文档文本内容
第 16 讲 导数中的极值点偏移问题（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国甲卷理，第21题,12 恒成立问题、零点问题
导数中的极值偏移问题
分 利用导数证明不等式
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2021年新I卷，第22题,12分 导数中的极值偏移问题
利用导数证明不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题
2能理解并掌握极值点偏移的含义
3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解
【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结
合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习
知识讲解1. 极值点偏移的含义
f (x) f(x)=f(2m−x) f (x)
众所周知，函数 满足定义域内任意自变量x都有 ，则函数 关于直线
f (x) f (x)
x=m对称；可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则
x +x
1 2
x=m必为 f (x) 的极值点. 如二次函数 f (x) 的顶点就是极值点 x 0，若 f (x)=c 的两根的中点为 2 ，
x +x
1 2 =x
则刚好有 2 0 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
f (x) f (x)
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 的极值点为m，且函数 满足定义域内
f (x)>f (2m−x) f (x)<f (2m−x) f (x)
x=m左侧的任意自变量x都有 或 ，则函数 极值点m左右侧
x +x
1 2
f (x) x ,x f (x )=f (x ) 2
变化快慢不同. 故单峰函数 定义域内任意不同的实数 1 2满足 1 2 ，则 与极值点
m必有确定的大小关系：
x +x x +x
m< 1 2 m> 1 2
2 2
若 ，则称为极值点左偏；若 ，则称为极值点右偏.
x x +x
g(x)= 1 2
如函数 ex 的极值点 x 0 =1 刚好在方程 g(x)=c 的两根中点 2 的左边，我们称之为极值点左
偏.
2. 极值点偏移问题的一般题设形式
f (x) x ,x x ≠x x +x >2x x f (x)
1. 若函数 存在两个零点 1 2且 1 2，求证： 1 2 0（ 0为函数 的极值点）；
f (x) x ,x x ≠x f (x )=f (x ) x +x >2x x f (x)
2. 若函数 中存在 1 2且 1 2满足 1 2 ，求证： 1 2 0（ 0为函数 的极
值点）；x +x
x = 1 2
f (x) x ,x x ≠x 0 2 f '(x )>0
3. 若函数 存在两个零点 1 2且 1 2，令 ，求证： 0 ；
x +x
x = 1 2
f (x) x ,x x ≠x f (x )=f (x ) 0 2 f '(x )>0
4. 若函数 中存在 1 2且 1 2满足 1 2 ，令 ，求证： 0 .
3. 极值点偏移的判定定理
y=f (x) (a,b) x f (x)=0
对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 0，方程 的解分别为
x ,x a<x <x <b
1 2，且 1 2 ，
x +x
1 2 <(>)x
f(x )<f(2x −x ) 2 0 y=f (x) (x ,x )
（1）若 1 0 2 ，则 ，即函数 在区间 1 2 上极（小）大值
x
点 0右（左）偏；
x +x
（2）若 f(x 1 )>f(2x 0 −x 2 ) ，则
1
2
2 >(<)x
0 ，即函数 y=f (x) 在区间 (x 1 ,x 2 ) 上极（小）大值
x
点 0右（左）偏.
y=f (x) (a,b) x f (x)
证明：（1）因为对于可导函数 ，在区间 上只有一个极大（小）值点 0，则函数
(a,x ) (x ,b) a<x <x <b x <x
的单调递增（减）区间为 0 ，单调递减（增）区间为 0 ，由于 1 2 ，有 1 0，且
x +x
2x 0 −x 2 <x 0，又 f(x 1 )<f(2x 0 −x 2 ) ，故 x 1 <(>)2x 0 −x 2，所以
1
2
2 <(>)x
0 ，即函数极（小）大
x
值点 0右（左）偏；
（2）证明略.
x +x x +x
⇔m< 1 2 ⇔m> 1 2
左快右慢（极值点左偏 2 ） 左慢右快（极值点右偏 2 ）x +x x +x
⇔m< 1 2 ⇔m> 1 2
左快右慢（极值点左偏 2 ） 左慢右快（极值点右偏 2 ）
4. 对数平均不等式
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
只证：当 时， ．不失一般性，可设 ．
证明如下：
（I）先证： ……①
不等式① （其中 ）
构造函数 ，则 ．
因为 时， ，所以函数 在 上单调递减，
故 ，从而不等式①成立；
（II）再证： ……②
不等式② （其中 ）
构造函数 ，则 ．
因为 时， ，所以函数 在 上单调递增，故 ，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对 ，都有对数平均不等式 成立，
当且仅当 时，等号成立．
5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
f (x) x
（1）求出函数 的极值点 0；
F(x)=f(x +x)−f(x −x)
（2）构造一元差函数 0 0 ；
F(x)
（3）确定函数 的单调性；
F(0)=0 F(x) f (x +x) f(x −x)
（4）结合 ，判断 的符号，从而确定 0 、 0 的大小关系.
极值点偏移高考真题鉴赏
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)证明：若 有两个零点 ，则 ．
2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
考点一、 含对数型极值点偏移
1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，求证： ．2．（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）已知函数 ．
（1）当 时，若 有两个零点，求 的取值范围；
（2）若 且 ，证明： ．
1．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知函数 ．
（1）当 时，判断函数 是否有极值，并说明理由；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
2．（2023·宁夏吴忠·校联考模拟预测）已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）若函数 存在两个零点 ，证明： ．
考点 二 、 含指数型极值点偏移
1．（2023·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数 .
（1）判断函数 的单调性；
（2）若方程 有两个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）如果 ，且 ，求证： .
2．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数 有三个极值点 ，
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
1．（2023·四川达州·统考一模）已知函数 (其中e是自然对数的底数，k∈R)．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当函数 有两个零点 时，证明： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求曲线 在 处的切线方程；（Ⅱ）若 ， 为函数 的两个极值点，求 的取值范围并证明 .
考点 三 、 加法型极值点偏移
1．（2023·贵州·校联考一模）已知函数 ， .
（1）求函数 在 的最小值；
（2）设 ，证明： ；
（3）若存在实数 ，使方程 有两个实根 ， ，且 ，证明： .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求 的零点个数；
(3)若 有两个零点 ， ，证明： ．
1．（2022·广东汕头·统考一模）已知函数 有两个相异零点 ．
（1）求a的取值范围．
（2）求证： ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 是常数．
(1)求曲线 在点 ， （2） 处的切线方程，并证明对任意 ，切线经过定点；
(2)证明： 时，设 、 是 的两个正零点，且 ．
考点 四 、 减法型极值点偏移
1．（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；（2）若 ，求证 .
2．（2022秋·广东深圳·高三福田外国语高中校考阶段练习）已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， （ ），证明： .
1．（2022秋·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）已知函数 ， 为函数
的导数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若当 时，函数 与 的图象有两个交点 ， ，求证：
.
2．（2022·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）设函数 ， ，其中 .
(1)若 ，证明：当 时， ；
(2)设 ，且 ，其中 是自然对数的底数.
①证明 恰有两个零点；
②设 如为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明： .
考点 五 、 平方型极值点偏移
1．（2022秋·山东·高三阶段练习）已知 ， ，（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ，函数 有两个零点 ， ，求证： .
2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，对于任意 ，证明： .1．（福建省泉州市2022届高三8月份质检数学试题（一））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 （ 是自然对数的底数），且 ， ， ，证明： ．
2．（2022春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期中）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ， ，函数 的唯一极小值点为 ，点 和 是
曲线 上不同两点，且 ，求证： .
考点 六 、 乘积型极值点偏移
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为 .
(1)判断 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个实数根 ， ，求证： .
2．（2022·四川攀枝花·统考二模）已知函数 有最小值M，且 .
（Ⅰ）求 的最大值；
（Ⅱ）当 取得最大值时，设 ， 有两个零点为 ，证明：
.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若函数 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)若存在 ， ，使不等式 对于 ， 恒成立，求 的取值范围；
(3)若方程 有两个不等的实数根 、 ，试证明 .2．（2022届河北省张家口市高三下学期第二次模拟数学（理）试题）已知函数 （ 自
然对数的底数）有两个零点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 的两个零点分别为 ，证明： .
考点 七 、 商式型极值点偏移
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有两个相异零点 ､ ，且 ，求证：
.
2．（福建省宁德市2022届高三三模数学试题）已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性：
（2）若函数 恰有两个极值点 ，且 ，求 的最大值.
1．（2023春·湖北武汉·高二武汉中学校考阶段练习）已知函数 （ ）.
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若函数 恰有两个极值点 ， （ ），且 ，求 的最大值.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)已知 ， ， 为函数 的两个极值点，求 的最大值.
【能力提升】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一中学校校考期末）已知函数 有两个零点．
（1）求 的取值范围；
（2）设 ， 是 的两个零点，证明： ．
2．（2022秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考开学考试）设函数 ，其中 .
（1）证明： 恰有两个零点；
（2）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
3．（2023四川攀枝花·统考二模）已知函数 有最小值M，且 .
（Ⅰ）求 的最大值；
（Ⅱ）当 取得最大值时，设 ， 有两个零点为 ，证明：
.
4．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数
（1）若 ，( 为 的导函数)，求函数 在区间 上的最大值；
（2）若函数 有两个极值点 ，求证：
5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数 ， .
（1）讨论函数 的极值点；
（2）若 是方程 的两个不同的正实根，证明： .
6．（2022秋·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，求证： .
7．（2023秋·河南驻马店·高三校联考阶段练习）已知函数 在其定义域内
有两个不同的极值点.
（1）求a的取值范围；
（2）设 两个极值点分别为x，x，证明： .
1 2
8．（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，求证： .9．（2023江苏·高二专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ，若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.
10．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）若方程 有两个不同实根 、 证明： ．
11．（2023秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调区间与极值；
（2）已知函数 的图象与直线 相交于 ， 两点（ ），证明： ．
12．（2023全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求不等式 在 上的解；
（2）设 ， 关于直线 对称的函数为 ，求证：当 时，
；
（3）若函数 恰好在 和 两处取得极值，求证： .
13．（2023春·福建·高二校联考期末）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若已知函数 有两个零点 ，求证： .
14．（第三章 导数及其应用（能力提升）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教版选修1-1））
设函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 存在三个极值点 ， ， ，且 ，求k的取值范围，并证明： .
15．（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数 有三个极值点 ，
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
16．（2023春·天津和平·高二统考期末）设 ( )， ，（1）求 的单调区间：
（2）已知函数 有两个零点 ， ，且 ，
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： 随着 的减小而增大.
17．（2023浙江金华·统考三模）已知函数 .
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若方程 有两个实根 ，且 ，证明； 时， .(注∶e为自然对数的底
数)
18．（2023春·江苏徐州·高二江苏省丰县中学校考期中）已知函数 ， .
（1）当 时，求该函数在 处的切线方程；
（2）求该函数的单调区间和极值；
（3）若函数 在其定义域上有两个极值点 ，且 ，求证： .
19．（2022秋·贵州贵阳·高三统考期中）已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 在 内单调递减，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点分别为 ， ，证明： ．
20．（2023秋·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 有三个极值点 ， ， ，求实数 的取值范围，并证明
.
