文档内容
下学期期末在线教学诚信检测
八年级数学试卷
说明：1. 本卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，全卷共6页，三大题，
满分120分．考试用时120分钟．
2. 请按照以下步骤完成试题并上传答案：
①考前在班级QQ群下载试卷和答题卡，打印答题卡或手绘答题卡（或者直接把答案分大题
工整写在干净的草稿纸上）；
②开始考试，将全部答案先写在打印的答题卡，或者干净的草稿纸上；
③登录丽升考试系统端口对应考试学科进入“开始作答”答题，录入客观选择题答案、主观
题分大题拍照上传（留存完整的答题卡或答题草稿纸到老师讲评试卷时回看）；
④在线勾选、拍照上传完毕——预览检查——最后确认提交．
请在考试结束后20分钟内完成答案提交，16：20答题通道将自动关闭．
3. 预祝各位同学取得优异成绩！
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且
只有 一个是正确的，请在答题平台上勾选．
1.二次根式 在实数范围内有意义， 则x的取值范围是（ ）
A. x≥－3 B. x≠3 C. x≥0 D. x≠－3
2.下面哪个点在函数y＝2x－1的图象上（ ）
A. (－2.5，－4) B. (1，3) C. (2.5，4) D. (0，1)
3.下列各组线段a、b、c中不能组成直角三角形的是（ ）
A. a＝8，b＝15，c＝17 B. a＝7，b＝24，c＝25
C. a＝40，b＝50，c＝60 D. a＝ ，b＝4，c＝5
4.下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
的
5.下列不能判断是正方形 有（ ）的
A. 对角线互相垂直 矩形 B. 对角线相等的矩形
的
C. 对角线互相垂直且相等 平行四边形 D. 对角线相等的菱形
6.交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的分布如条形图所示．请找出这些车辆速度的众数、中位数分
别是（ ）
A. 52，53 B. 52，52 C. 53，52 D. 52， 51
7.已知直线y＝kx＋b经过一、二、三象限，则直线y＝bx－k－2的图象只能是（ ）
A. B. C. D.
8.菱形的周长等于其高的8倍，则这个菱形的较大内角是（ ）
A. 30° B. 120° C. 150° D. 135°
9.如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线
AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）元
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10.矩形ABCD中，AD＝ AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF交CD于点H．若AB＝6，则CH
＝（ ）A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.化简： =_________．
12.甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的
方差如下表：则这四人中发挥最稳定的是_________．
选手 甲 乙 丙 丁
方差（S2） 0.020 0.019 0.021 0.022
13.我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，
1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺．
14.如图，在正方形ABCD的右边作等腰三角形ADE，AD＝AE， ，连BE，则
__________．
15.如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n的交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的
解集为___________．16.如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且 ，则PB＋
PC的最小值为___________．
三、解答题（共8小题，共72分）
17.计算：（1） ； （2）
18.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．
求证：BE＝DF
19.根据下列条件分别确定函数y＝kx＋b的解析式：
（1）y与x成正比例，当x＝5时，y＝6；
（2）直线y＝kx＋b经过点(3，6)与点(2，－4)．
20.今年受疫情影响，我市中小学生全体在家线上学习．为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机
抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤20
分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟记为B类，40分钟＜t≤60分钟记为C类，t＞60分钟记为D类．
收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次共抽取了_________名学生进行调查统计；
（2）将条形统计图补充完整，扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为_________；
（3）如果该校共有3000名学生，请你估计该校B类学生约有多少人？
21.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点． 如：线段AB的两
个端点都在格点上．
（1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为
15；
（2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角
线AE＝________，BF＝________；
（3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上，则矩形ABMN的长
宽比 ＝______．
22.A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要
肥料260t，其运往C、D两乡的运费如下表：
C（元/t） D（元/t）
A 20 30
B 10 15设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y 元，从B城运往两乡的总运费为y 元．
1 2
（1）分别写出y、y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
1 2
（2）试比较A、B两城总运费的大小；
（3）若B城的总运费不得超过3800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
23.在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、BE、FG．
（1）如图1，① 求证：BG＝CG；
② 求证：BE＝2FG；
（2）如图2，若ED＝CD，过点C作CH⊥BE于点H，若BC＝4，∠EBC＝30°，则EH的长为
______________．
24.已知，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－3（k≠0）交x轴于点A，交y轴与点B．
（1）如图1，若k＝1，求线段AB的长；
（2）如图2，点C与点A关于y轴对称，作射线BC；
的
①若k＝3，请写出以射线BA和射线BC所组成 图形为函数图像的函数解析式；
的
② y轴上有一点D(0，3)，连接AD、CD，请判断四边形ABCD 形状并证明；若 ≥9，求k的
取值范围解析卷
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且
只有 一个是正确的，请在答题平台上勾选．
1.二次根式 在实数范围内有意义， 则x的取值范围是（ ）
A. x≥－3 B. x≠3 C. x≥0 D. x≠－3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知， ，
解得 ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，即被开方数要大于等于0，正确把握二次根式有意义的
条件是解题关键．
2.下面哪个点在函数y＝2x－1的图象上（ ）
A. (－2.5，－4) B. (1，3) C. (2.5，4) D. (0，1)
【答案】C
【解析】
【分析】
将点的坐标逐个代入函数解析式中，若等号两边相等则点在函数上，否则就不在．
【详解】解：将x=-2.5，y=-4代入函数解析式中，等号左边-4，等号右边-6，故选项A错误；
将x=1，y=3代入函数解析式中，等号左边3，等号右边1，故选项B错误；
将x=2.5，y=4代入函数解析式中，等号左边4，等号右边4，故选项C正确；
将x=0，y=1代入函数解析式中，等号左边1，等号右边-1，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图像
是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
的
3.下列各组线段a、b、c中不能组成直角三角形 是（ ）A. a＝8，b＝15，c＝17 B. a＝7，b＝24，c＝25
C. a＝40，b＝50，c＝60 D. a＝ ，b＝4，c＝5
【答案】C
【解析】
【分析】
这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解： 、因为 ，所以能组成直角三角形；
、因为 ，所以能组成直角三角形；
为
、因 ，所以不能组成直角三角形；
、因为 ，所以能组成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要
利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4.下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】A. 不能计算，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，正确，
故选：D．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
5.下列不能判断是正方形的有（ ）
A. 对角线互相垂直的矩形 B. 对角线相等的矩形
C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的判定逐项判断即可．
【详解】A、对角线互相垂直的矩形是正方形，此项不符题意
B、对角线相等的矩形不一定是正方形，此项符合题意
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，此项不符题意
D、对角线相等的菱形是正方形，此项不符题意
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定，熟记正方形的判定方法是解题关键．
6.交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的分布如条形图所示．请找出这些车辆速度的众数、中位数分
别是（ ）
A. 52，53 B. 52，52 C. 53，52 D. 52， 51
【答案】B
【解析】
【分析】
根据众数、中位数的意义，分别求出众数、中位数，再做出选择即可．
【详解】车速出现次数最多的是52千米/时，因此车速的众数是52，
一共调查27辆车，将车速从小到大排列后，处在中间的一个数是52，因此中位数是52，
故选：B．
【点睛】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是得出答案的前提．
7.已知直线y＝kx＋b经过一、二、三象限，则直线y＝bx－k－2的图象只能是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线y＝kx＋b经过一、二、三象限可得出k＞0，b＞0，进而可得出−k−2＜0，再利用一次函数图象与系
数的关系可得出直线y＝bx−k−2的图象经过第一、三、四象限．
【详解】解：∵直线y＝kx＋b经过一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴−k−2＜0，
∴直线y＝bx−k−2的图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0时，y＝kx＋b的图象在一、二、三象
限；k＞0，b＜0时，y＝kx＋b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
8.菱形的周长等于其高的8倍，则这个菱形的较大内角是（ ）
A. 30° B. 120° C. 150° D. 135°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形四条边相等的性质，构造直角三角形DEC，从而利用30°角所对直角边等于斜边一半可求出
∠DCE，进而可得出答案．
【详解】解：设菱形的边长为a，高为h，
则依题意，4a＝8h，即a＝2h，
过点D作BC边上的高，与BC的延长线交于点E，
∵a＝2h，即DC＝2DE，
∴∠DCE＝30°，
∴菱形的较大内角的外角为30°，
∴菱形的较大内角是150°．故答案为：C．
【点睛】此题考查菱形的知识，熟悉菱形的性质，及一些特殊的直角是解题的关键，画出图形再解题有助
于理清思路．
9.如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线
AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）元
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据OA段可求出每千克苹果的金额，再由函数图像可得一次购买3千克这种苹果的金额，故可比较．
【详解】根据OA段可得每千克苹果的金额为20÷2=10（元）
故分三次每次购买1千克这种苹果的金额为3×10=30（元）
由函数图像可得一次购买3千克这种苹果的金额26（元）
故节省30-26=4（元）
故选B．
【点睛】此题主要考查函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出每千克苹果的金额数．
10.矩形ABCD中，AD＝ AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF交CD于点H．若AB＝6，则CH
＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过 作 ，交 于 ，交 于 ，则 ，证 是等腰直角三角形，得出
，证 ， 为 的中位线，进而得出答案．
【详解】解：如图，过 作 ，交 于 ，交 于 ，则 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点 是 的中点，
， 为 的中位线，
， ，
；
故选： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位
线定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.化简： =_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根式的性质即可化简.
【详解】解： =
【点睛】本题考查了根式的化简,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.
12.甲、乙、丙、丁四人进行100m短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s，10次测试成绩的
方差如下表：则这四人中发挥最稳定的是_________．
选手 甲 乙 丙 丁
方差（S2） 0.020 0.019 0.021 0.022
【答案】乙
【解析】
【分析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，
则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵ ，
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好．
∴乙最稳定．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
13.我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，
1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺．【答案】4.55
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股
定理解题即可．
【详解】解：1丈=10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
故答案为：4.55．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解
题．
14.如图，在正方形ABCD的右边作等腰三角形ADE，AD＝AE， ，连BE，则
__________．
【答案】45°
【解析】
【分析】
先证明AB＝AE，求得∠AEB，由AD＝AE，∠DAE＝50°，求得∠AED，进而由角的和差关系求得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AD＝AE，∠DAE＝50°，
∴AB＝AE，∠ADE＝∠AED＝65°，∠BAE＝140°，∴∠ABE＝∠AEB＝20°，
∴∠BED＝65°−20°＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求得∠AEB和
∠AED的度数．
15.如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n的交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的
解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
令 时,解得 ,则 与x轴的交点为(﹣4,0),再根据图象分析即可判断．
【详解】令 时，解得 ，故 与x轴的交点为(﹣4,0)．
由函数图象可得,当 时,函数 的图象在x轴上方,且其函数图象在函数
图象的下方,故 解集是 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解
题的关键．
16.如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且 ，则PB＋
PC的最小值为___________．【答案】
【解析】
【分析】
过点A作 于点E，根据菱形的性质可推出 ，过点P作 于点F，过点
P作直线 ，作点C关于直线MN的对称点H，连接CH交MN于点G，连接BH交直线MN于点
K，连接PH，根据轴对称可得CH=2CG=2，根据两点之间线段最短的性质，PB+PC的最小值为BH的长，
根据勾股定理计算即可；
【详解】过点A作 于点E，如图，
∵边长为4的菱形ABCD中， ，
∴AB=AC=4，
∴在 中，
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
过点P作 于点F，过点P作直线 ，作点C关于直线MN的对称点H，连接CH交MN
于点G，连接BH交直线MN于点K，连接PH，如图，
则 ， ，
∴四边形CGPF是矩形，
∴CG=PF，
∵ ，
∴ ，
∴PF=1，
∴CG=PF=1，
的
根据抽对称 性质可得，
CG=GH，PH=PC，
∴CH=2CG=2，
的
根据两点之间线段最短 性质，得，
，
即 ，
∴PB+PC的最小值为BH的长，
∵ ， ，
∴ ，∴在 中，
，
∴PB+PC的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，准确分析轴对称的最短路线知识点是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17.计算：（1） ； （2）
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平方差公式即可求解
（2）根据二次根式的加减运算法则即可求解．
【详解】（1）
=6-2
=4
（2）
=
= ．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
18.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点．
求证：BE＝DF【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据题意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中点可得EO=FO,即可证全等求出BE=DF．
【详解】∵ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO,
∵E、F分别是OA、OC的中点,
∴EO=FO,
又∵∠COD=∠BOE,
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴BE=DF．
【点睛】本题考查三角形全等,关键在于由平行四边形的性质得出有用的条件,再根据图形判断全等所需要
的条件．
19.根据下列条件分别确定函数y＝kx＋b的解析式：
（1）y与x成正比例，当x＝5时，y＝6；
（2）直线y＝kx＋b经过点(3，6)与点(2，－4)．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先根据正比例函数的定义可得 ，再利用待定系数法即可得；
（2）直接利用待定系数法即可得．
【详解】（1） y与x成正比例
又 当 时，解得
则 ；
（2）由题意，将点 代入得：
解得
则 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析，掌握待定系数法是解题关键．
20.今年受疫情影响，我市中小学生全体在家线上学习．为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机
抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤20
分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟记为B类，40分钟＜t≤60分钟记为C类，t＞60分钟记为D类．
收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了_________名学生进行调查统计；
（2）将条形统计图补充完整，扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为_________；
（3）如果该校共有3000名学生，请你估计该校B类学生约有多少人？
【答案】（1）50；（2）图见解析， ；（3）该校B类学生约有1320人．
【解析】
【分析】
（1）根据A类的条形统计图和扇形统计图信息即可得；
（2）先根据题（1）的结论求出D类学生的人数，由此即可得补充条形统计图，再求出D类学生的人数占比，然后乘以 可得圆心角的大小；
（3）先求出B类学生的人数占比，再乘以3000即可得．
【详解】（1）这次调查共抽取的学生人数为 （名）
故答案为：50；
（2）D类学生的人数为 （名）
则D类学生的人数占比为
D类所对应的扇形圆心角大小为
条形统计图补全如下：
（3）B类学生的人数占比为
则 （人）
答：该校B类学生约有1320人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的
相关知识是解题关键．
21.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点． 如：线段AB的两
个端点都在格点上．
（1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为
15；
（2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角线AE＝________，BF＝________；
（3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上，则矩形ABMN的长
宽比 ＝______．
【答案】（1）答案见详解；（2） ， ；（3）2．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，根据平行四边形的定义，画出第为5，高为3的平行四边形即可．
（2）如图2中，根据菱形的判定画出图形即可．
（3）根据矩形的定义画出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，平行四边形 即为所求；
（2）如图2中，菱形 即为所求． ， ，
故答案为 ， ；（3）如图3中，矩形 即为所求， ；
故答案为2．
【点睛】本题考查勾股定理，菱形的性质，矩形的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
22.A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要
肥料260t，其运往C、D两乡的运费如下表：
C（元/t） D（元/t）
A 20 30
B 10 15
设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y 元，从B城运往两乡的总运费为y 元．
1 2
（1）分别写出y、y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
1 2
（2）试比较A、B两城总运费的大小；
（3）若B城的总运费不得超过3800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
【答案】（1）y=−10x＋6000，y ＝5x＋3300（2）x＝180时，y ＝y ；x＞180时，y ＜y ；x＜180时，y
1 2 1 2 1 2 1
＞y ；（3）当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料
2
160t，两城总费用的和最少，最小值为8800元．
【解析】
【分析】（1）根据题意即可得出y、y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）根据（1）的结论列方程或列不等式解答即可；
（3）设两城总费用为y，根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系式，根据题意得出x的取值范围，再
根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）根据题意得：y＝20x＋30（200−x）＝−10x＋6000，
1
y＝10（240−x）＋15（300−240＋x）＝5x＋3300．
2
（2）若y＝y，则−10x＋6000＝5x＋3300，解得x＝180，
1 2
A、B两城总费用一样；
若y＜y，则−10x＋6000＜5x＋3300，解得x＞180，
1 2
A城总费用比B城总费用小；
若y＞y，则−10x＋6000＞5x＋3300，解得0＜x＜180，
1 2
B城总费用比A城总费用小．
（3）依题意得：5x＋3300≤3800，
解得x≤100，
设两城总费用为W，则W＝y＋y＝−5x＋9300，
1 2
∵−5＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝100时，W有最小值8800．
200−100＝100（t），240−100＝140（t），100＋60＝160（t），
答：当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，
两城总费用的和最少，最小值为8800元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论．
23.在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、BE、FG．
（1）如图1，① 求证：BG＝CG；
② 求证：BE＝2FG；
（2）如图2，若ED＝CD，过点C作CH⊥BE于点H，若BC＝4，∠EBC＝30°，则EH的长为
______________．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)①由G是AD的中点得到GA=GD，再证明△CDG≌△BAG即可；
②取BC的中点M，连接MF，GM，DF，在Rt△DCF中由斜边上的中线等于斜边的一半求出DF=MF，进
而证明△GDF≌△MCF，得到GF=MF，再由MF是△BCE的中位线即可求解；
(2)设DE=DC=AB=x，则AE=4+x，在Rt ABE中由AB²+AE²=BE²求出x，进而求出BE的长，再在
△
Rt△BHC中，求出CH= ，进而求出BH，再用BE-BH即可求解．
【详解】解：(1)①证明∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD
又∵G是AD的中点，∴AG=DG
在△BAG和△CDG中
，∴△BAG≌△CDG(SAS),
∴BG=CG；
②证明：取BC的中点M，连接MF，GM，DF，如下图所示，∵F是直角△EDC斜边EC上的中点，
∴FD=FE=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
且∠GDF=∠GDC+∠FDC=90°+∠FDC，∠MCF=∠MCD+∠FCD=90°＋∠FCD，
∴∠GDF=∠MCF，
又M、G分别是AD和BC的中点，∴MC=GD，
在△GDF和△MCF中：
，∴△GDF≌△MCF(SAS)，
∴GF=MF，
又∵M、F分别BC和CE的中点，
∴MF是△CBE的中位线，
∴BE=2MF，
故BE=2GF；
(2)由题意可知，∠AEB=∠EBC=30°，
设DE=DC=AB=x，则AE=AD+DE=BC+DE=4+x,
由30°角所对的直角边等于斜边的一半知，BE=2AB=2x，
在Rt△ABE中，由AB²+AE²=BE²可知，
x²+(4+x)²=(2x)²，解得x= (负值舍去)，
∴BE=2x= ，
在Rt BHC中，CH= BC=2，
△∴BH= ，
∴HE=BE-BH= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定方法，勾股定理，30°角所对直角边等于斜边的一半等，
熟练掌握其定理及性质是解决本题的关键．
24.已知，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－3（k≠0）交x轴于点A，交y轴与点B．
（1）如图1，若k＝1，求线段AB的长；
（2）如图2，点C与点A关于y轴对称，作射线BC；
①若k＝3，请写出以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式；
② y轴上有一点D(0，3)，连接AD、CD，请判断四边形ABCD的形状并证明；若 ≥9，求k
的取值范围
【答案】(1) ；(2) ；(3)四边形ABCD为菱形，-2≤k≤2且k≠0．
【解析】
【分析】
(1)将k=1代入解析式中求出解析式，再令x=0，求出B点坐标进而求出OB的长，再在Rt△AOB中使用勾
股定理即可求解；
(2)①当k=3时，求出AB的解析式，进而求出点A的坐标，再根据对称性求出C点坐标，进而求出BC的
解析式，再写出自变量的取值范围即可；
②先证明OB=OD，OA=OC，且AC⊥BD，即可证明四边形ABCD为菱形，进而求出其面积．
【详解】解：(1)由题意知，将k=1代入y＝kx－3，即直线AB的解析式为：y=x-3，
令x=0，求出B点坐标为(0,-3)，故OB=3，
令y=0，求出A点坐标为(3,0)，故OA=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理有： ，
故答案为： ；
(2)①当k=3时，直线AB的解析式为：y=3x-3，
令y=0，则x=1，求出点A的坐标为(1,0)，
令x=0，则y=-3，求出点B的坐标为(0,-3),
∵点C与点A关于y轴对称，故点C（-1，0），
的
设直线BC 解析式为： ，代入B、C两点坐标：
，解得 ，故直线BC的解析式为： ，
∴以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式为： ，
故答案为： ；
②四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵点B（0，-3），点D（0，3），故OB=OD，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴OA=OC，
由对角线互相平分的四边形是平行四边形知，四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形；
令y＝kx－3中y=0，解得 ，∴A( ，0)，则点C( ，0)，
则AC= ，∴菱形ABCD的面积为 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、面积的计算等，综合性
强，难度适中，熟练掌握一次函数的图像和性质及菱形的性质和判定是解决本题的关键．
