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第 13 讲 零点问题
1.函数的零点
(1)对于一般函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的 实数 x 叫做函数y=f(x)的零点.
(2)方程的根与函数零点的关系：
(3)函数零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至
少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
y=ax2+bx+c(a>0)
函数
图象
与x轴的公共点 (x ,0),(x ,0) (x ,0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
3.常用结论
(1)若函数 在区间[a,b]上单调,且 的图象是连续不断的一条曲线,则 函数
在区间[a,b]上只有一个零点.
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4).周期函数若存在零点,则必有无穷个零点.
考点一 零点存在定理法判断函数零点所在区间
考点二 方程法判断函数零点（个数）
考点三 零点存在定理与函数性质结合法判断零点个数
考点四 利用函数的交点（交点个数）求参数值或参数范围问题考点一：零点存在定理法判断函数零点所在区间
例1．函数 的零点一定位于区间（ ）
A． B．
C． D．
例2．已知函数 在区间 上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
设函数 在区间 上零点的个数为 ，则 的最小值为（ ）A．2 B．3 C．5 D．6
考点二：方程法判断函数零点（个数）
例3．函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例4．函数 的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
考点三：零点存在定理与函数性质结合法判断零点个数
例5．已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则函数 的
零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
例6．已知函数 ,则函数 零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
考点四：利用函数的交点（交点个数）求参数值或参数范围问题
例7．（2022·全国·高三专题练习）若直线y=2a与函数 的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例8．已知函数 若方程 有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．已知函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020秋·河北·高三统考学业考试）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点依次为
，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的解在 内，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．6．已知函数 ，则方程 的实数解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的所有零点之和为
（ ）
A． B． C． D．
8．关于 的方程 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
9．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在 上的奇函数 满足在 ，则 在
上的零点至少有（ ）个
A．6 B．7
C．12 D．13
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在其定义域上只有一个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·北京西城·统考一模）设 ，函数 若 恰有一个零点，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
12． ，已知函数 恰有五个零点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
13．已知 是奇函数并且是 上的单调函数，若函数 有3个零点，则实数
的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
14．（2022秋·青海西宁·高三校考期中）函数 在区间 上的零点的个数为____________．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，则实数
的取值范围为_____.
16．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数 ，
若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是
_____________．
17．若函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是______．
18．若关于x的方程 有负根，则实数a的取值范围____________．
19．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）函数 的零点 ，且 ， ，
则 ____________， ____________．
