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第07 讲因式分解
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：13 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。它是整式乘法的逆过程。例如x2 −1 =
x + 1
x −1 ，是将多项式x2 −1 转化为两个整式x + 1 与x −1 的乘积形式。
需注意：
1.
对象是多项式。
2.
结果是整式乘积形式。
3.
要分解到每一个因式都不能再分解。
4.
公式中的字母可表示单项式或多项式。
5.
相同因式写成幂的形式。
6.
未指定范围时，一般在有理数范围内分解。
知识点2 因式分解的方法
1.
提公因式法
定义：若多项式各项有公因式，把公因式提到括号外，将多项式写成因式乘积形式。
公因式确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次幂。
比如对于多项式6x3y −9x2y2，系数6 和9 的最大公约数是3，相同字母x 最低次幂是x2 ，y 最低次幂是y ，
公因式就是3x2y 。
步骤：先找出公因式，再用原多项式除以公因式确定另一个因式。如6x3y?9x2y2 = 3x2y 2x?3y 。若多
项式第一项有负号，先提取负号。
2.
运用公式法
.
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逆用平方差公式：a2 −b2 = a + b
a −b 。适用于二项式，且两项都能写成平方形式，符号相反。例
如4x2?9 = 2x 2?32 = 2x + 3
2x?3 。
逆用完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = a + b 2 ，a2?2ab + b2 = a?b 2 。用于三项式，其中两项是平方项，
另一项是这两个平方项底数乘积的2 倍。比如x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × 3 × x + 32 = x + 3 2 。
逆用立方和公式（拓展）：a3 + b3 = a + b
a2?ab + b2 。
逆用立方差公式（拓展）：a3?b3 = a?b
a2 + ab + b2 。
3.
分组分解法（拓展）
分组后提公因式：如ab + a + b + 1 = ab + a + b + 1 = a b + 1 + b + 1 = a + 1
b + 1 ，将多项式合
理分组，使组内有公因式可提，再提公因式。
分组后运用公式：例如a2?2ab + b2?1 = a2?2ab + b2 ?1 = a?b 2?1 = a?b + 1
a?b?1 ，先分组让部分可
构成公式形式，再用公式分解。
4.
十字相乘法：对于二次三项式x2 + p + q x + pq ，可分解为x + p
x + q 。即将常数项pq 拆成两个
因数p 和q ，使它们的和等于一次项系数。比如x2 + 5x + 6 ，常数项6 可拆成2 × 3 ，且2 + 3 = 5（一次项
系数），则x2 + 5x + 6 = x + 2
x + 3 。
知识点3 因式分解的一般步骤
1.
先看多项式有无公因式，有则先提公因式。
2.
无公因式时，二项式考虑平方差公式，三项式尝试完全平方公式或十字相乘法。
3.
四项或四项以上多项式，常用分组分解法。
4.
持续分解，直到每个因式都不能再分解，且结果为几个整式的积的形式。
课本典例1（习题11.5 第3 题）
先分解因式，再求值：2x a?2 ?y 2?a ，其中a = 0.5，x = 1.5，y =−2。
【答案】分解因式：
2x a?2 ?y 2?a
= 2x a?2 + y a?2
= a?2
2x + y
代入求值：当a = 0.5 ，x = 1.5 ，y =−2 时，
0.5 −2 × 2 × 1.5 −2
=
−1.5 × 3 −2
=
−1.5 × 1
=
−1.5
【解析】先将式子变形，把−y 2 −a 化为y a −2 ，这样两项就有公因式a −2 了，提取公因式得到a?2
2x + y 。
再把a、x、y 的值代入化简后的式子计算。
【点睛】本题关键在于通过变形找到公因式，运用提公因式法分解因式，再代入求值，体现了因式分解在
简化计算中的作用。
课本典例2（习题11.5 第6 题）
已知二次三项式x2 + ax + 4 含有一个因式x −2，求a 的值。
【答案】因为x2 + ax + 4 含有因式x −2，设x2 + ax + 4 = x?2
x + m ，展开x?2
x + m = x2 + mx?2x?2m = x2 + m?2 x?2m。
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则?2m = 4
m?2 = a，由?2m = 4 得m =−2，把m =−2 代入m −2 = a，得a =−2 −2 =−4。
【解析】根据因式分解的意义，若x2 + ax + 4 有因式x −2，则可设它分解为x −2
x + m 的形式，展开后根据对
应项系数相等列方程组求解。
【点睛】本题运用了待定系数法，通过设出因式分解的形式，利用等式两边对应项系数相等来确定未知系
数，是解决此类问题的常用方法。
课本典例3（习题11.5 第7 题）
无论x 为何实数，二次三项式x2 + 4x + 5 的值均不小于1，为什么？
【答案】对x2 + 4x + 5 进行配方：x2 + 4x + 5
= x2 + 4x + 4 + 1
= x + 2 2 + 1
因为无论x 取何值，x + 2 2 ≥0，所以x + 2 2 + 1 ≥1，
即二次三项式x2 + 4x + 5 的值均不小于1 。
【解析】通过配方法将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，再根据完全平方式的非负性来判断原
式的取值范围。
【点睛】配方法是处理二次多项式问题的重要方法，利用完全平方式的非负性可以解决很多与二次式取值
范围相关的问题。
课本典例4（习题11.5 第8 题）
用总长度为4a 的篱笆围成一个长方形区域，相邻两边的长度相差2b 0?b < a ，求篱笆所围成区域的面积。当
b 取何值时，篱笆所围成区域的面积最大？
【答案】设长方形较短边为x，则较长边为x + 2b。因为长方形周长C = 2 ×（长+ 宽），所以2 x + x + 2b = 4a，
2 2x + 2b
= 4a
2x + 2b
= 2a
x
= a?b
则较长边为a?b + 2b = a + b，面积S = a −b
a + b = a2 −b2。因为b2 ≥0，当b = 0 时，S 取得最
大值a2。
【解析】先根据长方形周长公式求出长和宽，再根据长方形面积公式得出面积表达式，最后根据平方的非
负性分析面积最大值情况。
【点睛】本题综合运用了长方形周长和面积公式，通过建立面积关于b 的表达式，利用平方的性质求解最
值，体现了数学知识在实际问题中的应用。
题型一公因式
1．（24-25 八年级上·福建厦门·期末）下列式子是2m 和
1
m m
的公因式的是（
）
A．2
B．2m
C．m
D．
1
m
【答案】C
【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可．
【详解】解：2m 和
1
m m
的公因式的是m ，
故选：C．
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2．（24-25 八年级上·福建福州·期末）把多项式
2
2
4
ab
ab
分解因式，应提取的公因式是（
）
A．ab
B．2ab
C．
2
2ab
D．
2
4ab
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定
方法是解题的关键．
【详解】解：∵
2
2
4
2
1 2
ab
ab
ab
b
，
∴应提取的公因式是2ab ，
故选：B ．
3．（24-25 八年级上·四川乐山·阶段练习）多项式
2
2
2
2
6
3
12
ab x
a by
a b
的公因式是（
）
A．ab
B．
2
2
3a b xy
C．
2
2
3a b
D．3ab
【答案】D
【分析】本题考查了求多项式的公因式，根据多项式的公因式是指各项都含有的相同的因式即可得解，熟
练掌握多项式的公因式的定义是解此题的关键．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
4
6
3
1
3
ab x
a by
a b
ab
bx
ay
ab
，
故多项式
2
2
2
2
6
3
12
ab x
a by
a b
的公因式是3ab ，
故选：D．
4．（24-25 八年级上·甘肃陇南·期末）
3
2
6x y z 和
2
4x z 的公因式是
．
【答案】
2
2x z
【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．根据公因式的确定方法找出公因
式即可．
【详解】解：
3
2
6x y z 和
2
4x z 的公因式是
2
2x z ，
故答案为：
2
2x z ．
5．（24-25 八年级上·河北保定·期末）用提公因式法因式分解
2
2x
xy
时，应提取的公因式是（
）
A．x
B．xy
C．
2x
D．2y
【答案】A
【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法是解题关键．根据
2
2x 和xy
均含有x 即
可得出答案．
【详解】解：用提公因式法分解因式
2
2x
xy
时，应提取的公因式是x ，
故选：A．
题型二提公因式法分解因式
6．（2023·广西·中考真题）分解因式：
2
5
x
x
．
【答案】
5
x x
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【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键．
根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式x 即可求解．
【详解】解：
2
5
(
5)
x
x
x x
，
故答案为
5
x x
．
7．（22-23 八年级上·贵州遵义·期中）把
a x
y
b y
x
c x
y
分解因式，正确的是（
）
A．
x
y
a
b
c
B．
x
y
a
b
c
C．
x
y
a
b
c
D．
x
y
a
b
c
【答案】B
【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符
号时，各项符号得变化．
将
a x
y
b y
x
c x
y
变形为
a x
y
b x
y
c x
y
，再提公因式即可．
【详解】解：
a x
y
b y
x
c x
y
a x
y
b x
y
c x
y
x
y
a
b
c
x
y
a
b
c
故选：B．
8．（24-25 八年级上·天津滨海新·期中）已知
2
3
ab ，则
3
ab
ab
b
的值是
．
【答案】6
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子中括号内的式子提出公因式b
得到
2
2
1
ab
ab
，据
此代值计算即可．
【详解】解：∵
2
3
ab ，
∴
3
2
2
1
3
3 1
6
ab
ab
b
ab
ab
，
故答案为：6 ．
9．（2017·山东济宁·一模）因式分解：
2
a
a
．
【答案】
1
a a
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即
可．
【详解】解：
2
1
a
a
a a
．
故答案为：
1
a a
．
10．（20-21 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解：
2
2
x
x
．
【答案】
2
x x
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【分析】本题考查提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．利用提取公因式法
进行因式分解即可．
【详解】解：
2
2
2
x
x
x x
，
故答案为：
2
x x
．
题型三判断能否用公式法分解因式
11．（24-25 八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（
）
A．
2
2
x
y
B．
2
2
y
x
C．
2
2
x
y
D．
4
2
x
y
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公
式的结构特征：
2
2
a
b
a
b
a
b
，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可．
【详解】解：A 中，
2
2
x
y
x
y
x
y
，故选项不符合题意；
B 中，
2
2
y
x
y
x
y
x
，故选项不符合题意；
C 中，
2
2
x
y
，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意；
D 中，
2
2
2
2
2
2
2
4
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
，故选项不符合题意；
故选：C．
12．（24-25 八年级上·山东泰安·期末）在多项式
2
2
x
y
，
2
2
y
x
，
2
2
x
y
，
2
1
4
x
x
，
2
2
1
x
x
，
2
4
1
4
x
x
中，能用公式法分解因式的有
个．
【答案】4
【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握
2
2
(
)(
)
a
b
a
b a
b
、
2
2
2)
2
(
a
ab
b
a
b
是解答本
题的关键．根据公式分析解答即可．
【详解】解：
2
2
x
y
，不能分解因式；
2
2
y
x
x
y
x
y
，能用公式法分解因式；
2
2
x
y
，不能分解因式；
2
2
1
1
4
2
x
x
x
，能用公式法分解因式；
2
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
，能用公式法分解因式；
2
2
4
1
4
2
1
x
x
x
，能用公式法分解因式；
故答案为：4．
13．（22-23 八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（
）
A．
2
2
a
b
B．
2
5
20
m
mn
C．
2
2
x
y
D．
2
9
x
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【答案】D
【分析】依次各选项分解因式，即可求解，
本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式．
【详解】解：A、
2
2
2
2
a
b
a
b
，无法分解因式，不符合题意，
B、
2
5
20
5
4
m
mn
m m
n
，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
C 、
2
2
2
2
x
y
x
y
，应用提公因式法分解因式，不符合题意，
D、
2
2
2
9
3
3
3
x
x
x
x
，应用平方差公式分解因式，符合题意，
故选：D．
14．（24-25 八年级上·山东日照·阶段练习）下列多项式：①
2
2
4x
y
；②
2
2
4x
y
；③
2
2
2
a
ab
b
；
④
2
1
4
x
x
；⑤
2
2
4
4
n
m
mn
，其中能用公式法分解因式的是（
）
A．①③④⑤
B．②④⑤
C．②③④
D．②③④⑤
【答案】B
【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题
目中的每个多项式逐一分析即可．
【详解】解：①
2
2
4x
y
不能用公式法分解；
②
2
2
2
2
4
4
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
，可以用公式法分解；
③
2
2
2
a
ab
b
不能用公式法分解；
④
2
2
2
2
1
1
2 1
1
4
2
2
2
x
x
x
x
x
，可以用公式法分解；
⑤
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
m
mn
mn
mn
mn
n
，可以用公式法分解；
综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤．
故选：B．
15．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（
）
A．
2
2
a
b
B．
2
4
m
C．
2
2
x
y
D．
2
1
4
x
x
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公
式的结构特征，逐项分析判断即可．
【详解】解：A.
2
2
2
2
a
b
a
b
，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意；
B.
2
4
2
2
m
m
m
，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意；
C.
2
2
x
y
，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意；
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D.
2
2
1
1
4
2
x
x
x
，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意．
故选：B．
题型四平方差公式分解因式
16．（2013·江苏泰州·二模）分解因式：
2
2
16
x
y
．
【答案】
4
4
x
y
x
y
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．直接利用平方差
公式进行分解因式即可．
【详解】解：
2
2
2
2
16
(4 )
(
4 )(
4 )
x
y
x
y
x
y x
y
，
故答案为：(
4 )(
4 )
x
y x
y
．
17．（24-25 七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：
2
25
x
．
【答案】
5
5
x
x
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
2
25
5
5
x
x
x
．
故答案为：
5
5
x
x
．
18．（24-25 七年级下·浙江·期中）分解因式：
2
1
x
．
【答案】
1
1
x
x
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，掌握
2
2
a
b
a
b
a
b
是解题的关键．
直接由平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
2
1
1
1
x
x
x
，
故答案为：
1
1
x
x
．
19．（24-25 八年级上·吉林·期末）分解因式：
2
2
9
a m
．
【答案】
3
3
am
am
【分析】本题考查了分解因式，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：
2
2
2
2
9
3
3
3
a m
am
am
am
，
故答案为：
3
3
am
am
．
20．（2020·江苏镇江·中考真题）分解因式：
2
9
1
m
【答案】
3
1 3
1
m
m
【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式进行分解即可
【详解】解：
2
9
1
3
1 3
1
m
m
m
故答案为：
3
1 3
1
m
m
9 / 39
题型五完全平方公式分解因式
21．（2017·江苏无锡·二模）因式分解：
2
4
4
x
x
．
【答案】
2
2
x
【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：
2
2
4
4
2
x
x
x
，
故答案为：
2
2
x
22．（24-25 八年级上·山东东营·期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（
）
A．
2
4
1
x
B．
2
4
4
1
x
x
C．
2
1
4
x
x
D．
2
2
x
xy
y
【答案】C
【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完
全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另－项是这
两个数（或式）的积的2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A，
2
4
1
(2
1)(2
1)
x
x
x
，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B，
2
4
4
1
x
x
，不符合完全平方公式，故此选项错误；
C，
2
2
1
1
4
2
x
x
x
，符合完全平方公式，故此选项正确；
D，
2
2
x
xy
y
，不符合完全平方公式，故此选项错误；
故选：C．
23．（24-25 八年级上·吉林长春·期末）因式分解：
2
4
x
y
xy
．
【答案】
2
x
y
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式分解因式，先把
2
x
y
展开，然后合并同类项再根据完全平方
公式分解因式即可．
【详解】解：
2
4
x
y
xy
2
2
2
4
x
xy
y
xy
2
2
2
x
xy
y
2
x
y
．
24．（24-25 八年级上·甘肃庆阳·期末）分解因式：
2
4
1
x
x
．
【答案】
2
3
x
【分析】本题考查分解因式，原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
2
4
1
x
x
10 / 39
2
2
4
8 1
x
x
x
2
6
9
x
x
2
3
x
．
25．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“
2x
2
2
4
(
2 )
y
x
y
”时，
墨迹将“
2x
2
4y
”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（
）
A．4xy
B．2xy
C．4xy
D．2xy
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是
解题的关键．
【详解】解：
2
2
2
(
2 )
4
4
x
y
x
xy
y
，
墨迹覆盖的这一项是4xy，
故选：A．
题型六综合运用公式法分解因式
26．（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）对于形如．
2
2
2
x
xa
a
的二次三项式，可以用公式法将它分解成
2
x
a
的形式．但对于二次三项式
2
2
2
3
x
xa
a
，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项
式
2
2
2
3
x
xa
a
中先加上一项
2
a ，使它与
2
2
x
xa
的和成为一个完全平方式，再减去
2
a ，整个式子的值不
变，于是有：
2
2
2
2
2
2
2
3
4
2
3
x
xa
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
a
像这样，先添一个适当项，使
式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，
利用“配方法”把下列各式进行因式分解：
(1)
2
2
4
5
x
xy
y
；
(2)
2
2
10
9
x
xy
y
；
(3)
2
2
14
32
x
xy
y
．
【答案】(1)
5
x
y
x
y
(2)
9
x
y
x
y
(3)
16
2
x
y
x
y
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运
用．
（1）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出
2
2
2
4
4
9
x
xy
y
y
，再利用平方差公式进行因式分解即
可；
（2）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出
2
2
2
10
25
16
x
xy
y
y
，再利用平方差公式进行因式分
解即可；
11 / 39
（3）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出
2
2
2
14
49
81
x
xy
y
y
，再利用平方差公式进行因式分
解即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
5
x
xy
y
2
2
2
9
4
4
x
y
x
y
y
2
2
2
9
x
y
y
2
3
2
3
x
y
y
x
y
y
5
x
y
x
y
；
（2）解：
2
2
10
9
x
xy
y
2
2
2
10
25
16
x
xy
y
y
2
2
5
16
x
y
y
5
4
5
4
x
y
y
x
y
y
9
x
y
x
y
；
（3）解：
2
2
14
32
x
xy
y
2
2
2
14
49
81
x
xy
y
y
2
2
7
81
x
y
y
7
9
7
9
x
y
y
x
y
y
16
2
x
y
x
y
．
27．（24-25 八年级上·福建泉州·期中）材料1：将一个形如
2x
px
q
的二次三项式因式分解时，如果能满
足q
mn
且p
m
n
，则可以把
2x
px
q
因式分解成
x
m
x
n
，
①
2
4
3
1
3
x
x
x
x
；
②
2
4
12
6
2
x
x
x
x
．
材料2：因式分解：
2
2
1
x
y
x
y
．
解：将“ x
y
”看成一个整体，令x
y
A
，则原式
2
2
2
1
1
A
A
A
，
再将“A”还原，得：原式
2
1
x
y
．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把
2
2
x
x
分解因式；
(2)结合材料1 和材料2，完成下面小题：
①分解因式：
2
4
3
x
y
x
y
；
②分解因式：(
)(
)
2
2
6
5
m
m
+
+
-
+ ．
12 / 39
【答案】(1)
2
1
x
x
；
(2)①
1
3
x
y
x
y
；②
1
3
m
m
【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式，
（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解；
（2）①令A
x
y
，仿照例题即可求解；
②令
2
B
m
=
+
，先计算乘法，再因式分解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
1
x
x
x
x
；
（2）解：①令A
x
y
，
则原式
2
4
3
1
3
A
A
A
A
，
所以
2
4
3
1
3
x
y
x
y
x
y
x
y
；
②令
2
B
m
=
+
，
则原式
6
5
B B
2
6
5
B
B
1
5
B
B
，
所以原式
2 1
2
5
m
m
1
3
m
m
．
28．（17-18 八年级下·四川成都·期末）因式分解：
2
2
2
4
16
a
a
．
【答案】
2
2
2
2
a
a
【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解．熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用平
方差、完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
2
2
2
4
16
a
a
2
2
4
4
4
4
a
a
a
a
2
2
2
2
a
a
，
故答案为：
2
2
2
2
a
a
．
题型七综合提公因式和公式法分解因式
29．（24-25 八年级上·广东广州·期中）将多项式
3x
x
因式分解，结果是
【答案】
1
1
x x
x
【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后用平方差公式，分解因式即可．
【详解】解：
3
2
1
1
1
x
x
x x
x x
x
．
13 / 39
故答案为：
1
1
x x
x
．
30．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各式分解因式：
(1)
2
a
ab
；
(2)
2
2
3
6
3
a
ab
b
．
【答案】(1)
a a
b
(2)
2
3 a
b
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式分解即可；
（2）先提公因式3，然后再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
a a
b
；
（2）解：原式
2
2
2
3
2
3
a
ab
b
a
b
．
31．（2019·江苏徐州·二模）因式分解：
2
4
4
x
．
【答案】
4
1
1
x
x
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．掌握平方差公式是解
题关键．
【详解】解：
2
2
4
4
4
1
4
1
1
x
x
x
x
，
故答案为：
4
1
1
x
x
．
32．（24-25 九年级上·湖南长沙·期末）因式分解：
2
6
6
x
．
【答案】
6
1
1
x
x
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公
式进行因式分解．
【详解】解：原式
2
6
1
6
1
1
x
x
x
；
故答案为
6
1
1
x
x
．
33．（23-24 九年级上·四川成都·开学考试）因式分解：
3x
x
．
【答案】
1
1
x x
x
【分析】本题主要考查提公因式法和公式法分解因式．先提公因式，再运用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
3
2
1
1
1
x
x
x x
x x
x
．
故答案为：
1
1
x x
x
．
题型八因式分解在有理数简算中的应用
34．（24-25 八年级上·山东东营·阶段练习）计算
2024
2025
2
2
等于（
）
14 / 39
A．
2024
2
B．
2025
2
C．
2024
2
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式
2024
2
，得到
2024
2
1
2
，即可求解．
【详解】解：
2024
2025
2
2
2024
2024
2
2
2
2024
2
1
2
2024
1 2
2024
2
故选：A．
35．（2024 八年级上·全国·专题练习）简便计算：
(1)
2
1.99
1.99 0.01
(2)
2
2
2013
2013
2014
．
【答案】(1)3.98
(2) 2014
【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．
（1）直接提取公因式1.99，进而求出答案；
（2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案．
【详解】（1）解：
2
1.99
1.99 0.01
1.99
1.99
0.01
1.99
2
3.98
；
（2）解：
2
2
2013
2013
2014
2
2013
2013 1
2014
2
2013 2014
2014
2014
2013
2014
2014
．
36．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）先将
2
2
2
1
A
a
b
b
分解因式，然后当
2024
2022
a
b
，
时，求
A 的值，并写出你对本题求值过程的感受．
【答案】
1
1
a
b
a
b
，4047，感受是先分解因式后再计算本题较为简便
【分析】本题考查了因式分解－分组分解法．后三项结合，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分
解因式即可，再将a、b 的值代入计算即可．
15 / 39
【详解】解：
2
2
2
1
A
a
b
b
2
2
2
1
a
b
b
2
2
1
a
b
1
1
a
b
a
b
；
当
2024
2022
a
b
，
时，
2024
2022 1 2024
2022 1
A
4047 1
4047，
感受是先分解因式后再计算较为简便．
37．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）已知
3
a
b
，
5
b
c
，则代数式
2
ac
bc
b
ab
的值是（
）
A．2
B．2
C．15
D．15
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式
分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把
2
ac
bc
b
ab
因
式分解，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵
2
ac
bc
b
ab
2
ac
ab
bc
b
a b
c
b c
b
a
b
b
c
，
∵
3
a
b
，
5
b
c
，
∴
2
3
5
15
ac
bc
b
ab
，
故选：D．
38．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）计算：
2
2
2
2
1013
1011
2022 1013
1013
1011
．
【答案】1012
【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可．
【详解】解：原式
2
1013 1011
1013 1011 1013 1011
1013 1011
1013 1011
2024
2
1012
；
故答案为：1012．
16 / 39
题型九十字相乘法
39．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）因式分解：
2
9
10
x
x
【答案】(
10)(
1)
x
x
【分析】本题考查十字相乘法因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可得答案，熟练掌握因式分解的
方法是解题的关键．
【详解】解：
2
9
10
x
x
(
10)(
1)
x
x
．
40．（24-25 八年级上·山东淄博·期末）因式分解：
2
2
35
x
x
．
【答案】
5
7
x
x
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键．
直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答．
【详解】解：
2
2
35
x
x
2
5
7
35
x
x
x
5
7
x
x
．
故答案为：
5
7
x
x
．
41．（24-25 八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料：
将
2
2
35
x
x
分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
，
35
5
7
．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：
2
2
35
7
5
x
x
x
x
．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)
2
5
4
x
x
；
(2)
2
6
7
x
x
；
【答案】(1)
1
4
x
x
(2)
1
7
x
x
【分析】本题考查分解因式—十字相乘法，
（1）根据十字相乘法分解因式即可；
（2）根据十字相乘法分解因式即可；
掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键．
17 / 39
【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
，
4
1
4
，
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：
2
5
4
1
4
x
x
x
x
；
（2）①竖分二次项与常数项：
2
x
x x
，
7
1
7
．
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：
2
6
7
1
7
x
x
x
x
．
42．（24-25 八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务．
2024 年12 月12 日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”
的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式
2x
p
q x
pq
的分解因式的
方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为
2x
p
q x
pq
x
p
x
q
．例如：将二次三项式
2
7
10
x
x
因式分解，这个式子
的二次项系数是1，常数项10
2 5
，一次项系数7
2
5
，则
2
7
10
2
5
x
x
x
x
，
如图所示．
任务：
(1)因式分解：
2
8
15
x
x
．
(2)若二次三项式
2
8
x
ax
可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a 的所有可能的值．
【答案】(1)
3
5
x
x
(2)整数a 的所有可能的值是7
，2
【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法，
（1）由一次项为：
3
5
8
，则常数项为
3
5
15
，再利用十字相乘法分解因式即可；
（2）找出所求满足乘积为8
，相加为a 的值即可．
【详解】（1）解：一次项为：
3
5
8
，则常数项为
3
5
15
，
则
2
8
15
3
5
x
x
x
x
；
18 / 39
（2）解：若
2
8
x
ax
可分解为两个一次因式的积，则整数a 的所有可能的值是：
8 1
7
；1
8
7
；2
4
2
；4
2
2
，
即整数a 的所有可能的值是：7
，2
．
题型十分组分解法
43．（24-25 八年级上·广东湛江·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2
3
4
6
a
ab
b
分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式
2
4
3
6
a
ab
b
2
2
3
2
a
b a
2
2
3
a
b
【类比】（1）请用分组分解法将
2
2
x
a
x
a
分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将
2
2
2
ax
a
ab
bx
b
分解因式．
【答案】（1）
1
x
a
x
a
；（2）
a
b
x
a
b
【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式；
（1）把原式化为
2
2
x
a
x
a
，再进一步分解因式即可；
（2）把原式化为
2
2
2
ax
bx
a
ab
b
，再进一步分解因式即可；
【详解】解：（1）
2
2
x
a
x
a
2
2
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
1
x
a
x
a
；
（2）
2
2
2
ax
a
ab
bx
b
2
2
2
ax
bx
a
ab
b
2
x a
b
a
b
a
b
x
a
b ；
44．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）分解因式：
2
2
mn
m
n
【答案】
1
2
m
n
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因
式即可．
【详解】解：
2
2
2
2
1
2
mn
m
n
m n
n
m
n
．
故答案为：
1
2
m
n
．
45．（24-25 七年级上·上海宝山·期末）因式分解：
2
2
1
2
a
b
b
．
19 / 39
【答案】
1
1
a
b
a
b
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可．
【详解】解：
2
2
1
2
a
b
b
2
2
2
1
a
b
b
2
2
1
a
b
1
1
a
b
a
b
．
46．（24-25 七年级上·上海松江·期末）因式分解：
2
2
9
3
a
a
b
b
．
【答案】
3
3
1
a
b
a
b
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可．
【详解】解：原式
2
2
9
3
a
b
a
b
3
3
3
a
b
a
b
a
b
3
3
1
a
b
a
b
47．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：要把多项式am
an
bm
bn
分解因式，可以先把它进行
分组再分解因式：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
m
n
a
b
，这种分解因
式的方法叫做分组分解法．
(1)请用上述方法分解因式：
2
2
x
y
x
y
；
(2)已知
3
a
b
，
5
a
c
，求式子
2
ac
bc
a
ab
的值；
(3)分解因式：
3
2
6
11
6
x
x
x
______．
【答案】(1)
1
x
y
x
y
(2) 15
(3)
1
2
3
x
x
x
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法．
（1）根据分组分解法因式分解即可；
（2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可；
（3）根据分组分解法因式分解即可．
【详解】（1）解：
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
1
x
y
x
y
．
（2）
3
a
b
，
5
a
c
，
2
ac
bc
a
ab
20 / 39
2
ac
a
bc
ab
a c
a
b c
a
c
a
a
b
5 3
15
．
（3）
3
2
6
11
6
x
x
x
3
2
2
5
5
6
6
x
x
x
x
x
3
2
2
5
5
6
6
x
x
x
x
x
2
1
5
1
6
1
x
x
x x
x
2
1
5
6
x
x
x
1
2
3
x
x
x
．
故答案为：
1
2
3
x
x
x
．
题型十一因式分解的应用
48．（24-25 八年级上·山东济宁·期中）通过计算比较图1，图2 中阴影部分的面积，可以验证的计算式子
是（
）
A．
ab
ax
a b
x
B．
ab
bx
b a
x
C．
ab
ax
bx
a
x
b
x
D．
2
ab
ax
bx
x
a
x
b
x
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的应用，图1 中，阴影部分的面积大长方形的面积长是a 宽是x 的长方形
的面积长是b 宽是x 的长方形的面积边长是x 的正方形的面积，图2 中，阴影部分的长为
a
x
，宽为
b
x
，分别表示出阴影部分的面积，即可得解．
【详解】解：图1 中，阴影部分的面积大长方形的面积长是a 宽是x 的长方形的面积长是b 宽是x 的长
方形的面积边长是x 的正方形的面积，
∴图1 中阴影部分的面积
2
ab
ax
bx
x
，
21 / 39
图2 中，阴影部分的长为
a
x
，宽为
b
x
，
∴图2 中阴影部分的面积
a
x
b
x
，
∴
2
ab
ax
bx
x
a
x
b
x
，
故选：D．
49．（23-24 七年级下·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式
3
2
2
7
2
x
x
x
进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式
2
x
，小轩认为必有因式是
2
x ，两人找
到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A 能被整式B 整除，则B
必为A 的一个因式．老师给出了演算方法：
2
3
2
3
2
2
2
4
1
2
2
7
2
2
4
7
2
4
8
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
3
2
7
2
7
2
2
2
7
2
7
14
12
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的；
(2)已知多项式
3
2
6
7
6
x
x
x
的其中一个因式为
3
x
，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式
3
2
6
7
6
x
x
x
进行因式分解；
(3)若多项式
3
2
3
x
x
mx
n
能因式分解成
1
x 与另一个完全平方式，求m 与n 的值．
【答案】(1)小磊；
(2)
2
3
3
2
x
x
x
；
(3)
0
4
m
n
，
．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法．
（1）根据题目中提供的信息进行解答即可；
（2）根据老师提供的方法进行解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出
3
2
2
3
1
4
4
x
x
mx
n
x
x
x
m
，
4
n
m
，根据多项式
3
2
3
x
x
mx
n
能因式分解成
1
x 与另一个完全平方式，得出
4
4
m
，求出m、n 的值．
【详解】（1）解：根据题意可得：
3
2
2
2
7
2
2
4
1
x
x
x
x
x
x
，
22 / 39
3
2
2
2
7
2
2
7
12
x
x
x
x
x
，
∴该整式一定有一个因式
2
x
，没有因式是
2
x
，
∴小磊同学的想法是对的；
（2）解：根据题意得：
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
6
7
6
3
3
7
6
3
9
2
6
2
6
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
∴将多项式
3
2
6
7
6
x
x
x
进行因式分解为：
3
2
2
6
7
6
3
3
2
x
x
x
x
x
x
．
（3）解：根据题意得：
2
3
2
3
2
2
2
4
4
3
1
4
4
4
4
4
4
0
x
x
m
x
x
mx
n
x
x
x
x
mx
n
x
x
m
x
n
m
x
m
∴
3
2
2
3
1
4
4
x
x
mx
n
x
x
x
m
，
4
n
m
，
∵多项式
3
2
3
x
x
mx
n
能因式分解成
1
x 与另一个完全平方式，
∴
2
4
4
x
x
m
是一个完全平方式，
∴
4
4
m
，
∴
0
m
，
4
n
．
50．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式
2
2
2
a
ab
b
及
2
2
2
a
ab
b
叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中
出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决
问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或
求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式
2
2
2
2
3
2
1
4
1
4
1
2
1
2
3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
例如：求代数式
2
2
4
6
x
x
的最小值
23 / 39
2
2
2
2
4
6
2
2
3
2
1
8
x
x
x
x
x
．可知当
1
x 时，
2
2
4
6
x
x
有最小值8
．
根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：
2
4
5
m
m
；
(2)当a 为何值时，多项式
2
2
4
18
a
a
有最值，并求出这个最值．
【答案】(1)
1
5
m
m
(2)当
1
a 时，
2
2
4
18
a
a
有最大值20
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键．
（1）根据阅读材料，先将
2
4
5
m
m
变形为
2
4
4
9
m
m
，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式
即可；
（2）利用配方法将
2
2
4
18
a
a
变形为
2
2
1
20
a
，再利用完全平方式的性质即可解答．
【详解】（1）解：
2
4
5
m
m
2
4
4
9
m
m
2
2
9
m
2
3
2
3
m
m
1
5
m
m
；
（2）解：
2
2
4
18
a
a
2
2
2
9
a
a
2
2
2
1
20
a
a
2
2
1
20
a
，
2
2
1
0
a
，
当
1
a 时，多项式
2
2
4
18
a
a
有最大值20．
51．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2025 年1 月份的月历，“Z 字型”、“十字型”两个阴影
图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z 字型”覆盖的最小
的数与最大的数的乘积记作m ，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作n ，若
30
m
n
，则
m
n
的值为
．
24 / 39
【答案】900
【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，设“Z 字型”覆盖的五个数中中间的数为a ，“十字型”
覆盖的五个数中中间的数为b ，则
2
64
m
a
，
2
49
n
b
，结合题意得出
45
a
b
a
b
，求出
23
a
，
22
b
，代入代数式计算即可得解．
【详解】解：设“Z 字型”覆盖的五个数中中间的数为a ，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为b ，则
2
64
m
a
，
2
49
n
b
，
∵
30
m
n
，
∴
2
2
64
49
30
a
b
，
∴
2
2
45
a
b
，
∴
45
a
b
a
b
，
∵
9
a
，
8
b
，
∴
45
a
b
，
1
a
b
，
∴
23
a
，
22
b
，
∴
2
2
2
2
64
49
23
64
22
49
900
m
n
a
b
，
故答案为：900．
题型十二判断因式分解
52．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（
）
A．
2
2
2
2
1
(
)
1
a
ab
b
a
b
B．
2
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
C．
2
(
2)(
2)
4
x
x
x
D．
4
2
1
1 (
1)(
1)
x
x
x
x
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答
案．
【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意；
B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
53．（24-25 八年级上·山东济宁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（
）
A．
m a
b
ma
mb
B．
2
2
a b
ab
ab a
b
C．
2
3
3
1
3
1
1
x
x
x x
D．
2
1
1
1
x
x
x
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项
25 / 39
式因式分解，由此逐项分析即可得解．
【详解】解：A、
m a
b
ma
mb
是乘法运算，故不符合题意；
B、
2
2
a b
ab
ab a
b
符合因式分解的定义，故符合题意；
C、
2
3
3
1
3
1
1
x
x
x x
中等号右边不是积的形式，故符合题意；
D、
2
1
1
1
x
x
x
是乘法运算，故不符合题意；
故选：B．
54．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
2
3
1
(
3)
1
x
x
x x
B．
2
(
2)(
2)
1
x
x
x
C．
2
2
(
2)
x
x
x x
D．
2
2
6
9
(
3)
x
x
x
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义：把一个多项式分成几个因式的积的形式．据
此进行解答即可．
【详解】解：A．
2
3
1
(
3)
1
x
x
x x
，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，
故此项不符合题意；
B．
2
(
2)(
2)
4
x
x
x
，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合
题意；
C．
2
2
(
2)
x
x
x x
，把一个多项式写成几个因式的积的形式，它属于因式分解，故此项符合题意；
D．
2
2
6
9
(
3)
x
x
x
，故原选项计算错误，故此项不符合题意．
故选：C．
55．（24-25 八年级上·广东广州·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（
）
A．
3
3
3
a
b
a
b
B．
2
1
1
1
a
a
a a
C．
2
2
2
4
2
a
a
a
D．
2
9
3
3
a
a
a
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形
式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、
3
3
3
a
b
a
b
是乘法运算，则A 不符合题意；
B、
2
1
1
1
a
a
a a
中等号右边不是积的形式，则B 不符合题意；
C、
2
2
2
4
2
a
a
a
，则C 不符合题意；
D、
2
9
3
3
a
a
a
符合因式分解的定义，则D 符合题意；
故选：D．
题型十三利用因式分解的结果求参数
26 / 39
56．（24-25 八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式
2
2
1
9
x
m
x
可分解因式为
2
3
x
的形式，则m 的值
为
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式
的结构特征是解题的关键．由题意得
2
2
9
2
1
9
6
x
x
x
m
x
，按照系数对应，即可求解．
【详解】解：
2
2
2
2
1
9
6
3
9
x
x
x
m
x
x
，
∴
2
1
6
m
，
解得：
2
m ，
故答案为：2
．
57．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题：
(1)若二次三项式
2
5
6
x
x
可分解为
2
x
x
a ，求a 的值．
(2)若二次三项式
2
2
5
x
bx
可分解为
2
1
x
x
c
，求b、c 的值．
【答案】(1)
3
a
(2)
9
b
，
5
c
【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整
式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．
（1）将
2
x
x
a 展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可；
（2）将
2
1
x
x
c
展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
=
(
2)
2
5
6
x
x
a
x
a
x
a
x
x
，
2
5
a
，
3
a
；
（2）解：
2
2
2
1
2
(2
1)
2
5
x
x
c
x
c
x
c
x
bx
，
2
1
5
c
b
c
，
解得
9
5
b
c
．
58．（24-25 八年级上·云南昭通·期末）已知，多项式
2
a
ma
n
可因式分解为
4
5
a
a
，则m 的值为
（
）
A．1
B．1
C．9
D．9
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，先得出
2
4
5
20
a
a
a
a
，结合多项式
2
a
ma
n
可因式分解为
4
5
a
a
，列式
2
2
20
a
ma
n
a
a
，即可作答．
27 / 39
【详解】解：
2
2
4
5
5
4
20
20
a
a
a
a
a
a
a
，
∵多项式
2
a
ma
n
可因式分解为
4
5
a
a
，
∴
2
2
20
a
ma
n
a
a
，
∴
1
20
m
n
,
=
= -
，
故选：B
59．（24-25 八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式
2
2
3
x
x
m
能分解成两个因式的积，且其中一个因式
为
2
x
，则m 的值为
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当
2
x 时，
2
2
3
x
x
m
的值为0，则
2
2
2
3
2
0
m
，解之即可得到答案．
【详解】解：∵多项式
2
2
3
x
x
m
能分解成两个因式的积，且其中一个因式为
2
x
，
∴当
2
0
x
时，
2
2
3
x
x
m
的值也为0，
∴当
2
x 时，
2
2
3
x
x
m
的值也为0，
∴
2
2
2
3
2
0
m
，
∴
2
m
，
故答案为：2 ．
60．（24-25 七年级上·上海普陀·期末）已知整式
2
3
x
mx
可以因式分解为
x
p
x
q
，如果m 、p 、q
都为整数，那么m 的值为
．
【答案】2
【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式
2
3
x
mx
x
p
x
q
，则
3
pq ，m
p
q
，根
据m、p，q 都为整数确定m 的值即可．
【详解】解：由题意可得
2
3
x
mx
x
p
x
q
，
则
3
pq ，m
p
q
，
∵m、p，q 都为整数，
∴
1
p ，
3
q 或
1
p ，
3
q
，
则
1 3
2
m 或
1
3
2
m
，
故答案为：2
．
28 / 39
一、单选题
1．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）已知边长为a 、b 的矩形的周长为14，面积为10，则
2
2
a b
ab
的值为
（
）
A．70
B．60
C．35
D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值等知识点，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和整体
代入的数学思想．
利用矩形的面积和周长公式求出代数式a
b
和ab 的值，对原式进行因式分解，然后整体代入即可求出结果．
【详解】解：根据矩形的周长为14 得：
2
14
a
b
，所以
7
a
b
，
根据矩形的面积为10 得：
10
ab
，
∴
2
2
a b
ab
ab a
b
将
7
a
b
，
10
ab
代入上式得
原式
10 7
70
故选：A．
2．（21-22 八年级上·重庆江津·期末）已知
3
m
n
，则
2
2
6
m
n
n
的值是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式，根据平方差公式把所求式子变形为
6
m
n
m
n
n
，
29 / 39
代入
3
m
n
可得所求式子
3 m
n
，据此可得答案．
【详解】解：∵
3
m
n
，
∴
2
2
6
m
n
n
6
m
n
m
n
n
3
6
m
n
n
3
3
6
m
n
n
=
+
-
3 m
n
3 3
9
，
故选：C．
3．（24-25 八年级上·福建泉州·期中）已知
2
xy ，
4
x
y
，则
2
2
x y
xy
的值是（
）
A．8
B．8
C．2
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式xy 因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解．
【详解】解：∵
2
xy ，
4
x
y
，
∴
2
2
2 4
8
x y
xy
xy x
y
．
故选：B．
4．（2025·江苏镇江·模拟预测）下列因式分解结果正确的是（
）
A．
2
(
)
x
xy
x
x x
y
B．
2
2
2
4
(
2)
x
x
x
C．
2
4
(
4)(
4)
x
x
x
D．2 (
)
(
)
(
)(2
1)
a b
c
b
c
b
c
a
【答案】D
【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可．
本题考查了因式分解-提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：A、
2
(
1)
x
xy
x
x x
y
，原结果错误，故此选项不符合题意；
B、
2
2
4
x
x
在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意；
C、
2
4
(
2)(
2)
x
x
x
，原结果错误，故此选项不符合题意；
D、2 (
)
(
)
(
)(2
1)
a b
c
b
c
b
c
a
，结果正确，故此选项符合题意：
故选：D．
5．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（
）
A．
2
x
3x
2
x x
3
2
B．
2
4
9
4
3
4
3
x
x
x
C．
2
2
a
2a
1
a
1
D．
2
5
6
2
3
x
x
x
x
30 / 39
【答案】D
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公
式和完全平方公式逐项进行判断即可．
【详解】解：A、
2
3
2
2
1
x
x
x
x
，故A 错误，不符合题意；
B、
2
4
9
2
3
2
3
x
x
x
，故B 错误，不符合题意；
C、
2
2
2
1
(
1)
a
a
a
，故C 错误，不符合题意；
D、
2
5
6
2
3
x
x
x
x
，故D 正确，符合题意．
故选：D．
6．（24-25 七年级上·上海普陀·阶段练习）本学期学校升级学生午餐的供餐方式为自助餐．餐盘里有若干块
质量相等的鸡米花，可以平均分给
1
x
名同学，也可以平均分给
3
x
名同学（x 为大于3 的正整数），
用代数式表示鸡米花的数量不可能是…（
）
A．(
1)(
3)
x
x
B．
2
2
3
x x
x
C．
2
4
3
x
x
D．
3
2
2
4
6
x
x
x
【答案】C
【分析】本题考查了多项式的乘法．根据题意可得纪念品的数量为
1
3
x
x
，进而根据多项式的乘法进
行计算求解即可．
【详解】解：根据题意可得，这些鸡米花的数量可能是
2
1
3
2
3
x
x
x
x
，
也可能是
2
2
3
x x
x
或
3
2
2
2
4
6
2
2
3
x
x
x
x x
x
，
不可能是
2
4
3
x
x
，
观察四个选项，选项C 符合题意，
故选：C．
7．（24-25 八年级上·北京·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（
）
A．
1
1
ac
ab
a c
b
B．
b x
y
bx
by
C．
2
2
m
n
m
n
m
n
D．
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的
因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判
断即可得．
【详解】解：A、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
B、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
C、等式的右边不是几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意；
D、等式的右边是几个整式积的形式，且左、右两边相等，则此项是因式分解，符合题意；
故选：D．
31 / 39
8．（24-25 八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如果a，b，c 是三角形的三边长，那么代数式
2
2
2
2
a
b
ab
c
的
值是（
）
A．负数
B．正数
C．非负数
D．非正数
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本
题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解．
【详解】解：
2
2
2
2
a
b
ab
c
2
2
a
b
c
a
c
b
a
b
c
∵a、b、c 是三角形的三边长，
∴
0
a
c
b
，
(
)
0
a
b
c
，
∴
2
2
2
0
2
a
ab
c
b
，即
2
2
2
2
a
ab
c
b
的值是负数．
故选：A．
9．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知
2015
2016
a
x
，
2015
2017
b
x
，
2015
2015
c
x
，则
多项式
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】本题考查了利用因式分解把代数式变形，首先把代数式分组，把每一组配成完全平方式，再利用
完全平方公式分解因式，可得：原式
2
2
2
1
1
1
2
2
2
a
b
a
c
b
c
，把a 、b 、c 分别代入整理后的代数
式中计算求值即可．
【详解】解：
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ac
c
b
bc
c
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
ac
c
b
bc
c
2
2
2
1
1
1
2
2
2
a
b
a
c
b
c
，
当
2015
2016
a
x
，
2015
2017
b
x
，
2015
2015
c
x
时，
原式
2
2
2
1
1
1
2
2
2
a
b
a
c
b
c
2
2
2
1
1
1
2015
2016
2015
2017
2015
2016
2015
2015
2015
2017
2015
2015
2
2
2
x
x
x
x
x
x
32 / 39
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
4
2
2
2
1
2
3
故选：D．
10．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）若a 、b 、c 是正整数，
1
a
b
，
2
11
a
ab
ac
bc
，则b
c
等于
（
）
A．10
B．1
C．10
D．11
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解的应用，构造二元一次方程组求解，解题的关键是将原等式因式分解．
首先得出
1
a
b
，然后将
2
11
a
ab
ac
bc
左边因式分解为
11
a
b
a
c
，然后根据题意得到
11
1
a
b
a
c
①
②，
②
①即可求解．
【详解】解：∵
1
a
b
∴
1
a
b
∵
2
11
a
ab
ac
bc
∴
11
a a
b
c a
b
∴
11
a
b
a
c
∵a 、b 、c 是正整数，
∴
11
1
a
b
a
c
①
②
∴
②
①得，
10
b
c
．
故选：A．
二、填空题
11．（20-21 九年级下·浙江·期末）因式分解：
2
3
12
a
．
【答案】
3
2
2
a
a
【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利
用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
2
3
12
a
2
3
4
a
3
2
2
a
a
．
33 / 39
故答案为：
3
2
2
a
a
．
12．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”
产生的密码，方便记忆，原理是对于多项
4
4
x
y
，因式分解的结果是
2
2
(
)(
)
x
y x
y
x
y
，若取
9,
9
x
y
，
则各个因式的值是：
2
2
18
0,
162
x
y
x
y
x
y
，
，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那
么对于多项式
3
2
4x
xy
，取
10,
5
x
y
时，用上述方法产生的密码是
（写出一个即可）．
【答案】102515（答案不唯一）
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
根据
3
2
4
2
2
x
xy
x
x
y
x
y
或
2
2
x
x
y
x
y
或
2
2
x
y x
x
y
或
2
2
x
y
x
y x
或
2
2
x
y x
x
y
或
2
2
x
y
x
y x
，把
10,
5
x
y
代入即可得到答案．
【详解】解：
3
2
4
2
2
x
xy
x
x
y
x
y
或
2
2
x
x
y
x
y
或
2
2
x
y x
x
y
或
2
2
x
y
x
y x
或
2
2
x
y x
x
y
或
2
2
x
y
x
y x
，
当
10,
5
x
y
时，2
25
x
y
，2
15
x
y
，
六位数密码为102515或101525或251015 或251510 或151025或152510，
故答案为：102515（或101525或251015 或251510 或151025或152510）．
13．（24-25 八年级上·江苏南通·期末）已知多项式
2
2024
2025
x
x
，当x
a
时，该多项式的值为b ，当x
b
时，该多项式的值为a ，若a
b
，则a
b
的值为
．
【答案】2023
【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是
解题关键．先根据多项式的值可得
2
2024
2025
a
a
b
，
2
2024
2025
b
b
a
，再将两个等式相减可得
2
2
2023
0
a
b
a
b
，利用因式分解可得
2023
0
a
b
a
b
，然后根据
0
a
b
即可得．
【详解】解：∵当x
a
时，多项式
2
2024
2025
x
x
的值为b ，当x
b
时，该多项式的值为a ，
∴
2
2024
2025
a
a
b
①，
2
2024
2025
b
b
a
②，
由①②得：
2
2
2024
2024
a
b
a
b
b
a
，即
2
2
2023
0
a
b
a
b
，
∴
2023
0
a
b
a
b
a
b
，
∴
2023
0
a
b
a
b
，
∵a
b
，即
0
a
b
，
∴
2023
0
a
b
，
∴
2023
a
b
，
故答案为：2023．
14．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）若
4
3
x
y
，
1
2
xy
，则
2
2
x y
xy
的值为
．
34 / 39
【答案】2
3
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式分解因式，在把
4
3
x
y
，
1
2
xy
，代入原式计
算即可．
【详解】解：
2
2
x y
xy
xy x
y
，
把
4
3
x
y
，
1
2
xy
，代入，
原式
1
4
2
2
3
3
，
故答案为：2
3 ．
15．（22-23 七年级下·安徽合肥·期末）因式分解：
2
6
9
x y
xy
y
．
【答案】
2
3
y x
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键．
先提取公因式y，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：
2
6
9
x y
xy
y
2
6
9
y x
x
2
2
6
3
y x
x
2
3
y x
．
故答案为：
2
3
y x
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）分解因式：
(1)
2
2
3
3
6
mx
my
mxy
；
(2)
4
16
1
a ；
(3)
2
9
6
1
x
y
x
y
；
(4)
2
2
81
25
a
b
a
b
．
【答案】(1)
2
3 (
)
m x
y
(2)
2
(4
1)(2
1)(2
1)
a
a
a
(3)
2
(3
3
1)
x
y
(4) 4(7
2 )(2
7 )
a
b
a
b
【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，
需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了．
35 / 39
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式；
（2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底；
（3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可；
【详解】（1）
2
2
3
3
6
mx
my
mxy
2
2
3 (
2
)
m x
xy
y
2
3 (
)
m x
y
（2）
4
16
1
a
2
2
(4
)
1
a
2
2
(4
1)(4
1)
a
a
2
(4
1)(2
1)(2
1)
a
a
a
（3）
2
9
6
1
x
y
x
y
2
3(
) 1
x
y
2
(3
3
1)
x
y
（4）
2
2
81
25
a
b
a
b
9(
)
5(
) 9(
)
5(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
(9
9
5
5 )(9
9
5
5 )
a
b
a
b
a
b
a
b
(14
4 )(4
14 )
a
b
a
b
4(7
2 )(2
7 )
a
b
a
b
17．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）若一个两位正整数a 的十位上的数字为m，个位上的数字为n，且
满足
3
m
n
．
(1)写出符合条件的所有数a；
(2)若m
n
，
2
2
a
p
q
，且p，q 为正整数，求q
p 的值．
【答案】(1)12 或21 或30；
(2)
1
2 ．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
（1）由
3
m
n
，对m，n 进行取值即可解决问题．
（2）由m
n
，得出
1
m ，
2
n
，进而得出a 的值，进一步得出(
)(
)
p
q
p
q
的值，分类讨论即可解决问
题．
【详解】（1）因为
3
m
n
，且m 为两位正整数的十位上的数
字，n 为其个位上的数字，
所以
1
m ，
2
n
或
2
m
，
1
n 或
3
m
，
0
n
，
36 / 39
所以a 为12 或21 或30；
（2）因为m
n
，
所以
1
m ，
2
n
，
所以
12
a
．
由
2
2
a
p
q
得，
(
)(
)
12
p
q
p
q
．
又因为p ，q 为正整数，
所以p
q
p
q
，
则
12
1
p
q
p
q
，
6
2
p
q
p
q
，
4
3
p
q
p
q
，
解得
3.5
0.5
p
q
(舍去) 或
4
2
p
q
或
6.5
5.5
p
q
(舍去)，
所以
2
1
4
2
q
p
．
18．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力
工具．下面是对多项式
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
进行因式分解的解题思路：
将“
2
2
x
x
”看成一个整体，设
2
2
x
x
m
，
则：原式
2
2
2
1
2
1
1
m m
m
m
m
再将“ m ”还原为“
2
2
x
x
”即可．
解题过程如下：
解：设
2
2
x
x
m
，
则：原式
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
m m
m
m
m
x
x
问题：
(1)以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程；
(2)请你模仿以上方法，将多项式
2
2
6
6
18
81
x
x
x
x
进行因式分解．
【答案】(1)不彻底；见解析
(2)
4
3
x
【分析】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）根据材料，用换元法进行分解因式即可．
【详解】（1）解：分解不彻底；分解过程如下：
设
2
2
,
x
x
m
则：原式
2
1
m m
37 / 39
2
2
1
m
m
2
1
m
2
2
2
1
x
x
4
1
x
；
（2）解：设
2
6
x
x
y
，
则
2
2
6
6
18
81
x
x
x
x
18
81
y y
2
18
81
y
y
2
9
y
2
2
6
9
x
x
4
3
x
．
19．（24-25 七年级上·上海·期中）下面是对整式
3
3
x
y
因式分解的部分过程．
解：原式
3
2
2
3
x
x y
x y
y
（第一步）
3
2
2
3
x
x y
x y
y
（第二步）
2
2
2
x
x
y
y x
y
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式
3
8
1
x 进行因式分解．
【答案】(1)提公因式法，公式法，分组分解法；
(2)见解析
(3)
2
2
1
1
4
2
x
x
x
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）根据所给因式分解过程即可得到答案；
（2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可；
（3）先把原式变形为
3
2
2
2
2
2
1
x
x
x
，再分组得到
3
2
2
2
2
2
1
x
x
x
，据此分解因式即可．
【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法；
（2）解：原式
2x
x
y
y x
y
x
y
（第四步）
38 / 39
2
2
x
y
x
xy
y
（第五步）
（3）解：
3
8
1
x
3
2
1
x
3
2
2
2
2
2
1
x
x
x
3
2
2
2
2
2
1
x
x
x
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
2
2
1
2
2
1
x
x
x
2
2
1
4
2
1
x
x
x
．
20．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）计算与因式分解：
(1)计算
2
2
2
3
2
3
x x y
xy
y x
x y
x y
；
(2)计算
2
2
3
2
2
x
y
x
y
x
y
；
(3)因式分解
2
2
4
a
x
y
b
y
x
.
【答案】(1) 2
2
3
3
xy
(2)
2
12
10
xy
y
(3)
2
2
x
y
a
b
a
b
【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算，掌握运算法则和因式分解的常用方法是解题的关键．
（1）先计算括号内单项式与多项式的乘法，再合并，最后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（3）先将原式变形，再提取公因式，再利用平方差公式因式分解．
【详解】（1）解：
2
2
2
3
2
(
)
(
)
3
x x y
xy
y x
x y
x y
3
2
2
2
3
2
2
(
)
3
x y
x y
x y
x y
x y
2
2
3
3
xy
；
（2）解：
2
2
3
2
2
x
y
x
y
x
y
2
2
2
2
4
12
9
(4
)
x
xy
y
x
y
2
2
2
2
4
12
9
4
x
xy
y
x
y
2
12
10
xy
y
；
（3）解：
2
2
4
a
x
y
b
y
x
2
2
4
a
x
y
b
x
y
39 / 39
2
2
4
x
y
a
b
2
2
x
y
a
b
a
b
．
