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压轴17 圆锥曲线定义及性质的4 大核心题型
1.圆锥曲线的定义及性质是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为
10~12 分.
2.一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线
的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与
三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.
题型01 圆锥曲线的定义及标准方程
1.（2020·全国III 卷T11）设双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
5 ．P 是C 上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为4，则a=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
2.（2022·全国甲卷T11）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为1
3 ，
1
2
,
A A 分别为C 的左、右顶点，B
为C 的上顶点．若
1
2
1
BA BA
×
= -
uuur uuuur
，则C 的方程为（ ）
A．
2
2
1
18
16
x
y
+
=
B．
2
2
1
9
8
x
y
+
=
C．
2
2
1
3
2
x
y
+
=
D．
2
2
1
2
x
y
+
=
题型02 椭圆、双曲线的几何性质及应用
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|=|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM⊥l 于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴；
“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p 的值.
3.（2023·新课标Ⅰ卷T5）设椭圆
2
2
2
2
1
2
2
:
1(
1),
:
1
4
x
x
C
y
a
C
y
a +
=
>
+
= 的离心率分别为
1
2
,
e e ．若
2
1
3
e
e
=
，则a =
（ ）
A．2 3
3
B．2
C．
3
D．
6
4.（2024·新课标Ⅰ卷T12）设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左右焦点分别为
1
2
F
F
、
，过
2
F 作平行于y 轴
的直线交C 于A，B 两点，若
1
|
| 13,|
| 10
F A
AB
=
=
，则C 的离心率为
．
5.（2025·天津河西·二模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过
1F 作直线
分别交双曲线的左、右两支于M ，N 两点，满足
2
2
NF
NP
=
uuuur
uuur
，且
2
(
)
0
MP
MF
MN
×
-
=
uuur
uuuur
uuuur
，
1
2
π
3
F NF
Ð
=
，则双
曲线C 的渐近线方程为（ ）
A．
6
y
x
= ±
B．
7
y
x
= ±
C．
2 2
y
x
= ±
D．
3
y
x
= ±
题型03 抛物线的几何性质及应用
技法指导
1.椭圆、双曲线中a，b，c 之间的关系
（1）在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝
c
a＝1－
b2
a2；
（2）在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝
c
a＝1+ b2
a2.
2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标
（1）双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±
b
ax，焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）；
（2）双曲线
y2
a2－
x2
b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±
a
bx，焦点坐标为F1（0，－c），F2（0，c）.
6.（2025 新高考2 卷T6）设抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
的焦点为
,
F 点A 在C 上，过A 作C 的准线的垂线，
垂足为B，若直线BF 的方程为
2
2
y
x
= -
+
，则|
|
AF = （ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7.（多选）（2023·新课标Ⅱ卷T10）设O 为坐标原点，直线
3
1
y
x
= -
-
过抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点，
且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
2
p =
B．
8
3
MN =
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．OMN
V
为等腰三角形
题型04 圆锥曲线的切线问题
技法指导
1.抛物线的焦点坐标与准线方程
（1）抛物线y2＝±2px（p＞0）的焦点坐标为（±
p
2，0），准线方程为x＝∓
p
2；
（2）抛物线x2＝±2py（p＞0）的焦点坐标为（0，±
p
2），准线方程为y＝∓
p
2.
2.抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB 是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α 是直线AB 的倾斜角，则
(1)x1x2=
p2
4 ，y1y2=-p2.
(2)|AB|=x1+x2+p=
2p
sin2α.
(3)
1
|FA|+
1
|FB|=
2
p.
(4)以线段AB 为直径的圆与准线x=-
p
2相切.
技法指导
圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论
（1）过椭圆
+
=1 上一点P(x0,y0)的切线方程为
x0x
a2 +y0y
b2 =1；
（2）过椭圆
+
=1 外一点P(x0,y0)的切点弦方程为
x0x
a2 +y0y
b2 =1；
（3）过双曲线
−
=1 上一点P(x0,y0)的切线方程为
x0x
a2 −y0y
b2 =1；
（4）过双曲线
−
=1 外一点P(x0,y0)的切点弦方程为
x0x
a2 −y0y
b2 =1.
（5）抛物线
上一点P(x0,y0)的切线方程
（6）抛物线
外一点
的切线方程
2
2
(
0 )
y
px
p
=
>
0
0
(
)
y y
p x
x
=
+
)
0
(
2
2
>
=
p
px
y
0
0
(
,
)
P
x
y
)
(
0
0
x
x
p
y
y
+
=
8.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，则椭圆在其上一点
0
0
(
,
)
A x
y
处的切线方程
为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
+
= ，试运用该性质解决以下问题：椭圆
1
C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，其焦距为2 ，且过点
2
1 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
.点B 为
1
C 在第一象限中的任意一点，过B 作
1
C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于
,
C D 两点，
则OCD
V
面积的最小值为（ ）
A．
2
2
B．2
C．
3
D．2
9.过双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，且斜
率之积为2
5 ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
29
5
B．
30
3
C．
35
5
D．
30
5
1.（2021·新高考全国Ⅱ卷T3）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
>
的焦点到直线
1
y
x
=
+ 的距离为2 ，则p = （ ）
A．1
B．2
C．2 2
D．4
2.（2025·新高考1 卷T3）若双曲线C 的虚轴长为实轴长的
7 倍，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．2
C．
7
D．2 2
3．（2022·全国乙卷T6）设F 为抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点，点A 在C 上，点
(3,0)
B
，若AF
BF
=
，则AB =
（ ）
A．2
B．2 2
C．3
D．3 2
4.（2023·全国甲卷T5）设
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
:
1
5
x
C
y
+
= 的两个焦点，点P 在C 上，若
1
2
0
PF PF
×
=
uuur uuuur
，则
1
2
PF
PF
×
=
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
5.（2022·全国甲卷T10）椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对
称．若直线
,
AP AQ 的斜率之积为1
4 ，则C 的离心率为（ ）
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
2
D．1
3
6.（2025·天津卷T9）双曲线
2
2
2
2
)
1(
0,
0
x
y
a
a
b
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，以右焦点
2F 为焦点的抛物
线
2
2
(
0)
y
px p
=
>
与双曲线交于另一象限点为P，若
1
2
1
2
3
PF
PF
F F
+
=
，则双曲线的离心率e = （ ）
A．2
B．5
C．
2
1
2
+
D．
5
1
2
+
7.椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，若
2F 与抛物线
2
8
y
x
=
的焦点重合，椭圆E 与
过点
9,3
P
的幂函数y
xa
=
的图像交于点Q ，且幂函数在点Q 处的切线过点
1F ，则椭圆的离心率为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．3
1
-
8．（多选）（2025·湖南娄底·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
4
x
y
C
b
-
= （
0
b >
）的右焦点为F ，直线:
0
+
=
l x
by
是C
的一条渐近线，P 是l 上一点，则（ ）
A．C 的虚轴长为2 2
B．C 的离心率为
6
2
C．PF 的最小值为2
D．直线PF 的斜率不等于
2
2
-
9.〔多选〕（2025·辽宁沈阳·三模）设椭圆
2
2
:
1
25
16
x
y
C
+
= 的左､右焦点分别为
1
2
,
,
F F P 是C 上的动点，则下列
说法正确的是（ ）
A．
1
PF 的最大值为8
B．椭圆C 的离心率
4
5
e =
C．
1
2
PFF
V
面积的最大值等于12
D．以线段
1
2
F F 为直径的圆与圆
2
2
(
4)
(
3)
4
x
y
-
+
-
=
相切
10.（多选）（2022·新高考全国Ⅰ卷T11）已知O 为坐标原点，点
(1,1)
A
在抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
=
>
上，过点
(0, 1)
B
-
的直线交C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
1
y = -
B．直线AB 与C 相切
C．
2
|
OP
OQ
OA
×
>
D．
2
|
| |
| |
|
BP
BQ
BA
×
>
11.（2024·天津卷T12）已知圆
2
2
(
1)
25
-
+
=
x
y
的圆心与抛物线
2
2
y
px
=
的焦点F 重合，且两曲线在第一象
限的交点为A ，则原点到直线AF 的距离为
．
12.（2021·全国甲卷T15）已知
1
2
,
F F 为椭圆C：
2
2
1
16
4
x
y
+
= 的两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的
两点，且
1
2
PQ
F F
=
，则四边形
1
2
PFQF 的面积为
．
13.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶
点在坐标原点，已知抛物线方程是
2
4
x
y
=
，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线
的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围
14．（2025·广东揭阳·模拟）已知椭圆
1
C ，抛物线
2
C 的焦点均在x 轴上，
1
C 的中心和
2
C 的顶点均为坐标原点
O ，从
1
C ，
2
C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
2
2
1
2
2
y
3
2
2
0
2 2
(1)求
1
C 和
2
C 的标准方程；
(2)若
1
C 和
2
C 交于不同的两点
,
A B ，求OA OB
×
uuur uuur
的值.
15.（2025·江西抚州一模）已知点
1
2
F
F
、
为双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
-
=
>
的左、右焦点，过
2
F 作垂直于x 轴的
直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M，且
1
2
30 .
MF F
Ð
=
°
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
1
2
P
P
、，求
1
2
PP PP
×
uuuv uuuv
的值.
