压轴19 圆锥曲线中的最值（范围）及证明问题的4 大核心题型
1.解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这
类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.
2.解析几何中的证明问题是高考考查的热点,难度较大,常出现在高考题比较靠后的位置.求值问题常
涉及求方程、斜率、参数值或范围、面积、周长等;证明问题常涉及定点、定值、最值、范围问题等.
题型01 与长度、周长、面积相关的范围(最值)问题
1.（2023 全国甲卷数学（文）T21（理）T20）已知直线
2
1
0
x
y
-
+ =
与抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
交于
,
A B 两
点，且|
| 4 15
AB =
．
(1)求p ；
(2)设C 的焦点为F，M，N 为C 上两点，
0
MF NF
×
=
uuur uuur
，求MNF
V
面积的最小值．
2.（2026·河北沧州二模）已知
2,0
A -
，
2,0
B
，动点
,
Q x y 关于x 轴的对称点为
1
Q ，直线AQ 与
1
BQ 的
斜率之积为
1
4
-
.
(1)求点Q 的轨迹C 的方程；
(2)设点P 是直线
1
x = 上的动点，直线PA ，PB 分别与曲线C 交于不同于A ，B 的点M ，N ，过点B 作MN
的垂线，垂足为D ，求AD 最大时点P 的纵坐标.
题型02 与角度、斜率相关的范围(最值)问题
技法指导
利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ 的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
技法指导
与斜率、角度有关的最值问题关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解
有关的问题.
3.（2025·河南信阳·模拟）设抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
=
>
，直线
1
0
x
y
-
+ =
与C 交于A ，B 两点，且
8
AB =
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知点P 为
2
2
1
1
x
y
+
+
= 上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线PD ，PE ，设切点分别为D ，E ，试求
直线PD ，PE 斜率之积的最小值．
4.（2025·云南玉溪·模拟）已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d，且
2
2
|
|
OP
d
l
m
=
+
，其中λ，μ 均
为常数，动点P 的轨迹称为
,
l m 曲线．
(1)若
,
l m 曲线为椭圆，试问λ，μ 应满足什么条件？
(2)设曲线C 为
4
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 曲线，与x 轴不重合的直线l 过点
0
0
,0
0
N x
x ¹
，曲线C 上存在两点A，B 关于直线
l 对称，且AB 的中点M 的横坐标为x．
（i）若
0
x
x
l
=
，求实数l 的值；
（ii）若A，B 为曲线C 在y 轴右侧上两个不同的点，且直线l 过点
0,4
C
，求
ACB
Ð
的取值范围．
题型03 与向量相关的范围(最值)问题
5.（2025·陕西咸阳二模）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
2
4
x
y
=
的焦点，离心率
2
5
e =
．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B 两点，设点
,0
M m
是线段OF 上的一个
动点，且
MA
MB
AB
+
^
uuur
uuur
uuur
，求m 的取值范围．
6.（2025·四川凉山·三模）已知
0
1,
M
y
是抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
=
>
上的点，M 到抛物线C 的焦点的距离为
2 ．
(1)求C 的方程；
(2)若直线
(
0)
l x
my
t t
=
+
>
:
与C 交于A ，B 两点，且
1
OA OB
×
=
uuur uuur
（点O 为坐标原点），求
AOB
V
面积的最小值．
题型04 证明问题
技法指导
与向量有关的最值问题关键是将向量问题坐标化，常见的方法有
(1)函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围.求函数的最值时，一般
会用到配方法、基本不等式或者函数的单调性.
(2)方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标
量的最值.
(3)不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判
断某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明.
7.（2025·陕西咸阳二模）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
2
4
x
y
=
的焦点，离心率
2
5
e =
．
【例2】
（2024·全国甲卷T20）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为F ，点
3
1, 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø在C 上，且MF
x
^
轴．
(1)求C 的方程；
(2)过点
4,0
P
的直线交C 于
,
A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ
y
^
轴．
8.（2023·新课标Ⅰ卷T22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø的距离，记动点P 的
轨迹为W ．
(1)求W 的方程；
(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于3 3 ．
1.（2025·云南大理·模拟）已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，P 是C 上任意一点，PF 的最小值为
1.
(1)求C 的方程；
(2)设坐标原点为O ，C 在点P （异于点O ）处的切线l 交x 轴于点Q ，求tan
OPQ
Ð
的最大值.
2．（2025·浙江绍兴一模）已知点P 在圆
2
2
:
4
O x
y
+
=
上，作PD 垂直于y 轴，垂足为D ，点M 为PD 中点．
(1)求动点M 的轨迹E 的方程；
(2)直线:l y
kx
m
=
+
与y 轴交于点Q ，与E 交于A 、B 两个相异点，且
3
AQ
QB
=
uuur
uuur
，求
2
m 的取值范围．
3．（2025·福建泉州二模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，且过点
2
2, 2
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)斜率为
1
2 的直线l 不过椭圆中心和顶点，与椭圆C 交于
,
A B 两点，且与x 轴交于点M ，点A 关于y 轴的对
称点为D ，直线BD 与y 轴交于点N ，求OMN
V
周长的最小值．
4．（2026·江西赣州·一模）已知抛物线
2
:
2
C x
y
=
，过点
0,2
P
作直线l 与抛物线C 相交于
,
A B 两点，O 为
技法指导
圆锥曲线中的证明问题常见的有:
(1)位置关系方面的:如证明直线与曲线相切,直线间的平行、垂直,直线过定点等.
(2)数量关系方面的:如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下,一般采用直接法,通过相关的代数运算证明.
坐标原点.
(1)证明：OA
OB
^
；
(2)若存在异于点P 的定点T ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
uuur
uur
uuur
uur
恒成立，请求出点T 的坐标，并求出
TAB
△
面积的
最小值.
5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
左焦点
1( 1,0)
F -
，离心率为
2
2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
1F 且斜率为k 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若
2
π
MON
Ð
>
，求k 的取值范围.
6．（2025·江苏南京·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,
2
P
，短轴长为4 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线:
4
l y
kx
=
+
椭圆C 交于不同的两点M 、N .
设直线AN 与直线BM 相交于点G ，求GA
GP
+
的最小值.
7．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
y
C x
b
b
-
=
>
左、右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2,0
M -
的
直线l 交C 于
,
P Q 两点．
(1)若C 的一条渐近线方程为
3
y
x
=
，求C 的方程；
(2)连接QO 并延长交C 于点R ．
①设点P 在第一象限，若
1
b = ，
1
6
MQO
PRQ
S
S
=
△
△
，求点P 的坐标；
②若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围．
8．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）平面直角坐标系xOy 中，已知点
(0,1)
P
，动点M 在x 轴上的投影为M ¢ ，且
M M
M P
¢
=
¢
，记动点M 的轨迹为曲线G ．
(1)求曲线G 的方程；
(2)已知点A ，B 在曲线G 上，点A 在x 轴上方且异于点P ，点B 在x 轴下方，直线AP ，BP ，AB 与x 轴分
别交于点C ，D ，Q ．
（i）若PA
PB
^
，求AB 的取值范围；
（ii）求证：
2
|
| |
| |
|
QC
QD
PQ
×
=
．
9．（2025·江西九江·模拟）已知O 为坐标原点，椭圆
2
2
:
1
9
6
x
y
G
+
= ，双曲线G¢与G 焦点相同，离心率互为倒
数．线段PQ是G 的一条弦，且PQ中点在G¢上．
(1)求G¢的方程；
(2)求直线PQ纵截距绝对值的最小值；
(3)求
OPQ
△
面积的最大值．
10．（2025·陕西西安·一模）已知ODE
V
满足
5
OD = ，
2
OE =
，
4
ODE
S
=
V
，且
DOE
Ð
是锐角.
(1)求sin
DOE
Ð
；
(2)设OD ，OE 所在直线分别为直线1l ，2l ，A，B 分别在1l ，2l 上，过A，B 分别作
AOB
Ð
的角平分线的垂
线，垂足为M，N，且
1
2
AOM
BON
S
S
+
=
△
△
为定值，以OA，OB 为邻边作平行四边形OARB .
（i）请建立适当的坐标系求出R 点轨迹方程C；
（ⅱ）若直线l 交C 于P，Q 两点，以线段OP ，OQ 为直径的两圆的另一个交点为G，且
1
OG = ，求PQ 的
最大值.
11.（2025·云南玉溪·模拟预测）已知O 为坐标原点，动点P 到x 轴的距离为d，且
2
2
|
|
OP
d
l
m
=
+
，其中λ，
μ 均为常数，动点P 的轨迹称为
,
l m 曲线．
(1)若
,
l m 曲线为椭圆，试问λ，μ 应满足什么条件？
(2)设曲线C 为
4
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 曲线，与x 轴不重合的直线l 过点
0
0
,0
0
N x
x ¹
，曲线C 上存在两点A，B 关于直线
l 对称，且AB 的中点M 的横坐标为x．
（i）若
0
x
x
l
=
，求实数l 的值；
（ii）若A，B 为曲线C 在y 轴右侧上两个不同的点，且直线l 过点
0,4
C
，求
ACB
Ð
的取值范围．
12．（2025·河南信阳·三模）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
（
）的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，
，过
2
F 的直线交C
于P
Q
，
两点（P 在x 轴上方)，
1F PQ
V
的周长为8 ，当
1
90
F PQ
Ð
=
° 时，
1F PQ
V
的面积为8
3 .
(1)求C 的方程；
(2)若C 的离心率不大于
2
2 ，半径为r 的圆M 与
1F P 的延长线，
1FQ 的延长线及线段PQ均相切.
（i）当
2
r =
时，求
1
2
cos F MF
Ð
；
（ii）求
2
|
|
PQ
r
的最大值.
