第十九题 导数及其应用
高考真题
19. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
【思路分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性 的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得 即可.
方法二：构造函数 ，证得 ，从而得到 ，进而将问题
转化为 的恒成立问题，由此得证.
【解析】【小问1详解】因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
【小问2详解】方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
知识点总结
1. 导数的几何意义(1) 函数y＝f(x)在x＝x 处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x ，f(x ))处的切线的斜率k，即k＝
0 0 0
f′(x )．
0
(2) 曲线y＝f(x)在点(x ，f(x ))处的切线方程为 y － f ( x ) ＝ f ′ ( x )( x － x ) .
0 0 0 0 0
2. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α是实数) f′(x)＝ α x α － 1
f(x)＝sinx f′(x)＝ co s x
f(x)＝cosx f′(x)＝ － si n x
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝ a x l n a
f(x)＝lnx f′(x)＝
f(x)＝log x(a＞0，a≠1) f′(x)＝
a
3. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则：
(1) [f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
(2) [f(x)·g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
(3) ′＝ (g(x)≠0)．
4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝ f ′ ( g ( x )) · g ′ ( x ) .
5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t )表示物体在t＝t 时刻的 瞬时速度 ; 设v＝v(t)是速
0 0
度函数，则v′(t )表示物体在t＝t 时刻的 瞬时加速度 .
0 0
6. 函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x) > 0，则f(x)为增函数，若f′(x) < 0，则
f(x)为减函数．
7. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的 定义域 ；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 令f′(x) > 0(或f′(x) < 0)，解出相应的x的取值范围；
(4) 当 f ′ ( x )>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 f ′ ( x )<0 时，f(x)在相应区间上
是减函数．
8．导数与函数的极值
(1)函数的极小值与极小值点若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值 都小，f′(a)＝
0，而且在x＝a附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ，右侧 f ′( x ) ＞ 0 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫
做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝
0，而且在x＝b附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′( x ) ＜ 0 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫
做函数y＝f(x)的极大值．
9．导数与函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
题型展示
导数的运算
(1) 已知f(x)＝(ax2＋1)(x＋2)，若f′(－1)＝4，则a的值为 － 3 .
【解析】 因为f(x)＝ax3＋2ax2＋x＋2，所以f′(x)＝3ax2＋4ax＋1，由f′(－1)＝3a－4a
＋1＝4，解得a＝－3.
(2) 下列求导运算不正确的是( D )
A. (cosx)′＝－sinx
B. (tanx)′＝
C. (2x)′＝ln2·2x
D. ()′＝－
【解析】 对于A，(cosx)′＝－sinx，A正确；对于B，(tanx)′＝′＝＝，B正确；对于C，(2x)′＝ln2·2x，C正确；对于D，()′＝(x)′＝x＝，D不正确．
(3) (2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，则f(0)＝ － 2 .
【解析】 由函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x求导得，f′(x)＝2f′(0)e2x＋e－x，当x＝0时，f′(0)
＝2f′(0)＋1，解得f′(0)＝－1，因此，f(x)＝－e2x－e－x，所以f(0)＝－2.
求曲线的切线方程
(1) (2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( B )
A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1
C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1
【解析】 因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，
所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2) (2022·秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝lnx－e1－x，则曲线y＝f(x)
在x＝－1处的切线方程为( D )
A. y－e2＋1＝0 B. y＋1＝0 C. (e2－1)x－y＋e2－2＝0 D. 2x＋y＋3＝0
【解析】 因为f(x)为偶函数，设 x<0，则－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)－e1＋x，所以
f(－1)＝－1.因为当x<0时，f′(x)＝－e1＋x，所以f′(－1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处
的切线方程为y＋1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋3＝0.
求曲线f(x)经过点P(x ，y )的切线方程的方法：设切点坐标为(a，f(a))，则切线方程为y－
0 0
f(a)＝f′(a)(x－a)，代入点P(x ，y )的坐标，求出a的值，可得切线方程．注：在做此类题目
0 0
时，需仔细审题，若求曲线在某点处的切线方程，则该点即为切点；若求曲线过某点处的切
线方程，则该点不一定是切点．
求函数的单调区间
(1) 函数f(x)＝的减区间是( C )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. D. (3，＋∞)
【解析】 因为f(x)＝，所以f′(x)＝，令f′(x)<0，解得x＞.
(2) 设f(x)＝，讨论f(x)的单调性．
【解答】 由题得函数的定义域为R，f′(x)＝＝.令f′(x)>0，得cosx>－，即2kπ－<x<2kπ
＋(k∈Z)．令f′(x)<0，得cosx<－，即2kπ＋<x<2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的增区间为(k∈Z)，减
区间为(k∈Z)．
含参函数的单调性讨论
已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
【解答】 函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝.①当0<a<1，即>1时，若x∈(0,1)和，则f′(x)>0；若x∈，则f′(x)<0.所以函数f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调
递减．②当a＝1，即＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单
调递增．③当a>1，即0<<1时，若x∈和(1，＋∞)，则f′(x)>0；若x∈，则f′(x)<0.所以函
数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)，上单
调递增，在上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)
在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
(1) 研究含参数的函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开
口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等．
(2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0
在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
利用函数的单调性求参数
(1) (2022·河北省级联测)若函数f(x)＝(x2＋mx)ex在上存在减区间，则m的取值范围是
.
【解析】 f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，则原问题等价于 f′(x)<0
在上有解，即x2＋(m＋2)x＋m<0在上有解，即m<在上有解．因为＝－(x＋1)＋，且y＝－(x
＋1)＋在上单调递减，所以当x＝－时，y ＝－＋＝，所以m<.
max
(2) (2021·全国卷)若函数 f(x)＝cos2x＋asinx在区间内是减函数，则实数 a的取值范围是
{ a | a ≤ 2} .
【解析】 f′(x)＝－2sin2x＋acosx＝－4sinxcosx＋acosx＝cosx(－4sinx＋a)．因为当x∈时，
f(x)是减函数，又cosx>0，所以由f′(x)≤0，得－4sinx＋a≤0，所以a≤4sinx在上恒成立，所
以a≤(4sinx) ，所以a≤2.
min
由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法：
(1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)(f′(x)在
该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从
而获得参数的取值范围；
(2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存
在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
(3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I
是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
知图判断函数极值情况
(2023·重庆渝中区月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)
的图象如图所示，则下列结论中正确的是( D )A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
【解析】 当x＜－3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＜0，可得f′(x)＜0，则f(x)单调递减；当
x＝－3时，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当－3＜x＜1时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＜0，可
得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝1时，(x－1)3f′(x)＝0，但是f′(x)是否等于0，不能确定；
当1＜x＜3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＞0，可得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝3时，(x－
1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当x＞3时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＞0，可得f′(x)＜0，则f(x)单
调递减．故f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．故选D．
由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．
两者结合可得极值点．
已知函数解析式求极值或极值点
(1)(2022·西安模拟)已知f(x)＝，则f(x) ( C )
A．在(－∞，＋∞)上单调递增 B．在(－∞，1)上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
【解析】 ∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝，当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，
故A错误；当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，1)上单调递增，故B错误；当x＝1时，
f(x)＝取得极大值，无极小值，故C正确，D错误．故选C．
(2)(2022·湖南省教育联盟第二次联考)函数f(x)＝＋ln |x|的极值点为___1_____．
【解析】当x＞0时，f(x)＝＋ln x，所以f′(x)＝－＋＝，所以当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单
调递增；当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极小值，故f(x)的极
值点为x＝1；当x＜0时，f(x)＝＋ln (－x)，所以f′(x)＝－＋＝＜0，所以f(x)单调递减，此时
函数f(x)无极值．综上所述，f(x)的极值点为x＝1．
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧导数值的符号；(5)求出极值．
已知函数的极值求参数的值或取值范围
(1)(2023·牡丹江高三第一次段考)若函数 y＝ax2－ln x 在 x＝处取得极值，则 a＝
____2____．
【解析】 ∵y′＝2ax－，∴y′|x＝＝a－2．∵函数y＝ax2－ln x在x＝处取得极值，∴a－
2＝0，故a＝2．经检验符合题意．
(2)(2023·岳阳二模)已知函数f(x)＝cosx－ax2，其中a∈R．
①当a＝－时，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程；
②若函数f(x)在(－π，π)上恰有两个极小值点x1，x2，求a的取值范围．
【解析】①当a＝－时，f(x)＝cosx＋x2，则f′(x)＝－sinx＋x，f＝，f′＝1，
∴曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程为y－＝x－，即y＝x．
②∵f(－x)＝cos(－x)－a(－x)2＝cosx－ax2＝f(x)，∴f(x)是(－π，π)上的偶函数，
∵函数f(x)在(－π，π)上恰有两个极小值点，∴函数f(x)在(0，π)上恰有一个极小值点，
不妨设x1＞0，f′(x)＝－sinx－2ax，令g(x)＝－sinx－2ax，则g′(x)＝－cosx－2a．
(ⅰ)当a≥0时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，π)上单调递减，无极小值；
(ⅱ)当a≤－时，g′(x)＞0，则f′(x)在(0，π)上单调递增，f′(x)＞f′(0)＝0．则f′(x)＞0，此时
f(x)在(0，π)上单调递增，无极小值；
(ⅲ)当－＜a＜0时，存在x0∈(0，π)，使g′(x0)＝－cosx0－2a＝0，
当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，f′(x)在(0，x0)上单调递减，
当x∈(x0，π)时，g′(x)＞0，f′(x)在(x0，π)上单调递增．
∵f′(0)＝0，f′(π)＝－2aπ＞0，由零点存在定理知存在x1∈(x0，π)，使得f′(x1)＝－sinx1－
2ax1＝0，当x∈(0，x1)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，x1)上单调递减，当x∈(x1，π)时，f′(x)＞0，
f(x)在(x1，π)上单调递增，∴函数f(x)在(0，π)上恰有一个极小值点x＝x1．∴函数f(x)在(－
π，π)上恰有两个极小值点．
综上所述，a的取值范围为．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后
必须验证根的合理性．
导数与函数的最值
(1)(2022·全国甲卷(理))当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝( B )
A．－1 B．－C． D．1
【解析】因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以依题意可知，f(1)＝－2，f′(1)＝0，而f′
(x)＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝－＋＝，因此函数f(x)在
(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，x＝1时取最大值，满足题意，即有 f′(2)＝＝－．
故选B．
(2)(2022·济南质检)已知函数f(x)＝excosx－x．
①求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解析】 ① ∵f(x)＝excosx－x，∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，
∴f′(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．
②f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，令g(x)＝f′(x)，
则g′(x)＝－2exsinx≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，
∴g(x)在上单调递减，g(x)≤g(0)＝0，
∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，f(x)在上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－．
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最
小值．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上有极值，则先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比
较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的
实际应用中经常用到．
真题演练
一、单选题
1．函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
2．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二、填空题
5．若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
6．函数 的最小值为 .
【答案】1
7．设函数 ．若 ，则a= ．
【答案】1
8．曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
【答案】
三、解答题9．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最
后求解切线方程即可；
（2）原问题即 在区间 上恒成立，整理变形可得 在区间
上恒成立，然后分类讨论 三种情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，
由于 ，故当 时， ，不合题意.
综上可知：实数 得取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数
的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间 上单调，实际上就是在该区间上 (或 )恒成立．
②函数在区间 上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集．10．已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减
(2)
【分析】（1）代入 后，再对 求导，同时利用三角函数的平方关系化简 ，再利用换元法判
断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数 ，从而得到 ，注意到 ，从而得到 ，进而
得到 ，再分类讨论 与 两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得 恒成立，再分类讨论 ， 与 三种情况，利用零点存在
定理与隐零点的知识判断得 时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则
，
令 ，由于 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递减.
（2）法一：
构建 ，
则 ，
若 ，且 ，
则 ，解得 ，
当 时，因为 ，
又 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，满足题意；
当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
综上所述：若 ，等价于 ，
所以 的取值范围为 .
法二：
因为 ，
因为 ，所以 ， ，
故 在 上恒成立，
所以当 时， ，满足题意；当 时，由于 ，显然 ，
所以 ，满足题意；
当 时，因为 ，
令 ，则 ，
注意到 ，
若 ， ，则 在 上单调递增，
注意到 ，所以 ，即 ，不满足题意；
若 ， ，则 ，
所以在 上最靠近 处必存在零点 ，使得 ，
此时 在 上有 ，所以 在 上单调递增，
则在 上有 ，即 ，不满足题意；
综上： .
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论 这种情况的关键是，注意到 ，从而分类讨论
在 上的正负情况，得到总存在靠近 处的一个区间，使得 ，从而推得存在
，由此得解.
11．已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨
论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，构建新函数
，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线
与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根
成等差数列.
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
（2）[方法一]：
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，所以 ，
而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个解，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无根，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的根 ，
此时 有两个不同的根 ，故 ， ， ，
所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
[方法二]：
由 知， ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且
① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和
共有0个交点，不符合题意；
② 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③ 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ， ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，
而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
12．已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
（2）求导,对 分类讨论,对 分 两部分研究
【详解】（1） 的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为（2）
设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若 ,当 ,则
所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当 ,
令 则所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
设
所以 在 单调递增
所以存在 ,使得
当 单调递减
当 单调递增,
又
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减，
当 ， ，
又 ，
而 ,所以当
所以 在 上有唯一零点, 上无零点即 在 上有唯一零点
所以 ,符合题意
所以若 在区间 各恰有一个零点,求 的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题的关键是对 的范围进行合理分类，否定和肯定并
用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.
13．已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
【答案】(1)
(2)证明见的解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为 ，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为 ，则
令 ,得当 单调递减
当 单调递增 ，
若 ,则 ,即
所以 的取值范围为
[方法二]：同构处理
由 得：
令 ，则 即
令 ，则
故 在区间 上是增函数
故 ，即
所以 的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证 ,即证
因为 ,即证
又因为 ,故只需证
即证
即证
下面证明 时，设 ，
则
设
所以 ,而
所以 ,所以
所以 在 单调递增
即 ,所以
令
所以 在 单调递减
即 ,所以 ；
综上, ,所以 .
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 只有1个解又因为 有两个零点 ，故
两边取对数得： ，即
又因为 ，故 ，即
下证
因为
不妨设 ，则只需证
构造 ，则
故 在 上单调递减
故 ，即 得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
14．已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最
大值为 ，最小值为 .【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
极大
增 减 极小值 增
值
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
模拟训练
一、单选题1．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．已知直线 与曲线 相切，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
3．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
4．已知函数 ，设a，b，c是任意三角形的三边长，若一定存在以 ， ，
为三边长的三角形，则t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
二、多选题
5．已知 ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD6．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
【答案】ABD
三、填空题
7．如图，已知平面五边形 的周长为12，若四边形 为正方形，且 ，则当 的面
积取得最大值时， ．
【答案】
【分析】根据几何关系构造函数关系式利用导数求函数的最值.
【详解】过点 作 ，垂足为 ．设 ，则 ，
∵ ，∴ ，则 ，
由 ，得 ．
在 中， ．
记 的面积为 ，则 ．
设函数 ，则 ，
令 ，得 或 ．当 时， ；当 时， ．故当 时， 取得最大值，
则 取得最大值，此时 ．
故答案为： .
【点睛】利用导数求最值的方法就是先求出函数的极值，若极值有多个，则需要比较各极值与端点值，其
中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；若函数只有一个极大（小）值，则这个极大（小）值就是
函数的最大（小）值.
8．若直线 与曲线 相切，则 ．
【答案】
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知切线列式求解即可.
【详解】依题意，设切点为 ，则 ，
由 ，求导得 ，于是 ，解得 ，
从而 ，则 .
故答案为：
四、解答题
9．已知函数 ， 是自然对数的底数.
(1)当 时，求整数 的值，使得函数 在区间 上存在零点；(2)若存在 使得 ，试求 的取值范围.
【答案】(1)1或
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，求整数 的值；（2）将
不等式存在性问题，转化为 ，利用导数判断函数的单调性，并求函
数的最值，代入不等式后，即可求解 的取值范围.
【详解】（1） ， ，
当 时， ， ，故 是 上的增函数，
同理 是 上的减函数，
，且 时， ，
故当 时，函数 的零点在 内， 满足条件．
同理，当 时，函数 的零点在 内， 满足条件，
综上 ．
（2）问题 当 时， ，
，
①当 时，由 ，可知 ；
②当 时，由 ，可知 ；
③当 时， ， 在 上递减， 上递增，
时， ，
而 ，设
（仅当 时取等号），
在 上单调递增，而 ，当 时， 即 时， ，
即 ，
构造 ，易知 ， 在 递增，
，即 的取值范围是 ．
10．已知函数 ， ， 为函数 的导函数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 在 上有实根，求 的取值范围.
【答案】(1)函数 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【分析】（1）由题意得 ，令 ，则 ，分类讨论 ， ，
即可得出答案；
（2）由（1）得 ，题意转化为方程 在 上有实根，令
，则 ，分类讨论 ， ， ，即可得出答案．
【详解】（1） ，令 ，则
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，得 ， ，得 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）知， ，方程 在 上有实根等价于方程 在
上有实根.令 ，则
当 时， ，函数 在 上单调递增， ，不合题意；
当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减， ，不合题意；
当 时， ，得 ， ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以 ，所以
综上所述， 的取值范围为
11．已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)若 在区间 有2个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 处取极大值
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后分 与 讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为 与 在区间 有2个交点，求得函数 的值域，
即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增， 无极值，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减：
所以当 时， 在 处取极大值 ，无极小值；
（2） ，
令 ，得 ，令 ， 在区间 有2个零点，
即 与 在区间 有2个交点，
， ， ，
当 ， ， 在 上单增，
当 ， ， 在 上单减，
， 的最大值为 ， ，
与 在区间 有2个交点，则 ．
12．已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）求出 ，分 、 讨论，可得答案；
（2）当 时， ,令 ，可知 ，然后利用累加法可得答案.
【详解】（1） ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 有极小值 ，无极大值．
（2）由（1）知，当 时， ，当且仅当 时取等号，
令 ， ，可知 ，即 ，
即 ， ，⋯， ，
累加得 ．
