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专题13 椭圆、双曲线中离心率的求法
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题型01 利用a、b、c 的齐次式................................................................................................................................ 1
题型02 利用勾股定理............................................................................................................................................... 4
题型03 利用正、余弦定理....................................................................................................................................... 8
题型04 利用相似和斜率乘积................................................................................................................................. 14
题型05 利用双余弦定理......................................................................................................................................... 18
题型06 利用点差法................................................................................................................................................. 24
题型07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度..................................................................................................... 29
题型08 求离心率的范围......................................................................................................................................... 34
题型01 利用a、b、c 的齐次式
【解题规律·提分快招】
只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式
两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程，解方程即可得e
【典例训练】
选填13 素材01
一、单选题
1．（24-25 高三上·北京延庆·期末）已知椭圆
的左右焦点为
，
，上下顶点为
，
，若
为等腰直角三角形，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的几何性质即可求解.
【详解】根据
为等腰直角三角形，故
,
故
1
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，
故选：B
2．（24-25 高三上·江苏·期末）在矩形ABCD 中，
，则以A，B 为焦点，且过C，D 两点的椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
，根据勾股定理求出
，利用椭圆的定义
即可求离
心率.
【详解】由题知：
，则
，
因为点C 在椭圆上，所以由椭圆的定义知：
，即
，
所以
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·广东江门·期末）已知点
分别是双曲线
的左右焦点，以
线段
为边作等边三角形
，线段
的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可得
的关系，从而可得离心率.
【详解】由题设有
，其中为半焦距，则
设
的中点为
，则
，且
，
，
故
，故
，
故选：D.
4．（24-25 高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知O 为坐标原点，F 是椭圆
的右焦
2
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点，过点F 且与长轴垂直的直线交C 于A，B 两点．若
为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求得
两点坐标，结合已知可得
，求解即可.
【详解】由椭圆方程可得
，
将
代入椭圆方程可求得
，所以
.
因为
为直角三角形，所以
，则
，
即
，又
，解得
．
故选：D.
5．（24-25 高三下·贵州·开学考试）已知双曲线
的左右焦点分别为
，以
为
直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为
，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用
，得出
，即渐近线倾斜角为
，即
，即可得到离心率.
【详解】因为
,
，
所以
，
所以
，
.
故选：D
3
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6．（24-25 高三上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是
、
，焦距为
，若直线
与椭
圆交于
点，且满足
，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据
的斜率得到
，
，
，结合椭圆定义得到
，
，由勾股定理列出方程，求出离心率.
【详解】
因为
经过左焦点，且斜率为
，故
，
为三角形内角，所以
，所以
，则
，
设
，则
，
由椭圆的定义可知：
，即
，解得：
，
所以
，
，
由勾股定理得：
，
故
，
解得：
，故椭圆离心率
.
故选：B
题型02 利用勾股定理
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·云南丽江·阶段练习）已知
，
分别为椭圆E：
的两个焦点，P
是椭圆E 上的点，
，且
，则椭圆E 的离心率为（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，建立方程求出离心率.
【详解】由椭圆定义得
，而
，则
，
又
，
，于是
，解得
，
所以椭圆
的离心率为
，
故选：A
2．（2024·广东·一模）已知点F，A 分别是椭圆
的左焦点、右顶点，
满足
，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据
推断出
，进而根据勾股定理可知
，把进而整理
关于a 和c 的方程求得
即离心率e 的值.
【详解】
，
，
，即
，
整理得
，即
，
等号两边同时除以
得
，即
，求得
，
，
，
故选：B.
3．（24-25 高三上·江苏扬州·期中）设椭圆
（
）的左焦点为
，
为坐标原点，过
5
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点
且斜率为的直线与
的一个交点为
（点
在
轴上方），且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
可知
，结合椭圆定义及斜率与倾斜角的关系可得
，
，结合勾股定理可得离心率.
【详解】
设椭圆右焦点为
，连接
，
，
由
，则
为直角三角形，
，
由已知直线
的斜率为，
则
，即
，
又
，则
，
，
在
中由勾股定理得
，
即
，
整理可得离心率
，
故选：C.
4．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）如图，
、
是椭圆
：
与双曲线
：
的公共
焦点，A、B 分别是
、
在第二、四象限的公共点，若四边形
为矩形，则
的离心率是 （ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由椭圆方程求出
，再在焦点
中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得
，即可求出
的离心率．
【详解】双曲线
：
，可得
，所以
，
解得
，所以
，
，
，
，
，
在
中，
，
，即
，
，
.
故选：C.
5．（24-25 高三上·天津西青·期末）已知双曲线
的左，右焦点分别为
，过点
的直线与双曲线的左支相交于
两点，若
，且
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义求得
（用
表示），再由勾股定理求得
关系得离心率．
【详解】因为
，设
，
，
又
，所以
，
由双曲线的定义得
，
，
所以
，从而
，
7
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再由
得
，即
，所以离心率为
，
故选：A．
6．（24-25 高三上·江苏常州·期中）已知
，
分别是双曲线
（a，
）的左、右焦点，A 为
双曲线的右顶点，线段
的垂直平分线交双曲线于点P，其中
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理、离心率的定义进行求解即可.
【详解】如图，设线段
的垂直平分线与x 轴的交点为B，不妨设P 在第一象限，
则
，
，
再由勾股定理得：
，
所以
，等式两边同除以
整理可得
得
或
舍去
故选：C
8
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题型03 利用正、余弦定理
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆
分别为椭圆的左、右焦点，
为椭圆上一点，且
，若
，则椭圆离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，后由题及余弦定理可得
，即可得答案.
【详解】设
,则
，因
，由余弦定理：
，
则
，
，则
.
故选：D
2．（24-25 高三上·吉林四平·阶段练习）已知
是椭圆
的一个焦点，
是
的上顶
点，
的延长线交
于点
，若
，则
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解.
【详解】取椭圆的另一个焦点为
,连接
，
则
，
由
可得
，
故
，
9
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故由余弦定理可得
，
化简可得
，故
，
故选：A
3．（24-25 高三上·天津南开·期末）已知双曲线
的离心率为
为
的两个焦点，过
作
的一条
渐近线的垂线，垂足为
为坐标原点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，
利用余弦定理可得
，从而得解.
【详解】根据题意，
，由
，
则
，
．
由余弦定理可得，
，
所以
，
所以
．
故选：A
10
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4．（24-25 高三上·浙江·期中）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，焦距为
，若
直线
与椭圆交于点
，满足
，则离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】若点
在
轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点
在
轴下方，则有
，再结合
正弦定理及离心率定义计算即可得解.
【详解】由椭圆焦距为
，故
，故直线
经过点
，
若点
在
轴上方，有
，即
，
又
，则
，
此时
，不符，故舍去；
若点
在
轴下方，有
，即
，
11
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又
，则
，
则
，
故
.
故选：C.
5．（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线
的左焦点为F，O 为坐标原点，左顶点为
是
上一点，
为等腰三角形，且外接圆的周长为
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
为等腰三角形利用正弦定理可求得
，再由二倍角公式可得
点坐标
为
，代入双曲线方程整理可得
，可得结果.
【详解】不妨设
在第二象限，则在等腰
中，
，如下图所示：
设
，则
为锐角．
外接圆周长为
，
则其半径为
，由正弦定理可得
，
因此
，
12
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设
点坐标为
，则
，
即
点坐标为
，
由
点在双曲线上，得
，
整理得
，
所以离心率
，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理和外接圆半径求得
点坐标为
，再代入
双曲线方程得出
的关系式，求得双曲线得离心率即可.
6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）设椭圆
的焦点为
，
是椭圆上的一点，且
，若
的外接圆和内切圆的半径分别为
，当
时，椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理可得
，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得
，根据
，可求椭圆的离心率.
【详解】如图：
设
，
，则
①
在
中，
，由余弦定理可得：
，
即
②
13
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得：
.
所以
.
又
.
又
.
因为
.
所以
.
又
，所以
.
故选：B
【点睛】方法点睛：（1）在选择填空题中，涉及圆锥曲线焦点三角形的问题，首先要考虑圆锥曲线定义
的应用，其次要考虑正弦、余弦定理的应用.
（2）求圆锥曲线的离心率，通常是构造关于
的齐次式求解.
题型04 利用相似和斜率乘积
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·吉林·期末）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线与圆
相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N 是线段
的中点，则双曲线
的
离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据题意，连接
，
，由双曲线的定义和中位线的性质分析可得
，
，
进而可得
，
变形可得
，由此可得
，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【详解】根据题意，如图，连接
，
，
14
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因过点
的直线与圆
相切于点N，则
，
又由
，
，则
，
因点
分别为线段
和
的中点，则
，
，
，
由双曲线的定义，
，即
，变形可得
，
则
，
故该双曲线的离心率
故选：C.
2．（24-25 高三上·内蒙古包头·期中）已知
是椭圆
的焦点，若椭圆上存在一点
，
满足线段
相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段
的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合图形，由题意可得
，
，连接
，可得
，由椭圆的定
义求得
，最后借助于
，推得
，即可求得离心率.
【详解】
如图，点
分别是椭圆的左、右焦点，
与以椭圆的短轴为直径的圆
相切于点
，
15
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则
，
，连接
，
因
，则
，且
，
又点
为椭圆上的一点，则有
，故
，
在
中，
，即
，
将
代入化简得：
，解得
，
则
.
故选：A.
3．（23-24 高三上·山东泰安·期末）已知
分别为椭圆
的左顶点和左焦点，
是
椭圆上关于原点对称的点，若直线
交线段
于
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，取取椭圆的右焦点为
,连接
，证得
，由
，结合条件建
立方程求解即得.
【详解】
如图，取椭圆的右焦点为
,连接
,
因
是椭圆上关于原点对称的点，且
,可得
,
即有
,又
,则有
，
即
，解得
，故
.
故选：B.
4．（23-24 高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线
的左顶点为
，点
均在双
16
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曲线上且关于
轴对称，若直线
的斜率之积为
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设出坐标后结合题意表示出斜率之积，计算可得
，由
即可得离心率.
【详解】
设
，则
，
，
则
，
由
在双曲线上，故
，
即有
，故
，
即有
，即
，
故
.
故选：A.
5．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知点P 在双曲线
上，点A 与点B 是
C 上关于原点O 对称的两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之积为
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，利用斜率的两点式及点差法求得
，结合已知及离心率
公式求结果.
17
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【详解】令
，则
，
，
所以
，
而
、
，则
，即
，
所以
，则离心率为
.
故选：A
6．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆
，过原点斜率不为0 的直线交E 于A，B
两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为M，直线
交椭圆E 于另一点D，记直线
，
的斜率分别为
，
，若
，则E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得
，再求得
，进而可
得
即可求离心率.
【详解】
设
，则
，
所以
，
又
，
所以
，
又点
在
上，所以
，
18
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所以
，
即
，由
，
故选:D．
题型05 利用双余弦定理
【解题规律·提分快招】
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.焦点四边形具有中心对称性质。
2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
【典例训练】
选填13 素材05
一、单选题
1．（24-25 高三上·湖北·期中）已知椭圆
为椭圆的左右焦点，
为椭圆上一点，
连接
并延长交椭圆于另一点
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意和椭圆的定义可得
和
的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可.
【详解】如图所示：
由题意得
，又
，则
，
19
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因为
，
，则
，
，故
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，化简得
，即
，解得
.
故选：A.
2．（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）已知
，
分别为双曲线
（
，
）的左、
右焦点，P 为第一象限内一点，且满足
，
，线段
与双曲线C 交于点Q，若
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得
，
，
，利用余弦定理列式求解即可.
【详解】
由题意可知：
，
，且
，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
20
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，
则
，化简得
，
所以双曲线
的离心率为
.
故选：C.
3．（2024 高三·全国·专题练习）设
为坐标原点，双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
的右支上，线段
与
轴交于点
，
．过
作
，垂足为
，线
段
交
于点
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据已知得出
为
的重心，再结合双曲线的定义得出
，
，求出
，最后由余弦定理得出齐次式计算出离心率即可.
【详解】如图，设
，
．
因为
为线段
的中点，
，
所以
为
的重心，所以
为线段
的中点．
又
，所以
．
由双曲线的定义可知，
，所以
．
因为
，所以
，
．
在
中，
．
21
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在
中，由余弦定理的推论，得
．
整理得
，所以
，
解得
或
（舍去）．
故选：A．
4．（24-25 高三上·四川泸州·期末）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，点
在
上，若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程
，即可求出离心率.
【详解】
由
，可得
在同一条直线上，
设
，则
，
由椭圆的定义，
则
因为
，则
即
，解得
，
所以
在
中，
，
22
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在
中，
，
则
，化简得
，即
,解得：
.
故选：B.
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知
为平行四边形
的边
的中点，以B，E 为焦点的椭圆
过点A，D，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得
，连接
并利用椭圆的定义求
，
再由余弦定理求
，易知
，建立方程求
间的关系，进而可得椭
圆的离心率
【详解】如下图所示：
因为
为平行四边形
的边
的中点，
所以
，
所以
，所以
．
连接
，由椭圆的定义可知，
；
设
，则
，故
，
23
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在
中，
．
在
中，
．
在平行四边形
中，
，所以
，
所以
，则
，整理得
，
所以椭圆
的离心率为
，
故选：D．
【点睛】方法点睛：处理本题中向量数量积问题时还可以利用平面向量中的极化恒等式：
或
．其几何意义为向量的数量积可以表示为以这组向
量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的
．
题型06 利用点差法
【解题规律·提分快招】
中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且
与
斜率存在时，则
；（焦点
在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，
（焦点在x 轴上时），当焦点在
轴上时，
下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设
，
，因为AB 过原点，由对称性可知，点
，所以
kPA⋅kPB = y0−y1
x0−x1
⋅y0+ y1
x0+x1
=
y
02−y
12
x
02−x
12 ．又因为点
，
在椭圆上，所以有
24
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{
x
02
a
2 +
y
02
b
2 =1(1)¿¿¿¿
．
两式相减得
y
02−y
12
x
02−x
12
=−b2
a2
，所以kPA⋅kPB =−b2
a2 ．
中点弦问题证明：设
，
，
则椭圆
两式相减得
．
2、双曲线中焦点在
轴上为
，焦点在
轴上为
，
3、设直线与抛物线
相交所得的弦
的中点坐标为
，则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知椭圆E：
的右焦点为
，过点F
的直线交椭圆E 于A，B 两点，若AB 的中点坐标为
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用点差法列方程，解方程求得
的值，进而求得离心率.
【详解】设
代入椭圆方程得
,
两式相减并化简得
，即
，
解得;
，
故离心率为
.
25
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故选：B.
【点睛】本小题主要考查椭圆中点弦有关的问题，考查点差法，考查椭圆离心率的求法，属于中档题.
2．（24-25 高三上·广西钦州·阶段练习）已知斜率为
的直线与双曲线
交于
两点，若
为线段
中点且
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，应用点差法，结合
为线段
中点及
、
列方程
求得
，进而求离心率.
【详解】由题意
，设
，则
，
两式相减得
，而
，
，
所以
.
故选：B.
3．（24-25 高三上·山西太原·期末）已知直线
与双曲线
相交于
、
两个不同点，点
是
的中点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点差法可求得
，结合
可得出双曲线
的离心率的值.
【详解】设点
、
，由题意可得
，
因为点
是
的中点，则
，
26
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因为
，这两个等式作差可得
，
所以，
，
因此，双曲线
的离心率为
.
故选：D.
4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为
，椭圆
与直线
交于
两
点，线段
的中点为
，若直线
的斜率为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，则
，由点差法求解离心率即可.
【详解】设
，则
，
则
，两式相减可得
，
，即
，
即
，
，故
.
故选：B
5．（23-24 高三上·浙江杭州·期中）已知椭圆
的右焦点和上顶点分别为点
和点A，直线
交椭圆于P，Q 两点，若F 恰好为
的重心，则椭圆的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】首先设
的中点
，由点差法得
，再根据重心的性质求得点
的坐标，联立求得
椭圆的离心率，再结合条件
，即可求解.
【详解】设
，
，
的中点为点
，
，两式相减得
，
化解得
，即
，得
，
所以
，
，
，由F 恰好为
的重心，
则
，即
，得
，
，
即
，
，
所以
，则
，平方后得
，
，即
，
解得：
或
，
由条件
，得
，即
，得
，
所以
.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出
求出离心率，②由条件构造关于
的齐次方程，即可求解离心率.
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6．（23-24 高三下·江苏泰州·阶段练习）已知两点
在双曲线C：
的右支上，点
M 与点N 关于原点对称，
交y 轴于点T，若
，
，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设O 为
的中点，设
，
，利用点差的方法表示出
，结合题意继而表示出
，推出
，根据
即可求得
的关系，从而可
求双曲线离心率.
【详解】如图，不妨设M 在第一象限，设Q 为
的中点，
因为O 为
的中点，故
,
设
，
，
在双曲线上，则
，两式相减可得
，
即
，而
,故
，
即
；
又因为
，则
，故
，即
,
即
，即
，所以
，
又
，则
，
即
，故
，
29
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所以
，而
,故
，
故
，则双曲线C 的离心率为
，
根据双曲线的对称性可知，当M 在第四象限时，同理可求得
，
当M 在双曲线的顶点时，由于
，此时
与双曲线相切，不合题意，
故双曲线C 的离心率为
故选：C
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，实际上就是求
之间的关系，因而本题解答的方法是利用“点
差”的方法，表示出
，继而利用条件
再表示出
，从而求得
，由此由
可得
之间的关系，即可求得答案.
题型07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度
【解题规律·提分快招】
一、椭圆
1、已知椭圆方程为
,两焦点分别为
,
设焦点三角形
,
,则椭圆的离心率
2 、
以椭圆
两焦点
及椭圆上任一点
( 除长轴两端点外) 为顶点
, 则
3、点
是椭圆的焦点,过
的弦
与椭圆焦点所在轴的夹角为
为直线
的斜率,且.
,则
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当曲线焦点在
轴上时,
注:
或者
而不是
或
二、双曲线中
1、已知双曲线方程为
两焦点分别为
,设焦点三角形
,则
2、以双曲线
的两个焦点
及双曲线上任意一点
除实轴上两个端点外)为
顶点的
,则离心率
3、点
是双曲线焦点,过
弦
与双曲线焦点所在轴夹角为
为直线
斜率,
,则
,当曲线焦点在
轴上时,
注:
或者
而不是
或
【典例训练】
双角度
一、单选题
1.已知
、
是双曲线
的左、右焦点，点M 在E 上，
与x 轴垂直，
，则
E 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.2
【答案】A
【解析】解法1：如图，不妨设
，
，
则
，所以
.
31
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解法2：
.
2.（23-24 高三下·四川成都·开学考试）已知
1F ，
2
F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且
1
2
π
3
F PF
，设
1
2
PF F
，当的范围为
π
π
,
12 6
时，双曲线C 离心率的范围为（ ）
A．
6 , 3
2
B．
6
1, 2
C．(1, 3)
D．
6 ,2
2
【答案】A
【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简，
根据已知角范围求解即可.
【详解】在
1
2
F PF
中，
由
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
3
sin
2
3
1
2
π
π
2
sin
sin
2
sin
sin
cos
3
6
F F
F PF
c
c
e
a
a
PF
PF
PF F
PF F
．
因为
π
π
,
12 6
，所以
π
π π
,
6
4 3
，
所以
π
1
2
cos
,
6
2
2
，所以
6 , 3
2
e
．故选:A.
3．已知双曲线
的右焦点为F 且斜率为
的直线交C 于A、B 两点，若
，则C 的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】过A，B 分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B 作BH 垂直AM 垂足为H，设|
32
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BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知
|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l 的倾斜角为
,所以
，所以
.
4．已知椭圆
的离心率为
，过右焦点
且斜率为
的直线与
相交于
两点．若
，则
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】因为
，所以
，从而
，则椭圆方程为
．依题意可得
直线方程为
，联立
可得
设
坐标分别为
，则
因为
，所以
，从而有
①
再由
可得
，根据椭圆第二定义可得
，即
②
由①②可得
，所以
，则
，解得
．因为
，所以
，故选B
5.（23-24 高三下·山西长治·模拟）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）的左、右焦点分别为
1F ,
2
F ，P 为
C 上一点，且
1
2
40
PF F
，
2
1
60
PF F
，则C 的离心率等于（ ）
A．
2
1
2
|
|
|
|
PF
F F
B．
2
|
|
2
PF
a
C．
1
2sin 40
D．sin 20
sin 40
sin 40
sin 60
【答案】D
【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可.
【详解】根据题意，得出
1
2
80
F PF
，在
1
2
PF F
中由正弦定理得：
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
sin
sin
sin
PF
PF
F F
R
PF F
PF F
F PF
,
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由椭圆定义可得
1
2
2
1
1
2
2
2
sin
sin
2
sin40
sin60
a
PF
PF
R
PF F
PF F
R
，
1
2
2
2 sin80
c
F F
R
，
椭圆离心率为
2
2 sin80
sin80
2
2
sin40
sin60
sin40
sin60
c
R
e
a
R
，
3
1
sin20°+
cos20°-
sin20
sin20°+sin 60
20
sin20°+sin40
2
2
sin40
sin60
sin40
sin60
sin40
sin60
1
3
sin20°+
cos20
sin 20°+60°
sin80°
2
2
sin40
sin60
sin40
sin60
sin40
sin60
e
.故选：D.
二、填空题
6.设
、
是椭圆
的左、右焦点，过
且斜率为
的直线l 与椭圆C 交于A、B
两点，
，则椭圆C 的离心率为_______.
【答案】
【解析】解法l：如图，直线
的斜率为
，
又
，所以
，
，
不妨设
，则
，
，
所以椭圆C 的离心率
.
解法2：如图，直线
的斜率为
，
又
，所以
，
，
故椭圆C 的离心率
.
题型08 求离心率的范围
【典例训练】
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一、单选题
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知
是椭圆
的左、右焦点，若
上存在不同
的两点
，使得
，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性，
找到当
分别位于
的左、右顶点时，
有最大值，求出离心率的取值范围.
【详解】如图，延长
交椭圆于
，根据椭圆的对称性，得
，
，
当
分别位于
的左、右顶点时，
有最大值，
又因为
不重合，所以
，即
，
解得
，
所以
的离心率的取值范围为
．
故选：C．
2．（23-24 高三上·浙江台州·期中）椭圆
的左，右焦点分别为
，
，若椭圆上存在
点
，使
，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设椭圆与
轴正半轴的交点为
，椭圆上存在点
，使得
，则需
，再
结合椭圆的性质，即可求解.
【详解】设椭圆的上顶点为
，连接
、
，如图所示：
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则
，
，
椭圆上存在点
，使得
，则需
，
则
，显然
，所以
，
所以
，所以
，又
，
所以
，即椭圆离心率的取值范围为
.
故选：D.
3．（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，
若C 上存在一点P，使得
，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解.
【详解】根据椭圆定义可得
，又
，故
，
因此
，故
，故
，
故选：D
4．（23-24 高三下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆
上一点
关于原点的对称点为点
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为
，根据
，得到四边形为
为矩形，再由
，结合椭圆
36
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的定义得到
，然后由
求解.
【详解】设椭圆
的左焦点为
，
因为
，所以四边形为
为矩形，所以
，
因为
，
所以
，
，则
，
由椭圆的定义得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
其中
，
所以
，
所以
.
故选：A
5．（23-24 高三上·广东东莞·期中）已知
的三个顶点都在椭圆
：
（
）上，其中
为左顶点，
为上顶点，若以
为顶角的等腰三角形
恰好有3 个，则
的离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
37
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【答案】A
【分析】由题意知只需椭圆
与圆
有四个公共点，求出
的关系得离心率的
取值范围
【详解】由题意知
的第三个顶点
在以
为圆心，以
为半径的圆上，要使以
为顶角
的等腰三角形恰好有3 个，则需要满足椭圆
与圆
有四个公共点，
由
得
，
所以
或
，
当
时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当
位于右顶点处满足条件；
当
时，要满足椭圆与圆有两个不同交点
，需要
，
即
，即
，解得
，所以
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3 个，关键是将条件转化为椭圆
与圆
有四个公共点解决.
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线
的焦点在圆
上，且圆
与
直线
有公共点，则双曲线
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用已知条件可求得
和
，从而可求离心率的取值范围.
【详解】由题可得：
，则
，
38
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由直线与圆有公共点，则点
到直线
的距离
，
所以
，由离心率
．
故选：B．
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
的左支上，当
取最大值
时，
的离心率的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先利用双曲线的定义求出
代入所求，利用基本不等式计算可得.
【详解】由双曲线的定义可知
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
又
，解得
，所以
，即离心率的取值范围为
.
故选：A.
8．（2024 高三·全国·专题练习）双曲线
的右顶点为
在
轴上，若
上
存在一点
（异于点
）使得
，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出未知点的坐标，根据圆的性质可得轨迹方程，联立方程解得坐标，由题意建立不等式，结合
离心率的定义，可得答案.
【详解】设
，因为
，
则
点的轨迹方程为以
为直径的圆，
又
中点为
，
，
所以
点的轨迹方程为
．
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联立
，得
，
分解因式可得
，
解得
（舍去），
，由题意知点
在双曲线的右支上，即
，
故
，化简得
，因为
，所以
.
故选：D．
9．（24-25 高三上·甘肃酒泉·期末）已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点
是
上一点，若
，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合双曲线的定义和题干得
，根据
的最小值为
得
，分类讨论求解离
心率范围即可.
【详解】由题意，不妨设点
在
的右支上，
由双曲线的定义可得
，即
，
由
，可得
，即
，
又由
的最小值为
（当点
为双曲线右顶点时取得最小值），
可得
，即
．
当
，即
时，显然成立；
当
，即
时，
，可得
．
综上可知，双曲线
的离心率的取值范围为
．
故选：B
10．（24-25 高三上·江苏常州·期中）设双曲线
：
的右焦点为
，双曲线
上的两
点
关于原点对称，且满足
，
，则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
40
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点
，由椭圆的对称性结合
，得到四边形
为矩形，设
，
，在直角
中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到
，再根据
，
得到
的范围，从而利用对勾函数的值域得到
的范围，进而由
即可得解.
【详解】如图所示：
设双曲线的左焦点
，由双曲线的对称性可知，四边形
为平行四边形，
又
，则
，所以平行四边形
为矩形，故
，
设
，
，则
，
在
中，
，
，
所以
，则
，
所以
，
令
，得
，
又由
，得
，
因为对勾函数
在
上单调递增，所以
，
所以
，即
，
则
，故
，
所以
，
41
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所以椭圆离心率的取值范围是
，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形
为矩形，再利用椭圆的定义与
勾股定理，结合条件得到关于
的齐次不等式，从而得解.
一、单选题
1．（24-25 高三上·山东济宁·期末）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，
过
且斜率为
的直线交
的右支于点
，且
，则
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】设
，由双曲线的定义，向量垂直，斜率的意义列方程组求解即可；
【详解】设
，
因为过
且斜率为
的直线交
的右支于点
，且
，所以
，
所以
，解得
，
所以
的离心率
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
点
为
在第一象限上的一点.若
为等腰三角形，且
，则
的离心率为（ ）
A．
或
B．2 或
C．2 或
D．
或
【答案】B
【分析】由条件分
和
两类情况，结合余弦定理求解即可.
【详解】
在第一象限，
，又
为等腰三角形，
当
时，
，
42
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又
，则
；
当
时，
，
又
，
解得
或
（舍去），则
；
故
的离心率为
或2.
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）设椭圆
和双曲线
的离心率分别为
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线的性质得到离心率
的表达式，再根据
得到
的范围 ，代入
中即可求解.
【详解】由题意可得
．
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的取值范围是
.
故选：B．
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为
，
，其右顶点为A，若椭圆上一点
P，使得
，
，则椭圆的离心率为（ ）
43
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意求得
、
，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得
与的关系，进而求出
椭圆的离心率.
【详解】
由题意
，
，
，
，
由正弦定理得
，又
，
所以
，
，又
，
可得
，所以椭圆的离心率
.
故选：B.
5．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线
的离心率为2，其左右焦点分别为
，
，过点
的直线与双曲线左支交于
，
两点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由离心率为2 得
，根据双曲线的定义有
，又
得
，从而
可求出
，根据余弦定理即可求出.
【详解】依题意有
.
，
而
，
，
，
，
，又
等腰
，
44
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，
.
故选:A.
6．（23-24 高三上·江苏淮安·阶段练习）设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
作
轴的垂线与椭圆
交于
，
两点，若
为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到
，得到
，转化为
，进而求得椭圆
的离心
率的取值范围.
【详解】由
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过
作
轴的垂线与椭圆
交于
两点，
可得
，即
，
因为
为钝角三角形，则
，可得
，即
，即
，
又因为
，可得
，即
，
即
，且
，解得
，
即椭圆
的离心率的取值范围为
.
故选：A.
7．（24-25 高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线
的左焦点为
为坐标原点，
若在
的右支上存在关于
轴对称的两点
，使得
为正三角形，且
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
45
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【分析】连接
，利用中位线性质得到
是
的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线
定义即可建立
的关系，从而求得离心率．
【详解】设双曲线的焦距为
，右焦点为
，直线
交
于点
，连接
，
因为
为正三角形，
，所以
为
的中点，所以
，
故
，易知
，所以
，
由双曲线的定义知
，即
，得
.
故选：D.
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作
倾斜角为
的直线与双曲线
的左、右两支分别交于
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线定义结合题目条件得到
，
，由直线
的倾斜角和余弦定理得到
，从而求出离心率.
【详解】因为
，所以由双曲线的定义得，
，
又
，所以
，
因为直线
的倾斜角为
，所以
．
46
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由余弦定理得，
，
即
，化简得
，则
，
解得
或
（舍去）．
故选：D．
9．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）过双曲线
内一点
斜率为
的直线交双
曲线于
两点，弦
恰好被M 平分，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，代入双曲线方程作差，结合
，利用斜率公式列式可得
，即可求解离心率.
【详解】设
，由题意可得
，且
，
又因为
，所以
，
即有
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故选：C.
10．（24-25 高三上·福建·阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别
，
.A 是
C 上的一点（在第一象限），直线
与y 轴的负半轴交于点B，若
，且
，则双曲
线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，设
，根据双曲线的定义和勾股定理的应用可得
，
，
，
结合余弦定理计算可得
的方程，解之即可求解.
47
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【详解】设
，如图所示：
由题意可得
，
，
；
又
，由
可得
即
，解得
；
所以
，
，
；
在
中，
在
中，
，
又由
，有
，解得
，故
.
故选：D.
11．（24-25 高三上·天津南开·期末）过双曲线
的左焦点
作直线与它的两条渐近线
分别交于
，
两点，且
，
，
是坐标原点，则该双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】根据向量关系得出渐近线的倾斜角，再根据渐近线斜率以及
的关系进而得出离心率.
【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为
，
又因为
，
，可知
为线段
的中点，且
，
因此
，可知
为等腰三角形，即
，
连接
，如下图所示：
48
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由双曲线性质可得
，
所以
，
可得
，即
，
所以
.
故选：A
12．（24-25 高三上·吉林长春·期末）已知双曲线
的焦点为
，以
为直径的圆与双曲线
的一个交点为
，且有
，则双曲线的离心率（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】不妨设点
在第一象限，由
，根据双曲线的定义可得
、
，结
合勾股定理和离心率的定义计算即可求解.
【详解】
不妨设点
在第一象限，如图所示，
，
，
由
，得
，所以
，
得
，故
，又
，
即
，得
，
49
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由
，得
，即双曲线的离心率为
.
故选：D.
13．（2024·山西晋中·三模）已知双曲线
的左焦点为
，过点
且斜率为
的
直线与
的两条渐近线分别交于点
，且
分别位于第二、三象限，若
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，得
，令
，
中，由正弦定理解得
，可求双
曲线离心率.
【详解】设O 为坐标原点，由
，得
，又两渐近线关于
轴对称，所以
直线
斜率为
，则
，
令
，则
，
中，由正弦定理得
，
即
，解得
，故
，
所以
的离心率
故选：B
14．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
50
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为
所在平面内一点，线段
分别与
交于
两点，若
为
中点，
为
靠近
端的四等
分点，则
的离心率的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据点在椭圆上设坐标，结合平面向量的线性关系与坐标运算即可得坐标关系，利用椭圆上的点
的坐标范围列不等式即可得求得
的离心率的取值范围
【详解】设：
，
则
，所以
，
又
在
上，则
，故
，
同理：设
，由
，
，
因为
在
上，则
，故
①，
联立①式与
的方程得：
，
由于
在
上，则
，解得：
，即：
.
故选：C.
15．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知
是双曲线
的左､右焦点，以
为圆心，
为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于
两点，若
，则双曲线的离心率的取值范围是
（ ）
51
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长
，再根据不等式
整理可得
，即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】设以
为圆心，
为半径的圆与双曲线的一条渐近线
交于
两点，
则
到渐近线
的距离
，所以
，
因为
，所以
，可得
，
即
，可得
，
所以
，所以
，
又
，所以双曲线的离心率的取值范围是
.
故选：B
16．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线
与
椭圆
交于
，若
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为
，根据
可得
，利用同角三角函数的基本关系可求出
直线的斜率.
【详解】
由题意得，
，
∴椭圆的离心率为
.
52
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设直线的倾斜角为
，根据焦比定理得
，
由
得
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
，
∴
，即直线的斜率为
.
故选：D.
17．（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，抛
物线
：
，椭圆
与抛物线
相交于不同的两点
，且四边形
的外接圆直径为
，若
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形
的外接圆就是
的外接圆，再利用正弦
定理求得
，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到
的取值范围，从而得到关于
的
齐次不等式，解之即可得解.
【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点
关于
轴对称，
四边形
是等腰梯形，易知四边形
的外接圆就是
的外接圆，
设四边形
的外接圆半径为
.
在
中，由正弦定理，知
，
记椭圆
的上顶点为
，坐标原点为
，
53
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易知
，又
，则
，
，
，即
为锐角，
，
又
又
，
，则
，
所以
，则
，即
，
则椭圆
的离心率的取值范围是
，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出
，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以
或
转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
18．（23-24 高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E：
的左、右焦点分别为
，
，过点
的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A，B，弦AB 的中点为M 且
.若过原点
O 与点M 的直线的斜率不小于
，则双曲线E 的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：连接
，
，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；
方法二：连接
，
，可得
，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出
，
列出不等式，即可得到结果.
54
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【详解】
方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c，连接
，
，因为
，
所以
.设
，
由双曲线的定义，得
，
，
所以
，
，
，
所以
，即
.
设
，则
，
所以
，解得
.
又
，所以
，
解得
，所以
，即
，所以
.
故选：B.
方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c，连接
，
，因为
，所以
.
设
，由双曲线的定义，得
，
，所以
.
设直线l 的方程为
，
，
.
由
，消去x 并整理，得
.
，
55
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因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以
，即
.
由
，得
.结合
，化简得
①.
由
，两式相减，得
，即
②，
②代入①化简，得
，
所以
，即
，所以
.
故选：B.
二、填空题
19．（24-25 高三上·四川绵阳·期中）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
作
轴垂线交椭圆于
，若
，则该椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】根据题意可得
，结合椭圆定义运算求解即可.
【详解】由题意可知：
，
又因为
，即
，可得
，
所以该椭圆的离心率是
.
故答案为：
.
20．（2025·吉林·二模）已知椭圆
的上顶点为A，点
均在C 上，且关于x 轴对
称.若直线
，
的斜率之积为
，则椭圆C 的离心率为 .
【答案】
/
【分析】根据轨迹的求法，确定椭圆方程，可求其离心率.
【详解】由题意：
，设
（
），则
.
56
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由直线
，
的斜率之积为
，可得
.
所以
，
，
，所以
.
故答案为：
21．（24-25 高三上·河北邢台·阶段练习）已知双曲线
：
（
，
）的右顶点为
，以
为圆心，
为半径作圆
，圆
与双曲线
的一条渐近线交于
，
两点．若
，则
的离
心率为 .
【答案】
【分析】由题意根据圆的性质得到圆心A 到渐近线的距离，再利用点到直线的距离公式可得
的关系，
利用离心率公式求解即可．
【详解】双曲线
：
的右顶点为
，一条渐近线
，即
，
∵圆
的半径为
，且
，
∴
，
∴
到渐近线
的距离为
，
又
到渐近线
的距离
，
∴
，则
，则
的离心率为
．
故答案为：
．
22．（2024 高三·全国·专题练习）过点
作斜率为
的直线与椭圆
（
）相交
于
，
两点，若
是线段
的中点，则椭圆
的离心率等于 ．
【答案】
/
57
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【分析】利用点差法，结合
是线段
的中点，斜率为
，即可得到
的关系，进而求出椭圆
的
离心率．
【详解】设
，
，则
∴
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，∴
．
又∵
，∴
，
∴
，∴
．即椭圆C 的离心率
．
故答案为：
23．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆
的左、右焦点分别为
，焦距为
，若直
线
与椭圆的一个交点
满足
，则该椭圆的离心率等于 .
【答案】
【分析】由题意可知，
，
，从而得
，结合椭圆的定义及离
心率公式求解即可.
【详解】解：由题意可知，
，
，
从而
，
所以
，
58
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所以
.
故答案为：
24.已知
、
是双曲线
的左、右焦点，过
且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A、B 两
点，若
是正三角形，则双曲线C 的离心率为_______.
【答案】
【解析】解法1：如图，
是正三角形，不妨设
，则
，
，
离心率
.
解法2：如图，
是正三角形
，
，
，
所以双曲线C 的离心率
.
25．（24-25 高三下·江西九江·阶段练习）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
过
的直线与曲线C 的左右两支分别交于点
，且
，则曲线C 的离心率为
．
【答案】
/
【分析】设
，表示其他边长，利用双曲线定义可得
，在
和
中分别利用余弦定
理可得
的关系，即可求出双曲线的离心率.
【详解】
59
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如图，设
，则
，
由双曲线定义得，
，
，
∴
，故
.
在
中，
，
在
中，
，
∵
，
∴
，故
，即
，
∴曲线C 的离心率
．
故答案为：
.
26．（24-25 高三上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系
中，直线与双曲线
的两条渐近线的交点分别为
是线段
的中点，若
，则
的
离心率为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为
，与两渐近线方程联立求得交点
的坐标，进而求得中点
的坐标，结合已知可求得
，进而可求
的离心率.
【详解】设直线的方程为
，
60
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双曲线
的渐近线方程为
，
由
，解得
，所以
，
由
，解得
，所以
，
可得线段
的中点
的坐标为
，所以
，
又
，
，所以
，所以
所以
的离心率为
.
故答案为：
.
27．（24-25 高三上·上海·课后作业）若斜率为
的直线l 过双曲线
的上焦点
，与双
曲线
的上支交于
两点，
，则
的值为 ．
【答案】
/
【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得
，
，再结合
有
，联立解得
的值，从而得解．
【详解】因为双曲线
：
，所以
，
设直线方程为
，代入双曲线方程消去
得
．
设
，
因为
，且
，
所以
，
．
因为
，所以
，
所以
，
，
两式联立解得
（负值舍去）．
61
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故答案为：
.
28．（24-25 高三上·湖南衡阳·开学考试）过双曲线
的上焦点
，作其中一条渐近线
的垂线，垂足为
，直线
与双曲线的上､下两支分别交于
，若
，则双曲线的离心率
.
【答案】
【分析】设双曲线右焦点为
，
，
，由题意结合双曲线定义可依次求出
、
、
、
、
和
，接着分别在
、
和
中结合余弦定理求出
，
进而建立等量关系式求出，从而求得
，进而由离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线右焦点为
，由题
，双曲线的一条渐近线方程为
即
，
过该渐近线作垂线，则由题
，
，
设
，则由题
，
，
，
所以
，
，
所以在
中，
①，
在
中，
②，
在
中，
③，
由①②得
，化简解得
，
由①③得
，化简解得
，
所以
，
62
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故双曲线的离心率
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为
，
，则结合双曲线定义可得
、
和
的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角
的余弦值
，从而可建立等量关系式依次求出和
，进而由离心率公式得解.
29．（2024·重庆·三模）已知椭圆
的左右焦点为
，若椭圆上存在不在
轴上的两
点A，B 满足
，且
，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】由
判断出四边形
为平行四边形，由正弦定理
，利用
可得答案.
【详解】由
知，
为AB 中点，四边形
为平行四边形，
由
与
可知，
在
中由正弦定理知，
，
在
中，有
，又因为
，
可得
，
，由
，得
，
故离心率的取值范围为
.
故答案为：
.
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