文档文本内容
第15 讲 数列的概念
目 录
题型01 根据递推关系求通项
题型02 利用an 与Sn 的关系求通项
题型03 数列的单调性及其应用
题型04 求数列中的最大（小）项
题型05 数列的周期性及其应用
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 根据递推关系求通项
【典例1】（25-26·河南）（多选）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则
往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第
格有
种情况，数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由题意得出递推公式
，逐个代入依次求解出.
【详解】根据题意，跳到第
格有两种可能，一种是从第
格跳过来，有
种方式，
另一种是从第
格跳过来，有
种方式，所以
．
因为
所以
.
所以
，
，
故选：BCD.
【变式1】数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是
．又
，则
．
【答案】 n，78
【分析】找规律得到
，并根据
得到
.
【详解】由已知可得，
，
，
，
，
所以递推公式可以写成
．
所以
．
故答案为：
，78
题型2 利用an 与Sn 的关系求通项
题型点拨
数列的通项an与前n 项和Sn的关系
先由
an= Sn−Sn−1(n≥2)
化简得到an= f (n)，再计算a1= S1。若a1= f (1)，则可将通项公式合并；否则应写成分段形式。
【典例1】已知
为数列
的前
项和，若
，则
等于（ ）
A．0
B．1012
C．
D．2025
【答案】B
【分析】根据
计算得
，再应用前n 项和计算求解.
【详解】因为
，当
，
两式作差得
，
所以
，所以
，又因为
，
因为
，当
时，所以
，所以
，
所以
.
故选：B.
【变式1】已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【分析】
，当
时，
，两式相减即可得解，
注意验证
是否成立即可.
【详解】由题意
，
当
时，
，两式相减得，
，解得
，
在
中，令
，可得
，故
也满足
，
综上所述，所求即为
.
故答案为：
.
题型3 数列的单调性及其应用
题型点拨
判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：
数列
⇔
是递增数列；
数列
⇔
是递减数列；
数列
⇔
是常数列．
（2）作商比较法：
ⅰ.当
时，则
数列
⇔
是递增数列；
数列
⇔
是递减数列；
数列
⇔
是常数列；
第二种：当 a_n<0 时，则 a_(n+1)/a_n>1
⇔数列 {a_n} 是递减数列；a_(n+1)/a_n<1
⇔数列 {a_n} 是
递增数列；
数列
⇔
是常数列．
（3）结合相应函数的图象直观判断：
写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到
数列中去．
【典例1】（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，由于
，故数列
是递增数列；
对于B，由于
，故数列
是递增数列；
对于C，由于
，
，故数列
不是递增数列；
对于D，由于
，
当
时，
，
，即
，
又
，所以数列
是递增数列．
故选：ABD.
【变式1】设数列
的通项公式为
，若数列
是递增数列，则实数
的取值范围为
【答案】
【分析】根据数列的单调性，得到
，从而得到
对于任意的
恒成立．求出
，得到
.
【详解】由数列
是递增数列，可得
，对于任意的
恒成立，
即
，即
，
即
对于任意的
恒成立．
因为
单调递减，所以
，所以
．
故答案为：
题型4 求数列中的最大（小）项
题型点拨
求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
(2)相邻项比较法需要先明确全局单调结构。
当已经证明数列在第n 项之前递增、之后递减时，可由
an≥an−1，an≥an+1 判断an为最大项。
类似地，当数列先递减后递增时，可利用相邻项关系判断最小项。
【典例1】（25-26·江苏苏州）数列
的通项公式为
满足：
，则数列
的
最大项是第（ ）项．
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【分析】设数列
的最大项为
,由
求解.
【详解】设数列
的最大项为
.则
，即
，
化简得
，解得
，
所以
，又
，所以
，
即数列
的最大项是第
项.
故选：A.
【变式1】（25-26·辽宁大连）已知数列
的通项公式
，则
最小的项是第 项．
【答案】
【分析】分离常数，然后利用数列单调性求最小项.
【详解】
，
当
时，
，
当
时，
，要取最小的项需在此范围内取到，
又当
时，
为单调递减数列，
所以当
时，
最小.
故答案为：
.
题型5 数列的周期性及其应用
题型点拨
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【典例1】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上
述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又
称“角谷猜想”）．已知数列
满足
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解.
【详解】由题意可得
，
，
所以数列
是以3 为周期的数列，又
，所以
.
故选：B
【变式1】已知数列
的首项
，
，
，记
为数列
的前
项之和，则
的值是 ．
【答案】
【分析】由已知递推式求出数列的前
项，结合
的周期，确定数列
的周期为
，根据周期求
和.
【详解】因为
，
所以
，
，
，
，
，
，
又
的函数值取值的周期为
，所以
的周期为
.
所以
.
故答案为：
强化训练（共10 题）
1．已知数列
的前n 项的积为
，且
，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】根据题设可得
，
时
，进而判断是否存在最值项.
【详解】当
时
，当
时
，
所以
，而
，
故
为最小项，
为最大项．
故选：A
2．已知数列
满足
若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据递推关系分别计算出部分对应的项，然后可知该数列的周期性进行判断即可.
【详解】逐步计算，可得
，
，
，
，
，
…
这说明数列
是周期数列，
.而
，所以
.
故选：A.
3．已知数列
的前
项和是
，若
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据题设可得
，令
得
，再令
即可得目标项.
【详解】当
，则
，故
，
当
，则
，
当
，则
.
故选：D
4．（25-26·四川成都）已知数列
的通项公式为
，若
是单调递增数列，则
实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据数列单调递增的性质得到
恒成立，进而求出的取值范围.
【详解】因为
是单调递增数列，所以
对任意
恒成立.
已知
，则
.
所以
.
化简不等式
对
进行化简：
，
则
，移项可得
.
因为
对任意
恒成立，即
要小于
的最小值.
因为
，那么
随着
的增大而增大，
当
时，
取得最小值，最小值为
，所以
，解得
.
故选：D.
5．已知数列
满足
，且
，则
的前50 项的和为（ ）
A．36
B．39
C．41
D．45
【答案】B
【分析】根据已知有
，由
，则
，
，
，依次类推有
，再
应用分组求和即可得.
【详解】当
且为奇数，
，
当
且为偶数，
，则
，
而
，则
，
，
，依次类推有
，
所以
.
故选：B
6．（25-26·广东揭阳）（多选）记
为正项数列
的前
项和，且
，则（ ）
A．
B．
C．数列
单调递增
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A,B，直接代入即可计算；对于选项C,D，可根据
进行化简判断.
【详解】对于选项A：
，化简得：
.
所以
，选项A 正确；
对于选项B：
，化简得：
.
因为
，数列
为正项数列，所以
.
所以
，故B 错误；
对于选项CD：
.
，
所以
，化简
，
若
，则
，即
或
，
则
或
（舍去），
因为
，所以
，所以
，
，
所以
为递增数列，所以
，
所以
，
所以
，CD 正确.
故选：ACD.
7．（25-26·四川成都）（多选）已知数列
的通项公式为
，前
项的乘积为
，则
下列说法正确的是（ ）
A．在数列
中，
是最大项
B．在数列
中，
是最小项
C．数列
单调递减
D．使
取得最小值的
为 9
【答案】ABD
【分析】判断数列
的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B 选项，再根据项与1 的大小关
系判断
的单调性及最值判断C，D 选项即可.
【详解】
，∴当
时
随着
的增大越来越小且小于，
当
时
随着
的增大越来越小且大于，则前
项中最大项为
，最小项为
，
故A，B 选项正确；
当
时，
当
时，
,所以数列
不是单调递减，C 选项错误；
前 n 项积
取得最小值时
为9，故D 选项正确.
故选：ABD.
8．已知数列
的前
项和
满足
，则其通项公式
．
【答案】
【分析】应用
计算得出通项公式即可求解.
【详解】数列
的前
项和
满足
，
当
时，
，
当
时，
，满足上式，
则
．
故答案为：
.
9．（25-26·广东深圳）已知数列
满足
，则
．
【答案】
【分析】根据
可求
.
【详解】
时，
，与原式相减得
，则
，
经检验，
时也成立，
故
，即
．
故答案为：
.
10．（25-26·甘肃兰州）数列
的前n 项和
，数列
满足
，则数列
的
最大项为第 项.
【答案】7
【分析】利用
时，
求得
，从而得出
，再设
的第
项最大
，
解不等式组
可得．
【详解】因为
，当
时，
，
时，
，
经检验
也符合，
所以
，
则
，
假设
的第
项最大
，
则
，即
，解得
,
又
，所以
.
故答案为：7.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·辽宁丹东）已知数列
，则该数列的第99 项为（ ）
A．
B．197
C．
D．199
【答案】B
【分析】通过观察数列的规律，写出其通项公式，根据通项公式求项即可.
【详解】通过观察，该数列的通项公式为
，
所以
.
故选：B.
2．（25-26·广东清远）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石
子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的
称为三角形数，第二行的
称为正方形数.
则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5 项为（ ）
A．22
B．26
C．35
D．51
【答案】C
【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为
求解.
【详解】解：如图，
称为五边形数，
从第二项起，后项与前项的差依次为
，
所以五边形数的第5 项为
，
故选：C.
3．（25-26·北京）在数列
中，
，
（
，
），则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】列出数列的前几项，即可得到
是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得.
【详解】因为
，
（
，
），
所以
，
，
，
，
所以
是以为周期的周期数列，则
.
故选：A
4．（25-26·四川绵阳）（多选）下列通项公式中，数列
是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据数列单调性定义，验证的
正负即可.
【详解】
时，比较
与
的大小，
对于A，
，
所以数列
是递增数列，A 正确；
对于B，
，
所以数列
是递减数列，B 错误；
对于C，
，
所以数列
是递减数列，C 错误；
对于D，
，
所以数列
是递增数列，D 正确.
故选：AD
5．（25-26·黑龙江绥化）已知
为数列
的前n 项和，
，
，则
．
【答案】2024
【分析】由递推关系得到
，再由
得数列
中所有项都为可得答案．
【详解】当
时，由
得
，
两式相减得
，即
，
因为
，所以由
，得
，
由
，得
，
所以数列
中所有项都为，
则
.
故答案为：
.
