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7.3 空间角（精讲）
空间角的概念及范围
空间角
解题思路
夹角范围
线线角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为
则
线面角
l 为平面α 的斜线，
为l 的方向向量，
为平面α 的法向
量，
φ 为l 与α 所成的角，则
二面角
平面α 的法向量为
，平面β 的法向量为
，〈
，
〉＝
θ，
1
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设二面角大小为φ，则
一．异面直线所成的角
1.几何法:平移法求异面直线所成的角
(1)作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）证：证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是
钝角，则它的补角才是要求的角．
2.向量法
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
二．直线与平面所成角
1.几何法
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂
足，然后把线面角转化到三角形中求解.
2.向量法
（1）斜线的方向向量
（2）平面的法向量
（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.
三．二面角
1.几何法
方法一：定义法：找出二面角的平面角
方法二：垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条
垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
2.向量法
（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得
到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，
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则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
考法一 线线角
【例1-1】（2023·河南洛阳）如图四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且各棱长均相等，E 是PB 的
中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2023 秋·陕西汉中）在三棱锥
中，
，
的边长均为6，P 为AB
的中点，则异面直线PC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·北京）如图所示，在正方体
中，
，
分别是
，
的中点，则异面直线
与
所成的角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
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2．（2023 秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
为正方形，
是正三角形，
，平面
平面
，则
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考法二 线面角
【例2-1】（2023 秋·福建福州）如图，在底面为菱形的四棱锥
中，
，
．
(1)求证：平面
平面ABCD；
(2)已知
，求直线BN 与平面ACN 所成角的正弦值．
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【例2-2】（2023 秋·湖北）如图，在四棱台
中，
底面
，M 是
中点.底面
为直角梯形，且
，
，
.
(1)求证：直线
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【一隅三反】
1．（2022 秋·陕西渭南·高三统考阶段练习）如图，在三棱柱
中，
底面
，
，
，
分别为
，
的中点．
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(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
2．（2023 秋·重庆·高三统考开学考试）如图，
为圆锥的顶点，A，
为底面圆
上两点，
，
为
中点，点
在线段
上，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
3．（2023 春·北大附中校考期中）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等
边三角形，平面
平面
，
，
.
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(1)设
分别为
的中点，求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求直线
与平面
所成角的正弦值.
考法三 二面角
【例3-1】（2023 秋·广东）如图，在多面体ABCDE 中，
平面BCD，平面
平面BCD，其中
是边长为2 的正三角形，
是以
为直角的等腰三角形，
.
(1)证明：
平面BCD.
(2)求平面ACE 与平面BDE 的夹角的余弦值.
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【例3-2】（2023 春·湖南永州·高三统考阶段练习）在正方体
中，E、F 分别是棱AB、CD
的中点.
(1)求证：
面
；
(2)求二面角
的大小.
【一隅三反】
1．（2023 秋·山西吕梁·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，点
是棱
上的一点．
(1)若
，求证：平面
平面
；
(2)若
，
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
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2．（2023 秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）在直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为AC 和
的中点，
.
(1)证明：
.
(2)求二面角
的余弦值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱
中，已知
平面
，且
.
(1)求
的长；
(2)若
为线段
的中点，求二面角
的余弦值.
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4．（2023 秋·广东深圳·高三校联考开学考试）在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
.
(1)证明：平面
平面ABCD；
(2)若
，
，求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值.
考法四 动点问题求角
【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知直角梯形
与
，
，
，
，AD⊥AB，
，G 是线段
上一点.
(1)平面
⊥平面ABF
(2)若平面
⊥平面
，设平面
与平面
所成角为
，是否存在点G，使得
，
若存在确定G 点位置；若不存在，请说明理由.
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【一隅三反】
1．（2023 春·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥
，底面为菱形
平面
，
为
上一点.
(1)平面
平面
，证明：
；
(2)当二面角
的余弦值为
时，试确定点
的位置.
2．（2023 秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图1，在平面图形
中，
，
，
，
，沿
将
折起，使点
到
的位置，且
，
，
如图2.
(1)求证：平面
平面
.
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(2)线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
所成角的余弦值为
?若存在，求出
的长；
若不存在，请说明理由.
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
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(1)证明：
；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
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