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第 40 讲 新定义压轴痛点问题
【典型例题】
例1．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数 图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线 在
和 处的切线重合，则称 ， 为曲线 的“双重切点”，直线 为曲线 的“双重切
线”．
(1)直线 是否为曲线 的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数 求曲线 的“双重切线”的方程；
(3)已知函数 ，直线 为曲线 的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为 ，
，…， ，若 （ ），证明： ．
例2．（2024·山东青岛·一模）记集合 无穷数列 中存在有限项不为零， ，对任意
，设变换 ， ．定义运算 ：若 ，则
， ．
(1)若 ，用 表示 ；
(2)证明： ；
(3)若 ， ， ，证明： ．
例3．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射 ．定义：对任意 ，若 ，
则 ，此时的 为单射．
(1)试在 上给出一个非单射的映射；(2)证明： 是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合 与映射 ，若对任意 ，有
，则 ；
(3)证明： 是单射的充分必要条件是：存在映射 ，使对任意 ，有 ．
例4．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数 ，若 的图象上存在关于原点对称的点，则称
为定义域上的“ 函数”．
(1)试判断 ， 是否为“ 函数”，简要说明理由；
(2)若 是定义在区间 上的“ 函数”求实数 的取值范围；
例5．（2024·河南信阳·一模）定义： 已知数列 满足
．
(1)若 ， ，求 ， 的值；
(2)若 ， ，使得 恒成立．探究：是否存在正整数p，使得 ，若存在，求出p的可
能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 为正项数列，证明：不存在实数A，使得 ．
例 6．（2024·山东泰安 ·一模）已知各项均不为 0 的递增数列 的前 项和为 ，且
（ ，且 ）．
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“ -数列”．证明：
①对任意 且 ，存在“ -数列” ，使得 成立；②当 且 时，不存在“ -数列” ，使得 对任意正整数 成立．
例7．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼
茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 ，
悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式： ，③导数： 定义双曲
正弦函数 ．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当 时，双曲正弦函数 的图像总在直线 的上方，求直线斜率 的取值范围；
(3)无穷数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不
存在，说明理由.
【过关测试】
1．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的
元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元数集合
且 ， ．对于给定的集合B，定义映射
f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则 ；若 （ ），则
．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
2．（2024·辽宁鞍山·二模）设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ．
(1)证明： 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为
高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，设 ，数
列 的前 项和为 ，求 除以16的余数．
3．（2024·高三·全国·专题练习）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中
为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体
的“体形系数” ；（结果用含 、 的代数式表示）
(2)定义建筑物的“形状因子”为 ，其中 为建筑物底面面积， 为建筑物底面周长，又定义 为总
建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 为某宿舍楼的层数，层高
为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 ．当 ， 时，试求当该宿舍
楼的层数 为多少时，“体形系数” 最小．
4．（2024·江西九江·二模）定义两个 维向量 ， 的数量积， ，记 为 的第k个分量（ 且 ）.如三
维向量 ，其中 的第2分量 .若由 维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含
有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 ， ，满足
（T为常数）且 .则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和 .
5．（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变
换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正
三角形R在 （绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以 是R的一
个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记 ；又如，R在 （关于对称轴
所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以 也是R的一个对称变换，类似地，
记 ．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作
成一个群，假如同时满足：
I． ， ；
II． ， ；
Ⅲ． ， ， ；
Ⅳ． ， ， ．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的 为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子
集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算 来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义
一种新运算*，规则如下： ，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e， 分别是G，H的单位元， ， ， 分别是a在群G，群H中的
逆元．猜想e， 之间的关系以及 ， 之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
6．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做
倍角三角形.如图， 的面积为 ，三个内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)证明： 是倍角三角形；
(2)若 ，当 取最大值时，求 .
7．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）定义 三边长分别为a，b，c，则称三元无序数组 为三角
形数．记D为三角形数的全集，即 ．
(1)证明：“ ”是“ ”的充分不必要条件；
(2)若锐角 内接于圆O，且 ，设 ．
①若 ，求 ；
②证明： ．8．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系 中，重新定义两点 之间的“距
离”为 ，我们把到两定点 的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设 ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 的左顶点为 ，过 作直线交
于 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
9．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 ，定义数列 如下：如果
， ，则 ．
(1)求 和 （用 表示）；
(2)令 ，证明： ；
(3)若 ，证明：对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．
10．（2024·天津·一模）意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么
项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函
数 的图象，定义双曲正弦函数 ，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和
双曲余弦函数有如下性质①平方关系： ，②倍元关系： .
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
(2)若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围：
(3)（i）证明：当 时， ；（ii）证明： .
11．（2024·高三·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法.已知函数
在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足： ， ，
，….又函数 ，其中 .
(1)求实数 ， ， 的值；
(2)若函数 的图象与 轴交于 ， 两点， ，且 恒成立，求实数 的取值
范围.
12．（2024·安徽合肥·一模）“ 数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设 是非零实数，对任意 ，
定义“ 数” 利用“ 数”可定义“ 阶乘” 和
“ 组合数”，即对任意 ，
(1)计算： ；
(2)证明：对于任意 ，
(3)证明：对于任意 ，
13．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数 的定义域、值域都是有限集合 ，
，则定义 为集合A上的有限完整函数.已知 是定义在有限集合 上的有限完整函数.
(1)求 的最大值；
(2)当 时，均有 ，求满足条件的 的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数 ，定义“闭环函数”如下： ，对 ，且 ，
.若 ， ， ，则称 为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭
环函数 既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示 的函数关系）.
14．（2024·福建漳州·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之间相
互独立．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．
(1)记发送信号变量为 ，接收信号变量为 ，且满足 ， ，
，求 ；
(2)当发送信号0时，接收为0的概率为 ，定义随机变量 的“有效值”为
（其中 是 的所有可能的取值， ），发送信号“000”的接收
信号为“ ”，记 为 ， ， 三个数字之和，求 的“有效值”．（ ， ）
15．（2024·高三·北京通州·期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商
正好是整数而没有余数，我们就称 为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为
.
(1)当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
(2)当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
(3)记 ，求证： .16．（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若 是 的导数， 是 的导数，则曲线 在
点 处的曲率 ；已知函数 ， ，曲
线 在点 处的曲率为 ；
(1)求实数a的值；
(2)对任意 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程 在区间 内的根为 ，…比较 与 的大小，
并证明．
17．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）设 是平面直角坐标系 上的两点，现定义由点
到点 的一种折线距离 为 .对于平面 上给定的不同的两点
.
(1)若点 是平面 上的点，试证明： ；
(2)若 两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面 上是否存在点 ，同时满足：①
；② ？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明
理由．
18．（2024·北京石景山·一模）已知集合 ，对于
， ，定义 与 之间的距离为 ．
(1)已知 ，写出所有的 ，使得 ；
(2)已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；(3)设集合 ， 中有 个元素，若 中任意两个元素间的距离的最小值为 ，求证： ．
19．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括
向量和矩阵.对于平面向量 ，其模定义为 .类似地，对于 行 列的矩阵
，其模可由向量模拓展为 （其中 为矩阵中第 行第 列的数，
为求和符号），记作 ，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵
，其矩阵模 .弗罗贝尼乌斯范数在机器学
习等前沿领域有重要的应用.
(1) ， ，矩阵 ，求使 的 的最小值.
(2) ， ，，矩阵
求 .
(3)矩阵 ，证明： ， ， .20．（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， ，…， ．（注： ，
， ， ，…； 为 的导数）已知
在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较 与 的大小；
(3)若 在 上存在极值，求 的取值范围．
21．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .
若 ，则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集 ，求证： ；
(3)当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的最大数与最小数.
22．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，
直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；(2)若点 不在直线族： 的任意一条直线上，求 的取值范围和
直线族 的包络曲线 ；
(3)在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点 ，若 三
点不共线，探究 是否成立？请说明理由.
23．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为 ，
若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量
的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变
量 的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的 9条棱中任取2条，定义随机变量 的值
为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据
）
(2)现单独研究棱长 ，记 （ 且 ），其展开式中含 项的系数为 ，
含 项的系数为 .
①若 ，对 成立，求实数 ， ， 的值；
②对①中的实数 ， ， 用数字归纳法证明：对任意 且 ， 都成立.
