文档文本内容
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第07 讲因式分解
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：13 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。它是整式乘法的逆过程。例如x2 −1 =
x + 1
x −1 ，是将多项式x2 −1 转化为两个整式x + 1 与x −1 的乘积形式。
需注意：
1.
对象是多项式。
2.
结果是整式乘积形式。
3.
要分解到每一个因式都不能再分解。
4.
公式中的字母可表示单项式或多项式。
5.
相同因式写成幂的形式。
6.
未指定范围时，一般在有理数范围内分解。
知识点2 因式分解的方法
1.
提公因式法
定义：若多项式各项有公因式，把公因式提到括号外，将多项式写成因式乘积形式。
公因式确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次幂。
比如对于多项式6x3y −9x2y2，系数6 和9 的最大公约数是3，相同字母x 最低次幂是x2 ，y 最低次幂是y ，
公因式就是3x2y 。
步骤：先找出公因式，再用原多项式除以公因式确定另一个因式。如6x3y?9x2y2 = 3x2y 2x?3y 。若多
项式第一项有负号，先提取负号。
2.
运用公式法
.
2 / 12
逆用平方差公式：a2 −b2 = a + b
a −b 。适用于二项式，且两项都能写成平方形式，符号相反。例
如4x2?9 = 2x 2?32 = 2x + 3
2x?3 。
逆用完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = a + b 2 ，a2?2ab + b2 = a?b 2 。用于三项式，其中两项是平方项，
另一项是这两个平方项底数乘积的2 倍。比如x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × 3 × x + 32 = x + 3 2 。
逆用立方和公式（拓展）：a3 + b3 = a + b
a2?ab + b2 。
逆用立方差公式（拓展）：a3?b3 = a?b
a2 + ab + b2 。
3.
分组分解法（拓展）
分组后提公因式：如ab + a + b + 1 = ab + a + b + 1 = a b + 1 + b + 1 = a + 1
b + 1 ，将多项式合
理分组，使组内有公因式可提，再提公因式。
分组后运用公式：例如a2?2ab + b2?1 = a2?2ab + b2 ?1 = a?b 2?1 = a?b + 1
a?b?1 ，先分组让部分可
构成公式形式，再用公式分解。
4.
十字相乘法：对于二次三项式x2 + p + q x + pq ，可分解为x + p
x + q 。即将常数项pq 拆成两个
因数p 和q ，使它们的和等于一次项系数。比如x2 + 5x + 6 ，常数项6 可拆成2 × 3 ，且2 + 3 = 5（一次项
系数），则x2 + 5x + 6 = x + 2
x + 3 。
知识点3 因式分解的一般步骤
1.
先看多项式有无公因式，有则先提公因式。
2.
无公因式时，二项式考虑平方差公式，三项式尝试完全平方公式或十字相乘法。
3.
四项或四项以上多项式，常用分组分解法。
4.
持续分解，直到每个因式都不能再分解，且结果为几个整式的积的形式。
课本典例1（习题11.5 第3 题）
先分解因式，再求值：2x a?2 ?y 2?a ，其中a = 0.5，x = 1.5，y =−2。
课本典例2（习题11.5 第6 题）
已知二次三项式x2 + ax + 4 含有一个因式x −2，求a 的值。
课本典例3（习题11.5 第7 题）
无论x 为何实数，二次三项式x2 + 4x + 5 的值均不小于1，为什么？
课本典例4（习题11.5 第8 题）
用总长度为4a 的篱笆围成一个长方形区域，相邻两边的长度相差2b 0?b < a ，求篱笆所围成区域的面积。当
b 取何值时，篱笆所围成区域的面积最大？
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题型一公因式
1．（24-25 八年级上·福建厦门·期末）下列式子是2m 和
1
m m
的公因式的是（
）
A．2
B．2m
C．m
D．
1
m
2．（24-25 八年级上·福建福州·期末）把多项式
2
2
4
ab
ab
分解因式，应提取的公因式是（
）
A．ab
B．2ab
C．
2
2ab
D．
2
4ab
3．（24-25 八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式
2
2
2
2
6
3
12
ab x
a by
a b
的公因式是（
）
A．ab
B．
2
2
3a b xy
C．
2
2
3a b
D．3ab
4．（24-25 八年级上·甘肃陇南·期末）
3
2
6x y z 和
2
4x z 的公因式是
．
5．（24-25 八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解
2
2x
xy
时，应提取的公因式是（
）
A．x
B．xy
C．
2x
D．2y
题型二提公因式法分解因式
6．（2023·广西·中考真题）分解因式：
2
5
x
x
．
7．（22-23 八年级上·贵州遵义·期中）把
a x
y
b y
x
c x
y
分解因式，正确的是（
）
A．
x
y
a
b
c
B．
x
y
a
b
c
C．
x
y
a
b
c
D．
x
y
a
b
c
8．（24-25 八年级上·天津滨海新·期中）已知
2
3
ab ，则
3
ab
ab
b
的值是
．
9．（2017·山东济宁·一模）因式分解：
2
a
a
．
10．（20-21 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：
2
2
x
x
．
题型三判断能否用公式法分解因式
11．（24-25 八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（
）
A．
2
2
x
y
B．
2
2
y
x
C．
2
2
x
y
D．
4
2
x
y
12．（24-25 八年级上·山东泰安·期末）在多项式
2
2
x
y
，
2
2
y
x
，
2
2
x
y
，
2
1
4
x
x
，
2
2
1
x
x
，
2
4
1
4
x
x
中，能用公式法分解因式的有
个．
13．（22-23 八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（
）
A．
2
2
a
b
B．
2
5
20
m
mn
C．
2
2
x
y
D．
2
9
x
14．（24-25 八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①
2
2
4x
y
；②
2
2
4x
y
；③
2
2
2
a
ab
b
；
④
2
1
4
x
x
；⑤
2
2
4
4
n
m
mn
，其中能用公式法分解因式的是（
）
4 / 12
A．①③④⑤
B．②④⑤
C．②③④
D．②③④⑤
15．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（
）
A．
2
2
a
b
B．
2
4
m
C．
2
2
x
y
D．
2
1
4
x
x
题型四平方差公式分解因式
16．（2013·江苏泰州·二模）分解因式：
2
2
16
x
y
．
17．（24-25 七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：
2
25
x
．
18．（24-25 七年级下·浙江·期中）分解因式：
2
1
x
．
19．（24-25 八年级上·吉林·期末）分解因式：
2
2
9
a m
．
20．（2020·江苏镇江·中考真题）分解因式：
2
9
1
m
题型五完全平方公式分解因式
21．（2017·江苏无锡·二模）因式分解：
2
4
4
x
x
．
22．（24-25 八年级上·山东东营·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（
）
A．
2
4
1
x
B．
2
4
4
1
x
x
C．
2
1
4
x
x
D．
2
2
x
xy
y
23．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）因式分解：
2
4
x
y
xy
．
24．（24-25 八年级上·甘肃庆阳·期末）分解因式：
2
4
1
x
x
．
25．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“
2x
2
2
4
(
2 )
y
x
y
”时，
墨迹将“
2x
2
4y
”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（
）
A．4xy
B．2xy
C．4xy
D．2xy
题型六综合运用公式法分解因式
26．（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）对于形如．
2
2
2
x
xa
a
的二次三项式，可以用公式法将它分解成
2
x
a
的形式．但对于二次三项式
2
2
2
3
x
xa
a
，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项
式
2
2
2
3
x
xa
a
中先加上一项
2
a ，使它与
2
2
x
xa
的和成为一个完全平方式，再减去
2
a ，整个式子的值不
变，于是有：
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
3
x
xa
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
a
像这样，先添一个适当项，使
式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，
利用“配方法”把下列各式进行因式分解：
(1)
2
2
4
5
x
xy
y
；
(2)
2
2
10
9
x
xy
y
；
(3)
2
2
14
32
x
xy
y
．
27．（24-25 八年级上·福建泉州·期中）材料1：将一个形如
2x
px
q
的二次三项式因式分解时，如果能满
足q
mn
且p
m
n
，则可以把
2x
px
q
因式分解成
x
m
x
n
，
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①
2
4
3
1
3
x
x
x
x
；
②
2
4
12
6
2
x
x
x
x
．
材料2：因式分解：
2
2
1
x
y
x
y
．
解：将“ x
y
”看成一个整体，令x
y
A
，则原式
2
2
2
1
1
A
A
A
，
再将“A”还原，得：原式
2
1
x
y
．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把
2
2
x
x
分解因式；
(2)结合材料1 和材料2，完成下面小题：
①分解因式：
2
4
3
x
y
x
y
；
②分解因式：(
)(
)
2
2
6
5
m
m
+
+
-
+ ．
28．（17-18 八年级下·四川成都·期末）因式分解：
2
2
2
4
16
a
a
．
题型七综合提公因式和公式法分解因式
29．（24-25 八年级上·广东广州·期中）将多项式
3x
x
因式分解，结果是
30．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各式分解因式：
(1)
2
a
ab
；
(2)
2
2
3
6
3
a
ab
b
．
31．（2019·江苏徐州·二模）因式分解：
2
4
4
x
．
32．（24-25 九年级上·湖南长沙·期末）因式分解：
2
6
6
x
．
33．（23-24 九年级上·四川成都·开学考试）因式分解：
3x
x
．
题型八因式分解在有理数简算中的应用
34．（24-25 八年级上·山东东营·阶段练习）计算
2024
2025
2
2
等于（
）
A．
2024
2
B．
2025
2
C．
2024
2
D．2
35．（2024 八年级上·全国·专题练习）简便计算：
(1)
2
1.99
1.99 0.01
(2)
2
2
2013
2013
2014
．
36．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）先将
2
2
2
1
A
a
b
b
分解因式，然后当
2024
2022
a
b
，
时，求
A 的值，并写出你对本题求值过程的感受．
37．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）已知
3
a
b
，
5
b
c
，则代数式
2
ac
bc
b
ab
的值是（
）
A．2
B．2
C．15
D．15
38．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）计算：
2
2
2
2
1013
1011
2022 1013
1013
1011
．
6 / 12
题型九十字相乘法
39．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）因式分解：
2
9
10
x
x
40．（24-25 八年级上·山东淄博·期末）因式分解：
2
2
35
x
x
．
41．（24-25 八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料：
将
2
2
35
x
x
分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
，
35
5
7
．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：
2
2
35
7
5
x
x
x
x
．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)
2
5
4
x
x
；
(2)
2
6
7
x
x
；
42．（24-25 八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务．
2024 年12 月12 日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”
的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式
2x
p
q x
pq
的分解因式的
方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为
2x
p
q x
pq
x
p
x
q
．例如：将二次三项式
2
7
10
x
x
因式分解，这个式子
的二次项系数是1，常数项10
2 5
，一次项系数7
2
5
，则
2
7
10
2
5
x
x
x
x
，
如图所示．
任务：
(1)因式分解：
2
8
15
x
x
．
(2)若二次三项式
2
8
x
ax
可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a 的所有可能的值．
题型十分组分解法
43．（24-25 八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2
3
4
6
a
ab
b
分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
7 / 12
原式
2
4
3
6
a
ab
b
2
2
3
2
a
b a
2
2
3
a
b
【类比】（1）请用分组分解法将
2
2
x
a
x
a
分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将
2
2
2
ax
a
ab
bx
b
分解因式．
44．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）分解因式：
2
2
mn
m
n
45．（24-25 七年级上·上海宝山·期末）因式分解：
2
2
1
2
a
b
b
．
46．（24-25 七年级上·上海松江·期末）因式分解：
2
2
9
3
a
a
b
b
．
47．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式am
an
bm
bn
分解因式，可以先把它进行
分组再分解因式：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
m
n
a
b
，这种分解因
式的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法分解因式：
2
2
x
y
x
y
；
(2)已知
3
a
b
，
5
a
c
，求式子
2
ac
bc
a
ab
的值；
(3)分解因式：
3
2
6
11
6
x
x
x
______．
题型十一因式分解的应用
48．（24-25 八年级上·山东济宁·期中）通过计算比较图1，图2 中阴影部分的面积，可以验证的计算式子
是（
）
A．
ab
ax
a b
x
B．
ab
bx
b a
x
C．
ab
ax
bx
a
x
b
x
D．
2
ab
ax
bx
x
a
x
b
x
49．（23-24 七年级下·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式
3
2
2
7
2
x
x
x
进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式
2
x
，小轩认为必有因式是
2
x ，两人找
到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A 能被整式B 整除，则B
必为A 的一个因式．老师给出了演算方法：
8 / 12
2
3
2
3
2
2
2
4
1
2
2
7
2
2
4
7
2
4
8
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
3
2
7
2
7
2
2
2
7
2
7
14
12
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的；
(2)已知多项式
3
2
6
7
6
x
x
x
的其中一个因式为
3
x
，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式
3
2
6
7
6
x
x
x
进行因式分解；
(3)若多项式
3
2
3
x
x
mx
n
能因式分解成
1
x 与另一个完全平方式，求m 与n 的值．
50．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式
2
2
2
a
ab
b
及
2
2
2
a
ab
b
叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中
出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决
问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或
求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式
2
2
2
2
3
2
1
4
1
4
1
2
1
2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
例如：求代数式
2
2
4
6
x
x
的最小值
2
2
2
2
4
6
2
2
3
2
1
8
x
x
x
x
x
．可知当
1
x 时，
2
2
4
6
x
x
有最小值8
．
根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：
2
4
5
m
m
；
(2)当a 为何值时，多项式
2
2
4
18
a
a
有最值，并求出这个最值．
51．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2025 年1 月份的月历，“Z 字型”、“十字型”两个阴影
图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z 字型”覆盖的最小
的数与最大的数的乘积记作m ，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n ，若
30
m
n
，则
m
n
的值为
．
9 / 12
题型十二判断因式分解
52．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（
）
A．
2
2
2
2
1
(
)
1
a
ab
b
a
b
B．
2
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
C．
2
(
2)(
2)
4
x
x
x
D．
4
2
1
1 (
1)(
1)
x
x
x
x
53．（24-25 八年级上·山东济宁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（
）
A．
m a
b
ma
mb
B．
2
2
a b
ab
ab a
b
C．
2
3
3
1
3
1
1
x
x
x x
D．
2
1
1
1
x
x
x
54．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
2
3
1
(
3)
1
x
x
x x
B．
2
(
2)(
2)
1
x
x
x
C．
2
2
(
2)
x
x
x x
D．
2
2
6
9
(
3)
x
x
x
55．（24-25 八年级上·广东广州·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（
）
A．
3
3
3
a
b
a
b
B．
2
1
1
1
a
a
a a
C．
2
2
2
4
2
a
a
a
D．
2
9
3
3
a
a
a
题型十三利用因式分解的结果求参数
56．（24-25 八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式
2
2
1
9
x
m
x
可分解因式为
2
3
x
的形式，则m 的值
为
．
57．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题：
(1)若二次三项式
2
5
6
x
x
可分解为
2
x
x
a ，求a 的值．
(2)若二次三项式
2
2
5
x
bx
可分解为
2
1
x
x
c
，求b、c 的值．
58．（24-25 八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式
2
a
ma
n
可因式分解为
4
5
a
a
，则m 的值为
（
）
A．1
B．1
C．9
D．9
59．（24-25 八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式
2
2
3
x
x
m
能分解成两个因式的积，且其中一个因式
为
2
x
，则m 的值为
．
60．（24-25 七年级上·上海普陀·期末）已知整式
2
3
x
mx
可以因式分解为
x
p
x
q
，如果m 、p 、q
10 / 12
都为整数，那么m 的值为
．
一、单选题
1．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）已知边长为a 、b 的矩形的周长为14，面积为10，则
2
2
a b
ab
的值为
（
）
A．70
B．60
C．35
D．24
2．（21-22 八年级上·重庆江津·期末）已知
3
m
n
，则
2
2
6
m
n
n
的值是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
3．（24-25 八年级上·福建泉州·期中）已知
2
xy ，
4
x
y
，则
2
2
x y
xy
的值是（
）
A．8
B．8
C．2
D．2
4．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（
）
A．
2
(
)
x
xy
x
x x
y
B．
2
2
2
4
(
2)
x
x
x
C．
2
4
(
4)(
4)
x
x
x
D．2 (
)
(
)
(
)(2
1)
a b
c
b
c
b
c
a
5．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（
）
A．
2
x
3x
2
x x
3
2
B．
2
4
9
4
3
4
3
x
x
x
C．
2
2
a
2a
1
a
1
D．
2
5
6
2
3
x
x
x
x
6．（24-25 七年级上·上海普陀·阶段练习）本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块
质量相等的鸡米花，可以平均分给
1
x
名同学，也可以平均分给
3
x
名同学（x 为大于3 的正整数），
11 / 12
用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（
）
A．(
1)(
3)
x
x
B．
2
2
3
x x
x
C．
2
4
3
x
x
D．
3
2
2
4
6
x
x
x
7．（24-25 八年级上·北京·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（
）
A．
1
1
ac
ab
a c
b
B．
b x
y
bx
by
C．
2
2
m
n
m
n
m
n
D．
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
8．（24-25 八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如果a，b，c 是三角形的三边长，那么代数式
2
2
2
2
a
b
ab
c
的
值是（
）
A．负数
B．正数
C．非负数
D．非正数
9．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知
2015
2016
a
x
，
2015
2017
b
x
，
2015
2015
c
x
，则
多项式
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）若a 、b 、c 是正整数，
1
a
b
，
2
11
a
ab
ac
bc
，则b
c
等于
（
）
A．10
B．1
C．10
D．11
二、填空题
11．（20-21 九年级下·浙江·期末）因式分解：
2
3
12
a
．
12．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”
产生的密码，方便记忆，原理是对于多项
4
4
x
y
，因式分解的结果是
2
2
(
)(
)
x
y x
y
x
y
，若取
9,
9
x
y
，
则各个因式的值是：
2
2
18
0,
162
x
y
x
y
x
y
，
，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那
么对于多项式
3
2
4x
xy
，取
10,
5
x
y
时，用上述方法产生的密码是
（写出一个即可）．
13．（24-25 八年级上·江苏南通·期末）已知多项式
2
2024
2025
x
x
，当x
a
时，该多项式的值为b ，当x
b
时，该多项式的值为a ，若a
b
，则a
b
的值为
．
14．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）若
4
3
x
y
，
1
2
xy
，则
2
2
x y
xy
的值为
．
15．（22-23 七年级下·安徽合肥·期末）因式分解：
2
6
9
x y
xy
y
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)
2
2
3
3
6
mx
my
mxy
；
(2)
4
16
1
a ；
(3)
2
9
6
1
x
y
x
y
；
(4)
2
2
81
25
a
b
a
b
．
12 / 12
17．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）若一个两位正整数a 的十位上的数字为m，个位上的数字为n，且
满足
3
m
n
．
(1)写出符合条件的所有数a；
(2)若m
n
，
2
2
a
p
q
，且p，q 为正整数，求q
p 的值．
18．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力
工具．下面是对多项式
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
进行因式分解的解题思路：
将“
2
2
x
x
”看成一个整体，设
2
2
x
x
m
，
则：原式
2
2
2
1
2
1
1
m m
m
m
m
再将“ m ”还原为“
2
2
x
x
”即可．
解题过程如下：
解：设
2
2
x
x
m
，
则：原式
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
m m
m
m
m
x
x
问题：
(1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程；
(2)请你模仿以上方法，将多项式
2
2
6
6
18
81
x
x
x
x
进行因式分解．
19．（24-25 七年级上·上海·期中）下面是对整式
3
3
x
y
因式分解的部分过程．
解：原式
3
2
2
3
x
x y
x y
y
（第一步）
3
2
2
3
x
x y
x y
y
（第二步）
2
2
2
x
x
y
y x
y
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式
3
8
1
x 进行因式分解．
20．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）计算与因式分解：
(1)计算
2
2
2
3
2
3
x x y
xy
y x
x y
x y
；
(2)计算
2
2
3
2
2
x
y
x
y
x
y
；
(3)因式分解
2
2
4
a
x
y
b
y
x
.
