.
【详解】由等差数列前n项和公式知： ，
∴要使对于任意 且 ， ，则 ，即 是递增等差数列，
∴“对于任意 且 ， ”必有“ ”，
而 ，可得 ，但不能保证“对于任意 且 ， ”成立，
∴“ ”是“对于任意 且 ， ”的必要而不充分条件.
故选：B.
9. 已知正方体 的棱长为2，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 在底面
内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图，取BC 中点O，则MO⊥面ABC D，即MO⊥OP，
1 1 1 1 1 1
∵PM ，则OP＝1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面ABC D 内的半圆上．
1 1 1 1
可得O到AN的距离减去半径即为PQ长度的最小值，
1
作OH⊥AN于H，
1
△AON的面积为2×2 ，
1
∴ ，可得OH ，∴PQ长度的最小值为 ．
故答案为;C .
点睛：这个题目考查了立体中面面垂直的性质的应用，线面垂直的应用，以及数形结合的应用，较好的考
查了学生的空间想像力．一般处理立体的小题，都会将空间中的位置关系转化为平面关系，或者建系来处
理．
10. 著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ，空气温度为，则 后物体的温度 （单位：℃）满足： （其中k为常数，
…）．现有某物体放在20℃的空气中冷却， 后测得物体的温度为52℃，再经过 后物体的温度
冷却到24℃，则该物体初始温度是（ ）
A. 80℃ B. 82℃ C. 84℃ D. 86℃
【答案】C
【解析】
【分析】先利用第二次冷却： ，代入求出 ，然后对第一次冷
却，代入公式，求出初始温度.
【详解】第二次冷却： ，
即 ，解得： ；
第一次冷却： ，
即 ，解得： ；
故选：C.
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字
语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围；
(3)可以建立多个函数模型时,要对每个模型计算,进行比较,选择最优化模型．
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数 为纯虚数，则实数 ________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求得 值．【详解】解： 为纯虚数，
，解得 ．
故答案为： ．
12. 在等比数列 中， ，则公比 _______；若 ，则n的最大值为
_________．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】首先求出数列的公比 、 ，即可得到数列的通项公式，再根据通项公式对 分奇偶讨论，即可
得解；
【详解】解：因 为 ，所以 ，所以
，即 ，所以 ；所以当 为偶数时， ，当
为奇数时，
要使 ，所以 且 为奇数即 且 为奇数，所以 或
故答案为： ，
13. 已知双曲线 的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则 ___________；若
双曲线 与 不同，且与 有相同的渐近线，则 的方程可以为___________.（写出一个答案即可）
【答案】 ①. ②. ，（答案不唯一）.【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得双曲线的虚轴长，结合双曲线
，进而求得 的方程.
【详解】由题意，双曲线 的一条渐近线方程为
可得焦点 到一条渐近线 的距离为 ，
所以双曲线的方程为 ，
若双曲线 与 不同，且与 有相同的渐近线，
则 的方程可以为 ，（答案不唯一）.
故答案为： ； ，（答案不唯一）.
14. 函数 的最大值为______；若函数 的图象与直线 有且只有一
个公共点，则实数 的取值范围是_______
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合指数函数以及二次函数性质可求得函数最大值；作出分段函数
和 的图象，数形结合，求得答案.
【详解】由函数 ，
当 时， ；当 时， ，
即函数最大值为 ；在
将 和 两个图象画 一个坐标系中，
由于 过定点 ，
根据图象要使得函数 的图象与直线 有且只有一个公共点，
需有 ，即实数 的范围为： ，
故答案为： 1 ； .
15. 已知函数 ，在下列结论中：
① 是 的一个周期；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上单调递减；
④ 在 无最大值.
正确结论的有___________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】判断 的关系可判断①；判断 的关系可判断②；利用导数判断 在 上的单调性可判断③④.
【详解】因为 ，故①错误；
因 ，
为
所以 ，故②正确；
不等式
当 时， ，所以
所以 ，所以 在 上单调递减，无最大值，故③正确，④正确.
故答案为：②③④
三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1） 的值；（2） 的面积.
条件①： ；条件②： .
【答案】（1）若选择条件①， ；若选择条件②，
（2）若选择条件①， 的面积 ；若选择条件②， 的面积
【解析】
【分析】（1）若选择条件①，根据二倍角正弦公式，化简整理，可得 ；若选择条件②，根据二倍角的
余弦公式，化简整理，可得 .
（2）若选择条件①，根据余弦定理，可求得a值，代入面积公式，即可得答案；若选择条件②，根据余弦
定理，可求得a值，代入面积公式，即可得答案；
【小问1详解】
若选择条件①，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 .
若选择条件②，则 ，
所以 或 ，
因为 ，所以 ，则 .
【小问2详解】
若选择条件①，则 ，
所以 ，所以 或-3（舍），
所以 的面积 ；
若选择条件②，则 ，
所以 ，
所以 或-8（舍），
所以 的面积
17. 如图，三棱柱 中，侧面 底面 ，
分别为棱 的中点.
（1）求证： ；
（2）求三棱柱 的体积；
（3）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 .若存在，求出 的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3）在直线 上存在点 ，使得 平面 ，证明见解析.
【解析】【分析】（1）根据题目中的侧面 底面 ，
(2) 由条件知 底面 ， ；
（3）连接 并延长，与 的延长线相交，设交点为 ，证线线平行即 ，进而得到线面平行．
【小问1详解】
证明：三棱柱 中，
侧面 底面 ， ，
又因为侧面 底面 ， 底面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以 ；
【小问2详解】
连接 ,因为三棱柱 中，所以 .
因为 ，所以 .又因为 ，且 .
所以 是边长为2的正三角形.因为 是棱 的中点，所以 ，
△
又因为 ， ，所以 .
因为 ， 底面 ，
所以 底面 .所以三棱柱 的体积为
；
【小问3详解】
在直线 上存在点 ，使得 平面 .
证明如下：连接 并延长，与 的延长线相交，设交点为 .连接 .因为 ，所以 ，故
由于 为棱 的中点，所以 ，故有
又 为棱 的中点，故 为 的中位线，所以 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
故在直线 上存在点 ，使得 平面 .
此时 ， .
【点睛】
18. 某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10
年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75
年利润（单位：百万元）
注：年返修率
（1）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机
选出3年，记 表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求 的分布列和数学期望；（3）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为 .若
，其中 表示 这两个数中最大的数.请写出 的最大值和最小值.（只需
写出结论）
【答案】（1）
（2）见解析 （3） 的最大值为13，最小值为7.
【解析】
【分析】（1）由题表知2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年和2016年，
据此算出从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（2）由题表知，2013~2020年中，若年返修率不超过千分之一的年份只有2013年和2015年，所以 的所
有可能取值为1，2，3；分别算出相应概率可得分布列，然后用期望公式计算即可.
（3）根据表格求出 ，得到 的取值范围，进而求得 的最大值和最小值.
【小问1详解】
由题表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年和2016年，所以从
2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为 ；
【小问2详解】
由题表知，2013~2020年中，若年返修率不超过千分之一的年份只有2013年和2015年，所以 的所有可
能取值为1，2，3.
；
；
.
所以分布列为1 2 3
所以 .
【小问3详解】
的最大值为13，最小值为7.
19. 已知函数 ，，其中 ．
(I)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(Ⅱ)证明： 在区间 上恰有2个零点．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）求出 在 的导数即可得切线的斜率，也就得到在 处切线方
程．（Ⅱ）先研究函数 的单调性，其导数为 ，当 时，利用
三角函数的符号可以判断出 ，当 时，导数有唯一的零点 且为函数的极大值点．结
合 ， 可以判断 在 存在一个零点，在 上存在一个零点，
故在 上存在两个不同的零点．
解析：（Ⅰ）当 时， ，所以 ，故 ，又，故曲线在 的切线方程为 ．
（Ⅱ） ．
当 时，因为 ，故 ，所以 在 是单调增函数；
当 时， ，令 ，此方程有唯一解
．
当 时， ， 在 上是单调增函数；
当 时， ， 在 上是单调减函数；
因为 的图像是不间断的，所以 在 上是单调增函数，在 上是单调减函数． 又
， ，而 ，故 ，根据零点存在定理
和 的单调性可知 在 存在一个零点，在 上存在一个零点，故 在 上存
在两个不同的零点．
点睛：导数背景下函数的零点个数的讨论不仅要考虑函数的极值的符号，还要结合零点存在定理去判断．
一般地，我们在一个单调区间中要找到这样的 ，使得 ．
20. 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过椭圆右焦点的直线 交椭圆于 两点，过原点的直线 交椭圆于 两点.若 ，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合离心率求得 的值，即可求解；
（2）当直线 的斜率不存在时，求得 ；当 的斜率存在时，则 的方程为 ，
直线 的方程为 ，设 ，联立方程组，结合根与系数的关
系和弦长公式，求得 ，即可求解.
【小问1详解】
解：因为椭圆 的一个顶点为 ，离心率为
可得 ，且 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
证明：当直线 的斜率不存在时，可得 ，则 ；
当直线 的斜率存在时，依题意知 ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设 ，联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
所以
又由 ，可得 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
综上可得： .
21. 数列 满足： 或 .对任意 ，都
存在 ，使得 ，其中 且两两不相等.
（1）若 ，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
① ；② ；③
（2）记 .若 ，证明： ；
（3）若 ，求 的最小值.
【答案】（1）②③. （2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）分别把所给的三个数列代入题目条件中进行验证，即可求解；
（2）当 时，设数列 中 出现的频次为 ，由题意 ，假设 ，则与已知矛盾，
从而 ，同理可证 ，假设 ，与已知矛盾，得到 ，由此证得 ；
（3）设 出现频数依次为 ，可得 ，则
，取 ，得到数列为：
，由此能求出 的最小值.
【小问1详解】
解：由题意知，数列 必满足 或 ，
对任意 ，都存在 ，使得 且两两不相等，
对于①中， ，不满足 ，故①不符合；
对于②中，当 时，存在 ，
同理当 时，存在 ；当 时，存在 ，故②符合；
同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③.
【小问2详解】
证明：当 时，设数列 中 出现的频次为 ，
由题意知， ，
①假设 时， （对任意 ），与已知矛盾，故 ，
同理可证： ，的
②假设 ，则存在唯一 ，使得 ，
那么，对于对任意 ，使得 两两不相等），
与已知矛盾，所以 ，
综上可得 ， ， ，所以 .
【小问3详解】
解：设 出现频数依次为 ，
由（2）的证明可得 ，则 ，
取 ，
得到数列为： ，
下面证明 满足题目要求，对 ，不妨令 ，
①如果 或 ，由于 ，所以符合条件；
②如果 或 ，由于 ，所以也成立；
③如果 ，则可选取 ，同样的，如果 ，
则可选取 ，使得 ，且 两两不相等；
④如果 ，则可选取 ，
注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立，
综上，对任意 ，总存在 ，使得 ，其中 且两两不相等，因此 满
足题目要求，所以 的最小值为 .
