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第十二题 空间几何体的外接球、内切球问题
高考真题
12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（
）
A. 直径为 的球体
B. 所有棱长均为 的四面体
C. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
D. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
【思路分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【解析】对于选项A：因为 ，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为 ，且 ，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为 ，且 ，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为 ，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过 的中点 作 ，设 ，
可知 ，则 ，
即 ，解得 ，
且 ，即 ，
故以 为轴可能对称放置底面直径为 圆柱，
若底面直径为 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心 ，与正方体的下底面的切点
为 ，
可知： ，则 ，
即 ，解得 ，
根据对称性可知圆柱 的高为 ，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.知识点总结
空间几何体的外接球
1. 公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，即，找三条两两垂直
的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝，求出R.
2. 补形法(补长方体或正方体)：
(1) 墙角模型(三条线两两垂直)
题设：三条棱两两垂直；
(2) 对棱相等模型(补形为长方体)
题设：在三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB＝CD，AD＝
BC，AC＝BD)．
3. 单面定球心法(“定＋算”)：步骤：(1) 定一个面找外接圆圆心，如图，在三棱锥 P－ABC中，选中底面ABC，确定其
外接圆圆心O (正三角形的外心就是中心，直角三角形的外心在斜边中点上，普通三角形用正
1
弦定理定外心，即)；
(2) 过外心O 作(找)底面ABC的垂线，如图，作PO ⊥底面ABC，则球心O一定在直线
1 1
(注意不一定在线段PO 上)PO 上；
1 1
(3) 计算求半径 R，在直线PO 上任取一点 O，如图，则 OP＝OA＝R，利用公式 OA2＝
1
O A2＋OO可计算出球O的半径R.
1
4. 双面定球心法(两次单面定球心)
如图，在三棱锥P－ABC中：
(1) 选定底面ABC，定△ABC外接圆的圆心O ；
1
(2) 选定平面PAB，定△PAB外接圆的圆心O ；
2
(3) 分别过O 作底面ABC的垂线，过O 作平面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球的球
1 2
心O.
空间几何体的内切球
1. 解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的
截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关
系．
2. 球的内切问题(等体积法)．例如：如图，在四棱锥 P－ABCD中，内切球为球O，求球
O的半径r.
方法如下：V ＝V ＋V ＋V ＋V ＋V ，
P－ABCD O－ABCD O－PBC O－PCD O－PAD O－PAB
即V ＝S ·r＋S ·r＋S ·r＋S ·r＋S ·r.
P－ABCD 四边形ABCD △PBC △PCD △PAD △PAB3. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面
的距离．
4. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合.
题型展示
能还原成长方体的锥体的外接球
(1) 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的
面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为( A )
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
【解析】 设AB，AC，AD的长度分别为a，b，c，由题意得解得因为三条侧棱两两垂直，
所以以a，b，c为边长的长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径长，所以 R＝＝，
故所求外接球的体积为·3＝π.
(2) 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P－
ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的
球面上，则球O的表面积为( C )
A. 8π B. 12π
C. 20π D. 24π
【解析】 如图，由于三棱锥 P－ABC的四个面都为直角三角形，则△ABC 是直角三角
形，且∠ABC＝，所以BC＝＝2.又PA⊥平面ABC，且△PAC是直角三角形，所以球O的直径
为PC＝2R＝＝＝2，所以R＝，故球O的表面积为S＝4πR2＝20π.一般锥体的外接球
(1) 已知正四棱锥P－ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，那么球O的表
面积为( C )
A. 2π B. 4π
C. 8π D. 16π
【解析】 如图，连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，且OA＝OB
＝OC＝OD＝AC＝＝，OP＝＝＝，所以O是球心，其半径为r＝，所以球O的表面积为S＝
4πr2＝8π.
(2) 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
AB＝DC＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面ABCD，那么球O的体积为( A )
A. B.
C. 16π D. 16π
【解析】 如图，取BC的中点E，连接AE，DE，BD.因为AD∥BC且AD＝BC＝EC＝
BE，所以四边形 ADCE，四边形 ABED均为平行四边形，所以 AE＝DC，AB＝DE.又DC＝
BC，所以AE＝BC＝AB，所以AE＝DE＝BE＝EC，所以E为四边形ABCD外接圆的圆心．设
O为外接球的球心，由球的性质可知 OE⊥平面ABCD，作OF⊥PA，垂足为F，所以四边形
AEOF为矩形，OF＝AE＝2.设AF＝x，OP＝OA＝R，则4＋(4－x)2＝4＋x2，解得x＝2，所以
R＝＝2，所以球O的体积为V＝πR3＝.
棱柱的外接球
例3 设直三棱柱ABC－A B C 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 40π，AB＝
1 1 1
AC＝AA ，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是 2 .
1
【解析】 设AB＝AC＝AA ＝a，球的半径为R，则△BAC外接圆的半径为·＝a.因为4πR2
1＝40π，所以R2＝10，所以R2＝2＋a2＝10，解得a＝2，即此直三棱柱的高是2.
柱体与其内切球
如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．
(1) 求两球半径之和；
【解答】 如图，球心O 和O 在AC上，过O ，O 分别作AD，BC的垂线，垂足为E，
1 2 1 2
F，设O 的半径为r，O 的半径为R.由AB＝1，AC＝，得AO ＝r，CO ＝R，所以r＋R＋(r＋
1 2 1 2
R)＝，所以R＋r＝＝.
(2) 当两球的半径分别为多少时，两球体积之和最小？
【解答】 设两球体积之和为V，则V＝π(R3＋r3)＝π(r＋R)(R2－Rr＋r2)＝π[(R＋r)2－3rR]＝
π＝π，当R＝时，V有最小值，故当R＝r＝时，两球体积之和最小．
锥体与其内切球
(2022·连云港预测)在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD是矩形，侧面PAB是等边三角形，
侧面PAB⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P－ABCD存在内切球，则内切球的体积为 ，
此时四棱锥P－ABCD的体积为 8 .
【解析】 如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接PM，PN，MN.由△PAB是正三角
形，得 PM⊥AB，又底面 ABCD 是矩形，所以 MN⊥AB.而平面 PAB⊥平面 ABCD，平面
PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊂平面PAB，MN⊂平面ABCD，因此PM⊥平面ABCD，MN⊥平
面PAB.又AD∥MN∥BC，则AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以AD⊥PA，BC⊥PB.因为
PM∩MN＝M，PM，MN⊂平面 PMN，所以 AB⊥平面 PMN.又 PN⊂平面 PMN，所以
AB⊥PN，而AB∥CD，则CD⊥PN，显然△PAD≌△PBC，由球的对称性及四棱锥 P－ABCD
的特征知，平面 PMN截四棱锥P－ABCD的内切球O得截面大圆，此圆是 Rt△PMN的内切
圆，分别切MN，PM于点E，F，且四边形OEMF为正方形．令AD＝x，而PM＝3，PN＝，
则内切球的半径r＝ME＝(x＋3－)．四棱锥P－ABCD的表面积为S＝S ＋2S ＋S
△PAB △PAD 矩形ABCD
＋S ＝3＋4x＋·，由V ＝rS＝S ·PM，得(x＋3－)·(3＋4x＋)＝2x·3，整理得6x·(3
△PCD P－ABCD 矩形ABCD
＋4x＋)＝12x·(x＋3＋)，即2x－3＝，解得x＝4，因此，r＝1，所以内切球的体积 V＝r3＝，四棱锥P－ABCD的体积V ＝8.
P－ABCD
真题演练
一、单选题
1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最
大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内， ，球心到该平面的距离
是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
5．矩形 中， ， ，沿 将 矩形折起，使面 面 ，则四面体
的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．正方体的内切球和外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半
径等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10．已知直三棱柱A． B． C． D．
【答案】C
二、填空题
11．在正方体 中， 为 的中点，若该正方体的棱与球 的球面有公共点，则
球 的半径的取值范围是 ．
【答案】
12．在正方体 中，E，F分别为AB， 的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的
棱共有 个公共点．
【答案】12
13．已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径 若平面 平面SCB，
， ，三棱锥 的体积为9，则球O的表面积为 ．
【答案】36π
14．体积为 的球面上有 三点， ， ， 两点的球面距离为 ，则球心到平
面 的距离为 .
【答案】 /
模拟训练
一、单选题
1．三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角形，若平面 平面 ，则该三棱
锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
2．在三棱锥 中， 平面 ，且 ，当三棱锥 的
体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．棱长为6的正方体内有一个棱长为m的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则m的最
大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
4．如图为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则该三棱锥内切球半径为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．已知两个全等的矩形 与 所在的平面相互垂直， ， ，点 为线段 （包括端
点）上的动点，则三棱锥 的外接球的半径可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．如图，在正三棱台 中， ， ， ，则正三棱台 的外接
球表面积为（ ）A．64 B． C． D．
【答案】B
7．在四面体 中， 与 都是边长为6的等边三角形，且二面角 的大小为 ，
则四面体 外接球的表面积是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【答案】A
8．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 ，高为1，P､Q为底面圆周上任意
两点．有以下三个结论：
①三角形SPQ面积的最大值为2；
②三棱锥 体积的最大值为 ；
③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为 ．
以上所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
二、多选题
9．正三棱锥 的底面边长为3，高为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥 的表面积为
C．三棱锥 的外接球的表面积为
D．三棱锥 的内切球的表面积为【答案】ABD
10．水平面上紧挨着放置 个半径 的小球（不叠起），用一个半径最小的大半球把这 个球罩住，记
大半球的半径为 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】BC
三、填空题
11．已知三棱锥 的体积为 ，其外接球的表面积为 ，若 ， ， ，
，则 为 .
【答案】
12．已知正四棱柱 的每个顶点都在球 的球面上，若球 的表面积为 ，则该四棱柱的
侧面积的最大值为 .
【答案】
13．如图，已知台体 的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，
上、下底面的距离为 .若 ， ， ，则该台体的外接球的表面积为 .
【答案】14．圆台上底半径为 ，下底半径为 ，此圆台内接于表面积为 的球，点 是上底面圆周上一动点，
点 在下底面上的射影为 ，在下底面上过 点的直线交底面圆周于点 ，点 是下底面圆周上一动
点，则三棱锥 体积的最大值为 ．
【答案】
