12-空间向量刘秋龙老师黑马120基础题Ⅲ代模块_2026高中《作业帮●高考数学基础题120题》刘秋龙黑马专题全套（最新版）

龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
刘秋龙黑马 题Ⅲ代
120
：模块（ ）空间向量
12
主编：刘秋龙（作业帮金牌名师）
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刘秋龙黑马 基础题Ⅲ代模块
120
（ ）空间向量
12
主编：刘秋龙（作业帮金牌名师）
龙哥给做题的你，说两句话：（ ）这些题是龙哥熬了无数个夜，从全
国各地重点高中模拟考试的数学1题精选出来的，大家拿到的这一版是
黑马Ⅲ代，是最新的一版，不要外传。黑马Ⅲ代对想扎实基础的你会
产生神奇的效果，一定要打印出来（可以去淘宝打印噢），带到学校
去做，因为上一届考清华的，考 分的学长学姐们，考入 等
重点大学的学生都在做，你一定要1做49，必须要做这个题。记住9走8自5 己
的路，让别人说去吧。 但是想要考的更厉害，一定还是要回去认真
的去听龙哥的课程回放，多听几遍，做好笔记，想要拔高的同学还要
做龙哥的其他题目，去书店再买本其他的练习书。（ ）由于这里边的
每一个题都是秋龙老师熬夜加班自己整理出来的，所2以避免不了有个
别的排版问题或者错别字的问题，请大家谅解。
（北京模拟考试）
在空间直角坐标系中，已知点A  1,0,1 ，B  3,2,1 ，则线段AB的中点的坐标是（ ）
1.
       
1,1,1 2,1,1 1,1,2 1,2,3
A. B. C. D.
（广西模拟考试）

已知空间直角坐标系O‐xyz，若P  1,2,1 ，则 OP （ ）
2.
6 4 6 2
A. B. C. D.
（四川模拟考试）
在空间直角坐标系O‐xyz中，点A  2,1,3 关于 yOz平面对称的点的坐标是（ ）
3.
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 2,1,3  2,1,3   2,1,3   2,1,3 
A. B. C. D.
（广东模拟考试）
在空间直角坐标系中，点A  1,3,1 ，B 1,2,0 ，则 AB 等于（ ）
4.
6 5 3 2
A. B. C. D.
（福建模拟考试）
在空间直角坐标系O‐xyz中，点M  1,2,3 关于xOz平面对称的点的坐标是（ ）
5.
1,2,3   1,2,3  1,2,3   1,2,3 
A. B. C. D.
（安徽模拟考试）
点 2,3,4 关于 yOz平面的对称点为 ．
6.
（湖北模拟考试）
在空间直角坐标系中，点P  3,4,5 关于 yOz平面对称的点的坐标为（ ）
7.
3,4,5  3,4,5   3,4,5  3,4,5 
A. B. C. D.
（江苏模拟考试）
在空间直角坐标系中，点P  3,4,5 关于z轴对称的点的坐标为（ ）
8.
3,4,5   3,4,5   3,4,5  3,4,5 
A. B. C. D.
（宁夏模拟考试）
在空间直角坐标系中，点P  3,1,5 关于原点对称的点的坐标为（ ）
9.
3,1,5  3,1,5   3,1,5  3,1,5 
A. B. C. D.
（浙江模拟考试）
   
已知AB 1,2,0 ，CD  x,2,3 ，若ABCD，则x（ ）
10.1 4 1 4
A. B. C. D.
（陕西模拟考试）
已知a  2,4,5 ，b 3,x,y ，若ab，则（ ）
11.
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15
x6， y 15 x3， y
2
A. B. 15
x3， y 15 x6，y
2
C. D.
（江西模拟考试）
已知向量a  0,2,1  ，b1,1,2  ，则a与b的夹角是（ ）
12. π π
0 
4 2
A. B. C. D.
（天津模拟考试）
若a  1,1,1 ，则 a 等于（ ）
13.
2 2 3 3
A. B. C. D.
（江苏模拟考试）
若a  2,3,1 ，b 4,1,2 ，则ab ．
14.
（贵州模拟考试）
与向量a  1,3,2 平行的一个向量的坐标是（ ）
15.
1   1 3   
 ,1,1   , ,1 1,3,2  2,3,2 2
3   2 2 
A. B. C. D.
（广西模拟考试）
若a (2x,1,3)，b(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则（ ）
16. 1 1 1
x1 x  x  x 
2 6 6
A. B. C. D.
（云南模拟考试）
已知a 3,2,5 ，b 1,x,1 ，且ab2，则x的值是（ ）
17.6 5 4 3
A. B. C. D.
（吉林模拟考试）
已知向量a 1,1,1 ，b(2,0,3)，则ab等于（ ）
18.5 4 2 1
A. B. C. D.
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（重庆模拟考试）
如图所示，正方体ABCDABC D 的棱长为 1，则点 B 的坐标是（ ）
1 1 1 1 1
19.
       
1,0,0 1,0,1 1,1,1 1,1,0
A. B. C. D.
（内蒙古模拟考试）
点P 2,0,3 位于（ ）
20.
y轴上 z 轴上 xOz平面内 yOz平面内
A. B. C. D.
（山东模拟考试）
若向量a  0,1,1 ，b 1,1,0 且 ab a ，则实数（ ）
21.
2 2 2  2
A. B. C. D.
（广东模拟考试）（多选）
已知向量 a  4,2,4 ， b 6,3,2 ，则下列结论不正确的是（ ）
22.
 ab 10,5,2    ab 2,1,6  
A.  ab10 B.  a 6
C. D.
（福建模拟考试）
已知a 1,0,1 ，b 3,21,2 ，其中，R，若ab，则（ ）
23.0 1 2 3
A. B. C. D.
（福建模拟考试）
已知a 2,1,3 ，b 1,3,2 ，则cosa,b  ．
24.
（宁夏模拟考试）
已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M 与点A，
B，C一定共面的是（ ）
25.
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       
OM OAOBOC OM OA2OB3OC
A.
 1 1 1
B.
 1 1 1
OM  OA OB OC OM  OA OB OC
2 2 2 3 3 3
C. D.
（山西模拟考试）
 
在空间直角坐标系O‐xyz中，已知O  0,0,0 ，A  0,2,0 ，B  2,0,0 ，C 2,2,2 3 ，
则2异6.面直线AC与OB所成角的大小为 （ ）
30 45 60 90
A. B. C. D.
（辽宁模拟考试）
已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M 与点A，
B，C一定共面的是 （ ）
27.
       
OM OAOBOC OM OA2OB3OC
A.
 1 1 1
B.
 1 1 1
OM  OA OB OC OM  OA OB OC
2 2 2 3 3 3
C. D.
（广东模拟考试）
已 知 点 M 在 ABC 所 在 的 平 面 内 ， 并 且 对 空 间 任 意 一 点 O ，
  1 1
O2M8.  xOA OB OC，则x的值为 （ ）
2 3
1 1 1
0
6 3 2
A. B. C. D.
（黑龙江模拟考试）
在长方体ABCD‐ABC D 中，AB AA 2，AD 1，E为CC 的中点，则异面
1 1 1 1 1 1
29.
直线BC 与AE所成角的余弦值为（ ）
1
10 30 2 15 3 10
10 10 10 10
A. B. C. D.
（宁夏模拟考试）
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设平面的一个法向量为n  1,2,2 ，平面的一个法向量为n 2,4,k ，
1 2
30.
若，则k （ ）
2 4 2 4
A. B. C. D.
（天津模拟考试）
如图，直三棱柱ABC‐ABC 的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立空间直角坐标
1 1 1
31.
系，则顶点B 的坐标是 ．
1
（上海模拟考试）
如图，以长方体ABCDABC D 的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线
1 1 1 1
32.  
为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为(4,3,2)，则BD 的坐标为 ．
1 1
（湖南模拟考试）
 
已知AB  2,2,1 ，AC  4,5,3 ，则平面ABC的单位法向量是（ ）
33.
1 2 2  1 2 2 1  1 2 2
 , ,    , ,    ,1,1   , , 
3 3 3  3 3 3 2  3 3 3
A. B. C. D.
（浙江模拟考试）
已知空间三点A  1,3,2 ，B  1,2,1 ，C 1,2,3 ，则下列向量中是平面ABC的法向
量3的4.为（ ）
1,2,5  
1,3,2
 
1,1,1
 1,1,1 
A. B. C. D.
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（河北模拟考试）
 1 
已知l，且l的方向向量为 2,m,1 ，平面的法向量为1, ,2，则m ．
 2 
35.
（江西模拟考试）
 3 1 1
对空间任意一点O，OP OA OB OC，则P，A，B，C四点（ ）
4 8 8
36.一定不共面 一定共面 不一定共面 无法判断
A. B. C. D.
（河南模拟考试）
已知空间向量a  0,1,1 ，b 1,3,1 ，则 ab 等于（ ）
37.
5 2 3 1
A. B. C. D.
（陕西模拟考试）
已知a 1,0,6 ，b 21,21,2 ．若ab，则与的值分别为（ ）
38. 1 1 2 1
5，2  ， 5，2  ，
5 2 5 2
A. B. C. D.
（陕西模拟考试）
棱长为 2个单位长度的正方体 ABCDABC D  中 ，以 D为坐标原点，
1 1 1 1
39.
以 DA， DC ， DD 分别为 x， y， z 轴正方向建立空间直角
1
坐标系，则 BC与 BC 的交点 E的坐标为 ．
1 1
（全国卷）
在四棱锥Q‐ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD 2，QD QA 5，QC 3．
40.
（ ）证明：平面QAD 平面ABCD．
1
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（ ）求二面角B‐QD‐A的平面角的余弦值．
2
（福建模拟考试）
已知 {i, j,k}为单位正交基底，且 a i j3k ， b2i3j2k ，则向
量41a.b与向量 a2b的坐标分别是 ； ．
（山东模拟考试）
已知向量a  2,3,1 ，b 1,2,0 ，则 ab 等于 （ ）
42.
3 3 35 9
A. B. C. D.
（山东模拟考试）
在空间直角坐标系 O‐xyz 中，点 M  1,1,1  关于 x 轴的对称点坐标是
4．3.
（山东模拟考试）
空间两点A  1,5,4 ，B 1,3,5 间的距离等于（ ）
44.2 3 4 9
（河南模拟考试）
A. B. C. D.
空间中，线段PQ的端点坐标分别为 1,4,7 ， 3,4,5 ，则线段PQ的中点M 的
坐4标5.为 ．
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（四川模拟考试）
设直线l的方向向量为v  x,1,2 ，平面的法向量为n1,1,2 ，若l ，则x
（46. ）
1 0 5 4
A. B. C. D.
（上海模拟考试）
已知向量a  1,2,2 ，b2,4,4 ，则a与b（ ）
47.相交 垂直 平行 以上都不对
A. B. C. D.
（黑龙江模拟考试）
若a  2,1,0 ，b 3,4,7 ，且ab a，则的值是（ ）
48.0 1 2 2
A. B. C. D.
（天津模拟考试）
已知向量a ,1,3 ，b 0,3,3，若a b，则实数的值为（ ）
49. 3 3
2  2
2 2
A. B. C. D.
（四川模拟考试）
如图所示，正方体ABCD‐ABC D 的棱长为1，则点C 的坐标是 ．
1 1 1 1 1
50.
（湖北模拟考试）
在空间直角坐标系中，点A  1,1,1 与点B 1,1,1 关于（ ）对称．
51.x轴 y轴 z轴 原点
A. B. C. D.
（河南模拟考试）
设a  3,2,1 是直线l的方向向量，n 1,2,1 是平面的法向量，则（ ）
52.
l  l l 或l  l或l 
A. B. C. D.
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（浙江模拟考试）
  
空间任意四个点A，B，C，D，则BACBCD等于（ ）
53.   
DB DA AD AC
A. B. C. D.
（北京模拟考试）
下列向量具有垂直关系的是（ ）
54.  3,2,3 ， 1,1,1 
A.
2,1,3 ， 6,5,7 
B.

3,4,0
，
0,0,5

C.

4,0,3
，
8,0,6

D.
（山西模拟考试）
在空间直角坐标系 O‐xyz 中，对于点  0,m2 2,m  ，一定是（ ）
55.
在 xOy坐标平面内
A. 在 xOz坐标平面内
B. 在 yOz坐标平面内
C. 以上都不对
D.
（辽宁模拟考试）
空间向量不可以做的运算是（ ）
加法 减法 数量积 除法
56.
A. B. C. D.
（湖南模拟考试）
设  i, j,k  是空间向量的一个单位正交基底，且是与x轴、y轴、z 轴方向相同的
57.
单位向量， a 2i4j5k ， bi2j3k ，则向量 a ， b 的坐标分
别为 ．
（云南模拟考试）
设  e ,e ,e  是 空 间 向 量 的 一 个 单 位 正 交 基 底 ， a 4e 8e 3e ，
1 2 3 1 2 3
58.
b2e 3e 7e ，则a，b的坐标分别为 ．
1 2 3
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（湖北模拟考试）
在空间直角坐标系O‐xyz，点 M  x,y,2020 （ xR， yR）构成的集
合5是9. （ ）
一条直线
A. 平行于平面xOy的平面
B. 两条直线
平行于平面xOz的平面
C.
D.
（广东模拟考试）
已知向量a 2,3,5 与向量b 4,x,y 平行，则x， y的值分别是（ ）
60.6和10 6和10 6和10 6和10
A. B. C. D.
（新疆模拟考试）
在空间直角坐标系中，点P 2,1,3 到原点的距离为（ ）
61.
14 5 14 5
A. B. C. D.
（北京模拟考试）
 15
已知向量a  2,3,5 与向量b 3,, 平行，则（ ）
 2 
62.
2 9 9 2
 
3 2 2 3
A. B. C. D.
（四川模拟考试）
已知a  2,3,1 ，则下列向量中与a平行的是（ ）
63.
 1,1,1  2,3,5   2,3,5  4,6,2 
A. B. C. D.
（四川模拟考试）

已知A  3,1,2 ，B  4,2,2 ，则AB  ．
64.
（山东模拟考试）
对 一个平面的法向量 的以下描述中，错误的是（ ）
一个平面有无数个法向量
65. “ ”
平面的所有法向量共线
A.
其单位法向量只有一个
B.
C.
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其单位法向量有两个
D.
（海南模拟考试）
设平面内两个向量的坐标分别为
1,2,1
，1,1,2 ，则下列向量中是平面的法向量
的6是6.（ ）
1,2,5  1,1,1   1,1,1   1,1,1 
A. B. C. D.
（陕西模拟考试）
若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是（ ）
67.
n

1,2,1
，n 3,1,1 
1 2
A.
n

1,1,2
，n 2,1,1 
1 2
B.
n

1,1,1
，n 1,2,1 
1 2
C.
n  1,2,1 ，n  0,2,2 
1 2
D.
（吉林模拟考试）
点P  1,4,3 与点Q  3,2,5 的中点坐标是（ ）
68.
 4,2,2   2,1,2   2,1,1   4,1,2 
A. B. C. D.
（山东模拟考试）（多选）
若a 1,,2 ，b 2,1,1 ，a与b的夹角为120，则可以取的值为（ ）
69.17  17  1  1 
A. B. C. D.
（福建模拟考试）
已知向量a  1,1,0 ，b1,0,2 ，若 akb 与 2ab 互相垂直，则实数k
的7值0.为 ．
（山东模拟考试）
若直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，则能使l的是（ ）
71.
m

1,2,1
，n
1,0,1

A.
m

0,1,0
，n
0,3,0

B.
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m  1,2,3 ，n2,2,2 
C.
m

0,2,1
，n1,0,1 
D.
（广东模拟考试）
若向量a  0,1,1 ，b 1,1,0 ，且 ab a ，则实数的值是（ ）
72.0 1 2 1
A. B. C. D.
（福建模拟考试）
已知a 1,3,5 ，b 2,6,x ，ab0，则x的取值范围为 （ ）
73.
,4  ,10  4,  10,
A. B. C. D.
（北京模拟考试）
已知向量a  1,2,1 ，则下列向量与a垂直的是（ ）
74.
 0,0,1  2,1,0   1,1,2   4,1,1 
A. B. C. D.
（北京模拟考试）
在长方体ABCD‐ABC D 中，已知DA 6，DC 2，DD  3，E是AB的
1 1 1 1 1
中7点5.．
（ ）求四棱锥A‐BCDE 的体积．
1
1
（ ）求异面直线AE与BC所成角余弦值的大小．
1 1
2
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（上海模拟考试）
正方体ABCD‐ABC D 中，异面直线AC和BD 所成角的大小为 ．
1 1 1 1 1 1 1
76.
（辽宁模拟考试）
已知n 1,2,1 为平面的一个法向量，a 2,,1 为直线l的方向向量．若l，
则77.  ．
（黑龙江模拟考试）
若a  2,3,1 ，b 2,0,3 ，c  0,2,2 ，则a bc （ ）
78.2 3 4 5
A. B. C. D.
（湖北模拟考试）
正四棱柱ABCD‐ABC D 中，AA 2AB，则AD 与平面BBDD所成角的正弦值
1 1 1 1 1 1 1 1
为7（9. ）
10 3 10 3 6
10 10 3 3
A. B. C. D.
（浙江模拟考试）
如图，在正方体 ABCD‐ABC D 中，E为BC 的中点，则DE与面BCCB 所成角
1 1 1 1 1 1 1
的8正0.切值为（ ）
6 6 2
2
2 3 2
A. B. C. D.
（江西模拟考试）
在正方体ABCD‐ABC D 中，则直线AC与BD所成的角为（ ）
1 1 1 1 1
81.
30 45 60 90
A. B. C. D.
（安徽模拟考试）
如图，在正方体ABCD‐ABC D 中，E，F 分别为棱 AD ，DD 的中点，则异面
1 1 1 1 1 1 1
82.
页 15龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
直线EF 与BC 所成的角为（ ）
1
30 45 60 90
A. B. C. D.
（广西模拟考试）
四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD为正方形，AB  PA 2，M ，
N 分别为PA，BC的中点，则MD与AN 所成角的余弦值为 ．
83.
（黑龙江模拟考试）
如图，正方体ABCD‐ABC D ，点M ，N 分别为棱AA，BB的中点，则CM 和
1 1 1 1 1 1
84.
DN 所成角的余弦值为（ ）
1
1 1 1 1
 
9 9 8 8
A. B. C. D.
（山西模拟考试）
正方体ABCD‐ABC D 中，BB 与平面ACD 所成角的正切值为（ ）
1 1 1 1 1 1
85.
2
1 2 3
2
A. B. C. D.
（北京模拟考试）
   
若A，B，C，D四点共面，且OA2OB3OCxOD0，则x的值是（ ）
86.4 2 6 6
A. B. C. D.
页 16龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（山东模拟考试）
 
已知向量AB  1,2,1 ，AC  0,1,2 ，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
87.
 5,2,1  6,2,2   3,1,2   4,3,1 
A. B. C. D.
（云南模拟考试）
已知A  1,0,0 ，B  0,1,0 ，C  0,0,1 ，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
88.
 3 3 3  3 3 3
 , ,   , , 
   
 3 3 3   3 3 3 
A. B.
 3 3 3  3 3 3
 , ,   , , 
   
 3 3 3   3 3 3 
C. D.
（内蒙古模拟考试）
已知A，B，C三点不共线，M ，A，B，C四点共面，则对平面ABC外的任一
 1 1 
点89O. ，有OM  OA OBtOC，则t  ．
2 3
（甘肃模拟考试）
1
如图，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，BP  BD，则P点坐标为（ ）
3
90.
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1
 , ,   , ,   , ,   , , 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A. B. C. D.
（辽宁模拟考试）
已知在正四棱柱ABCDABC D 中，AA 2AB，E是AA 的中点，则异面直线BE
1 1 1 1 1 1
91.
与CD 所成角的余弦值为 （ ）
1
10 1 3 10 3
10 5 10 5
A. B. C. D.
（安徽模拟考试）
页 17龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
如图，棱长为2的正方体 ABCDABC D 在空间直角坐标系中，若E ， F 分
1 1 1 1
92. 
别是BC，DD 中点，则EF 的坐标为（ ）
1
 1,2,1  1,2,1   1,2,1  1,2,1 
A. B. C. D.
（北京模拟考试）
在空间直角坐标系O‐xyz中，已知点A  1,0,0 ，B  0,2,0 ，C  0,0,2 ，D  0,0,1 
9，3.则直线AD与BC所成角的大小是 ．
（湖南模拟考试）
已知直线l 的一个方向向量为a  1,2,2 ，直线l 的一个方向向量为b 1,2,0 ，
1 2
则9两4.直线所成角的余弦值为（ ）
5 2 5 5 5

3 5 5 5
A. B. C. D.
（甘肃模拟考试）
在正方体ABCD‐ABC D 中，点M 为棱C D 的中点，则异面直线AM 与BD所成
1 1 1 1 1 1
角9的5.余弦值为（ ）
2 3 2 3
2 4 6 6
A. B. C. D.
（新疆模拟考试）
在长方体ABCD‐ABC D 中，AB AA 2，AD 1，E为CC 的中点，则异面
1 1 1 1 1 1
96.
直线BC 与AE所成角的余弦值为 （ ）
1
页 18龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
10 30 2 15 3 10
10 10 10 10
A. B. C. D.
（辽宁模拟考试）
已知在正方体ABCD‐ABC D 中，E是BC 的中点，F 是底面ABC D 的中心，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则9异7.面直线AF 与DE所成角的余弦值为（ ）
6 6 2 6 5 6
3 4 9 18
A. B. C. D.
（广西模拟考试）
在正方体ABCDABC D 中，M ，N 分别为棱AD 和DC 的中点，则异面直线
1 1 1 1 1 1 1 1
98.
AD 与MN 所成的角为（ ）
1
30 45 90 60
A. B. C. D.
（山东模拟考试）
在长方体ABCD‐ABC D ， AB  BC 2，AA 1，则AB 与平面 ABCD 所成
1 1 1 1 1 1 1 1
角9的9.正弦值为（ ）
2 5 2 10 1
5 5 5 2
A. B. C. D.
（福建模拟考试）
在棱长为1的正方体ABCDABC D 中，点M 为棱CC 的中点，则直线BM 与
1 1 1 1 1 1
100.
平面ADM 所成角的正弦值是（ ）
1 1
21 2 3 4
5 5 5 5
A. B. C. D.
（江苏模拟考试）

已知空间向量AB  1,0,1 ，平面的一个法向量为n 0,1,1 ，则直线AB与平
101.
页 19龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
面所成角为（ ）
π π π 2π
6 4 3 3
A. B. C. D.
（山东模拟考试）
如图，直棱柱 ABCABC 的底面ABC中，CACB 1，ACB 90，棱
1 1 1
102.
AA 2，如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC 为x，y，z 轴建立空间直角坐标
1 1
系．
（ ）求平面ABC的法向量．
1 1
1
（ ）求直线AC与平面ABC夹角的正弦值．
1 1
2
（上海模拟考试）
如图所示，在直四棱柱 ABCDABC D 中，底面 ABC D 是矩形， AB 1，
1 1 1 1 1 1 1 1
103.
BC  2，AA 2，E是侧棱BB 的中点．
1 1
（ ）求证：AE 平面AED；
1
1
（ ）求二面角AADE的大小．
1
2
页 20龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（上海模拟考试）

如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，OC  0,0,2 ，
104.
平面ABC的法向量为n 2,1,2 ，设二面角CABO的大小为，则cos（ ）
4 5 2 2

3 3 3 3
A. B. C. D.
（山西模拟考试）
已知两平面的法向量分别为m  0,1,0 ，n 0,1,1  ，则两平面所成的二面角
为105. ．
（吉林模拟考试）
在直三棱柱ABC‐ABC 中 ，AA  AB BC 3 ，AC 2 ， D是 AC
1 1 1 1
的1中06点. ．
（ ）求证：BC平面 ABD  ．
1 1
1
（ ）求直线AB 与平面 ABD 成角的正弦值．
1 1 1
2
页 21龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（广东模拟考试）
如图，正三棱柱ABC‐ABC 中，AB 1，AA 2，D是BB 的中点，则AD与
1 1 1 1 1
107.
平面AACC所成角的正弦值等于（ ）
1 1
2 6 3 10
2 4 2 4
A. B. C. D.
（湖南模拟考试）
如图，在直三棱柱ABC‐ABC 中，AB  AC，AB  AC 2，AA 4，D是BC
1 1 1 1
的1中08点. ．
（ ）求证：平面ADC 平面BCCB ．
1 1 1
1
（ ）求直线AB 与平面ADC 所成角的正弦值．
1 1
2
页 22龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（云南模拟考试）
如图，在三棱锥P‐ABC中，AB，AC，AP两两互相垂直，AB 2AC 2AP，
CD  PB．
109.
（ ）证明：AD  PB且BD 4PD；
（ ）求直线AD与平面PBC 所成角的正弦值．
1
2
（湖南模拟考试）
如图，在直三棱柱ABC‐ABC 中，AC  BC ，AC  AA 2BC，E，F 分别
1 1 1 1
110.
为侧棱BB ，CC 中点．
1 1
（ ）证明：BF 平面ACE；
1 1
1
（ ）求BC与平面ACE所成角的正弦值．
1 1 1
2
页 23龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（北京模拟考试）
如图，在正方体ABCD‐ABC D 中，E为DD 的中点．
1 1 1 1 1
111.
（ ）求证：BD 平面ACE；
1
（1）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．
2
（北京模拟考试）
如图，四边形 ABCD为正方形，MAPB ，MA BC ， AB  PB，MA1，
A1B12. PB  2．
（ ）求证：PB 平面ABCD；
（ ）求直线PC与平面PDM 所成角的正弦值．
1
2
页 24龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（江苏模拟考试）
如图，在正四棱锥 P‐ABCD 中，底面正方形的对角线 AC ， BD交于点O且
1
O1P13. AB．
2
（ ）求直线BP与平面PCD所成角的正弦值；
（ ）求锐二面角B‐PD‐C 的大小．
1
2
（湖南模拟考试）
如图，在直三棱柱ABC‐ABC中，AB  AC，AB  AC 2，AA 4，点D是
1 1 1 1
B1C14的. 中点．
（ ）求证：AB平面ADC ．
1 1
1
（ ）求直线BC 与平面ADC 所成角的余弦值．
1 1 1
2
页 25龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（湖北模拟考试）
如图，正四棱柱 ABCD‐ABC D 中 ， AA 2AB4 ，点 E在 CC
1 1 1 1 1 1
115.
上且 C E 3EC．
1
（ ）证明： AC 平面 BED．
1
1
（ ）求二面角 A‐DE‐B的余弦值．
1
2
（重庆模拟考试）
如图，在三棱柱 ABC‐ABC 中， BC  BB ， BC BC O，
1 1 1 1 1 1
116.
AO 平面 BBCC．
1 1
（ ）求证： ABBC ；
1
1
（ ）若 BBC 60 ，直线 AB 与平面 BBCC所成角为 30 ，求二面
1 1 1 1 1
2
角 A‐BC‐A的余弦值．
1 1 1
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（宁夏模拟考试）
将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD平面CBD，AE 
平1面17.ABD，且AE  2．
（ ）求直线DE与直线AC所成的角．
（ ）求二面角B‐ED‐C 的余弦值．
1
2
（湖北模拟考试）
如图，四棱锥P‐ABCD中，PA平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD的
中点．
118.
（ ）证明：PB平面AEC．
1
（ ）设PA1，BAD120，菱形ABCD的面积为2 3，求二面角D‐AE‐C的余
弦值2 ．
页 27龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（北京模拟考试）
在三棱柱ABC‐ABC 中，CC 平面ABC，AB  AC，AB AC  AA ，E是
1 1 1 1 1
119.
AC 的中点．
1 1
（ ）求证：AB CE．
（ ）求二面角B‐CE‐A的余弦值．
1
2
（北京模拟考试）
如图，四棱锥P‐ABCD的底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，E，F 分别
是BC，PC的中点，AB  AP 2．
120.
（ ）求证：BD 平面PAC ；
（ ）求二面角E‐AF‐C 的大小．
1
2
页 28龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
答案解析
【解答】在空间直角坐标系中，点A  1,0,1 ，B  3,2,1 
1.
13 02 11
线段AB的中点的坐标是 , , 
 2 2 2 
即中点坐标是
2,1,1

故选： ．

【解答B】 OP  12 22 12  6
2故.选： ．
【解答C】在空间直角坐标系O‐xyz中
3.
点A  2,1,3 关于 yOz平面对称的点的坐标是2,1,3 
故选： ．
【解答B】点A  1,3,1 ，B 1,2,0 
4.
则 AB   11 2  32 2  10 2  6
故选： ．
【解答A】空间直角坐标系O‐xyz中，点M  1,2,3 关于xOz平面
5.
对称的点的坐标是
1,2,3

故选： ．
【解答D】根据关于坐标平面 yOz的对称点的坐标的特点
6.
可得点
2,3,4
关于坐标平面 yOz的对称点的坐标为：2,3,4 
故答案为：2,3,4 ．
【解答】在空间直角坐标系中，点P  3,4,5 关于 yOz平面对称的点的坐标为3,4,5 
7故.选： ．
【解答A】在空间直角坐标系中，点P  3,4,5 关于z轴对称的点的坐标为：3,4,5 
8故.选： ．
【解答A】点P  3,1,5 关于原点对称的点的坐标为3,1,5 
9故.选： ．
 
【解B答】由题意可得ABCD 0
1页0. 29龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
代入数据可得x2 2 030
解得x4
故选： ．
【解D答】ab
11存. 在使ba
 2

x 4

y 5
15
解得x6，y 
2
故选： ．
【解D答】 ab 0,2,1 1,1,2 01 2112 0
12. a b
π
a与 b的夹角为
2
故选： ．
【解C答】 a  12 12 12  3
1故3选. ： ．
【解C答】ab 2,3,1  4,1,2   6,4,1 
14.
故答案为：
6,4,1
．
 3  1
【解答】因为 1, ,1   1,3,2 
 2  2
15.
 3 
所以向量 1, ,1与向量a  1,3,2 平行
 2 
故选： ．
2x 1 3 1
【解B答】因为a与b是共线向量，所以   ，解得x 
1 3 9 6
1故6选. ： ．
【解C答】a 3,2,5 ，b 1,x,1 
17.
ab312x51 
2
解得x5
故选： ．
【解B答】向量a (1,1,1)，b(2,0,3)
18.
页 30龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
ab1210(1)(3)1
故选： ．
【解D答】 正方体 ABCDABC D 的棱长为 1
1 1 1 1
19.
点 B 在 x轴上的射影点为 A  1,0,0 ，可得 B 的横坐标为 1
1 1
点 B 在 y轴上的射影点为 C  0,1,0 ，可得 B 的纵坐标为 1
1 1
点 B 在 z轴上的射影点为 D  0,0,1 ，可得 B 的竖坐标为 1
1 1 1
由此可得点 B 的坐标是  1,1,1 
1
故选： ．
【解C答】P 2,0,3 的第二个坐标为0
2故0点. P到xOz平面内的距离为0
点P在xOz平面内
故选： ．
【解C答】因为 ab a
21.
所以 ab a 0，即aaba 0
所以 011  010 0得2
故选： ．
【解C答】由已知可得，向量  a  4,2,4   ，  b 6,3,2   ，则
22.
．  ab 10,5,2   ，故 正确
A A
．  ab2,1,6   ，故 错误
B．  ab246822 ，故B 错误
C．  a  16416 6 ，故 C 正确
D故选： ． D
【解B答C】ab
23设. bka
 3,21,2  kk,0,k 
页 31龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
kk 3
 1 1
210 ，解得 ，
2 2

k 2
1
故选： ．
【解B答】a 2,1,3 ，b 1,3,2 
24.
ab 7 1
cosa,b   
a  b 14 14 2
1
故答案为： ．
2
【解答】不妨设O  0,0,0 ，A  1,0,1 ，B  0,0,1 ，C  0,1,1 
25.    
．OM OAOBOC  1,1,3 ，由于M 的竖坐标31，故M 不在平面ABC上，故
A选项错误
   
A．OM OA2OB3OC   1,3,6 ，由于M 的竖坐标61，故M 不在平面ABC上，
B故 选项错误
B 1 1 1 1 1 3 3
．OM  OA OB OC   , , ，由于M 的竖坐标 1，故M 不在平面
2 2 2 2 2 2 2
C
ABC上，故 选项错误
 1 C  1 1 1 1 
．OM  OA OB OC   , ,1，由于M 的竖坐标为1，故M 在平面ABC上，
3 3 3 3 3 
D
也即A，B，C，M 四点共面．下面证明结论一定成立
 1 1 1   1    1   
由OM  OA OB OC ，得OM OA OBOA  OCOA
3 3 3 3 3
 1 1
即AM  AB AC
3 3
1   
故存在 ，使得AM ABAC成立，也即A，B，C，M 四点共面
3
故选： ．
【解D答】设异面直线AC与OB的夹角为，0 „90
26.
页 32龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
   
由条件得AC  2,0,2 3 ，OB  2,0,0 
 
ACOB 4 1
则cos    
AC  OB 42 2
所以60
故选： ．
1 1 1
【解C答】根据空间向量共面定理，系数和等于1，   1
3 3 3
2故7选. ： ．
  1 1
【解D答】 OM  xOA OB OC ，且点 M 在 ABC所在的平面内
2 3
28. 1 1
  x1
2 3
1
解得 x 
6
故选： ．
【解答】建立空间直角坐标系，如图所示
A
29.
则A  1,0,0 ，E  0,2,1 ，B  1,2,0 ，C  0,2,2 
1
 
BC
1,0,2 ，AE 1,2,1 
1
  30
cos BC ,AE 
1 10
30
所以异面直线BC 与AE所成角的余弦值为
1 10
故选B
1 2 2
【解答】因为，所以n n ，   ，解得k 4
1 2 2 4 k
3故0选. ：
【解D答. 】直三棱柱ABC‐ABC 的所有棱长都是2
1 1 1
31.
页 33龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
 
B 3,1,0
 
顶点B 的坐标是 3,1,2
1
 
故答案为： 3,1,2 ．
【解答】以长方体ABCDABC D 的顶点D为坐标原点
1 1 1 1
3过2.D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系

DB 的坐标为(4,3,2)
1
DA4，AB 3，DD 2
1
B(4,3,0)，D(0,0,2)
1

BD 的坐标为(4,3,2)
1
故答案为：(4,3,2)．
【解答】设平面  ABC 的一个法向量为  n x,y,z  
33.  
 ABn0 ，  ACn0
2x2yz 0
  
4x5y3z 0
1
取  z 1 得  x   ，  y 1
2
1 
则  n  ,1,1
2 
1 3
 n  11 
4 2
2 1 2 2
则平面  ABC 的单位法向量为   n  , , 
3 3 3 3
故选： ．
【解D答】    A  1,3,2     ，    B  1,2,1     ，   
34.
C
1,2,3 
  
 
   AB 0,1,1     ，    AC 2,1,1    
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设向量    n x,y,z     是平面    ABC   的一个法向量

 nAByz  0
则         ，取    y 1   ，得   
nAC 2x yz 0
x1   ，    z 1  
   n1,1,1     是平面    ABC   的一个法向量
故选： ．
D  1 
【解答】l，且l的方向向量为
2,m,1
，平面的法向量为1,
,2
 2 
35.
 1 
向量为 2,m,1 与平面的法向量1, ,2垂直
 2 
 1  1
则 2,m,1  1, ,2 2 m20
 2  2
解得m8
故答案为：8．
 3 1 1 3 1 1
【解答】 OP OA OB OC，   1
4 8 8 4 8 8
3故6. P， A， B， C四点共面
故选： ．
【解B答】由题意可得ab 1,2,0 ，则 ab  12 2 2 02  5
3故7选. ： ．
【解A答】由题意可得，a 1,0,6 ，b 21,21,2 
38.
若ab，则a b
1(21)①

则有 0(21)② ，由③可得，3


62③
2 1
将3代入①，②中，解得 ，
5 2
故选： ．
【解D答】由题意可得  BC 与  BC  的交点  E 是  BC  的
1 1 1
3中9点.
 B  2,2,0   ，  C  0,2,2  
1
 E  1,2,1  
页 35龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
故答案为：   1,2,1   ．
【解答】（ ）取AD的中点为O，连接QO，CO
40. 1
因为QAQD，OAOD，则QO AD
而AD 2，QA 5 ，故QO  512
在正方形ABCD中
因为AD 2，故DO 1，故CO 5
因为QC 3，故QC2 QO2 OC2，故QOC 为直角三角形且QO OC
因为OCAD O，故QO平面ABCD
因为QO平面QAD，故平面QAD 平面ABCD
（ ）在平面ABCD内，过O作OT CD，交BC于T ，则OT  AD
2
结合上一问中的QO平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系
 
则D  0,1,0 ，Q  0,0,2 ，B  2,1,0 ，故BQ 2,1,2 ，BD 2,2,0 
设平面QBD的法向量n
x,y,z


 nBQ0 2x y2z 0 1
则  即 ，取x1，则 y 1，z 
nBD0 2x2y0 2
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 1
故n 1,1, 
 2
1 2
而平面QAD的法向量为m  1,0,0 ，故cosm,n  
3 3
1
2
2
二面角B‐QD‐A的平面角为锐角，故其余弦值为
3
【解答】由题意可得 a 1,1,3 ， b 2,3,2 
41.
则 ab1,1,3  2,3,2   1,2,1 
a2b1,1,3 2  2,3,2 5,7,7 
故答案为：  1,2,1 ； 5,7,7 ．
【解答】a  2,3,1 ，b 1,2,0 
42.
ab
3,5,1

ab  9251 35
故选： ．
【解C答】点  M  1,1,1   关于  x 轴的对称点坐标是   1,1,1  
43.
故答案为：   1,1,1   ．
【解答】因为空间两点A  1,5,4 ，B 1,3,5 
44.
故A，B两点间的距离为  11 2  53 2  45 2 3
故选： ．
【解B答】因为线段PQ的端点坐标分别为 1,4,7 ， 3,4,5 
45.
所以线段PQ的中点M 的坐标为 2,0,1 
故答案为： 2,0,1 ．
【解答】由l ，则vn
4则6存. 在非零常数，使得v n
页 37龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
x

即1 ，解得x1

22
故选： ．
【解A答】向量a  1,2,2 
47.
b2,4,4 2a
a与b平行
故选： ．
【解C答】ab 2,1,0  3,4,7  32,4,7 
48.
ab a
ab a  0
2  32400
解得2
故选：C
【解答】向量a ,1,3 ，b 0,3,3，a b
49.
ab033  30
解得实数2
故选： ．
【解A答】正方体ABCD‐ABC D 的棱长为1
1 1 1 1
5如0图.
则点C 的坐标为 0,1,1 
1
故答案为：
0,1,1
．
【解答】由点A  1,1,1 与点B 1,1,1 
5可1知. 两点的纵坐标相等，其余互为相反数
页 38龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
故两点一定关于y轴对称
故选： ．
【解答】na 3410
B
na
52.
l或l 
故选： ．
     
【解D答】BACBCDCADC  DA
5故3选. ： ．
【解B答】  3,4,0  0,0,5 0000
54此. 两个向量具有垂直关系
故选： ．
【解C答】  yOz 坐标平面是由所有  x 坐标为  0 的点构成的
5 所 5 以 . 点   0,m2 2,m   一定在  yOz 坐标平面内
故选： ．
【解答】类比平面向量的运算性质，得空间向量可以进行加法运算，减法运算和数量积
C
的运算，而不能进行除法运算
56.
故选： ．
【解D答】 a， b的坐标即为 i， j， k 前面的系数
57.
故 a的坐标为  2,4,5 ， b的坐标为  1,2,3 
故答案为：  2,4,5 ，  1,2,3 ．
【解答】
e ,e ,e
是空间向量的一个单位正交基底
1 2 3
58.
a 4e 8e 3e ，b2e 3e 7e
1 2 3 1 2 3
a，b的坐标即为e ，e ，e 前面的系数
1 2 3
故a的坐标为 4,8,3 ，b的坐标为2,3,7 
故答案为： 4,8,3 ，2,3,7 ．
【解答】在空间直角坐标系 O‐xyz中
59.
点 M  x,y,2020 （ xR， yR）的竖坐标不变
故其构成的集合是一个平行于平面 xOy的平面
页 39龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
故选： ．
【解B答】设ba，则
4,x,y
2,3,5 
60.
2，x6，y 10
故选： ．
【解C答】由题意可知，点P到原点的距离为 2 2 1 2 32  14
6故1选. ： ．
15
A
3  9
2
【解答】由题意可得   ，解得
2 3 5 2
6故2选. ： ．
【解B答】若b4,6,2 ，则b2  2,3,1 2a
63.
所以ab
故选： ．
【解D答】A  3,1,2 ，B  4,2,2 
64.
AB 43,21,22   1,3,4 
故答案为： 1,3,4 ．
【解答】A．一个平面有无数个法向量，正确
B．平面的所有法向量共线，正确
65.
C．其单位法向量只有一个，不正确
D．其单位法向量有两个，正确
故选： ．
【解C答】 1,1,1  1,2,1 1210，1,1,1 1,1,2 1120
66.
向量1,1,1 是此平面的法向量
故选： ．
【解B答】平面，垂直
67这. 两个平面的法向量也互相垂直
不妨设为n ，n ，则n n 0
1 2 1 2
对于A，有n n 3210，满足题意
1 2
对于B，n n 21210，不满足题意
1 2
对于C，n n 12120，不满足题意
1 2
页 40龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
对于D，n n 04260，不满足题意
1 2
故选： ．
【解A答】点P  1,4,3 与点Q  3,2,5 的中点坐标是： 2,1,1 
6故8选. ： ．
【解C答】   a 1,,2    ，   b 2,1,1   
69.
  a  52   ，   b  6 
1
  ab a b cos120   6 52 224 
2
  2 16170 
解得   17  或   1 
故选： ．
【解答B】C根据题意，向量 a  1,1,0 ， b1,0,2 
70.
则 akb 1k,1,2k ， 2ab 1,2,2 
若  akb 与  2ab 互相垂直，则  akb  2ab 1k24k 0 ，
解可得 k 1
故答案为： 1．
【解答】直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，则能使l
7只1要. 满足mn0即可
．mn2 ．mn3 ．mn0 ．mn1
故选： ．
A B C D
【解C答】因为a  0,1,1 ，b 1,1,0 
72.
所以ab,1,1 
因为 ab a
所以 ab a 110
解得2
故选： ．
【解C答】a  1,3,5 ，b 2,6,x ，ab0
73a. b2185x0
解得x4
x的取值范围是,4 
页 41龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
故选： ．
【解A答】 ．(1,2,1) 0,0,1 1，故 错误
74. A A
．(1,2,1)(2,1,0)0，故 正确
B B
．(1,2,1) 1,1,2 1，故 错误
C C
．(1,2,1)(4,1,1)1，故 错误
D故选： ． D
【解B答】（ ）在长方体ABCD‐ABC D 中，DA 6，DC 2，DD  3，E
1 1 1 1 1
7是5.AB的中点1
1 3 6
S  S S  62  61
BCDE ABCD ADE 2 2
四棱锥A‐BCDE 的体积
1
1 1 3 6 3 2
V  AA S   3 
A 1 ‐BCDE 3 1 BCDE 3 2 2
（ ）以D为原点，DA为x轴，DC 为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系
1
2
     
则A 6,0, 3 ，E 6,1,0 ，B 6,2, 3 ，C  0,2,0 
1 1
 
   
AE  0,1, 3 ，BC   6,0, 3
1 1
设异面直线AE与BC所成角为
1 1
 
AEBC
3 1
1 1
则cos    
AE  BC 4 9 2
1 1
【解答】如图
7设6正. 方体ABCD‐ABC D 的棱长为1
1 1 1 1
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA 为z 轴，建立空间直角坐标系
1
页 42龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
A

0,0,1
，C 
1,1,0
，B 
1,0,1
，D 
0,1,1

1 1 1
 
AC  1,1,1 ，BD 1,1,0 
1 1 1
设异面直线AC和BD 所成角为
1 1 1
 
ACBD
0
1 1 1
则cos    0
AC  BD 3 2
1 1 1
90
异面直线AC和BD 所成角的大小为90
1 1 1
故答案为：90．
【解答】l
77n. a
na 2210
3
解得
2
3
故答案为： ．
2
【解答】由题意得bc  2,2,5 
78.
a bc 223 2153
故选：B
【解答】以D为原点，DA，DC ，DD 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空
1
79.
间直角坐标系D‐xyz
页 43龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
设AB 1，则D  0,0,0 ，A  1,0,0 
B

1,1,0
，C 
0,1,0
，D 
0,0,2

1
A

1,0,2
，B 
1,1,2
，C 
0,1,2

1 1 1

设AD 与平面BBDD所成角的大小为，AD 1,0,2 
1 1 1 1
 
设平面BBDD的法向量为n x,y,z ，DB  1,1,0 ，DD  0,0,2 
1 1 1
则x y 0，z 0
令x1，则 y 1
所以n 1,1,0 
 10
sin cosAD ,n 
1 10
10
所以AD 与平面BBDD所成角的正弦值为
1 1 1 10
故选： ．
【解A答】设正方体ABCD‐ABC D 的棱长为2
1 1 1 1
80.
以D为原点，DA为x轴，DC 为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系
1
E 为BC 的中点
1
D  0,0,0 ，E  1,2,1 

DE  1,2,1 
页 44龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
设DE与面BCCB 所成角的平面角为
1 1
面BCCB 的法向量n 0,1,0 
1 1
 2 6
sin cos DE,n  
6 3
2 3
cos 1 
3 3
6
3
tan  2
3
3
故选： ．
【解C答】如图，以D 为坐标原点，以D A ，DC ，DD 分别为x，y，z轴，建立空
1 1 1 1 1 1
8间1直. 角坐标系
设正方体的边长为a，a 0
则：A  a,0,0 ，C  0,a,a ，D  0,0,a ，B  a,a,a 
1
 
AC a,a,a ，BD a,a,0 
1
 
ACBD 0
1
 
AC  BD
1
即AC BD
1
直线AC与BD所成角为90
1
故选： ．
【解D答】在正方体ABCD‐ABC D 中，E，F 分别为棱AD ，DD 的中点
1 1 1 1 1 1 1
82.
以D为原点，DA为x轴，DC 为y轴，DD 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
1
页 45龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
设正方体ABCD‐ABC D 的棱长为2
1 1 1 1
则E  1,0,2 ，F  0,0,1 ，B  2,2,0 ，C  0,2,2 
1
 
则EF 1,0,1 ，BC 2,0,2 
1
设异面直线EF 与BC 所成的角为
1
 
EFBC
1
则cos   0
EF  BC
1
90
故异面直线EF 与BC 所成的角为90
1
故选： ．
【解D答】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系
83.
由题意得A  0,0,0 ，N  2,1,0 ，M  0,0,1 ，D  0,2,0 
 
AN  2,1,0 ，MD  0,2,1 
设MD与AN所成的角为
 
ANMD
2 2
则cos    
AN  MD 5 5
2
MD与AN所成角的余弦值为
5
2
故答案为： ．
5
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【解答】由题可得
8如4图. ，以D为原点，DA，DC ，DD 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1
设正方体棱长为2
M  2,0,1 ，C  0,2,0 ，D  0,0,2 ，N  2,2,1 
1
 
MC 2,2,1 ，DN  2,2,1 
1
 
设向量MC与D N 的夹角为
1
 
MCDN
22221 1 
1
则cos  1  
MC DN 441 441 9
1
因为cos0
 
所以CM 与DN 夹角即为向量MC与D N 的夹角
1 1
1
所以CM 与DN 所成角的余弦值为
1 9
故选： ．
【解答】建立坐标系如图所示：设正方体棱长为1
B
85.
   
则DB  1,1,1 ，BB  0,0,1 ，AC 1,1,0 ，AD 1,0,1 
1 1 1
   
DB AC 0，DB AD 0
1 1 1

DB 为平面ACD 的一个法向量
1 1
 
DBB为DB 与BB 的夹角
1 1 1
BD
tanDBB   2
1 BB
1
页 47龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
1 2
BB 与平面ACD 所成角的正切值为 
1 1
2 2
故选： ．
   
【解C答】由OA2OB3OCxOD0
86.    
变为OA2OB3OCxOD
A，B，C，D四点共面
23x1，解得x6
故选： ．
 
【解D答】由AB  1,2,1 ，AC  0,1,2 ，知
87.
  1,2,1  5,2,1 5410
A．
  0,1,2  5,2,1 0220
平面ABC的一个法向量可以是 5,2,1 ，故A正确
  1,2,1 6,2,2 6420
B． ，故B错误
  0,1,2 6,2,2 0242
  1,2,1  3,1,2 3223
C． ，故C错误
  0,1,2  3,1,2 0145
  1,2,1  4,3,1 4611
D． ，故D错误
  0,1,2  4,3,1 0325
故选： ．
 
【解A答】由题意得，  AB 1,1,0   ，  AC 1,0,1  
88.
设平面  ABC 的一个单位法向量  n x,y,z  
 
则  nABnAC 0 ，且  |n|1
 x yxz 0 ，  x2  y2 z2 1
3
解得  x y  z  
3
 3 3 3  3 3 3
 n , ,  或  n , , 
   
 3 3 3   3 3 3 
故选： ．
【解答】由题意A，B，C三点不共线，M ，A，B，C四点共面
D
89.
页 48龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
 1 1 
则对平面ABC外的任一点O，有OM  OA OBtOC
2 3
1 1 1
可得  t 1，解得t 
2 3 6
1
故答案为： ．
6
1
【解答】点P在坐标平面xDy上的射影在BD上，因为BP  BD
3
90. 2 1
所以P  P  ，P 
x y 3 z 3
2 2 1
所以P , , 
3 3 3
故选： ．
【解D答】以D为原点，DA，DC ，DD 分别为x， y，z轴建系．设AB 1，则：
1
91.  
B  1,1,0 ，E  1,0,1 ，C  0,1,0 ，D  0,0,2 ，BE (0,1,1)，CD (0,1,2)，
1 1
  3 3 10
cos BE,CD   ．
1 2 5 10
故选： ．
【解答】连接OE
C
9由2题. 意可知 E  1,2,0 ， F  0,0,1 
  
所以 EF OF OE  0,0,1  1,2,0  1,2,1 
故选： ．
【解D答】因为点 A  1,0,0 ， B  0,2,0 ， C  0,0,2 ， D  0,0,1 
93.  
所以 AD 1,0,1 ， BC  0,2,2 
设直线 AD与 BC所成的角为 
 
ADBC
2 1
所以 cos    
AD  BC 22 2 2
由 0 „90
页 49龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
所以 60
即直线 AD与 BC所成角的大小是 60
故答案为： 60．
【解答】直线l 的一个方向向量为a  1,2,2 ，直线l 的一个方向向量为b 1,2,0 
1 2
94.
ab 3 5
两直线所成角的余弦值为：cosa,b   
a  b 3 5 5
故选： ．
【解D答】设正方体ABCD‐ABC D 的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角
1 1 1 1
9坐5标. 系
 1 
则A  1,0,0 ，M 0, ,1，B  1,1,0 ，D  0,0,0 
 2 
  1  
AM   1, ,1，DB  1,1,0 
 2 
1
1
  2
2
cosAM,DB  
3 6
 2
2
2
异面直线AM 与BD所成角的余弦值为
6
故选： ．
【解答】建立如图所示的坐标系
C
96.
则A  1,0,0 ，E  0,2,1 ，B  1,2,0 ，C  0,2,2 
1
页 50龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
 
BC
1,0,2 ，AE 1,2,1 
1
  30
cos BC ,AE 
1 10
30
所以异面直线BC 与AE所成角的余弦值为
1 10
故选： ．
【解B答】建立如图所示的空间直角坐标系D‐xyz
1
97.
1  1 1 
设该正方体的棱长为1，可得D  0,0,1 ，A  1,0,1 ，E ,1,0，F , ,0
2  2 2 
  1 1   1 
所以AF    , ,1，DE   ,1,1
 2 2  2 
 
  AFDE 5 6
所以cosAF,DE    
AF DE 18
故选： ．
【解答】
D
98.
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
则A  2,0,0 ，D  0,0,2 ，M  1,0,2 ，N  0,1,2 
1
 
AD 2,0,2 ，MN 1,1,0 
1
   
AD MN  2， AD 2 2， MN  2
1 1
页 51龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
 
  AD MN 1
cosAD,MN  1  
1 AD  MN 2
1
 
AD,MN 60
1
即异面直线AD 与MN 所成的角为60
1
故选： ．
【解D答】以   D  为原点建立如图所示空间直角坐标系   D‐xyz  
99.
则   A  2,0,0    ，   B  2,2,1    ，   D  0,0,1    ，  
1 1
 
B 2,2,0  
  
  AB  0,2,1    ，   AB  0,2,0    ，   AD 2,0,1  
1 1
设平面   ABCD   的法向量   n x,y,z   
1 1

 nAB 2y 0
则      
nAD 2xz 0
1
取   x1  ，则   n 1,0,2   
设   AB   与平面   ABCD   所成角为    
1 1 1

 AB n 2 2
1
则   sin cos AB,n      
1 AB  n 5 5 5
1
故选： ．
【解答】建立如图所示的空间直角坐标系
B
100.
页 52龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
则A  1,0,1 ，D  0,0,1 ，g x alnxx0，B  1,1,1 
1 1 1
   1   1
AD 1,0,0 ，DM  0,1, ，MB  1,0, 
1 1 1  2 1  2
设平面ADM 的法向量为m  x,y,z 
1 1
 x0
AD m 0 
则{ 1  1   1 ，令 y 1可得z 2
DM m 0 y z 0
1  2
所以m  0,1,2 
设直线BM 与平面ADM 所成角为
1 1 1

mMB
1 2
1
sin   
m  MB 5 5
1 5
2
故选： ．

B  ABn 1 1
【解答】sin cosAB,n    
AB n 2 2 2
101.
π
则直线AB与平面所成角为：
6
故选： ．
【解A答】（ ）由题意可知C  0,0,0 ，A  1,0,2 ，B  0,1,2 
1 1
102. 1 
故CA  1,0,2 ，CB  0,1,2 
1 1
设v  x ,y ,z 为平面ABC的法向量，则
0 0 0 1 1

vCA  x ,y ,z  1,0,2  x 2z 0
1 0 0 0 0 0

vCB  x ,y ,z  0,1,2  y 2z  0
1 0 0 0 0 0
页 53龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
x 2z
 0 0 令z 1，则v 2,2,1 
y 2z 0
0 0

（ ）设直线AC与平面ABC夹角为，CA 1,0,0 
1 1

2 CAv  1,0,0 2,2,1  2
sin   
CA v 1 22 22 12 3
  
【解答】（ ）以D 为坐标原点，分别以D A ，DC ，DD 为x，y，z建立空间直
1 1 1 1 1
1角0坐3.标系 1
    
则DA 2,0,0 ，AE  0,1,1 ，AE  0,1,1 
1
   
AEDA0，AEAE 0
1 1
AE  DA，AE  AE
1 1
又ADAE  A
AE 平面AED
1
（ ）设n  u,v,w 是平面ADE的一个法向量
1 1
2   
AE  0,1,1 ，AD  2,0,2
1 1
 2u2w0

vw0
 
不妨取w1，则n  2,1,1
1

DC 平面AAD，平面AAD的一个法向量为n  0,1,0 
1 1 1 1 2
n n 1
设n 与n 的夹角为，则cos 1 2 
1 2 n ||n 2
1 2
π
结合图形，可判别得二面角是锐角AADE，大小为
1 3

【解答】点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，OC  0,0,2 ，
104.
平面ABC的法向量为n
2,1,2

二面角C ABO的大小为

OCn 4 2
cos   
OC  n 23 3
页 54龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
故选： ．
【解C答】两平面的法向量分别为m  0,1,0 ，n 0,1,1 ，则两平面所成的二面角
105.
与m,n相等或互补
1 2
cosm,n  
1 2 2
故m,n 45
故两平面所成的二面角为45或135
故答案为：45或135．
【解答】（ ）如图，连接  AB  交  AB 于点  E ，连接  DE
1 1
1 06. 1
因为四边形  AABB 为平行四边形
1 1
所以  E 为  AB  的中点
1
因为  D 是  AC  的中点
所以  DEBC
1
因为  DE  平面  ABD  ，  BC  平面  ABD 
1 1 1
所以  BC 平面  ABD
1 1
（ ）因为三棱柱  ABC‐ABC  为直三棱锥
1 1 1
2
所以  AA  垂直于底面  ABC
1
所以  AA  垂直于  AC
1
页 55龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
又因为  AB  BC ，  D 为  AC  中点
所以  DB  AC 
以  D 为原点，以  DC  为  x 轴，  DB 为  y 轴，
以过  D 点平行于  AA  的直线为  z 轴建立空间直角坐标系
1
因为  AA  AB BC 3 ，  AC 2
1
 
所以  D  0,0,0   ，  B 0,2 2,0  ，  A 1,0,3   ， 
1
 
B 0,2 2,3 
1
      
所以  DB  0,2 2,0  ，  DA 1,0,3   ，  AB  1,2 2,0 
1 1 1
设平面  ABD 的法向量为  n x,y,z  
1

 nDB2 2y 0
所以     ，取  n 3,0,1  
nDA x3z 0
1

 nAB 3 10
则  cosn,AB  11   
1 1 n AB 103 10
1 1
10
所以直线  AB  与平面  ABD  成角的正弦值为  
1 1 1 10
【解答】以C为坐标原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC
1
1为07z.轴建立空间直角坐标系
页 56龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
因为AB 1，AA 2
1
 3 1 
则有A , ,0，C  0,0,0 ，C  0,0,2 ，D  0,1,1 
  2 2   1
  3 1     3 1 
故CA , ,0，CC  0,0,2 ，AD  , ,1
  2 2   1   2 2  
设平面AACC的法向量为n
x,y,z

1 1
  3 1
nCA x y  0
则有 2 2


nCC  2z 0
1
 
取x1，则n 1, 3,0
设直线AD与平面AACC所成的角为
1 1

ADn
3 6
则sin   
AD n 2 4 4
故选： ．
【解答】（ ）证明：D是BC的中点，AB  AC
B
AD  BC
108. 1
在直三棱柱中，CC 平面ABC，且AD平面ABC
1
CC  AD
1
BCCC C，BC 平面BBCC ，CC 平面BBCC
1 1 1 1 1 1
AD平面BBCC
1 1
又AD平面ADC
1
页 57龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
平面ADC 平面BBCC
1 1 1
（ ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA 为z 轴建立如图空间直角坐标系
1
2
A

0,0,0
，B 
2,0,0
，D 
1,1,0
，B 
2,0,4
，C 
0,2,4

1 1
  
则AB  2,0,4 ，AD  1,1,0 ，AC  0,2,4 
1 1
设平面ADC 的法向量n x,y,z 
1

 nAD x y  0  1
则  ，取x1，得n 1,1, 
nAC  2y4z 0  2
1
设AB 与平面ADC 所成的角为
1 1

 AB n 202 4 5
则sin cosAB,n  1  
1 AB  n 1 15
1 4016 11
4
4 5
即直线AB 与平面ADC 所成角的正弦值为
1 1 15
【解答】（ ）证明：因为 AC  AB ， AC  AP ， ABAP  A ， AB
， AP平面 ABP
109. 1
所以 AC 平面 ABP，又 PB平面 ABP
所以 AC  PB
又因为 CD  PB， ACCD C ， AC， CD平面 ACD
所以 PB 平面 ACD，又 AD平面 ACD
所以 AD  PB
AP AD 1
因为 tanABP  
AB BD 2
所以 BD 2AD
则由题意易得 ADP∽BDA
PD AD 1
所以  
AD BD 2
所以 AD 2PD
故 BD 4PD
页 58龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
（ ）以点 A为坐标原点 ， AC ， AB ， AP分别为 x ， y ， z
轴建2 立空间直角坐标系，如图所示
设 AC 2，则 AB 4， AP 2
 4 8
则点 A  0,0,0  ， P  0,0,2  ， B  0,4,0  ， C  2,0,0  ， D0, , 
 5 5
    4 8
则 PB  0,4,2 ， PC  2,0,2 ， AD  0, , 
 5 5
设平面 PBC 的法向量为 n x,y,z 

 nPB 4y2z 0
则有  
nPC 2x2z 0
令 y 1，则 x2， z 2
所以 n 2,1,2 
设直线 AD与平面 PBC 所成的角为 
 4 16
 nAD 5  5 5
则 sin cosn,AD    
n AD 4 5 3
3
5
5
所以直线 AD与平面 PBC 所成角的正弦值为
3
【解答】（ ）在直三棱柱ABC‐ABC 中，E，F 分别为侧棱BB ，CC 中点
1 1 1 1 1
110. 1
BEC F ，BE C F
1 1
四边形BEC F 是平行四边形
1
BF EC
1
页 59龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
BF 平面ACE，EC 平面ACE
1 1 1 1 1
BF 平面ACE
1 1
（ ）在直三棱柱 ABC‐ABC 中，AC  BC ，AC  AA 2BC ，E，F 分别为侧
1 1 1 1
2
棱BB ，CC 中点
1 1
以C为坐标原点，CA为x轴，CB为 y轴，CC 为z轴，建立空间直角坐标系
1
设AC  AA 2BC 2
1
则B  0,1,2 ，C  0,0,0 ，A  2,0,2 ，C  0,0,2 ，E  0,1,1 
1 1 1
  
则BC  0,1,2 ，C A  2,0,0 ，C E  0,1,1 
1 1 1 1
设平面ACE的法向量n
x,y,z

1 1

 nC A  2x0
则  1  1 ，取 y 1，得n 0,1,1 
nC E  yz  0
1

BCn
3 3 10
1
设BC与平面ACE所成角为，则sin   
1 1 1 BC  n 5 2 10
1
3 10
BC与平面ACE所成角的正弦值为
1 1 1 10
【解答】（ ）连接 BD交 AC于点 O，连接 OE
111. 1
页 60龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
在正方形 ABCD中， OB OD
因为 E为 DD 的中点
1
所以 OEBD
1
因为 BD 平面 ACE， OE 平面 ACE
1
所以 BD 平面 ACE
1
（ ）不妨设正方体的棱长为 2，建立空间直角坐标系 A‐xyz，如图所示
2
则 A  0,0,0 ， C  2,2,0 ， D  0,2,0 ， E  0,2,1 
  
所以 AD  0,2,0 ， AC  2,2,0 ， AE  0,2,1 
设平面 ACE的法向量为 n x,y,z 

 nAC 0
所以  
nAE 0
2x2y 0 xy
所以  ，即 
2yz 0 z 2y
令 y 1，则 x1， z 2
于是 n 1,1,2 
设直线 AD与平面 ACE所成角为 
页 61龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究

 ADn 2 6
则 sin cos AD,n    
AD  n 2 6 6
6
所以直线 AD与平面 ACE所成角的正弦值为
6
【解答】（ ）因为MA BC ，MAPB
1所1以2. PB  BC1
因为AB  PB，ABBC  B
所以PB 平面ABCD
（ ）根据题意，如图建立空间直角坐标系
则2P  0,0,2 ，M  2,0,1 ，C  0,2,0 ，D  2,2,0 
  
PC  0,2,2 ，PD  2,2,2 ，PM  2,0,1 
设平面PDM 的法向量为 x,y,z 

 PD 0 2x2y2z 0
则  ，即
PM 0 2xz 0
令z 2，得x1， y 1．于是 1,1,2 
设直线PC与平面PDM 所成的角为

PC
3
所以sin  
PC  6
3
所以直线PC与平面PDM 所成角的正弦值为
6
【解答】（ ）在正四棱锥P‐ABCD中，底面正方形的对角线AC ，BD交于点O
所以OP 平面ABCD
113. 1
取AB的中点E，BC的中点F ，连接OE，OF ，则OE OF
因为OE，OF 平面ABCD
所以OP OE，OP OF
页 62龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
所以OP，OE，OF 两两垂直
故以点O为坐标原点，以OE，OF ，OP所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直
角坐标系
设底面正方形边长为2
1
因为OP AB
2
所以OP 1
所以B  1,1,0 ，C 1,1,0 ，D 1,1,0 ，P  0,0,1 
  
所以BP 1,1,1 ，CD  0,2,0 ，CP  1,1,1 
设平面PCD的法向量是n
x,y,z

 
所以CDn2y 0，CPn x yz 0
取x1，则 y0，z 1
所以n 1,0,1 

 BPn 6
所以cosBP,n   
BP n 3
6
所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为
3
（ ）设平面BPD的法向量是m  x,y,z
2  
因为BP 1,1,1 ，BD 2,2,0 
 
所以BPm x yz0，BDm 2x2y0
取x1，则 y1，z0
所以m  1,1,0 
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由（ ）知平面PCD的法向量是n 1,0,1 
1
mn 1
所以cosm,n  
m n 2
所以m,n 60
所以锐二面角B‐PD‐C 的大小为60
  
 
【解答】（ ）如图，以 AB,AC,AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz
1
114. 1
则A  0,0,0 ，B  2,0,0 ，C  0,2,0 ，A  0,0,4 ，D  1,1,0 ，B  2,0,4 ，C  0,2,4 
1 1 1
  
AB 2,0,4 ，AD  1,1,0 ，AC  0,2,4 
1 1
 
设平面ADC 的法向量为m  x,y,z ，由m  AD，m  AC
1 1
x y 0
 ，取z 1，得 y 2，x2
2y4z 0
平面ADC 的一个法向量为m  2,2,1 
1

由此可得，ABm  2202 4 10
1
又AB平面ADC
1 1
AB平面ADC
1 1

（ ）由（ ）可得BC 2,2,0 
1 1
2 1
设直线BC 与平面ADC 所成角为
1 1 1
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
 BC m 44 2 2
1 1
则sin cos BC,m    
1 1 BC m 32 2 3
1 1
又为锐角
1
直线BC 与平面ADC 所成角的余弦值为
1 1 1 3
【解答】（ ）如图，以 DA ， DC ， DD 为 x ， y ， z轴 ，
1
1建1立5.空间直角坐1标系
则 A  2,0,4 ， B  2,2,0 ， C  0,2,0 ， D  0,0,0 ， E  0,2,1 
1
  
AC
2,2,4 ，
DB

2,2,0
，
DE

0,2,1

1
 
ACDB 2222400
1
 
ACDE 2022410
1
AC  DB ， AC  DE ， DB ， DE 面 BED ， DBDE  D
1 1
AC 平面 BED
1
 
（ ） AE 2,2,3 ， AD 2,0,4 
1 1
2
设平面 ADE的法向量为 n x,y,z 
1
 
由 nAE 0及 nAD 0
1 1
得 2x2y3z 0， 2x4z 0
取 n4,1,2 
同理得平面 BDE的法向量为 m 1,1,2 
nm 414 14
cosn,m   
|n|m 21 6 42
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14
二面角 A‐DE‐B的余弦值为
1 42
【解答】（ ）证明：由题知四边形 BCCB 是菱形
1 1
116. 1
BC BC
1 1
AO平面 BBCC
1 1
AO BC
1
AOBC O
1
BC 平面 AOB
1
AB平面 AOB
BC  AB
1
（ ） AB  AB
1 1
2
AB与平面 BBCC所成角为 30
1 1
AO平面 BBCC
1 1
ABO30
设 O为原点 ， OB 为 x轴 ， OC 为 y轴 ， OA为 z轴 ，建立
1 1
空间直角坐标系
   
则 B  1,0,0 ， C 0, 3,0 ， A  0,0,1 ， B 0, 3,0
1 1
   
由 AA  BB ，知 A 1, 3,1
1 1 1
      
C A 0, 3,1 ， BC  1, 3,0 ， C A  1,0,1 
1 1 1 1 1
设平面 ABC 的法向量为 m  x,y,z 
1 1
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
 mC A 3yz 0
 
则   1  ，取 y 1，得 m  3,1, 3
mBC x 3y  0
1 1
 
同理得平面 ABC 的法向量 n 3,1, 3
1 1 1
1 1
cosm,n  
7 7 7
1
二面角 A‐BC‐A的余弦值为
1 1 1 7
【解答】（ ）如图，由题意，AB  AD，AE  AB，AE  AD
117. 1
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
   
则A  0,0,0 ，B  2,0,0 ，C 1,1, 2 ，D  0,2,0 ，E 0,0, 2
 
   
DE  0,2, 2 ，AC  1,1, 2
 
DEAC 220
π
直线DE与直线AC所成的角为
2
（ ）设平面BED的一个法向量为m  x ,y ,z 
1 1 1
2
 

 
BE  2,0, 2 ，DE  0,2, 2

 mBE 2x  2z 0  
由  1 1 ，取z  2 ，得m  1,1, 2
1
mDE 2y  2z 0
1 1
设平面EDC的一个法向量为n
x ,y ,z

2 2 2
   
DE  0,2, 2 ，EC  1,1,0 
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
 nDE 2y  2z 0  
由  2 2 ，取z  2，得n 1,1, 2
2
nEC  x  y  0
2 2
mn 2 1
cosm,n   
m  n 22 2
1
二面角B‐ED‐C 的余弦值为
2
【解答】（ ）连接 BD交 AC于点 O，连接 OE
118. 1
则 O为 BD的中点，又 E为 PD的中点
所以 PBOE
又 OE 平面 ACE， PB 平面 ACE
所以 PB平面 ACE
（ ）由菱形 ABCD的面积为 2 3和 BAD120，得菱形边长为 2
取2 BC中点 M ，连接 AM ，以点 A为原点，以 AM 为 x轴，
AD为 y轴， AP为 z轴，建立如图所示坐标系
 1     1
D  0,2,0  ， A  0,0,0  ， E0,1,  ， C 3,1,0 ， AE  0,1,  ，
 2  2

 
AC  3,1,0
设平面 ACE的法向量 n x,y,z 
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  1
nAE  y z  0  
则  2 ，令 x 3，得 n 3,3,6


nAC  3x y 0
平面 ADE的一个法向量 m  1,0,0 
设二面角 D‐AE‐C的平面角为 
mn 3 1
则 cos   
m  n 48 4
又由已知得二面角 D‐AE‐C的平面角为锐角
1
所以二面角 D‐AE‐C的余弦值为
4
【解答】（ ）因为CC 平面ABC，AB平面ABC
1
119. 1
所以CC  AB
1
又AB  AC，ACCC C，AC 平面AACC，CC 平面AACC
1 1 1 1 1 1
所以AB 平面AACC
1 1
因为CE 平面AACC
1 1
所以AB CE
（ ）因为在三棱柱ABC‐ABC 中，CC  AA
1 1 1 1 1
2
CC 平面ABC
1
所以AA 平面ABC
1
所以AB，AC ，AA 两两垂直
1
如图，建立空间直角坐标系A‐xyz
所以A  0,0,0 ，B  2,0,0 ，C  0,2,0 ，E  0,1,2 
设平面BCE 的法向量为n x,y,z 
 
因为BC (2,2,0)，CE (0,1,2)

 BCn0 2x2y 0
所以 ．即
CEn0 y2z 0
令z 1，则x2， y2
页 69龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
所以平面BCE 的一个法向量为n 2,2,1 
因为AB 平面AACC
1 1

所以平面ACC A 的一个法向量为AB (2,0,0)
1 1

 ABn 2
所以cosAB,n   
AB n 3
2
所以二面角B‐CE‐A的余弦值为
3
【解答】（ ）证明：
120. 1
四边形ABCD为正方形
AC  BD
又PA底面ABCD，BD平面ABCD
PA BD
而PAAC  A
BD平面PAC
（ ）PA平面ABCD
PA AB，PA AD
2
又AB  AD
以A为原点、AB为x轴、AD为y轴、AP为z轴，建立空间直角坐标系
页 70龙战队秋龙老师资料，严禁外传，侵权必究
则A  0,0,0 ，B  2,0,0 ，E  2,1,0 ，D  0,2,0 ，F  1,1,1 
 
AE

2,1,0
，AF 
1,1,1

设平面AEF 的一个法向量为n x,y,z 

 nAE 0 2x y 0
  ，即 ，令x1，则n 1,2,1 
nAF 0 x yz  0

由（ ）知BD 2,2,0 为平面ACF 的一个法向量
1

 nBD 3
cosn,BD   
n BD 2
π
二面角E‐AF‐C 的大小为
6
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