文档文本内容
北京一零一中 2022-2023 学年度第二学期高三数学统考四
一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 ， ．若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
2. 如果复数 为纯虚数，那么实数 的值为.
A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2
3. 设 为数列 的前n项和．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ）
（参考数据： ）
A. 6次 B. 7次 C. 8次 D. 9次
5. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
6. 某物体做直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式 ，那么该物体在 s时
的瞬时速度是（ ）
A. 2m/s B. 4m/s C. 7m/s D. 12m/s
7. 直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为( )
.
A 3或－1 B. 0或3 C. 0或－1 D. －1或0或38. 已知点 .若点 在函数 的图象上，记 的面积为 ，则使得
的点 的个数为（ ）
.
A 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排
一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是
A. 48 B. 72 C. 84 D. 168
10. 函数 ，则（ ）
A. 若 ，则 为奇函数 B. 若 ，则 为偶函数
C. 若 ，则 为偶函数 D. 若 ，则 为奇函数
二､填空题共5小题.
11. 函数 的图像沿向量 平移后得到函数 的图像，则 在 上的
最大值为__________.
12. 若 ，则 __________(用数字作答)．
13. 已知 分别是双曲线 的左右焦点， 是 上的一点，且
，则 的周长是__________．
14. 已知菱形 的边长为 ， ， （ ）．当 时，
________；当 取得最小值时， ________．
15. 已知平面直角坐标系中的点集 ，给出下列四个结论：（1）当直线 为 时， 与 没有公共点；
（2）存在直线 与 有且只有一个公共点；
（3）存在直线 经过 中的无穷个点；
的
（4）存在直线 与 没有公共点，且 中存在两点在 两侧．
其中所有正确结论的序号是__________．
三､解答题共6小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.
16. 在△ABC中， ．
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：① ；② ， ；③ ，若这三个条件
中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求 的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
17. 某超市销售 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌
牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
牙膏品牌
销售价格
市场份额
（1）从这 种不同品牌的牙膏中随机抽取 管，估计其销售价格低于 元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了 管．
①求 的值；
②从这 管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记 为抽到品牌 的牙膏数量，求 的分布列和数学
期望．
（3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价 元/管，并占有一定市场份额．原有 个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 元，下月牙膏的平均销售价为每管
元，比较 的大小．（只需写出结论）
18. 如图，在四棱柱 中，底面 是正方形，平面 平面 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ．
（ⅰ）求直线 与直线 所成角的余弦值；
（ⅱ）求点 到平面 的距离；
（ⅲ）设点 为线段 上任意一点（不包含端点），证明：直线 与平面 相交.
19. 已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的 ，使得曲线 在点 处的切线的斜率为 ；
（Ⅲ）比较 与 的大小，并加以证明．
20. 已知椭圆 的左、右顶点为 ，离心率为 ，直线
与椭圆 交于 不同的两点，直线 分别与直线 交于点 ．（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：以 为直径的圆恒过定点．
21. 设A是如下形式的2行3列的数表，
a b c
d e f
满足性质P：a，b，c，d，e，f ，且a+b+c+d+e+f=0
记 为A的第i行各数之和（i=1,2）, 为A的第j列各数之和（j=1,2,3）记 为
中的最小值．
（1）对如下表A，求 的值
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
(2)设数表A形如
1 1 -1-
2d
d d -1
其中 ，求 的最大值
的
（3）对所有满足性质P 2行3列的数表A，求 的最大值．
