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9.5 三定问题及最值（精练）
1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、
下顶点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为
定点．
1
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3．（2006·湖南·高考真题）已知
，抛物线
，且
的公共弦
过椭圆
的右焦点．
(1)当
轴时，求m、p 的值，并判断抛物线
的焦点是否在直线
上；
(2)是否存在m、p 的值，使抛物线
的焦点恰在直线
上？若存在，求出符合条件的m、p 的值；若不存
在，请说明理由．
4．（2023·河南·校联考二模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，左、右顶点分
别为
，
是
（
为坐标原点）的中点，且
.
(1)求
的方程；
(2)不过坐标原点的直线与椭圆
相交于
两点（
异于椭圆
的顶点），直线
与
轴的交点
分别为
，若
，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
2
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5．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知圆
：
，圆
：
，圆
M 与圆
外切，且与圆
内切．
(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；
(2)若A，B，Q 是C 上的三点，且直线AB 不与x 轴垂直，O 为坐标原点，
，则当
的
面积最大时，求
的值．
6．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知
为坐标原点，椭圆
的离心率为
，椭圆
的上顶点到右顶点的距离为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为
、
，过点
作直线与椭圆交于
、
两点，且
、
位于第一象
限，
在线段
上，直线
与直线
相交于点
，连接
、
，直线
、
的斜率分别记为
、
3
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，求
的值．
7．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C：
的离心率
，短轴长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知经过定点
的直线l 与椭圆相交于A，B 两点，且与直线
相交于点Q，如果
，
，那么
是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
8．（2023·四川绵阳·统考二模）已知椭圆C：
的焦距为4，左右顶点分别为
，
，
椭圆上异于
，
的任意一点P，都满足直线
，
的斜率之积为
．
4
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(1)若椭圆上存在两点
，
关于直线
对称，求实数m 的取值范围；
(2)过右焦点
的直线交椭圆于M，N 两点，过原点O 作直线MN 的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否
存在实数k，使得
为定值？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
9（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，
为椭
圆上异于
、
的动点，设直线
、
的斜率分别为
、
，且
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设动直线与椭圆
相交于
、
两点，
为坐标原点，若
，
的面积是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
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10．（2023·河南·统考三模）如图，椭圆
的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分
别为
，
，离心率为
，点
在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知P，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为
，直线BQ 的斜率为
，
．过点B 作直线
PQ 的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得
为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不
存在，试说明理由．
11．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆
的左顶点为
，过右焦点
且平行
于
轴的弦
．
(1)求
的内心坐标；
(2)是否存在定点
，使过点
的直线交
于
，交
于点
，且满足
？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
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11．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知
为坐标原点，定点
，
，圆
，
是圆内或圆上一动点，圆
与以线段
为直径的圆
内切.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)设
的轨迹为曲线
，若直线与曲线
相切，过点
作直线的垂线，垂足为
，证明：
为定值.
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P 为圆C：
上一动点，点
，线段PN 的垂直平分线交线段PC 于点Q．
(1)求点Q 的轨迹方程；
(2)点M 在圆
上，且M 在第一象限，过点M 作圆
的切线交Q 点轨迹于A，B 两点，问
的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
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13．（2023·北京密云·统考三模）椭圆C：
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆C 的方程和长轴长；
(2)点M，N 在C 上，且
.证明：直线MN 过定点.
14．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知椭圆
与直线
相交于
两点，椭圆上一动点
，满足
（其中
表示两点连线的斜率），且
为椭圆
的左、右焦点，
面积的最大值为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
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(2)过点
的直线
交椭圆
于
两点，求
的内切圆面积的最大值．
15．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆
过点
，点
与
关于原点
对称，椭圆
上的点
满足直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
相交于
两点，已知点
，点
与
关于原点对称，讨论：直线
的斜率与直线
的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.
16．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知曲线
上的动点
满足
，且
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
、
两点，过
、
分别做
的切线，两切线交于点
.在以下两个条件①②中选
9
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择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线
经过定点
；
②点
在定直线
上.
17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知点
在双曲线
上．
(1)双曲线上动点Q 处的切线交
的两条渐近线于
两点，其中O 为坐标原点，求证：
的面积是
定值；
(2)已知点
，过点
作动直线与双曲线右支交于不同的两点
､
，在线段
上取异于点
､
的点
，满足
，证明：点
恒在一条定直线上．
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18（2023·山西阳泉·统考二模）已知双曲线
经过点
，直线、
分别是双
曲线
的渐近线，过
分别作和
的平行线
和
，直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，且
（
是坐标原点）
(1)求双曲线
的方程；
(2)设
、
分别是双曲线
的左、右顶点，过右焦点
的直线交双曲线
于
、
两个不同点，直线
与
相交于点
，证明：点
在定直线上.
19．（2023·四川成都·校联考二模）已知
和
是椭圆
的左、右顶点，
直线与椭圆
相交于M，N 两点，直线不经过坐标原点
，且不与坐标轴平行，直线
与直线
的
斜率之积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线OM 与椭圆
的另外一个交点为，直线
与直线
相交于点
，直线PO 与直线相交于点
，证明：点
在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
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20．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知双曲线C：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，
P 为双曲线右支上的一点，
为
的内心，且
.
(1)求C 的离心率；
(2)设点
为双曲线C 右支上异于其顶点的动点，直线
与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为
，直线
，
分别与圆O：
相交，交点分别为异于点D 的点M，N，判断直线
是
否过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.
21．（2023·全国·统考高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
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22．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点
是椭圆上一动点（不与端点重合），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积的二倍，求直线
的方程．
23．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
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(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
24（2022·天津·统考高考真题）椭圆
的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M，与y 轴相交于N（N 异于M）．记O 为坐标原点，若
，且
的面积为
，求椭圆的标准方程．
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25．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线
的右焦点为
，渐近线方程为
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点
在C 上，且
．
过P 且斜率为
的直线与过Q 且斜率为
的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
26．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于
M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最
大值时，求直线AB 的方程．
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27．（2022·全国·统考高考真题）已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于P，Q 两
点，直线
的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若
，求
的面积．
16
