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2025-2026 学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．（3 分）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）分式
1
3 x
2 y
2，
1
4 x y
3的最简公分母是（ ）
A．xy
B．x2y3
C．12x2y3
D．12x3y5
3．（3 分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，数0.000000102 用科学记数法表
示为（ ）
A．1.02×10﹣7
B．1.02×10﹣8
C．10.2×10﹣8
D．102×10﹣9
4．（3 分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x
B．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1
C．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
D．x2+6x+8＝（x+3）2﹣1
5．（3 分）若分式|a|−5
5−a
的值为0，那么a 的值为（ ）
A．﹣5
B．0
C．5
D．±5
6．（3 分）如图，已知∠AOB＝48°，点C 为射线OB 上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O 为圆心，
以任意长为半径作弧，交OA 于点D，交OB 于点E；②以点C 为圆心，以OD 长为半径作弧，交OC
于点F；③以点F 为圆心，以DE 长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接CG 并延长交OA 于点
H．则∠AHC 的度数为（ ）
A．24°
B．42°
C．48°
D．96°
2
7．（3 分）若a≠b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a+3
b+3 = a
b
B．a−3
b−3 = a
b
C．3a
3b = a
b
D．a
2
b
2 = a
b
8．（3 分）若a，b，c 是三角形三边的长，则代数式（a2﹣2ab+b2）﹣c2的值（ ）
A．大于零
B．小于零
C．大于或等于零
D．小于或等于零
9．（3 分）两个连续奇数的平方差一定是（ ）
A．5 的倍数
B．6 的倍数
C．7 的倍数
D．8 的倍数
10．（3 分）甲工程队完成一项工程需a 天，乙工程队要比甲工程队多用3 天才能完成这项工程，那么两
队共同工作一天完成这项工作的（ ）
A．1
a +
1
a+3
B．a
a+3
C．1
a+3
D．2a+3
11．（3 分）如图，边长为a 的正方形，边长为b 的正方形，边长为b，c 的长方形，边长为b，（a﹣b﹣
c）的长方形，组成了边长为a，（a+b）的长方形．其中边长为a 的大正方形面积为26，图中的阴影
部分的总面积为8，则边长为b 的小正方形的面积为（ ）
A．7
B．10
C．11
D．14
12．（3 分）如图，在锐角△ABC 中，AB＝5，△ABC 的面积为15，BD 平分∠ABC，若E，F 分别是
BD，BC 上的动点，则CE+EF 的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分.请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）
3
13．（3 分）计算252﹣23×27 的结果为 ．
14．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝28°，则∠C＝ ．
15．（3 分）已知（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a+b＝ ．
16．（3 分）已知ab≠0，化简（2a﹣4b3）﹣1•（a﹣1b）3，其结果为 ．
17．（3 分）如图，过边长为4 的等边△ABC 的边AB 上一点D 作DE⊥AC，垂足为E 点．
（I）AE
AD = ；
（Ⅱ）点F 为BC 延长线上一点，若AD＝CF，连接FD，线段FD 与AC 相交于点G，则EG 的长为
．
18．（3 分）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC 的顶点
A，B，C 均在格点上．
（I）∠ABC＝ （度）；
（Ⅱ）取格点D，连接AD，BD，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段BD 上画出点P，
使得∠APD＝2∠ABD，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）
．
三、解答题（本大题共6 小题，共46 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（12 分）（I）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；
4
（Ⅱ）因式分解：﹣4a4+32a2﹣64；
（Ⅲ）已知x−3
x
2−1
÷
x−3
x
2+2 x +1
−(
1
x−1 +1)，
①化简该代数式；
②从﹣3，﹣1，1，3 中选取一个合适的数作为x 的值，计算该代数式的值．你选取的数是
此时代数式的值为 ．
20．（5 分）解方程：x
x +1 =1+
2 x
3+3 x
．
21．（6 分）已知AD，AF 分别是△ABC 的中线和高，BE 是△ABD 的角平分线．
（I）如图1，若∠BED＝55°，∠BAD＝35°，求∠BAF 的度数；
（Ⅱ）如图2，若AB＝12，AC＝7，延长中线AD 到点A′，使得AD＝A′D，连接A′C．
填空：①由已知可证得△ABD≌△A′CD，其理由是 （从SSS，SAS，AAS，ASA，HL 中
选一个填空），A′C 的长为 ；
②中线AD 长的取值范围是 ．
22．（7 分）（I）如图1，△A1B1C1≌△A2B2C2，A1D1，A2D2分别是△A1B1C1，△A2B2C2的对应边上的高．
①求证：A1D1＝A2D2；
②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高 ；
（Ⅱ）请用（I）中的结论解决下面的数学问题：
如图2，△ABC≌△DEC，且对应边AB，DE 相交于点F，连接CF．求证：FC 平分∠BFD．
5
23．（6 分）八年级学生去距学校30km 的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过
了1
12 ℎ，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2 倍．
（I）设大巴的平均速度为xkm/h，列出关于x 的分式方程，求大巴的平均速度．
（Ⅱ）参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．
方案A：前半段路程以akm/h 的速度匀速行驶，后半段路程以bkm/h 的速度匀速行驶；方案B：全程以
a+b
2
km/ℎ的速度匀速行驶．如果a≠b，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由．
24．（10 分）在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），O（0，0），B（0，6），y 轴上的点C（0，c），且
0＜c＜6，连接AC．（I）若点C 为OB 中点，点D 在x 轴正半轴上，AC＝BD．
①如图1，求点D 的坐标；
②如图2，延长DB 到点E，连接AE，AC 恰好平分∠EAD，求线段AE 的长．
（Ⅱ）若F 为第二象限内一点，AC＝FC，∠ACF＝90°，线段FC 与AB 相交于点G．
填空：①∠FBA＝ （度），点F 的坐标为 （用含c 的式子表示）；
②若AC+CG＝AF，∠ACB＝ （度）．
6
2025-2026 学年天津市南开区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
C
A
D
C
B
D
A
B
D
13.4 14.38° 15.﹣5 16.1
2 a 17.（Ⅰ）1
2 ；（Ⅱ）2 18.（1）45；（2）取格点
E，连接CE 并延长交BD 于点P，则点P 即为所求．
选择题、填空题解法提示
12．解：在BA 上取一点G，使BG＝BF，连接CG，EG，作CH⊥AB 于H，
∵BD 平分∠ABC，
∴直线BD 是∠ABC 的对称轴，
∴EG＝EF，
∴CE+EF＝CE+EG≥CG≥CH，
∴CE+EF 的最小值为CH 的长，
∵AB＝5，△ABC 的面积为15，
∴1
2 AB⋅CH = 1
2 ×5×CH =15，
∴CH＝6，
∴CE+EF 的最小值为：6，
故选：D．
18．解：（1）∵AC =√1
2+2
2=√5，BC =√1
2+2
2=√5
，
AB =√1
2+3
2=√10
，
∴AC＝BC，A C
2+ BC
2=(√5)
2+(√5)
2=5+5=10，A B
2=(√10)
2=10，
∴AC2+BC2＝AB2，
7
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
故答案为：45；
（2）如图所示，取格点E，连接CE 并延长交BD 于点P，则点P 即为所求．
故答案为：取格点E，连接CE 并延长交BD 于点P，则点P 即为所求．
解答题参考答案
19．解：（I）原式＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；
（II）原式＝﹣4（a4﹣8a2+16）
＝﹣4（a2﹣4）2
＝﹣4（a+2）2（a﹣2）2；
（III）①x−3
x
2−1
÷
x−3
x
2+2 x +1
−(
1
x−1 +1)
=
x−3
( x +1)( x−1)•( x +1)
2
x−3 −（
1
x−1 + x−1
x−1）
= x +1
x−1 −
x
x−1
=
1
x−1
，
②由题意得，x2﹣1≠0，x2+2x+1≠0，x﹣1≠0，x﹣3≠0，
解得x≠±1 且x≠3，
所以x 取﹣3，
当x＝﹣3 时，原式=
1
x−1 =−1
4
，
所以选取的数是﹣3，此时代数式的值为−1
4
．
20．解：去分母得：3x＝3+3x+2x，
解得：x=−3
2
，
8
经检验x=−3
2
是分式方程的解．
21．解：（1）∵∠BED＝55°，∠BAD＝35°，∠BED＝∠BAD+∠ABE，
∴∠ABE＝55°﹣35°＝20°，
∵BE 是△ABD 的角平分线，
∴∠ABD＝2∠ABE＝2×20°＝40°，
∴∠ADF＝∠ABD+∠BAD＝40°+35°＝75°，
∵AF 是△ABC 的高，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝180°﹣75°﹣90°＝15°；
（2）①∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD＝CD，
又∵AD＝A′D，∠ADB＝∠A′DC，
∴△ABD≌△A′CD（SAS），
∴A′C＝AB＝12；
②在△A′CA 中，A′C﹣AC＜AA′＜A′C+AC，
∴12﹣7＜2AD＜12+7，
∴2.5＜AD＜9.5．
22．（I）①证明：∵△A1B1C1≌△A2B2C2，
∴∠A1B1C1＝∠A2B2C2，A1B1＝A2B2，
∵A1D1，A2D2分别是△A1B1C1，△A2B2C2的对应边上的高，
∴∠A1D1B1＝∠A2D2B2，
∴△A1D1B1≌△A2D2B2（AAS），
∴A1D1＝A2D2；
②解：由①可得全等三角形对应边上的高相等，
故答案为：相等；
（Ⅱ）证明：如图2，△ABC≌△DEC，过点C 作CG⊥AB 于点G，CH⊥DE 于点H，
9
∴CG＝CH，
∴FC 平分∠BFD．
23．解：（1）设大巴的平均速度为xkm/h，
由题意得，30
x −30
1.2 x = 1
12
，
解得x＝60，
经检验，x＝60 是原方程的解，且符合题意，
答：所列方程为30
x −30
1.2 x = 1
12
，大巴的平均速度为60km/h；
（2）选择方案B 能更早返回学校，理由如下：
方案A 需要的时间为30× 1
2
a
+
30× 1
2
b
= 15
a + 15
b = 15a+15b
ab
ℎ
，
方案B 需要的时间为
30
a+b
2
= 60
a+b，
60
a+b ÷ 15a+15b
ab
= 60
a+b ⋅
ab
15(a+b)
=
4 ab
(a+b)
2，
∵（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，且a≠b，
∴（a+b）2﹣4ab＞0，
∴（a+b）2＞4ab，
∴4 ab
(a+b)
2 ＜1，
又∵60
a+b ＞0，15a+15b
ab
＞0，
∴60
a+b ＜15a+15b
ab
，
∴方案B 需要的时间更少，
∴选择方案B 能更早返回学校．
24．解：（I）①∵A（﹣6，0），O（0，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
10
∵∠AOC＝∠DOB＝90°，
在Rt△AOC 和Rt△BOD 中，
{
AC = BD
OA =OB ，
∴Rt△AOC≌Rt△BOD（HL），
∴OC＝OD，
∵点C 为OB 中点，
∴点C（0，3），
∴OC＝OD＝3，
∴点D（3，0）；
②如图2，延长AC 与DE 交于K，
∵Rt△AOC≌Rt△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠ACO＝∠BCK，
∴∠OAC+∠ACO＝90°＝∠OBD+∠BCK，
∴∠BKC＝90°，
∴∠AKD＝90°，
∴∠BKC＝∠AKD，
∵AC 恰好平分∠EAD，
∴∠DAK＝∠EAK，
在△ADK 和△AEK 中，
{
∠DAK =∠EAK
AK = AK
∠AKD =∠AKE
，
∴△ADK≌△AEK（ASA），
∴AE＝AD，
∵点A（﹣6，0），D（3，0），
11
∴AE＝AD＝9；
（Ⅱ）①∵点C（0，c），
∴OC＝c，
∴BC＝6﹣c，
如图3，过点F 作FH⊥y 轴于点H，
∴∠FCH+∠CFH＝90°，
∵∠ACF＝90°，
∴∠FCH+∠ACO＝90°，
∴∠CFH＝∠ACO，
∵∠CHF＝∠AOC＝90°，AC＝FC，
∴△AOC≌△CHF（AAS），
∴FH＝OC＝c，CH＝OA＝6，
∴BH＝CH﹣BC＝c，OH＝6+c，
∴FH＝BH，点F 的坐标为（﹣c，6+c）；
∴△BFH 为等腰直角三角形，
∴∠FBH＝45°，
∵OA＝OB＝6，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴∠FBA＝180°﹣∠FBH﹣∠ABO＝90°；
故答案为：90；（﹣c，6+c）；
②如图4，延长FC 至点P，使PC＝CG，连接AP，
12
∵AC+CG＝AF，AC＝CF，
∴FP＝FC+PC＝AF，
∴∠FAP＝∠APF，
∵∠ACF＝90°，
∴∠ACP＝∠ACF＝90°，
∵PC＝CG，AC＝AC，
∴△ACP≌△ACG（SAS），
∴∠CAP＝∠CAG，
设∠CAP＝∠CAG＝α，则∠FAP＝∠APF＝90°﹣α，
∵∠ACF＝90°，AC＝CF，
∴△ACF 为等腰直角三角形，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAP＝∠CAF+∠CAP＝45°+α，
∴90°﹣α＝45°+α，
解得：α＝22.5°，
∴∠CAB＝22.5°，
∵∠ABO＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABO＝112.5°．
故答案为：112.5．
