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专题18 分类讨论解决含参函数单调性问题
考点一
导函数为一次函数型
考点二
导函数为二次函数型（可因式分解）
考点三
导函数为二次函数型（不可因式分解）
考点四
导函数为一次指数函数型
考点五
导函数为二次指数函数型
考点六
导函数为对数函数型
一、
含参函数单调性讨论的分类标准
①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0 有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
二、
含参函数单调性讨论的过程
求定义域，求导函数fx
观察导函数f x
是否可以分解
不能分解可考虑以∆分类讨论
若能分解看首项是否含有参数
首项含有参数，对首项参数分类讨论
首项不含有参数，求f x
= 0 的根
看根是否在定义域内
比较根的大小
考点一
导函数为一次函数型
例1．（2023·全国·高二专题练习）设m 为实数，函数
.求函数
的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】先对
求导，根据m≥0 和m＜0 进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性；
【详解】
，函数定义域为
，
，
1
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当
时，
在
上恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，
，解得
，函数
在
上单调递增；
，解得
，函数
在
上单调递减.
例2．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求出导函数
，分类讨论解不等式
得增区间，
得减区间．
【详解】（1）
．
当
时，
，易知f(x)在R 上单调递减．
当
时，令
，可得
；令
，可得
且
，
∴f(x)在
和
上单调递减，在
上单调递增．
当
时，令
，可得
且
；令
，可得
，
∴
在
和
上单调增，在
上单调递减．
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
.讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，讨论
和
两种情况，即可得出函数的单调性；
【详解】由题知函数
的定义域为
，
当
时，
，此时函数
在
上单调递；
当
时，令
，得
；令
，得
，
2
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所以函数
在
上单调递增；在
上单调递减；
综上，当
时，
在
上单调递；
当
时，数
在
上单调递增；在
上单调递减.
例4．（2023 春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数
，其中
(1)若函数
在
处取得极值，求
的值；
(2)求函数
的单调区间.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）
，由题得
，代入即可解出
值；
（2）根据
恒成立，则分
讨论即可.
【详解】（1）
，
在
处取得极值，
，即
，解得
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
即函数
在0 处取得极值，所以
.
（2）
，且
恒成立，
①当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递减，
②当
时，令
，解得
，
3
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（i）当
时，令
，解得
，
令
，解得
，
故此时函数
的单调增区间为
，单调减区间为
，
（i i）当
时，令
，解得
，
令
，解得
，
故此时函数
的单调增区间为
，单调减区间为
，
综上，
时，
单调减区间为
，无单调增区间，
时，
单调增区间为
，单调减区间为
，
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
，
例5．（2023 春·吉林长春·高二长春市第五中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求出函数
的定义域与导数，对实数
的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由
此可得出函数
的增区间和减区间；
【详解】（1）解：函数
定义域为
，
.
当
时，对任意的
，
，所以，函数
的减区间为
，无增区间；
当
时，由
得
，由
得
.
此时函数
的增区间为
，减区间为
.
4
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综上所述，当
时，函数
的减区间为
，无增区间；
当
时，函数
的增区间为
，减区间为
.
考点二
导函数为二次函数型（可因式分解）
例6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，
.讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对
求导，然后分
和
两种情况讨论即可；
【详解】函数
的定义域为
，
所以
.
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递减：在
上单调递增.
综上，当
时，函数
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
例7．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导
，分为
，
两种情况讨论导数的正负，得出函数的单调性；
【详解】（1）
，令
，
(i)当
时，
时，
；
时，
，
5
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所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
(ii)当
时，
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减.
例8．（山东省潍坊市2022-2023 学年高二下学期期中数学试题）已知函数
，
(1)讨论函数
的单调性;
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导，结合函数定义域为
，分参数
，
来讨论导函数的符号即可；
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，令
，又因为
，可解得
单调递增，
单调递减；
例9．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）实数
，
，
．
(1)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)讨论
的单调性并写出过程．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）采用分离参数，转化为函数的最值问题即可求解.
(2)对
分类讨论，根据单调性即可求解.
【详解】（1）由题意得，令
，
的定义域为
，
6
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由
得：
．
设
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，即实数
的取值范围为
．
（2）令
，
的定义域为
．
①当
时，
时，
，
在
上是增函数；
时，
，
在
上是减函数；
时，
，
在
上是增函数；
②当
时，
，
时，
在
上是减函数；
时，
在
上是增函数；
③当
时，
单调递增；
④当
时，
时，
，
在
上是增函数，
时，
，
在
上是减函数，
时，
，
是增函数．
例10．（2023 春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调性和极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
，求
在区间
的最小值．
7
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【答案】(1)单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
，
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；
（2）求导函数
，分
，
，
讨论可得结果；
（3）结合（2）的结论，分
、
两种情况讨论，分别求出函数的最小值.
【详解】（1）当
时
定义域为
，且
，
所以当
或
时
，当
时
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
即
，
.
（2）函数
定义域为
，则
，
令
，解得
或
，
①当
时，则当
或
时，
，
当
时，
，
所以
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
②当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
③当
时，当
或
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
．
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综上可得当
时
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
当
时
在
上单调递增；
当
时
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
．
（3）因为
，由（2）可得
的单调增区间为
，
，单调减区间为
，
若
，即
时
在
上单调递减，
所以
在
上的最小值为
；
若
，即
时，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
在
的最小值为
，
所以
.
考点三
导函数为二次函数型（不可因式分解）
例11．（2023·湖北·校联考三模）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）分类讨论求解函数单调性；
【详解】（1）函数定义域为
，
二次函数
的对称轴是
①若
时，在
上
，从而
，函数
的单调递增区间是
；
②若
时，
，
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∴函数
的单调递增区间是
；单调递减区间是
；
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）首先求导得
，分
和
讨论即可；
【详解】（1）
，
①当
时，此时
，则
恒成立，
则
的减区间为
，
②当
时，令
，解得
，
则
的增区间为
令
，解得
，
则
的减区间为
，
综上当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的增区间为
，减区间为
.
例13．（2023·全国·高二专题练习）已知
，讨论
的单调区间.
【答案】当
时，
的增区间为
和
，减区间为
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；当
时，
的增区间为
.
【分析】求出函数
的导数
，然后分
和
两大类，讨论
在
上的正负性，即可得函数单调区间；
【详解】函数
的定义域为
,
,
令
，即
,
则
,
①当
时，即
，
此时
恒成立，则函数
在
上单调递增；
②当
时，即
，
的两个根为
，且
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增；
③当
时，即
，
的两个根为
，且
，
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此时
恒成立，则函数
在
上单调递增；
综上：当
时，
的增区间为
和
，减区间为
；
当
时，
的增区间为
.
例14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出
，对实数
的取值进行分类讨论，分析
的符号变化，由此可得出函数
的增
区间和减区间.
【详解】解：函数
的定义域为
，
，令
，
当
时，
，
，此时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，
.
①当
时，即当
时，
，
且
不恒为零，
此时，函数
的增区间为
，无减区间；
②当
时，即当
时，由
可得
，
解得
，
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由
可得
，解得
或
，
此时函数
的增区间为
、
，减区间为
.
综上所述，当
时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
.
例15．（2023·全国·高二专题练习）设函数
，求函数
的单调区间.
【答案】当
时，
的单调减区间为
；
当
时，
的单调减区间为
和
，单调增区间为
.
【分析】对
求导，分
和
和
三类讨论导数的正负，即可得出
的单调区间.
【详解】由题意得
的定义域为
，因为
，
所以
，
令
，
，
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①当
时，
，所以
在
上单调递减，
②当
时，
，所以
在
上单调递减，
③当
时，令
，则
，
且
，所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
的单调减区间为
；
当
时，
的单调减区间为
和
，单调增区间为
.
考点四
导函数为一次指数函数型
例16．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数
，其中e 为自然对数
的底数．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导，利用导数的正负即可判断单调性；
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
，所以
在R 上单调递减；
当
时，令
，得
，令
，得
，所以
在
上单调递增，
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在
上单调递减，
综上所述，当
在R 上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减；
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）通过导数分成
，
两种判断函数的单调性；
【详解】（1）函数
的定义域是
，
，
①当
时，
，
在
上单调递增.
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单
调递增.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导，再分
和
，根据导数的符号即可得出答案；
【详解】（1）
，
当
时，
，所以函数
在
上递减，
当
时，设
，则
，
所以函数
在
上递增，即
在
上递增，
15
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令
，得
，
当
时，
，函数
为减函数，
当
时，
，函数
为增函数，
综上可得，当
时，函数
在
上递减；
当
时，函数
在
上递减，在
上递增；
例19．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
.讨论函数
的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，分
和
两种情况讨论求解即可；
【详解】函数
的定义域为
，
当
，即
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递增；
当
，即
时，由
得
；由
得
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
例20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
（e 为自然对数的底数）.求函数
的单调区
间.
【答案】答案见解析
【分析】求出导函数
，分类讨论确定
的正负，得单调区间；
【详解】
，
时，
恒成立，
在
是单调递增，增区间为
，
16
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时，
时，
，
时，
，
的增区间是
，减区间是
；
考点五
导函数为二次指数函数型
例21．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出导函数
，由
得增区间，由
得减区间；
【详解】函数
，定义域为R,
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
例22．（广东省广州市2023 届高三冲刺（一）数学试题）设函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，对
分类讨论，求出
的解，得出单调区间；
【详解】（1）由
17
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①
时，由
，令
，解得
，
所以
时，
时，
，
则
在
单调递增，在
单调递减；
②
时，由
，
（i）
时，因为
，则
在
单调递增，
（ii）
时，
，解得
或
，
所以
时，
时，
，
则
在
，
上单调递增，在
单调递减；
（iii）
时，由
，
所以
时，
时，
，
则
在
，
上单调递增，在
单调递减；
综上：
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
；
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
例23．（2023 春·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考期中）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析；
18
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【分析】（1）先求
，然后对
进行分类讨论，根据单调性、极值点等知识求得
的取值范围.
【详解】（1）依题意，
的定义域为R，
求导得
，令
，得
或
，
若
，
，
，
递增；
，
，
递减；
，
，
递增，
若
，则
，
在R 上单调递增，
若
，
，
，
递增；
，
，
递减；
，
，
递增，
所以当
时，函数
的递增区间是
，递减区间是
；
当
时，函数
在R 上单调递增；
当
时，函数
的递增区间是
，递减区间是
.
例24．（2023 春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)当
时，写出函数
的零点个数.(只需直接写出结果)
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)1 个零点
19
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【分析】（1）求得
，得到
且
，进而求得切线方程；
（2）求得
，分
、
、
、
和
，四种情况讨论，进而求得
函数的单调区间；
（3）由（2）知，当
时，
单调递增，结合
，得到
在
只有一个零点；当
时，得到函数
的递减区间为
，递增区间为
，结合极值和
时，函数
，得到
在
只有一个零点.
【详解】（1）解：由
，可得
，
则
且
，所以曲线
在点
处的切线方程
.
（2）解：由函数
的定义域为
，且
，
若
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
若
，令
，解得
或
，
①若
时，即
时，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
②若
时，即
时，
20
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当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
③若
时，即
时，可得
，
单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
；
④若
时，即
时，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（3）解：由（2）知，当
时，可得
，
单调递增，
又由
，可得
，此时
在
只有一个零点；
当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
当
时，函数取得极大值，极大值为
，
当
时，函数取得极小值
，其中
，
当
时，函数
，
所以函数
在
只有一个零点，
综上可得，函数
在
只有一个零点.
21
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例25．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，讨论函数
的单调性.
【答案】当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
【分析】求出导函数
，因式分解得
，然后按
和
分类讨论，根据导
函数的正负得单调性.
【详解】由题意得，函数定义域为
，因为
，
所以
．
①若
，令
，解得
．
当
时，
，所以
的单调递增区间为
；
当
时，
，所以
的单调递减区间为
.
②若
，令
，解得
．
当
时，
，所以
的单调递减区间为
；
当
时，
，所以
的单调递增区间为
．
综上，当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
考点六
导函数为对数函数型
例26．（2023 春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）设函数
，其中
.
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导，分
和
两种情况讨论，结合导数判断原函数的单调性；
【详解】（1）由题意可知：
的定义域为
，
，
22
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当
时，则
对
恒成立，
则
在
上为减函数；
当
时，令
，可得
，则
，解得
；
令
，解得
；
故
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上为减函数；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
例27．（2023 春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）利用导数的运算法则可得
，利用导数研究函数
的单调性，
即可求解；
【详解】（1）函数
的定义域为
，
．
令
，
，
当
时，
恒成立，所以函数
在
上递增；
当
时，在区间
，
，函数
递减；
在区间
，
，函数
递增．
例28．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知函数
，
为
的导数．
23
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(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）设
，对
求导，分
和
讨论即可；
【详解】（1）设
的定义域为
,
.
当
时,
在
上为增函数,在
上单调递增;
当
时,令
,得
.
若
,则
单调递增,
若
,则
单调递减.
综上,当
时,
在
上单调递增;
当
时,
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导并化简得
，令
，得
或
，根据a 和
的大
小分类讨论即可得解．
【详解】（1）函数
的定义域为
，
．
令
，得
或
．
若
，则当
时，
，函数
单调递增；
24
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当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增．
若
，则
恒成立，函数
在
上单调递增．
若
，则当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增．
综上，当
时，函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
．
例30．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数
，a 为实数．
(1)求函数
的单调区间；
【答案】(1)
递减区间为
，递增区间为
.
【分析】（1）求导，由导函数的正负即可确定
的单调区间，
【详解】（1）函数
的定义域为
，
25
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令
，所以
，得
，
当
，
，当
，
，
故函数
递减区间为
，递增区间为
.
1．（2023 春·北京·高二人大附中校考期中）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间；
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
【分析】（1）利用导数的几何意义，计算求得
、
，即可求解；
（2）利用导数，分类讨论当
、
、
、
时函数
的单调性，即可求解；
【详解】（1）当
时，
，
所以
，得
，又
，
所以曲线
在
处的切线方程为
.
（2）
,
，令
或
，
当
时，由
或
，由
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
26
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当
时，由
或
，由
，
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，由
，由
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，由
，则函数
在
上单调递增.
综上，当
时，函数
的单调增区间为
和
，减区间为
；
当
时，函数
的单调增区间为
和
，减区间为
；
当
时，函数
的单调增区间为
，减区间为
；
当
时，函数
的单调增区间为
，无减区间.
2．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）先求定义域，求导后，对
进行分类讨论，即可得到函数的单调性；
【详解】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，由
，解得：
，由
，解得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在，
上单调递增.
27
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3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，（e 为自然对数的底数，且
）.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导得到导函数，考虑
，
，
三种情况，根据导数的正负得到单调区间.
【详解】（1）
，
当
时，
，
则当
时，
，故
在
单调递减；
当
时，
，故
在
单调递增.
当
时，由
得
，
.
若
，则
，故
在
上单调递增.
若
，当
或
时，
，故
在
，
单调递增.
当
时，
，故
在
单调递减.
综上所述：
时，
在
单调递减，在
单调递增；
时，
在
，
单调递增，在
单调递减.
时，
在
上单调递增.
4．（2023 春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）设函数
，
，其中
、
.
(1)求
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
28
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【分析】（1）求出
，对实数
的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数
的增区间和减区间；
【详解】（1）解：因为函数
，
，其中
、
，
则
，则
.
①当
时，对任意的
，
且
不恒为零，
此时，函数
的递增区间为
；
②当
时，
，由
可得
，
由
可得
或
，
此时函数
的增区间为
、
，减区间为
.
综上所述，当
时，函数
的递增区间为
；
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
.
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导，分
和
两种情况，结合导数判断单调性；
【详解】（1）因为
，所以
.
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，
29
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当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，
在
上单调递增；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，结合
，讨论
、
研究导数区间的符号，即可确定区间单调性.
【详解】由题意，
的定义域为
，且
，
，
若
，则
，当
时
，当
时
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减.
若
，则
，当
时
，当
时
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的零点个数；
(2)设函数
，讨论
的单调性．
【答案】(1)2
(2)答案见解析
30
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【分析】（1）求导得到单调区间，计算
，确定
，
，得到零点个数.
（2）求导得到导函数，考虑
和
两种情况，设
，根据二次函数根的分布得
到函数的单调区间，分类讨论计算得到答案.
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
，
，函数
在
上单调递减；
当
，
，函数
在
上单调递增，
所以
，
又
，
，
所以存在
，
，使得
，
即
的零点个数为2．
（2）函数
，定义域为
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，令
，由于
，
①当
时，
，
，函数
在
单调递减；
②当
时，
，
，
，函数
在
上单调递减；
③当
时，
，设
，
是方程
的两个根，且
，
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则
，
，
由
，
当
时，
，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，
，函数
在
上单调递减，
综上所述：
当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增．
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，求函数的单调区间，意在考查学生的计算
能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键，分类讨论的方法是常考的方法，需
要熟练掌握.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，其中
．
(1)讨论的
单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求出
导数，根据导数的二次式取值情况讨论a 的取值范围与
单调性关系；
【详解】（1）由题可知
，令
，
当
，即
时，
恒成立，
故
在
上单调递增；
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当
，即
时，令
，则
或
，
令
，则
故
在
上单调递增；
在
单调递减；
9．（2023·全国·高三专题练习）设函数
.
(1)求
的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求得
，对
进行分类讨论，由此即可求得
的单调区间；
【详解】（1）
，
令
，得
.
①若
，当
时，
；当
时，
，
则
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
②若
，当
时，
；当
时，
，
则
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
10．（2023 春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知
，
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【分析】（1）求导
，分
和
，讨论求解；
【详解】（1）
的定义域是
，
，
33
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①
时，
，
在
单调递增，
②
时，
，令
，解得：
，令
，解得：
，
故
在
递减，在
递增，
综上：
时，
在
单调递增，
时，
在
递减，在
递增；
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