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第3 讲 空间向量中的探索性及最值（范围）问题
目 录
题型01 平行与垂直中的探索性问题
题型02 距离中的探索性问题
题型03 线面角的最值与探索
题型04 二面角的最值与探索
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 平行与垂直中的探索性问题
题型点拨
利用空间向量证明平行关系的方法和步骤
1、要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另
一条直线上.
2、要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与
平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内.
3、要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不
在另一个平面内(也可转化为证明线面平行、线线平行).
【典例1】（25-26·江苏南京）如图，在正四棱锥
中，各棱长均为
，
为侧棱
上的点，
是
中点.
(1)若
是
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
【典例2】（25-26·浙江台州）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是直角梯形，
其中
，
，
，
，
为棱
上的点，且
，点
在棱
上（不与点
，
重合）.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值；
(3)直线
能与平面
垂直吗？若能，求出
的值；若不能，请说明理由.
题型2 距离中的探索性问题
【典例1】（25-26·广东梅州）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
为棱
的中点．
(1)求平面
与平面
的夹角余弦值；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存在，
说明理由．
【变式1】（25-26·福建厦门）如图，在四棱锥
中，
，底面
为直角梯形，
，
，
，
为线段
上一点.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若
，
，异面直线
与
成
角，二面角
的余弦值为
，在线段
上是
否存在点
，使得点
到直线
的距离为
，若存在请指出点
的位置，若不存在请说明理由.
题型3 线面角的最值与探索
【典例1】（25-26·福建泉州）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)过直线
与线段
的中点E 的平面
与线段
交于点F.
（i）试确定F 点位置；
（ii）若H 点为线段
上一动点，求直线
与平面
所成角正弦值的最小值.
【典例2】（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，
平面
，
为边CD 的中点，且
.
(1)求线段
的长；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上（不含端点）是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求
线段
的长；若不存在，请说明理由.
题型4 二面角的最值与探索
【典例1】（25-26·北京海淀）如图，四棱锥
中，
平面
，过
的平面分别与棱
交于点M，N．
(1)求证：
;
(2)记二面角
的大小为
，求
的最大值．
【典例2】（25-26·广东深圳）如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为
底面圆
的内接正三角形，点
在母线
上，且
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，确定点
的
位置，若不存在，请说明理由
强化训练（共10 题）
1．（25-26·甘肃白银）如图，在正方体
中，
是
的中点，
是
的中点.
(1)在平面
内确定一点
，使
平面
；
(2)证明：棱
上不存在点
，使平面
平面
.
2．（2025·贵州黔西·一模）如图所示为直四棱柱
，
，
分别是线段
的中点.
(1)证明:
平面
；
(2)求直线BC 与平面
所成角的正弦值，并判断线段BC 上是否存在点
，使得
平面
，若存
在，求出BP 的值，若不存在，请说明理由.
3．（25-26·山东临沂）如图1，在边长为2 的菱形
中，
于点
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．
(1)求证：
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使平面
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
4．（25-26·北京朝阳）在如图所示的多面体中，
且
，
，
且
，
且
，
平面ABCD，
，M，N 分别为棱
的中点.
（I）求点F 到直线EC 的距离；
（II）求平面BED 与平面EDC 夹角的余弦值；
（III）在棱GF 上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平面EDC？若存在.指出点Q 的位置，若不存在，说明
理由.
5．（25-26·江苏扬州）如图，等边三角形ABC 的边长为，
，
分别为边AB，AC 的中点，
为线段
的中点，现将三角形
沿直线
折起，使得二面角
为直二面角．
(1)求线段
的长度；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)棱
上是否存在异于端点的点
，使得点
到平面
的距离为
．若存在，请指出点
的位
置；若不存在，请说明理由．
6．（2025·山东青岛·三模）如图，已知底面
是正三角形，
平面
，
平面
，
．
(1)若
，
是
中点，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
7．（25-26·四川德阳）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
为棱
上
的动点.
(1)若
为
中点，证明：
平面
；
(2)若
，在线段
上是否存在点
使得面
与面
夹角余弦值为
，若存
在，求出点
位置，若不存在，说明理由.
8．（25-26·辽宁大连）如图，在三棱柱
，平面
平面
，四边形
为矩形，
，且
.
(1)求二面角
的正弦值
(2)设
为棱
上的一个动点（包含端点），直线
与平面
所成角为
，求
的范围.
9．（25-26·广东深圳）如图，在四棱锥
中，
，且
，底面
是边长为
的菱形，
.
(1)证明：面
面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，点
为棱
上的动点，求平面
与平面
夹角
的正弦值的最小值.
10．（25-26·云南）如图，直四棱柱
的底面
是菱形，
，
为锐
角，
分别是
的中点．
(1)证明：
平面
．
(2)求二面角
的余弦值的最大值．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·上海）已知向量
，
，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底
是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
2．（25-26·江苏宿迁）已知¿{a}=(¿{3},2,3)，空间向量¿{e}为单位向量，⟨¿{a},¿{e}⟩=¿{2¿}{3}，
则空间向量¿{a}在向量¿{e}方向上的投影向量为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．已知
，
，
，
，
，则直线
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26·安徽）如图，已知在长方体ABCD - A _ 1B _ 1C _ 1 D _ 1中，AA _ 1=2 AB =2, AD =3，
点E在棱BC上，且¿{BE }=2¿{EC }，则直线A _ 1 E与直线C _ 1 D _ 1所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26·湖北）（多选）如图，在棱长均为2 的平行六面体
中，底面
是正方形，
且
，下列选项正确的是（ ）
A．
长为
B．异面直线
与
所成角的余弦值为
C．
D．
