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专题13 圆锥曲线二级结论秒杀技巧
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题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径...................................................................................................................1
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式...........................................................................................................8
题型03 中点弦问题秒杀公式................................................................................................................................. 10
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为
............................................................................................................. 20
题型05 离心率秒杀公式......................................................................................................................................... 24
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式.........................................................................................................30
题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径
【解题规律·提分快招】
一、通径的定义
1、焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于
两点，则称线段
为圆锥曲线的焦点弦.
2、通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
二、通径的性质
【性质1】椭圆
和双曲线
通径的端点坐标为
，抛物线
通径的端点坐标为
.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为
，抛物线的通径长为
.
1
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性质1、性质2 的证明：
①如图1，不妨设
过右焦点
，且
在第一象限，把
，代入椭圆方程
，得到
，
，
，进一步可得通径长
.若
过左
焦点
，同理可得通径的端点坐标为
.
②对于双曲线，证明过程同椭圆.
③对于抛物线
，如图2，把
，带入抛物线方程
得到
，
，
通径
.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通
径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆
的一条直
径与拋物线
的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线
经过点(2,1)，从
而可得答案.
【详解】因为圆
的一条直径与抛物线
的通径恰好构成一个正方形的一
组邻边，
而抛物线
的通径与
轴垂直，
所以圆
的这条直径与
轴垂直，
且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，
因为圆
的圆心为
，半径为
，
所以该圆与
轴垂直的直径的上端点为(2,1)，
即抛物线
经过点(2,1)，则
，即
.
故选：C
2
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2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）椭圆
的左、右焦点分别记为
，过左焦点
的直线交椭圆
于
A、B 两点.若弦长|AB|的最小值为3，且
的周长为8，则椭圆
的焦距等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与
轴（长轴）垂直，此时弦长为
，焦点
（弦
边另一个焦点）的周长为
，由此求得
，得结论．
【详解】由题意可知
，焦距等于2
故选：B．
3．（24-25 高三上·福建宁德·阶段练习）已知
是椭圆C 的两个焦点，过
且垂直于x 轴的
直线交C 于A，B 两点，且
，则椭圆C 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题设，令椭圆为
且
，结合已知有
、
求椭圆参数，
即可得方程.
【详解】由题设，令椭圆为
且
，其中
，
令
，则
，可得
，
由
，即
，故
，
所以
，可得
（负值舍），则
，
故椭圆方程为
.
故选：B
3
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4．（23-24 高三上·江苏南通·期中）已知双曲线
的焦点为
，
，点
在双曲线
上，
满足
，
，则双曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可知
，求解即可
【详解】由题意可知双曲线方程为
且
，
解得
，
所以双曲线
的标准方程为
，
故选：B
5．（23-24 高三上·全国·期中）已知点A，B 分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C 上一点P 向x 轴作垂线，
垂足恰好为左焦点
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
，根据平行关系得到方程，得到
，从而求出离心率.
【详解】由已知得：
，
将
代入椭圆
中，
，解得
，
因为A，B 分别是椭圆的右、上顶点，且
，所以
，
4
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其中
，
由
得：
，
解得
，
由
得：
，
所以椭圆C 的离心率为
.
故选：C.
6．（2024·四川·模拟预测）已知
是双曲线
的右焦点，过
作与
轴垂直的直线
与双曲线交于
两点，过
作一条渐近线的垂线，垂足为
，若
，则双曲线的离心率为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知求出
两点坐标，得
，焦点到渐近线的距离求出
，由
求出
的值，
再由
求出的值，可求双曲线的离心率.
【详解】设F (c ,0)，则
，
过
作与
轴垂直的直线与双曲线交于
两点，不妨设
在第一象限，
5
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由
解得
，所以
．
由双曲线
可得渐近线为
，
由对称性可知，
到任一渐近线的距离均相等，不妨求
到渐近线
的距离，
所以
．
因为
，所以
，解得
．
由
，则
，得
，所以离心率为
．
故选：
．
二、填空题
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，点M 在C 上，
轴，若
（O 为坐标原点）的面积为2，则
.
【答案】
【分析】根据所给条件，可得
，再令
得
，带入面积公式
，计算即可得解.
【详解】由
，令
得
，
所以
，
所以
，
.
故答案为：
8．（24-25 高三上·陕西渭南·期中）已知椭圆
的右焦点为
，过点
且垂直于
轴的直线与
交于
，
两点，
为坐标原点，若
，则
.
6
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【答案】
【分析】根据题设得到
、通径
，结合椭圆参数关系列方程求参数.
【详解】由题设
，且
，又
，即
为等腰直角三角形，
所以，通径
，即
，又
，故
，
所以
（负值舍）.
故答案为：
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，点
为双曲线
的右支上一点．若线段
的中点
，则双曲线
的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值
为 ．
【答案】
【分析】由中位线的性质推导出
轴，求出
，根据
可求出
的值，然后利用二倍
角的正切公式可求得双曲线
的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值.
【详解】如图，因为
为线段
的中点，
为
的中点，则
，且
，
又
轴，所以，
轴，
7
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将
代入双曲线方程可得
，可得
，
所以，
，则
，即
，所以，
．
设经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为
，则
，则
，
所以，
，
故两条渐近线的夹角的正切值为
.
故答案为：
.
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【解题规律·提分快招】
椭圆焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
证明：设
．
双曲线中焦点三角形的面积为
（
为焦距对应的张角）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·北京丰台·期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上.
若
，则
的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9
【答案】B
8
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【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到
，再由勾股定理得
，联立方程组，
求得
，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，椭圆
，可得
，则
，
因为点
在椭圆
上，可得
，
又由
，可得
,
联立方程组
，可得
，
所以
的面积为
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·河南驻马店·期末）已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，
为
上一点，
，且
的面积等于8，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、
关系式及双曲线定义即可求解.
【详解】因为
，所以
，
即
，
由双曲线定义可得
，
所以
，即
，
又
，所以
，
所以
，解得
.
9
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故选：
.
3．（23-24 高三上·湖北·期末）已知椭圆
（
）的两焦点分别为
、
．若椭圆上有一点
P，使
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点
在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得
的值，再运用三角形面积公式
即得.
【详解】
如图，不妨设
，由点
在椭圆上可得：
①，
由余弦定理可得：
，化简得：
②，
由①式两边平方再减去②式，得：
，
于是
的面积为
.
故选：D.
题型03 中点弦问题秒杀公式
【解题规律·提分快招】
中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且
与
斜率存在时，则
；（焦点
10
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在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，
（焦点在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设
，
，因为AB 过原点，由对称性可知，点
，所以
kPA⋅kPB = y0−y1
x0−x1
⋅y0+ y1
x0+x1
=
y
02−y
12
x
02−x
12 ．又因为点
，
在椭圆上，所以有
{
x
02
a
2 +
y
02
b
2 =1(1)¿¿¿¿
．
两式相减得
y
02−y
12
x
02−x
12
=−b2
a2
，所以kPA⋅kPB =−b2
a2 ．
中点弦问题证明：设
，
，
则椭圆
两式相减得
．
2、双曲线中焦点在
轴上为
，焦点在
轴上为
，
3、设直线与抛物线
相交所得的弦
的中点坐标为
，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·广西玉林·期中）已知
是抛物线
上的两点，且线段
的中点为
，则直
线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
11
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【分析】利用点差法即可求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程.
【详解】设A(x1, y1),B(x2, y2),则
，
故
，
由于
的中点为
，故
，因此
,
故直线方程为
，即
，
经检验，直线
与抛物线相交，满足条件.
故选：C
2．（24-25 高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线
，过点
作弦
，弦
恰被点
平
分，则弦
所在直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点差法可求得直线
的斜率.
【详解】设点A(x1, y1)、B(x2, y2)，
因为点M (1,1)为线段
的中点，则
，
，
若直线
轴，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，
由题意可得
，将这两个等式作差可得
，
即
，所以，直线
的斜率为
.
故选：D.
3．（24-25 高三上·四川成都·期末）设
为双曲线
上的两点，线段
的中点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
，利用中点弦问题求出直线
斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程
联立求出弦长.
【详解】设双曲线
上的点
，线段
的中点为
，则
，
12
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则
，且
，
两式相减，得
，即
，
则直线
斜率
，直线
的方程为：
，
由
，消去
，得
，解得
，
.
故选：B
4．（24-25 高三上·广东梅州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与
其相交于
两点，若
中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得.
【详解】根据焦点坐标可设标准方程为
，且
；
设
，可得
，
两式相减可得
；
由直线
与双曲线交于
两点，且
中点的横坐标为
，
可得斜率
，且中点坐标为
；
所以
，即
；
13
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解得
，所以双曲线的方程是
.
故选：D
5．（24-25 高三上·内蒙古包头·期中）已知点
为椭圆
的左焦点，点
为椭圆
的下顶点，平行于
的直线交椭圆于
两点，且
的中点为
，则该椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可求出直线
的斜率为
，设点
，利用点差法和题设条件可推得
，结合
，求出
的值，即得椭圆方程.
【详解】
如图，由题意，点
，
，直线的斜率为
，
因
，故
，
设点
，则
，
两式相减，可得：
（*），
因
的中点为
，则
，且
，
代入（*），化简可得：
①又
②，
联立① ② ，解得：
，故该椭圆的方程为
.
故选：B.
6．（24-25 高三上·重庆秀山·期末）直线
经过椭圆
的左焦点
，且与
椭圆交于
两点，若
为线段
中点，
，则椭圆的离心率为（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
得到
，结合点差法计算得
，进而求出离心率.
【详解】直线
的斜率
，如图，
由
，得
，则直线
的斜率
，
设
，则
，两式相减得
，
于是
，而
，
因此
，解得
，
所以椭圆的离心率
.
故选：C
7．（23-24 高三上·四川绵阳·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”
得到椭圆的面积除以圆周率
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆
的焦
点为
，过
作直线交椭圆于
两点，若弦
是圆
的一条直径，则椭圆的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由圆的对称性可得
中点坐标，并由两点连线斜率公式求得
；利用点差法可结合中点坐标构
造关于
的方程，结合
可求得
，进而得到椭圆面积.
【详解】
弦
是圆
的一条直径，
中点坐标为
，
15
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又直线过点
，
，
设
，
由
得：
，即
，
又
，
，
，
，又
，
，
，
，
，
椭圆的面积
.
故选：C.
8．（2024·陕西宝鸡·一模）设
，
为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段
中点的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据点差法分析可得
，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于D：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设
，则
的中点
，设直线
的斜率为
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
.
对于选项A： 可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
16
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此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于选项B：可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于选项C：
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故C 正确；
对于选项D：可得
，则
由双曲线方程可得
，则
为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故D 错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到
，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.
9．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）已知
为椭圆
的右焦点，过点F 的
直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点，若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，
且
外接圆的面积为
，则椭圆C 的长轴长为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】B
【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求
中的
，结合已知有
，根据中点弦，
应用点差法有
即可求椭圆
的长轴长.
【详解】由
外接圆的面积为
，则其外接圆半径为
.
17
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∵
是以
为底边的等腰三角形，设
，则
，
∴
，得
，
∴
或
.
不妨设点
在
轴下方，
由
是以
为底边的等腰三角形，知：
或
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
，
，
所以
，
所以
，
因为
四点共线，
为线段
的中点，
所以
，
，
所以
，
所以
或
（此时焦点在
轴上，舍去）
∵
为椭圆
的右焦点，
，
∴
，故椭圆
的长轴长为
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决.
18
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10．（2024·全国·模拟预测）已知直线
恒过抛物线C：
的焦点F，且与
C 交于点A，B，过线段AB 的中点D 作直线
的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF 的斜率分别为
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将直线与方程联立后得到与横坐标有关韦达定理后结合题意计算或者设出直线与抛物线相交两点
坐标，借助三点共线计算得到
为定值，即只需计算
的范围即可，结合题意由中点公式计算即可得.
【详解】解法一：
因为直线
恒过C 的焦点F，所以
，
则
，抛物线C：
，把
代入C 的方程，
得
，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则
，
，所以
，
所以
，
，
则
，
，所以
，由
，
得
；
解法二：
因为直线
恒过C 的焦点F，所以
，
则
，抛物线C：
，
设
，
，
由A，B，F 三点共线得
，得
，
又
，所以
，
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由直线AB 的斜率为t 得
，
得
，则
，所以
，
由
，得
.
故选: B.
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线
：
（
，
）的右焦点为
，过
作双曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，若
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．3
C．2
D．
【答案】D
【分析】运用数量积的定义,长度角度全部用
表示，构造
之间的一个等式,运用离心率公式求解
即可.
【详解】由双曲线的几何性质知道，
，
，
20
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∵
，
∴
，∴离心率
.
故选：D.
2．（2024·广西桂林·模拟预测）已知
是双曲线
的左、右焦点，过
作双曲线一条渐近
线的垂线，垂足为
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据点到直线得距离公式求出
，在
和
中，求出
，
利用余弦相反构造
的齐次式，即可得解.
【详解】
，点
到渐近线
的距离为
，即
，
因为
，所以
，
，
在
中，由余弦定理得：
.
在
中，由余弦定理得：
.
因为
，所以
，
所以
，又
，所以
，
所以
.
故选：D
21
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3．（24-25 高三上·天津南开·期末）已知双曲线
的离心率为
为
的两个焦点，过
作
的一条
渐近线的垂线，垂足为
为坐标原点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，
利用余弦定理可得
，从而得解.
【详解】根据题意，
，由
，
则
，
．
由余弦定理可得，
，
所以
，
所以
．
故选：A
4．（23-24 高三上·天津和平·期末）已知
是双曲线
的右焦点，过点
的直线
与双曲线
的一条渐近线垂直，垂足为
，且直线与双曲线
的左支交于点
，若
，则双曲
22
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线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
的左焦点为
，连接
，过
作
于
，根据已知及双曲线性质有
为线段
的中垂线，结合双曲线定义及
关系得到
关系，即可得离心率.
【详解】设
的左焦点为
，连接
，过
作
于
，
易知
，所以
为
的中位线，
又图中双曲线的渐近线方程为
，
则
，
，
则
为线段
的中点，所以
为等腰三角形，即
，
又
，
即
，
，即
，
，
解得
.
故选：B.
5．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作斜率为正且与
的某条渐近线垂直的直线与双曲线
在第一象限交于
，
，则
的离心率为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，过点
作
于
，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出
的关系，
即可求出双曲线的离心率.
【详解】令双曲线
的半焦距为，则
，
23
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令直线与双曲线
的渐近线
垂直的垂足为
，
于是
，
，
过点
作
于
,则
，而
为线段
的中点,
所以
因为
，所以
，
由双曲线定义得
，即
，解得
.
所以该双曲线的离心率为
.
故选：B.
二、填空题
6．（2024·青海海东·模拟预测）已知
，
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线l 与
C 的一条渐近线垂直，垂足为A，且
，则双曲线C 的实轴长为 ．
【答案】
【分析】令
，由给定条件求出
，再在
中由余弦定理建立关系即可求解作答.
【详解】令
，则
，而双曲线
的渐近线为
，则
，
令坐标原点为O，有
，
，
，则
，
24
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在
中，由余弦定理得
，整理得
，则
，
所以双曲线C 的实轴长为
．
故答案为：
题型05 离心率秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、设圆锥曲线
的焦点
在
轴上，过点
且斜率为
的直线交曲线
两点，若
，则
．
2、已知双曲线方程为
)
0
,0
(
1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的右焦点为
，过点
且与渐近线
垂直的直线分
别交两条渐近线于
两点.
情形1.如图1.若
)
1
,0
(
FQ
FP
,则
图1 图2
如图2.若
，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线
与椭
圆
交于
，若
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为
，根据
可得
，利用同角三角函数的基本关系可求出
直线的斜率.
25
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【详解】
由题意得，
，
∴椭圆的离心率为
.
设直线的倾斜角为
，根据焦比定理得
，
由
得
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
，
∴
，即直线的斜率为
.
故选：D.
2．（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，左焦点为F，过F
作倾斜角为
的直线交椭圆E 于M、N 两点，且
（其中
），则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】首先化简椭圆方程
，与直线方程联立，利用韦达定理得
，
，再利用向量共线的坐标表示得
，消元后得
的值.
【详解】由题意可知
，得
，即
，
椭圆方程
，化简为：
，
过椭圆左焦点
，斜率为
的直线为
，与椭圆方程联立，
26
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，化简为：
，
设
，
,
，
①
因为
，点
在线段
上，即
，即
②
由①②可知
，解得：
或
因为
，所以
.
故选：D
3．（23-24 高三下·甘肃·期末）过双曲线
的左焦点
作斜率为2 的直线交
于
两点．若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，由
，得
，设直线的方程为
，代入双曲线
方程化简，利用根与系数的关系，再结合
可得到关于
的式子，化简后可求得离心率.
【详解】设
，由
，得
，
设直线的方程为
，
由
消去
，得
，
由根与系数的关系，得
，
所以
，
所以
，化简得
，
27
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所以
，得
，
所以
，可得
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意
设出直线的方程为
，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难
题.
二、填空题
4．（24-25 高三上·上海·课后作业）若斜率为
的直线l 过双曲线
的上焦点
，与双曲
线
的上支交于
两点，
，则
的值为 ．
【答案】
/
【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得
，
，再结合
有
，联立解得
的值，从而得解．
【详解】因为双曲线
：
，所以
，
设直线方程为
，代入双曲线方程消去
得
．
设
，
因为
，且
，
所以
，
．
因为
，所以
，
所以
，
，
两式联立解得
（负值舍去）．
28
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故答案为：
.
5．（23-24 高三下·安徽芜湖·期末）已知双曲线
的离心率为，左焦点为
．若
过点
的直线斜率为
，且与双曲线
左支交于两点，则的取值范围为 ；过点
作双曲
线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，且与另一条渐近线交于点
，若
，则
．
【答案】
或
【分析】由渐近线的性质与离心率定义计算可得空一；分
、
在
轴同侧与在
轴异侧进行讨论，结合
倾斜角与斜率的关系，结合正切函数二倍角公式计算即可得
，即可得离心率.
【详解】空一：由题意可得
，则
；
空二：不妨设渐近线
，若
、
在
轴同侧，
则
，
，
即
，解得
，则
；
若
、
在
轴异侧，则
，
，
即
，解得
，则
；
综上所述，
或
.
29
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故答案为：
；
或
.
【点睛】关键点点睛：第二个空的关键点在于正确使用渐近线方程，由
，故可从其倾斜角与斜率
的关系入手建立相应等式.
6．（24-25 高三上·湖南长沙·期末）已知双曲线
：
（
，
）的右焦点为
，过点
作
双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为
，若直线与双曲线
的另一条渐近线交于点
，且
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为 .
【答案】
/
【分析】由
确定
与线段
的位置关系，求出
到渐近线的距离，接着由
的关系，结合
以及离心率公式即可求解.
【详解】已知双曲线
：
（
，
）的渐近线方程为
，
双曲线右焦点F (c ,0)到渐近线
的距离为
，
在
中，
，
，所以
，
设
，则
，
，
因为
，
所以
，所以
，所以
，
在
中，
，
所以
，即
，即
，
所以双曲线的离心率
.
30
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故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出
，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，进而转化为
的齐次式，然后等式（不等式）两边分别
除以
或
转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）.
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式
【解题规律·提分快招】
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为
直线的经过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，则
①
.
②
.
③
,
.
2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线
的焦点为F，
是过
的直线与抛物线的两个交点，求证：
.
②一般地，如果直线恒过定点
与抛物线
交于
两点，那么
.
③若
恒过定点
.
3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
31
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设AB 是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB 为直径的圆与准线相切．
②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三上·北京东城·期中）直线过抛物线
的焦点
，且与该抛物线交于不同的两点
、
，若
，则弦
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦
的长.
【详解】抛物线
的准线方程为
，
因为直线过抛物线
的焦点
，且与该抛物线交于不同的两点
、
，
则
.
故选：C.
2．（23-24 高三下·黑龙江·阶段练习）已知
为抛物线
的焦点，过
且斜率为1 的直线
交
于
两点，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】写出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算求解即可.
【详解】由已知得
，则过
且斜率为1 的直线为
，设
，
联立
，消去
得
，
则
，
，
，
32
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解得
.
故选：A.
3．（2024·河南开封·三模）过抛物线
的焦点F 的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别
交于A，B 两点，若
，则直线AB 的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】分别过A，B 两点作横轴的垂线，垂足分别为
，
设直线AB 的倾斜角为
，
由题意可设
，
因为
，所以
为钝角，如下图所示：
由
，
因为
，
所以有
，
所以
，
在直角三角形中
中，
，
33
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所以
．
故选：C
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，直线过点
与抛物线
相交于
，
两点，且
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设直线倾斜角为
，由
，及
，可求得
，当点
在
轴
上方，又
，求得
，
，利用对称性即可得出结果.
【详解】设直线倾斜角为
，由
，
所以
，因为
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
当点
在
轴上，又
，
所以
，
，
所以由对称性知直线的斜率
.
故选：B.
5．（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）已知抛物线
过抛物线的焦点
作直线与抛物线
交于两点
，且抛物线的准线与
轴的交点为
，则以下结论错误的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线方程为
，联立直线和抛物线的方程，由韦达定理得
，
，故
34
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选项AB 正确；由
，故C 正确；由
，当
时，
，即
,故D 错误.
【详解】设过抛物线
的焦点
的直线为：
，
联立
，消去
得
，
由韦达定理得
，
则
，故AB 正确；
由
，故C 正确，
因为
，
所以
，
当
时，
，即
,故D 错误.
故选：D.
二、多选题
6．（24-25 高三上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，经过点
且斜率为
的直线与抛物线
交于点
，
两点（点A 在第一象限），若
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】直线与抛物线
联立方程组，求出点
，
的坐标，由
，求得
，进而求得
，
即可判断ABC，求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D.
【分析】如图，
，直线的斜率为
，则设直线的方程为
，
35
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联立
得
，解得：
，
．
由
，得
，故A 错误；
由于
，则
，故C 错误；
同理
，故B 正确；
因为直线的方程为
，原点到直线的距离为
，
所以
，故D 正确．
故选：BD．
7．（23-24 高三上·江苏盐城·期中）已知
是抛物线
上不同于原点
的两点，点
是抛物线
的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点
的坐标为
B．
C．若
，则直线
经过定点
D．若点
为抛物线
的两条切线，则直线
的方程为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得
，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方
程即可求解D.
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【详解】因为拋物线
，故
的坐标为
故A 正确；
由于当直线
过焦点时，由抛物线定义可得
，但直线
不一定过焦点，故B 错误；
若
，故
，即
或
（舍去），
因为直线
，即
，得
，
故直线
经过定点
，故C 正确；
设过点
的切线方程为
，联立
，
所以
，故
或
，所以方程的根为
，
故切线
方程中
分别为
和
，故
，
，
可得直线
，即
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（24-25 高三上·陕西·期中）已知
为坐标原点，过抛物线
：
的焦点
作斜率为
的直线交抛物线
于
，
两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据焦点坐标求得抛物线方程，然后联立直线和抛物线方程求得点A 和B 坐标，利用焦半径公式
求得弦长判断B，利用面积分割法求面积判断C，利用两点式斜率和正切函数的单调性判断A，利用数量
积判断夹角范围判断D.
【详解】由题意
，则抛物线
：
，准线方程为
，
则直线的方程为
，
设
，联立方程组得
，解得
，
，
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所以点
，点
，所以
，
，故选项BC 正确；
又
，所以
，
故
，故A 错误；
因为
，
所以
，
所以
为钝角，故D 错误.
故选：BC.
9．（23-24 高三上·江苏南京·阶段练习）已知
是抛物线
上的两动点，
是抛物线的焦点，
下列说法正确的是（ ）
A．直线
过焦点
时，以
为直径的圆与
的准线相切
B．直线
过焦点
时，
的最小值为6
C．若坐标原点为
，且
，则直线
过定点
D．与抛物线
分别相切于
两点的两条切线交于点
，若直线
过定点
，则点
在抛物线
的准线上
【答案】ABD
【分析】
对于A：根据抛物线的定义分析判断；对于B：设
方程为
，联立方程，根据抛物线的定义结
合韦达定理分析求解；对于C：设
方程为
，设
，
，联立方程，根据垂直
38
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关系可得
，结合韦达定理分析求解；对于D：可知抛物线
在点
处的切线方程为
，根据切线方程求交点坐标，结合选项B 分析判断.
【详解】对于选项A：如图1，设
中点为
，分别过点
向准线作垂线，垂足为
，
则由抛物线的定义可得，
，
.
因为
中点为
，所以有
，
所以以
为直径的圆与
的准线相切，故A 正确；
对于选项B：由抛物线
，可得
，
由题意可知直线
斜率不为
，设
方程为
，设
，
，
联立直线与抛物线的方程
，消去x 可得
，
则
恒成立。
可得
，
，
则
，
所以
当且仅当
时，
取到最小值6，故B 正确；
对于选项D：先证抛物线
在点
处的切线方程为
，
联立方程
，消去x 得
，
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可知方程组只有一个解，即直线
与抛物线
相切，
可知抛物线
在点
处的切线方程分别为
，
，
联立方程
，解得
，即点
，
结合选项B 可得：
，
所以点
在抛物线
的准线
上，故D 正确；
对于选项C：由题意可知直线
斜率不为
，设
方程为
，设
，
，
，
则
，
，
若
，则
，解得
或
（舍去），
联立直线与抛物线的方程
，消去x 可得
，
则
，解得
，
此时
，符合题意，
所以
，则直线
过定点
，故C 错误；
故选：ABD.
10．（24-25 高三上·浙江绍兴·期中）抛物线
的焦点为
，过
的直线交抛物线于
，
，
以下说法正确的有（ ）
A．以
为圆心，
为半径的圆与抛物线仅有1 个交点
B．以
为直径的圆与
轴相切
C．当
轴时，
取到最小值
D．若点
为抛物线准线与
轴交点，则一定有
【答案】ABD
【分析】联立圆与抛物线方程，根据解的个数判断A；利用半径与距离的关系判断B；当
轴，求出
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的长判断C；将
转化为
判断D.
【详解】
对于A，抛物线
的焦点为
，
所以以
为圆心，
为半径的圆的方程为
，
联立
，得
，即
，
因为
，所以
，交点坐标为
，
所以以
为圆心，
为半径的圆与抛物线仅有1 个交点,故A 正确；
对于B，设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
的中点
，
，
则以
为直径的圆的半径为
，
的中点的横坐标为
，
所以
的中点到
轴的距离为
，即以
为直径的圆与
轴相切，故B 正确；
对于C，当过点
直线斜率不存在时，即
，此时
，
当斜率存在时，直线方程为
，联立
得
，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
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所以当
轴时，
取到最小值
，故C 错误；
对于D，点
为抛物线准线与
轴交点，所以
， 直线方程为
，
联立
，则
，所以
，
则
，所以
，故D 正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D 选项中，
转化为
.
11．（24-25 高三上·广东惠州·阶段练习）已知F 是抛物线
的焦点，过点F 作两条互相垂直的直
线
与C 相交于
两点，
与C 相交于
两点，直线l 为抛物线C 的准线，则（ ）
A．
的最小值为4
B．以
为直径的圆与l 相切
C．
的最小值为32
D．
和
面积之和最小值为32
【答案】BCD
【分析】设出直线、
，与抛物线联立后消去
，得到与纵坐标有关的韦达定理备用，对A，表示出
，
计算即可得；对B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对C，表示出
、
的长度
后结合基本不等式即可得；对D，表示出两三角形面积之和后，借助坐标之间的关系，结合基本不等式求
解即可得.
【详解】由
，故焦点坐标为
，准线方程为
，
设
，A(x1, y1)、B(x2, y2)、
、
，
则
，
联立
，消去
得：
，
，
有
，
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
的中点
点坐标为
，
42
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因
，故
，
则
为直径的圆以
为圆心，
为半径，
而圆心
到
的距离为
，
故以
为直径的圆与相切，即B 正确；
对于C，因
，
同理可得
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，故C 正确；
对于D，
，
由
，则
，
同理可得，
，
即
，
当且仅当
，
时等号成立，
当
时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，
，
即
，
可同时取等，故D 正确.
故选：BCD.
43
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一、单选题
1．（24-25 高三上·广东·阶段练习）设
是椭圆
上的一点，
，
为焦点，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．16
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理，求
，再代入三角形面积公式，即可求解.
【详解】
为椭圆
上的一点，
，
为焦点，
，
，
，可得
，即
，
，
设
，
，则有
，
，
，
，
．
的面积
．
故选：C．
2．（23-24 高三下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y 的焦点为F，准线为l，A 是l 上一点，B 是
直线AF 与C 的一个交点，若
，则|BF|＝（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】B
44
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【分析】根据平面向量共线的性质，结合抛物线定义进行求解即可.
【详解】抛物线C：x2＝4y 的焦点为F（0，1），准线为l：y＝－1，
设A（a，－1），B（m，n），则
，
，
∵
，
∴－2＝－4（n－1），
∴
，
∴由抛物线的定义可得
故选：B．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）双曲线
的焦点弦长为
的弦有（ ）
A．8 条
B．4 条
C．2 条
D．1 条
【答案】B
【分析】结合双曲线的通径、左右顶点的距离与对称性，分该弦与双曲线是否交于同一支讨论即可得.
【详解】由
，可得其通径为
，
注意到左右顶点的距离为
，
所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在，
结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4 条.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为
，过F 的直线l 与
双曲线C 交于A、B 两点，且AB 的中点为
，则C 的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N 两点的坐标得直线l 的斜率
．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C 的方程为
，则
．
设
，
，则
，
，
．
由
，
得
，
45
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即
，∴
，易得
，
，
，
∴双曲线C 的离心率
．
故选：B．
5．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过点
且与
轴垂直的直线与双曲线
交于
两点，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在
中利用边与角的关系可得
，从而有
，再求出离心率即可.
【详解】因为
，
，所以
，
所以在
中，
，
所以
，
所以
，即
，
故
，则
，则
，
故
，则
，
解得
（
舍去，
故选：C.
6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆
，一组斜率
的平行直线与椭圆相交，则这些直线被
椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
46
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【分析】根据题意，设斜率
的平行直线与椭圆相交于
，且中点为
，结合“点差
法”，即可求解.
【详解】设斜率
的平行直线与椭圆相交于
，且中点为
，
可得
.
由
，两式相减得
，
整理得
，可得
，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为
.
故选：C.
7．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知
是抛物线
的焦点，过点
且斜率为2 的直线
与
交于
两点，若
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】法一：设出的方程为
，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得
到
，从而列出方程，求出答案；
法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.
【详解】法一：由题意知
，故的方程为
，与
的方程联立，
得
，显然
，设
，则
，
所以
，
又
，
所以
，
所以
.
法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为
，则
，故
，
47
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故直线的参数方程为
（为参数），代入
，
整理得，
，显然
，
设该方程的两根为
，则
，
，所以
.
故选：
.
8．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）设
是双曲线
的左，右焦点，过
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
.若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离可得
，
，
，在
和
中，分别求出
和
，利用
，
运算求解即可.
【详解】由题可得双曲线的一条渐近线方程为
，
，
则
，则
，
又
，故
，
在
中，
，
在
中，
，
因为
，则
，
48
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即
，整理可得
，所以
.
故选：B
9．（23-24 高三上·河南·阶段练习）过椭圆
的右焦点F 且与长轴垂直的弦的长为
，过点
且斜率为
的直线与C 相交于A，B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M
到F 的距离的最大值为（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
代入椭圆C 的方程并结合已知可得
，由点差法结合已知可得
，由此
求出
，则C 上的点M 到焦点F 的距离的最大值为
即可求解
【详解】将
代入椭圆C 的方程得
，
所以
①，
设
，
，则
，
，
两式相减得
，
又
，
，
，
所以
②，
解①②得
，
，
所以
，
所以C 上的点M 到焦点F 的距离的最大值为
.
故选：D.
10．（2024·河南信阳·一模）倾斜角为
的直线过抛物线
的焦点F，与该抛物线交于点
，且以
为直径的圆与直线
相切，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意确定直线
即为抛物线的准线，确定
,设直线方程为
，代入
49
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中可得根与系数的关系，利用抛物线过焦点的弦长公式即可求得答案.
【详解】设抛物线
的准线为
，
过点
分别作l 的垂线，垂足为
,设
的中点为M，作
，垂足为N，
则
,
即以
为直径的圆与
相切，又以
为直径的圆与直线
相切，
故直线
即为抛物线的准线，∴
,
∴
，设直线方程为
，代入
中，
∴
，即
，
设
，∴
，
∴
，
故选：B.
11．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作倾斜角为
的直线与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，若
，则
的离心率为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线定义结合题目条件得到
，
，由直线
的倾斜角和余弦定理得到
，从而求出离心率.
【详解】因为
，所以由双曲线的定义得，
，
50
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又
，所以
，
因为直线
的倾斜角为
，所以
．
由余弦定理得，
，
即
，化简得
，则
，
解得
或
（舍去）．
故选：D．
12．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆
的长轴长是短轴长的2 倍，过
椭圆
的上焦点
作斜率为
的直线，直线交椭圆
于
两点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
和长轴是短轴长的2 倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求
解出斜率，从而求得
.
【详解】因为长轴长是短轴长的2 倍，所以
，而
，则
.
设
，
直线的方程为
代入椭圆方程可得
，整理得
，
即
.
，
.
，
，
51
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所以
，则
，即
，化简得
，解得
，
因为
，所以
.
故选：A.
13．（23-24 高三上·山东烟台·期末）已知直线过双曲线
的左焦点
，且与
的左右两支分
､
别交于
两点，设
为坐标原点，
为
的中点，若
是以
为底边的等腰三角形，则直线的
斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由点差法得
，由条件知直线
的倾斜角为
倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系
式
即可求得的斜率.
【详解】设
,
由
均在
上，
为
的中点，
得
，则
，
∴
，
∴
，
设直线
的倾斜角为
，则
，不妨设
为锐角，
∵
是以
为底边的等腰三角形，∴直线
的倾斜角为
，则
.
52
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∴
，
∴
，解得
，
∴由对称性知直线的斜率为
.
故选：D
【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于
两点，中点为
，则有
，（
为坐
标原点）
此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了
与
的关系，另一方面通过
是以
为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.
14．（24-25 高三上·上海·期中）过双曲线
的右焦点
向其一条渐近线作垂线l，垂
足为P，l 与另一条渐近线交于Q 点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据垂直求直线
的方程，联立直线方程求点
的坐标，表示
，利用
得
到
的关系，即可求出双曲线离心率.
【详解】由题意得，
，渐近线方程为
.
因为
，所以直线
的方程为
.
由
得
，即
，
53
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由
得
，即
，
所以
，
，
因为
，所以
，整理得
，
所以双曲线的离心率
.
故选：D.
二、多选题
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知
为坐标原点，抛物线y
2=2 px ( p>0)上有异于原点的A(x1, y1)，
B(x2, y2)两点，
为抛物线的焦点，以
为切点的抛物线的切线分别记为
，
，则（ ）
A．若
，则
三点共线
B．若
，则
三点共线
C．若
，则
三点共线
D．若
，则
三点共线
【答案】BC
【分析】设
方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示
，
.AB：结合所给的条件
即可判断；C：分别求出切线
、
的方程，由斜率之积为
可得
即可判断；D：结合抛物线
的定义化简计算即可判断.
【详解】设直线
的方程为
，代入抛物线方程得
，
则
，
，
，
所以
，
.
选项A：若
，则
，得
，
故直线
：
，不一定经过焦点
，
三点不一定共线，故A 错误.
54
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选项B：若
，则
，得
，
故直线
：
，经过焦点
，
三点共线，故B 正确.
选项C：设在点A(x1, y1)处的切线方程为：
，即
，
与抛物线方程联立
得
，
，即
，解得
，
所以：
，即
，
即切线
的方程为
，同理切线
的方程为
，
由
，得
，得
，由B 知直线
经过焦点
，故C 正确.
选项D：因为
，
则
，
整理得
，则
，故直线
：
，
不一定经过焦点
，
三点不一定共线，故D 错误.
故选：BC
16．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知抛物线
（
）的焦点为F，直线l 的斜率为
且经过点F，与抛物线C 交于A，B 两点（点A 在第一象限），与抛物线C 的准线交于点D．若
，
则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
55
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【答案】ABC
【分析】先根据直线斜率得出则
为等边三角形，进而得出
即可判断A，根据平行及中点得出
B，应用图形特征判断C，再根据弦长关系判断D.
【详解】如图所示，分别过点A，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接
，
设抛物线C 的准线交x 轴于点P，则
，
因为直线l 的斜率为
，所以其倾斜角为60°，
因为
轴，所以
，由抛物线的定义可知，
，
则
为等边三角形，所以
，则
，
所以
，得
，故A 正确；
因为
，且
，所以
为
的中点，则
，故B 正确；
因为
，所以
，所以
，故C 正确；
因为
，所以
，故D 错误．
故选：ABC.
17．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线
：y
2=2 px ( p>0)的焦点
到准线的距离是4，直线过
它的焦点
且与
交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，
为弦
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线
的焦点坐标是
B．
C．若
，则
D．若以
为圆心的圆与
的准线相切，则
是该圆的一条直径
【答案】ABD
【分析】对选项A，根据题意得到
，即可判断A 正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进
行讨论，即可判断B 正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C 错误，对选项D，首先过
分
别向准线作垂线，垂足为
，再结合抛物线的概念即可判断D 正确.
【详解】对选项A，抛物线
：y
2=2 px ( p>0)的焦点
到准线的距离是4，
56
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所以
，
，故A 正确.
对选项B，当直线的斜率不存在时，
，所以
，
当直线的斜率存在时，设
，
得：
，所以
.
故B 正确.
对选项C，
，故C 错误.
对选项D，如图所示：
过
分别向准线作垂线，垂足为
，
因为
，
所以
，
即：以
为直径的圆与
的准线相切，故D 正确.
故选：ABD
18．（23-24 高三上·山西朔州·期末）已知
是抛物线
的焦点，
，
是该抛物线上的任意两点，
则正确的是（ ）
A．若
，
，则
，
B．若直线
的方程为
,则
C．若
，则直线
恒过定点
D．若直线
过点
，过
，
两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点
，则点
在直线
上
【答案】BCD
【分析】联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理即可求解A，，结合向量数量积运算即可求解C，根
据焦点弦公式即可求解B，根据判别式为0 求解切线方程，联立直线方程即可求解D.
【详解】设
,
，
,
，
57
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由题意可知直线
斜率存在，可设直线
方程为
，
联立
，消去得
，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
，
，故A 错误，
，
点
,
不同于原点
，
，
，
，
直线
的方程为
，即直线
过定点
；故C 正确，
若直线
的方程为
,则
，所以
，则
，故
，故B 正确，
设
方程
与抛物线方程
联立，消去
得
，
，解得
，
的方程
，
同理
方程
，
联立解得交点
,
，
由于直线
过点
，故点(0,1)在直线
上，所以
，故
，故D 正确，
故选：BCD
19．（2024·广西柳州·一模）过抛物线
：y
2=2 px ( p>0)的焦点
作倾斜角为
的直线交
于
，
两点，
经过点
和原点
的直线交抛物线的准线于点
，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．以
为直径的圆与
轴相切
D．
【答案】ACD
【分析】设直线l 的方程为
，
，
，将该直线的方程与抛物线的方程联立，
结合韦达定理可判断B；设
，由
可判断A；比较半径
与圆心到
轴的距离即可判
58
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断C；由抛物线的定义表示出
，将韦达定理代入化简可判断D.
【详解】由题意可设过点
的直线l 的方程为
，设
，
，
联立方程组
，消去
整理得
，
即
，所以
，
，
，
所以
，所以
，故B 错误；
设
，设直线
的方程为
，令
，所以
，
,
所以直线
的斜率为
，所以
，故A 正确.
因为
，所以以
为直径的圆的圆心为
，半径为
，
所以圆心到
轴的距离为
，所以以
为直径的圆与
轴相切，故C 正确；
由抛物线的定义知：
，
所以
59
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，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
20．（23-24 高三上·上海青浦·阶段练习）双曲线
的左右两个焦点为
，
，第二象限内的一点
P 在双曲线上，且
，则三角形
的面积是 ．
【答案】
/
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得
的值，代入三角形的面积公
式计算即得.
【详解】
由
可得：
，如图，设
则
①，
在
中，由余弦定理，
，即：
②
由①②联立，解得：
.
则三角形
的面积为
.
故答案为：
.
21．（23-24 高三上·江苏南京·期末）已知椭圆
的焦距为，过椭圆的一个焦点，作
垂直于长轴的直线交椭圆于
两点，则
．
【答案】
/
【分析】由题意可知
，得
，然后可求出
，从而可求出椭圆方程，再将
代入椭圆方程中求
出
，从而可求得
.
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【详解】由题意可知
，得
，所以
，
所以椭圆方程为
，
椭圆的右焦点为
，当
时，
，得
，
所以
.
故答案为：
22．（24-25 高三上·江西·阶段练习）已知O 为坐标原点，
是椭圆M：
（
）的右
焦点，过点F 且与M 的长轴垂直的直线交M 于C，D 两点.若
为直角三角形，则M 的长轴长为
.
【答案】
/
【分析】由通径的求法得出
，再由
为直角三角形得出
，建立方程求出
即可得解.
【详解】因为当
时，代入椭圆方程可得
，
所以
，不妨设
在第一象限，则
，
因为
为直角三角形，由椭圆的对称性知，
，
所以
，故
，即
，
可得
，解得
或
（舍去），
所以椭圆M 的长轴长为
.
故答案为：
23．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆
的右焦点
和上顶点B，若斜率
为
的直线l 交椭圆C 于P，Q 两点，且满足
，则椭圆的离心率为 .
61
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【答案】√5
5 /1
5 √5
【分析】先由
得到F 为
的重心，再利用点差法求得
之间的关系，进而求
得椭圆的离心率
【详解】设
，线段PQ 的中点为
，
由
，知F 为
的重心，故
，
即
，解得
，
又M 为线段PQ 的中点，则
，
又P、Q 为椭圆C 上两点，则
，
两式相减得
，
所以
，
化简得
，则
解得
或
（
故舍去）
则
，则离心率
.
故答案为：
24．（23-24 高三上·云南临沧·期末）已知双曲线
的右焦点为
，直线
与双曲线
交于
两点，与双曲线
的渐近线交于
两点，若
，则双曲线
的离
心率是 ．
【答案】
/
【分析】
利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得
,
,由
和
关系可求得
，
，
由此可求得离心率．
【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：
，
直线
为双曲线的通径，则
62
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由
得
，则
，
由
得
，则
由
得：
即
所以
，
所以离心率
故答案为：
25．（23-24 高三上·河北邯郸·期中）已知椭圆
的左焦点为F，离心率为
，过F 的
直线l 交椭圆于A，B 两点，且
，则直线l 的斜率为 .
【答案】
或
【分析】由A，F，B 三点共线可得
，再将A，B 两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去
求
出
，进而得到直线的斜率.
【详解】设
，
，因为
，
又A，F，B 三点共线，所以
，
所以
，所以
，
.
又
，
在椭圆上，
所以
，所以
，
即
，
所以
，所以
，
所以
，又
，所以
，所以
，
63
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由
，解得
，
当
时，直线l 的斜率
；
当
时，直线l 的斜率
，所以直线l 的斜率为
或
.
26．（2024·安徽·一模）已知直线与椭圆
交于
两点，线段
中点
在直线
上，且线段
的垂直平分线交
轴于点
，则椭圆
的离心率是 .
【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论
，再结合
，则两式相比可得
，即
，代入
即可求出离心率.
【详解】设
，其中
，显然点
在椭圆内，
记坐标原点为
，直线
的斜率分别为
，易知三条直线斜率均存在，
又
，两式相减整理可得
，
即
，又
，所以两式相比可得
，
即
，代入
，整理可得
，
所以离心率
.
故答案为：
.
27．（23-24 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知点
是离心率为
的双曲线
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上的三点, 直线
的斜率分别是
点
分别是线段
的中点,
为坐标原点，
直线
的斜率分别是
.若
则
【答案】3
【分析】设点，作差，计算得出
结合离心率为√2，求得
同理求得
代入问题计算即可.
【详解】因为双曲线
的离心率为
所以
不妨设
因为点
在
上，所以
两式相减,得
,
因为点
是
的中点，所以
,
,
所以
即
所以
同理
因为
所以
故答案为：3.
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