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第9 讲 圆的方程重点题型全归纳
目 录
题型01 圆中过定点问题
题型02 圆的方程中对称条件的突破
题型03 圆的轨迹方程与实际问题
题型04 直线与圆的位置关系及参数问题
题型05 切线方程、切线长、切点弦问题
题型06 直线与圆相交及弦长问题
题型07 圆与圆的位置关系及参数问题
题型08 公切线与公共弦问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 圆中过定点问题
【典例1】（25-26·河北张家口）点
是直线
上的动点，
是坐标原点，则以
为直径的圆
经过定点
【变式1】已知曲线
：
．
(1)当
取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论
为何值，曲线
必过两定点．
题型2 圆的方程中对称条件的突破
【典例1】（25-26·陕西榆林）已知圆
与圆
关于直线对称，
则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·四川成都）圆
关于直线
对称后的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 圆的轨迹方程与实际问题
题型点拨
1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法
（1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
（2）定义法：根据圆的定义列方程求解．
（3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
（4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
2、坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用
表示轨迹（曲线）上任意一点
的坐标；
（3）列式：列出关于 x，y 的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
【典例1】（25-26·海南）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及
其示意图如下，桥拱
是一段圆弧，桥的跨度
，拱高
，与
相距
的支柱
，则
（ ）
A．5
B．
C．15
D．
【变式1】（25-26·重庆）点
在圆
上运动，它与点
所连线段中点为
，则点
轨迹方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 直线与圆的位置关系及参数问题
题型点拨
直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过
定点的直线系．
【典例1】若圆
：
上有四个不同的点到直线
的距离为3，则的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·重庆）直线的方程为
，则圆
上到直线距离为1 的
点的个数为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．3
题型5 切线方程、切线长、切点弦问题
题型点拨
1、求圆的切线方程的三种方法
（1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率
不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程．
（2）代数法：设切线为y −y0=k( x−x0)时，只考虑了斜率存在的直线．因此利用判别式求出这些切
线后，还必须单独检验斜率不存在的直线x = x0是否为圆的切线．
（3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程．
2、与圆的切线相关的结论
（1）过圆
上一点
的圆的切线方程为
．
（2）过
上一点
的圆的切线方程为：
（3）过
外一点
作圆的两条切线，切点分别为
，
，则切点弦
所在直线方程为：
．
（4）过圆外一点
引圆
的两条切线，则过圆外一点
的切线长
为
【典例1】（25-26·河北廊坊）一条光线从点
射出，经直线
反射后，与圆
：
相切，则反射后光线所在直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．±3
D．
【变式1】（25-26·河南驻马店）过原点O 的直线l 与圆
交于A，B 两点，且点
．
(1)过点P 作圆C 的切线m，求切线m 的方程；
(2)求弦
的中点M 的轨迹方程．
题型6 直线与圆相交及弦长问题
题型点拨
弦长问题
（1）利用垂径定理：半径
，圆心到直线的距离
，弦长具有的关系
，这也是求弦长最
常用的方法．
（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算
弦长．
（3）利用弦长公式：设直线
，与圆的两交点
，将直线方程代入圆的方
程，消元后利用根与系数关系得弦长：
．
【典例1】（25-26·湖北孝感）已知线段
的端点B 的坐标是
，端点A 在圆
上运动，M
是线段
的中点.
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点
的直线l 与曲线C 交于P，Q 两点，并且被曲线
截得的弦长
为
，求直线l 的方程．
【变式1】在平面直角坐标系中，
，过点
作直线l 与圆
交于不同的两点
．
(1)若直线l 的斜率为1，求
；
(2)设直线
，
的斜率分别是
，
，探索
是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理
由．
题型7 圆与圆的位置关系及参数问题
题型点拨
（1）几何法：若两圆的半径分别为
，
，两圆连心线的长为d．
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d 与
，
的关系
（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
消元，一元二次方程
【典例1】（25-26·江苏苏州）若圆
上总存在两个点到点
的距离为3，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，
，圆
上有且仅有一个点
满足
，则
的取值可以为（ ）
A．1 或3
B．2
C．3
D．1 或5
题型8 公切线与公共弦问题
题型点拨
1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．
2、两圆公切线的条数
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4 条
3 条
2 条
1 条
无公切线
3、两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为
，由公切线的意义（两圆的公切线）可知，
两圆心到直线
的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于
和
的方程，解这个方程组得到
，
的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
【典例1】（25-26·河北秦皇岛）（多选）与圆
和圆
都相切的直
线方程可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（25-26·上海徐汇）两圆
和
的公共弦长为 ．
【变式1】（25-26·江苏泰州）已知圆
与圆
相交于
两点，若直线
的倾
斜角为
，则实数
的值为 ．
强化训练（共10 题）
1．（25-26·江苏宿迁）圆
上恰有3 个点到直线
的距离等于1，则实数
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知圆
和直线
.若圆
与圆
关于直线对称，则圆
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26·甘肃兰州）曲线
与直线
有两个交点，则实数k 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26·山东青岛）（多选）已知圆
，圆
，则下列说法正确
的是（ ）
A．点
在圆
内
B．圆
上的点到直线
的最小距离为1
C．圆
和圆
的公切线长为2
D．圆
和圆
的公共弦所在的直线方程为
5．（多选）若圆
：
和
：
（
）有且仅有一条公切线l，则下
列结论正确的是（ ）
A．圆
与圆
内切
B．
C．公切线l 的方程为
D．公切线l 的方程为
6．（25-26·上海）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（
且
）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设
，
，动点M 满足
，则动点M 的轨迹方程为 ．
7．过点
作圆
的两条切线
，切点分别为
，则直线
的方程为
．
8．在气象台
正西方向
处有一台风中心，它正向北偏东
方向移动，移动速度的大小为
，距台风中心
以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在
地受到影响的持续时间为 小时．
9．（25-26·江西抚州）已知
为原点，直线
与圆
交于
、
两点.
(1)若
，求
的值；
(2)若过
点作圆的两条切线，切点为
、
，求四边形
面积的最大值.
10．（25-26·贵州黔南）已知直线
恒过定点
，且以
为圆心的圆与
直线
相切.
(1)求圆
的一般方程；
(2)设过点
的直线与圆
交于
，
两点，判断
是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，
请说明理由.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·河南鹤壁）过点
可以作圆
的切线的条数为（ ）
A．
B．
C．
D．无数条
2．（25-26·北京密云）已知圆
和圆
，则它们的位置关系是
（ ）
A．外离
B．相切
C．内含
D．相交
3．（25-26·江苏）已知曲线
表示圆，且点
在曲线
外，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26·广东梅州）（多选）圆
与圆
有且只有一个公共点，则
的值
可能是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（25-26·河南信阳）圆
恒过的定点是 .
