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第 13 讲 零点问题
1.函数的零点
(1)对于一般函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的 实数 x 叫做函数y=f(x)的零点.
(2)方程的根与函数零点的关系：
(3)函数零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至
少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
y=ax2+bx+c(a>0)
函数
图象
与x轴的公共点 (x ,0),(x ,0) (x ,0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
3.常用结论
(1)若函数 在区间[a,b]上单调,且 的图象是连续不断的一条曲线,则 函数
在区间[a,b]上只有一个零点.
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4).周期函数若存在零点,则必有无穷个零点.
考点一 零点存在定理法判断函数零点所在区间
考点二 方程法判断函数零点（个数）
考点三 零点存在定理与函数性质结合法判断零点个数
考点四 利用函数的交点（交点个数）求参数值或参数范围问题考点一：零点存在定理法判断函数零点所在区间
例1．函数 的零点一定位于区间（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数单调性,再将选项的区间端点代入,直到端点处的函数值异号,即为所求.
【详解】解:由题知 ,
因为 , 在 上均单调递增,
所以 在 上单调递增,故 最多有一个零点,
因为
所以 零点一定位于 内.
故选:C
例2．已知函数 在区间 上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
设函数 在区间 上零点的个数为 ，则 的最小值为（ ）A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据零点的存在定理，判断区间内存在零点.
【详解】由零点存在性定理，在 上至少各有一个零点，在区间 上零点至少3个.
故选:.B
考点二：方程法判断函数零点（个数）例3．函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用方程法分别求出当 、 时函数的零点，进而即可求解.
【详解】当 时，令 ，解得 ；
当 时，令 ，解得 .
所以函数 有2个零点.
故选：C.
例4．函数 的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】令 ，解对数方程，求出x＝10.
【详解】令 ，即 ，所以 ，因此x＝10，所以函数
的零点为10，
故选：A.
考点三：零点存在定理与函数性质结合法判断零点个数
例5．已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则函数 的
零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数 所过定点的坐标可得出 ，求出 、 的值，可得出函数 的解析式，分析函数 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数 （ 且 ）的图象过定点 ，
则 ，可得 ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为减函数，
所以，函数 在 上为减函数，
且 ， ，
由零点存在定理可知，函数 的零点在区间 内.
故选：A.
例6．已知函数 ,则函数 零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】根据函数单调性，结合零点存在性定理判断即可.
【详解】解：因为函数 在 上均为单调递减函数，
所以函数 在 上为单调递减函数，
因为 ， ，
所以，存在唯一实数 ，使得 .
所以，函数 零点个数为 个.
故选：A
考点四：利用函数的交点（交点个数）求参数值或参数范围问题例7．（2022·全国·高三专题练习）若直线y=2a与函数 的图象有且只有一个公共点，则a的取值
范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出两个函数在同一坐标系下的图象，数形结合分析即得解.
【详解】画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若两个函数图象有且只有一个公共点，
则 或 ， 或 .
故选：D．
例8．已知函数 若方程 有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出函数图象，将问题转化为 与 有两个交点，数形结合即可得解.
【详解】解：因为 ，所以 的函数图象如下所示：因为方程 有且仅有两个不等实根，所以 与 有两个交点，
由图可知 .
故选：B
一、单选题
1．已知函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可.
【详解】由已知得 ， ， ， ，
，
所以 ，由零点的存在定理得， 的零点所在的区间为 ，
故选：D．
2．（2020秋·河北·高三统考学业考试）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的连续性和单调性，计算 ， ，利用零点存在定理即可得到答案.
【详解】 函数 的图象是连续不间断的，根据增函数加增函数为增函数的结论知 在定义域 上为增函数,
， ，
故函数 的零点所在区间是 .
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的零点依次为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别讨论 的零点所在的区间，然后比较大小.
【详解】对于 ，显然是增函数， ，所以 的唯一零点
；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
对于 ，显然也是增函数， ，所以 的唯一零点 ；
；
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的解在 内，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算.
【详解】构建 ，则 在定义域内单调递增，故 在定义域内至多有一个零点，∵ ，
∴ 仅在 内存在零点，即方程 的解仅在 内，
故 .
故选：B.
5．已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令 ，得 ；根据函数的单调性及零点存在定理可得 ， ，即可得答案.
【详解】解：令 ，得 ，即 ；
因为 ，易知 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ；
，易知 在 上单调递增，
又因为 ， ，所以 ；
所以 .
故选：B.
6．已知函数 ，则方程 的实数解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】讨论 、 ，令 求解即可判断个数.
【详解】当 时，由 ，解得 ；当 时，由 ，得 或 ，解得 或 ．
故方程 的实数解的个数为3．
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的所有零点之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 求解即可.
【详解】 时，由 得 ，
时，由 得 或 ，
所以四个零点和为 ．
故选：D．
8．关于 的方程 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】令 ，化简可得 ，利用二次方程的性质可得 有且只有一个正根， 再根
据指数函数单调性得出 的解的个数.
【详解】解：原方程即 ，化简可得 ，令 ，可得
，该方程有且只有一个正根，由于 单调递增，所以 与 一一对应，即原方程只有一个
解.
故选： .9．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在 上的奇函数 满足在 ，则 在
上的零点至少有（ ）个
A．6 B．7
C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据奇函数可得 ，然后利用周期性和奇偶性
结合可得函数 ，进而可得所有可能的零点.
【详解】 是奇函数，故 ，又由 得周期为1，故
，又 ， ，因此 ，
再由周期为1，总之，有 ，共13个零点，
故选:D．
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在其定义域上只有一个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当 时，利用单调性结合零点存在性定理可得 在 内存在唯一零点，当 时，利
用导数判断单调性得 在 上单调递减，在 上单调递增，可得 ．
【详解】当 时，则 在 上单调递增，且∴ 在 内存在唯一零点
则当 时， 无零点
，令 ，则 或 （舍去）
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增
则 ，即
故选：C．
11．（2023·北京西城·统考一模）设 ，函数 若 恰有一个零点，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将 图象平移对参数 进行分类讨论即可得出
其取值范围.
【详解】画出函数 的图象如下图所示：
函数 可由 分段平移得到，
易知当 时，函数 恰有一个零点，满足题意；
当 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当 时，图象往下平移，当 时，函数有两个零点；
当 时， 恰有一个零点，满足题意，即 ；
综上可得 的取值范围是 .
故选：D
12． ，已知函数 恰有五个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数的零点转化为两个函数的交点，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由题意得可转化为 与 恰有五个交点，
当 时， 单调递减，且当 时， ，
而函数 ，当 时，函数 单调递减，
当 时，函数 单调递增，所以此时两个函数图象不可能有5个交点，
当 时，如图所示：如图所示，需满足 ，所以 ，
故选：B
13．已知 是奇函数并且是 上的单调函数，若函数 有3个零点，则实数
的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数 是奇函数并且是R上的单调函数，，将函数 有3个零
点，转化为 有3个根，令 ，利用导函数分析单调性，作出大致图像，
即可分析 与 的交点情况，进而求出实数 的取值范围.
【详解】解：令 ，
因为 是奇函数并且是R上的单调函数，所以 ，
若函数 有3个零点，
则 ，即 有3个根，
令 ，则 ，
当 或 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
作出 的大致图像：由图可知，极小值为 ，极大值为 ，
要使 与 有三个交点，则 ，
故选：A.
二、填空题
14．（2022秋·青海西宁·高三校考期中）函数 在区间 上的零点的个数为____________．
【答案】5
【分析】令 可得 或 ，结合余弦型函数的性质判断 在 上根的个数，即
可得结果.
【详解】 或 ，
又 在 上的根有 共4个，
故 在 上有5个零点．
故答案为：5
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，则实数
的取值范围为_____.
【答案】
【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解
【详解】解： 由对数函数的性质，可得 为单调递增函数，且函数 在 上有且仅有一个零点，所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：
16．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数 ，
若方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a＋b）c的取值范围是
_____________．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式画出图象，即可得出a＋b＝－2， ，进而可求（a＋b）c的范围.
【详解】依题意，
函数 的图象如图所示：
方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），
可得a＋b＝－2，f（0）＝1＝f（1）， ，
则 ，
故答案为： ．
17．若函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】将函数零点转化为两个函数图像的交点，根据图像即可求解.【详解】函数 有一个零点等价于函数 的图像与 的图像有一个交
点．由数形结合分析可得，实数 的取值范围是 .
故答案为：
18．若关于x的方程 有负根，则实数a的取值范围____________．
【答案】
【分析】关于x的方程 有负根可转化为指数函数 与 在第二象限有交点，结合图象即
可求得实数a的取值范围．
【详解】关于x的方程 有负根等价于指数函数 与 在第二象限有交点，
则当 时， 与 在第二象限有交点，
所以实数a的取值范围 ．
故答案为： ．19．（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）函数 的零点 ，且 ， ，
则 ____________， ____________．
【答案】1；2
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】因为 单调递增， ， ，所以 ， ，
故答案为：1；2
