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知识点3：运动学图像问题
【知识思维方法技巧】
（1）只有直线运动才有x－t 图象、v－t 图象；v－t 图象中不含出发点信息，抓住斜率、截
距和交点的物理意义及v－t 图象面积意义。由微元ΔS＝ΔyΔx，可判断图象所围“面积”
的物理意义。
（2）运动学图像问题解题的方法：
①函数斜率面积法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数表达
式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的图像等要注意这种转
化。
②函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的特
殊数据代入函数表达式进行计算。
（3）解图像问题时的关键：明确图像的含义，将物体的运动图像转化为物体的运动模型。
考点一：运动学图像的应用问题
题型一：常规运动学图像的应用问题
【典例1 拔尖题】如图是小明设计的飞船降落方案的v－t 图像。当飞船从高度H＝60 km
处以速度v0＝500 m/s 竖直向下运动时，控制系统打开降落伞，飞船开始减速。经过时间
2t0(t0＝100 s)，飞船开始做匀速运动，其收尾速度为0.1v0。当t＝3t0时，飞船的反推发动机
点火，飞船开始做匀减速直线运动，再经过时间t0至地面时速度恰好为零。下列判断正确
的是( )
A. 从t＝3t0至4t0期间，飞船的加速度大小是5 m/s2，方向竖直向上
B. 从t＝3t0至4t0期间，飞船下降了10 km
C. 从t＝0 至2t0期间，飞船的平均速度大小是275 m/s
D. 从t＝0 至2t0期间，飞船下降了52.5 km
【典例1 拔尖题】【答案】D
【解析】从t＝3t0至4t0期间，飞船的加速度为a＝＝－ m/s2＝－0.5 m/s2，方向竖直向上，
故A 错误；在速度－时间图像中，“面积”代表位移，可得从t＝3t0至4t0期间，飞船下降
了x＝×50×100 m＝2 500 m，故B 错误；从t＝0 至2t0 期间，飞船下降的距离为h＝H－
·0.1v0＝60 000 m－×0.1×500 m＝52 500 m，平均速度为v＝＝ m/s＝262.5 m/s，故C 错误，
D 正确。
【典例1 拔尖题对应练习】如图所示，两条图线是驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急
刹车时的v－t 图像。驾驶员的反应时间为0.5 s(从发现问题到制动的时间)，下列说法正确
的是( )
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A.从t＝0 到停下，汽车在干燥路面的平均速度较小
B.从t＝0 到停下，汽车在湿滑路面的位移是干燥路面的2 倍
C.从t＝0.5 s 到停下，汽车在湿滑路面和干燥路面的平均速度大小相等
D.从t＝0.5 s 到停下，汽车在湿滑路面和干燥路面的加速度之比为1∶2
【典例1 拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】据v－t 图像与时间轴所围的面积表示位移知从t＝0 到停下，汽车在干燥路面通过
的位移为x1＝×40 m＝60 m，平均速度为v1＝＝ m/s＝24 m/s，汽车在湿滑路面通过的位移
为x2＝×40 m＝110 m，平均速度为v2＝＝ m/s＝22 m/s，则＝≈1.8，A、B 错误；从t＝0.5
s 到停下，汽车做匀减速直线运动，根据平均速度公式v＝可知汽车在湿滑路面和干燥路面
的平均速度相等，C 正确；根据v－t 图像的斜率大小表示加速度大小，知汽车在湿滑路面
减速的加速度大小为a1＝ m/s2＝ m/s2，汽车在干燥路面减速的加速度大小为a2＝ m/s2＝
20 m/s2，则a1∶a2＝4 9∶，故D 错误。
题型二：非常规运动学图像的应用问题
【知识思维方法技巧】
非常规运动学图像问题解题的方法：
（1）函数斜率面积法：已知运动性质时，根据其运动学公式确定横、纵坐标的函数关系，
从而确定图象中斜率、截距、“面积”等的物理意义．由微元ΔS＝ΔyΔx，可判断图象所
围“面积”的物理意义。
（2）函数数据代入法：不知运动性质时，根据图象确定横、纵坐标的函数关系，再转化为
常见形式，从而确定运动性质，确定图象中斜率、截距、“面积”的物理意义。或者把图
像中的特殊数据代入函数表达式进行计算。
类型一：－t 图像的应用问题
【知识思维方法技巧】
－t 图像的物理意义：
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知－t 图象的斜率为a，纵轴截距为v0。
【典例2a 拔尖题】（多选）某质点做匀变速直线运动，运动时间为t，位移为x，该质点
的－t 图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的加速度大小为 B．t＝0 时，质点的初速度大小为c
C．t＝0 到t＝b 这段时间质点的平均速度为0 D．t＝0 到t＝b 这段时间质点的路程为
【典例2a 拔尖题】【答案】ABC
【解析】由x＝v0t＋at2得＝v0＋at，可知－t 图象的斜率为a，根据数学知识可得：a＝－，
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加速度大小为，初速度为v0＝c，故A、B 正确；从t＝0 到t＝b 这段时间，质点的位移为x
＝v0t＋at2＝cb＋·(－)b2＝0，则质点的平均速度为零，故C 正确；因为从t＝0 到t＝b 这段
时间内质点的位移为零，即质点做往返运动，根据运动的对称性可知整个过程中的路程为
从t＝0 到t＝内位移大小的2 倍，所以s＝2[c·＋·(－)·()2]＝，D 错误.
【典例2a 拔尖题对应练习】港珠澳大桥正式通车运营前，一辆汽车由引桥驶上大桥，开始
加速通过大桥，汽车加速的过程可看作是匀变速直线运动，其运动的－t 图像如图所示。下
列判断正确的是( )
A．阴影部分的面积表示～t0时间内汽车通过的位移
B．汽车运动的初速度大小为b
C．汽车运动的加速度大小为
D．0～t0时间内，汽车的平均速度大小为2b
【典例2a 拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】由图像可知，某一时刻的纵坐标表示从零时刻到该时刻汽车的平均速度，故图像
与横轴所围面积没有意义，不表示汽车通过的位移，A 错误；t0时刻对应的纵坐标为3b，
故0～t0时间内，汽车的平均速度大小为3b，D 错误；对x＝v0t＋at2整理得＝v0＋at，故－t
图像中直线的斜率k＝，汽车运动的初速度大小v0＝b，可得汽车运动的加速度大小为，B
正确，C 错误。
类型二：v2－x 图像的应用问题
【知识思维方法技巧】
v2－x 图像的物理意义：
（1）由v2－v0
2＝2ax 可知v2＝v0
2＋2ax，故v2－x 图象斜率为2a，纵轴截距为v0
2。
（2）由v2－v＝2ax 得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v0
2。
【典例2b 拔尖题】a、b 两物体从同一地点同时出发，沿相同方向运动。图甲是a 做匀加速
直线运动的xt 图像，图乙是b 做匀减速直线运动的xv2图像。则下列说法正确的是( )
A. t＝1.25 s 时两物体速度相同
B. 前2 s 内两物体间距离一直在变大
C. t＝0 时刻，a 的速度大小为2 m/s，b 的速度大小为12.5 m/s
D. a 的加速度大小为4 m/s2，b 的加速度大小为8 m/s2
【典例2b 拔尖题】【答案】A
【解析】xa＝v0t＋a1t2，将题图甲中的(1,2)，(2,8)代入解得v0＝0，a1＝4 m/s2，则va＝a1t＝
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4t(m/s)，题图乙中b 做初速度为10 m/s 的匀减速直线运动，根据v2－v0
2＝2a2xb，代入题图
乙中的(0,12.5)解得a2＝－4 m/s2，则vb＝v0＋a2t＝10－4t(m/s)，由此分析：t＝1.25 s 时va＝
5 m/s，vb＝5 m/s，故A 正确；a 做初速度为零的匀加速直线运动，b 做初速度为10 m/s 的
匀减速直线运动，因此一开始b 在a 前，va<vb，a、b 间距离逐渐变大，当va＝vb时，即t＝
1.25 s 时a、b 间距离达到最大，之后va>vb，a、b 间距离将变小，故B 错误；t＝0 时刻，a
的速度为0，b 的速度大小为10 m/s，故C 错误；由以上分析可知a 的加速度大小为4
m/s2，b 的加速度大小也为4 m/s2，故D 错误。
【典例2b 拔尖题对应练习】如图甲为某运动会上某队列的行走方阵示意图，AB 与CD 垂
直操场跑道，某时刻该队伍前排刚到AB 处，正在D 点的工作人员准备沿DC 方向从静止
开始穿到对面，已知工作人员的速度v1的平方v 与人离D 点的距离x 变化的关系如图乙所
示，AB 与CD 相距3 m，队列前进的速度v2为1 m/s，操场宽3 m，则以下说法正确的是(
)
A. 该工作人员会在到达C 点之前影响到队伍前进
B. 该工作人员穿过操场用时2 s
C. 该工作人员的加速度大小为 m/s2
D. 该工作人员相对队伍最大的速度为3 m/s
【典例2b 拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】根据v2＝2ax，结合v1
2－x 图像可知2a＝
m/s2＝m/s2，可得工作人员的加速度
大小为a＝m/s2，工作人员穿过DC 段的时间为t＝
＝
s＝3 s，此时队伍的位移s
＝v2t＝3 m，即此时队伍恰好到达DC 位置，工作人员不影响队伍前进，选项A、B 错误，
C 正确；该工作人员对地的最大速度为v 人地＝2 m/s，队伍对地的速度v 队地＝1 m/s，工作人
员相对队伍最大的速度为v 相对＝
m/s＝
m/s，选项D 错误．
类型三：a－t 图像的应用问题
【知识思维方法技巧】
a－t 图像的物理意义：
由Δv＝aΔt 可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，在时间轴上方为正，在时间
轴下方为负。
【典例2c 拔尖题】（多选）宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用
到急动度(jerk)的概念．加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相
同．一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图，下列说法正确的是(
)
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A．t＝1 s 时急动度是0.5 m/s3 B．t＝3 s 时的急动度和t＝5 s 时的急动度相同
C．2～4 s 内的质点做减速运动 D．t＝4 s 时质点速度方向改变
【典例2c 拔尖题】【答案】AB
【解析】t＝1 s 时急动度是＝ m/s3＝0.5 m/s3，故A 正确；加速度对时间的变化率称为急
动度，等于at 图象的斜率，则知t＝3 s 时的急动度和t＝5 s 时的急动度等大同向，故B 正
确；根据at 图象与t 轴所围的面积表示速度的变化量知，2～4 s 内的质点速度增大，故C
错误；根据at 图象与t 轴所围的面积表示速度的变化量，知0～6 s 内质点的速度均为正，
说明质点速度方向不变，故D 错误．
【典例2c 拔尖题对应练习】汽车沿平直公路行驶，其运动图像如图所示，下列说法正确的
是( )
A．若Y 表示位移(单位：m)，则汽车在前2 s 内的平均速度大小为4 m/s
B．若Y 表示速度(单位：m/s)，则汽车在前2 s 的位移大小为4 m
C．若Y 表示速度(单位：m/s)，则汽车的加速度大小为4 m/s2
D．若Y 表示加速度(单位：m/s2)，则汽车在2 s 末的速度大小为4 m/s
【典例2c 拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】若Y 表示位移(单位：m)，则汽车做匀速直线运动，根据图像可知平均速度为2
m/s，A 错误；若Y 表示速度(单位：m/s)，则汽车做匀加速直线运动，图像所围的面积表
示位移，前2 s 的位移为4 m，B 正确；由v－t 图像的斜率表示加速度，可得加速度为2
m/s2，C 错误；若Y 表示加速度(单位：m/s2)，图像所围的面积表示速度的变化，则汽车在
2 s 内的速度变化了4 m/s，因为不知初速度，所以不能确定末速度，D 错误。
类型四：a－x 图像的应用问题
【知识思维方法技巧】
a－x 图象的物理意义：
由v2－v＝2ax，静止运动的有v2等于速度a 与位移x 关系图线与坐标轴围成的面积的2 倍。
【典例2d 拔尖题】一物体由静止开始运动，其加速度a 与位移x 关系图线如图所示．下列
说法正确的是( )
A．物体最终静止 B．物体的最大速度为
C．物体的最大速度为 D．物体的最大速度为
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【典例2d 拔尖题】【答案】C
【解析】物体运动过程中任取一小段，对这一小段v2－v＝2aΔx，一物体由静止开始运动，
将表达式对位移累加，可得v2等于速度a 与位移x 关系图线与坐标轴围成的面积的2 倍，
则v2＝2(a0x0＋a0x0)，解得物体的最大速度v＝，故C 项正确．
【典例2d 拔尖题对应练习】一物体的运动图像如图所示，横、纵截距分别为n 和m，
在图像所示的运动过程中，下列说法正确的是( )
A. 若该图像为x－t 图像，则物体速度一直减小
B. 若该图像为－t 图像，物体的加速度大小为
C. 若该图像为a－t 图像，且物体的初速度为零，则物体的最大速度为mn
D. 若该图像为a－x 图像，且物体的初速度为零，则物体的最大速度为
【典例2d 拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】若该图为x－t 图像，其斜率表示速度，则物体速度保持不变，故A 错误；若
该图像为－t 图像，则根据＝v0＋at 可知斜率表示a，则有a＝
＝－
，物体
的加速度大小为|a|＝
＝
，故B 错误；若该图为a－t 图像且物体的初速度为零，
则图线与时间轴所围的面积表示速度变化量，所以物体的最大速度为vmax＝Δv＝
，
故C 错误；若该图为a－x 图像且物体的初速度为零，根据v2＝2ax，变形得ax＝
，
图线与x 轴所围的面积表示速度平方的一半，x＝n 时速度最大，有·vmax′2＝
，所以
物体的最大速度为vmax＝
，故D 正确．
类型五：－x 图像的应用问题
【典例2e 拔尖题】一质点由静止开始沿直线运动，通过传感器描绘出关于x 的函数图象如
图所示，下列说法正确的是( )
A．质点做匀减速直线运动
B．－x 图象斜率等于质点运动的加速度
C．四边形AA′B′B 的面积可表示质点从O 到C′所用的时间
D．四边形BB′C′C 的面积可表示质点从C 到C′所用的时间
【典例2e 拔尖题】【答案】D
【解析】由题中－x 图象可知，与x 成正比，即vx＝常数，质点的速度随位移的增大而减
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小，因此质点做减速直线运动，但不是匀减速直线运动，又因为图象的斜率k＝，显然不
等于质点的加速度，选项A、B 错误；由于三角形OBC 的面积S1＝OC·BC＝，表示质点从
O 到C 所用的时间，同理，质点从O 到C′所用的时间可由S2＝表示，所以四边形BB′C′C
的面积可表示质点从C 到C′所用的时间，选项C 错误，D 正确。
类型六：x－v 图像的应用问题
【典例2f 拔尖题】一物体做匀加速直线运动，从某位置开始通过传感器收集位移和速度等
数据信息，然后输入计算机自动生成了物体运动的xv 图像，如图所示．以下说法正确的是
( )
A．物体运动的初速度为1 m/s
B．物体运动的加速度为2 m/s2
C．物体速度由2 m/s 增加到4 m/s 的过程中，物体的位移大小为1 m
D．物体速度由2 m/s 增加到4 m/s 的过程中，物体的运动时间为2 s
【典例2f 拔尖题】【答案】B
【解析】物体做匀加速直线运动，则有v2－v＝2ax，由题图可知，当v＝0 时，x＝－1 m，
代入上式得：－v＝－2a，当x＝0 时，v＝2 m/s，代入上式得：4－v＝0，解得：v0＝2
m/s，a＝2 m/s2，故A 错误，B 正确；物体速度由2 m/s 增加到4 m/s 的过程中，物体的
位移大小为x＝＝ m＝3 m，故C 错误；物体速度由2 m/s 增加到4 m/s 的过程中，物体
的运动时间为t＝＝ s＝1 s，故D 错误．
类型七：x－y 图像的应用问题
【知识思维方法技巧】
根据x－y 图象分析物体运动规律的技巧：
①位置坐标（x—y)图象表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动的路线，在坐标
图上能表示出运动物体运动的位移。
②位置坐标(xy)图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，
因为不知道时间关系．
【典例2g 拔尖题】（多选）图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，下
列说法正确的是( )
A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等
D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
【典例2g 拔尖题】【答案】AB
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【解析】该图既不是运动物体的位移—时间图象，也不是速度—时间图象，而是表示物体
位置的坐标图，图线表示物体的实际运动的路线．由此可以看出，甲、丙两个小分队的运
动轨迹为曲线，乙小分队的运动轨迹为直线，三个小分队的位移一样，选项A、B 均正确．
三个小分队的运动时间不一定相等，选项C、D 均错误．
【典例2g 拔尖题对应练习】水平桌面上有两个玩具车A 和B，两者用一轻质细橡皮筋相
连，在橡皮筋上有一红色标记R.在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B 和R 分别位于直角
坐标系中的(0,2l)、(0，－l)和(0,0)点．已知A 从静止开始沿y 轴正向做加速度大小为a 的匀
加速运动，B 平行于x 轴朝x 轴正向匀速运动．在两车此后运动的过程中，标记R 在某时
刻通过点(l, l)．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B 运动速度的大小．
【典例2g 拔尖题对应练习】【答案】
【解析】设B 车的速度大小为v.如图，标记R 在时刻t 通过K(l，l)，此时A、B 的位置分别
为H、G.由运动学公式，H 的纵坐标yA、G 的横坐标xB分别为yA＝2l＋at2①xB＝vt ②
在刚开始运动时，标记R 到A 和B 的距离之比为2∶1，即OE∶OF＝2∶1，由于橡皮筋的
伸长是均匀的，在以后任一时刻R 到A 和B 的距离之比都为2∶1.因此，在时刻t 有
HK∶KG＝2∶1 ③由于△FGH∽△IGK，有HG∶KG＝xB∶(xB－l)④HG∶KG＝(yA＋l)∶2l
⑤
由③④⑤式得，xB＝l ⑥yA＝5l ⑦联立①②⑥⑦式得，v＝
考点二：运动图像间的相互转化问题
【知识思维方法技巧】
解决图像转换类问题的一般流程：
注意：应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度．
题型一：a－t 图像的转化问题
【典例1 拔尖题】一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关
系图像如图所示。下列图像正确的是( )
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【典例1 拔尖题】【答案】A
【解析】从a－t 图像知：0～1 s 内物体做加速度增大的加速运动，1～2 s 做加速度减小的
加速运动，2～3 s 做加速度增大的减速运动，3～4 s 做加速度减小的减速运动，A 正确；B
项速度最大时加速度不为零，与加速度图像第2 s 末加速度为零不符，B 错误；C、D 项速
度时间图像中直线部分，加速度大小不变，与a－t 图像中加速度变化不符，C、D 错误。
【典例1 拔尖题对应练习】某物体由静止开始做直线运动的加速度随时间变化的图像如图
所示．
（1）画出物体在0～80 s 内的v－t 图像；
（2）求物体在这80 s 内的位移大小．
【典例1 拔尖题对应练习】【答案】(1)见解析图 (2)700 m
【解析】(1)设t＝10 s、40 s、80 s 时刻的速度分别为v1、v2、v3，由题图知0～10 s 内物体
以加速度2 m/s2匀加速运动，由v1＝a1t1可得v1＝2×10 m/s＝20 m/s①由题图知10～40 s 内
物体做匀速运动，因此v2＝20 m/s②由题图知40～80 s 内物体以加速度1 m/s2做匀减速运
动，由v3＝v2－a3t3可得v3＝(20－1×40) m/s＝—20 m/s③根据①②③式，可画出物体在0～
80 s 内的v－t 图线，如图所示
(2)在v－t 图像中，图线与时间轴围成的面积等于物体的位移，由(1)问图可知，在这80 s 内
物体的位移大小为x＝
×20 m＝700 m.
考点三：运动图象的选择问题
【知识思维方法技巧】
运动图象的选择技巧：
依据某一物理过程，设计某一物理量随时间(或位移、高度、速度等)变化的几个图像或此
物理过程中某几个物理量随某一量的变化图像，从中判断其正误。
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【典例1 拔尖题】蹦床运动员朱雪莹在东京奥运会夺冠一跳如图所示。某段过程中，她从
某高度由静止下落，与网接触后，竖直向上弹离，不计空气阻力，运动员从离开网到运动
至最高点，以下图像可能正确的是( )
【典例1 拔尖题】【答案】B
【解析】运动员从离开网到运动至最高点的过程中，做加速度为g，方向向上的匀减速直
线运动，则x－t 图像为曲线，根据v＝v0－gt 可知，v－t 图像为倾斜的直线，根据v2－v
＝－2gx 可知v－x 图像为曲线，因加速度a＝g 不变，则a－x 图像为平行x 轴的直线，A、
C、D 错误，B 正确。
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