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第二课时 向量法求距离、探索性及折叠问题
题型一 利用向量法求距离
角度1 点到直线的距离
例1 已知棱长为1 的正方体ABCD－EFGH，若点P 在正方体内部且满足AP＝
AB＋AD＋AE，则点P 到AB 的距离为________.
答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则AP＝(1，0，0)＋(0，1，0)＋(0，0，1)＝.
又AB＝(1，0，0)，
∴AP在AB上的投影为＝，
∴点P 到AB 的距离为
)＝.
角度2 点到平面的距离
例2 如图，四棱锥P－ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD＝1，E
为PC 的中点.
(1)证明：BE∥平面PAD.
(2)若AB⊥平面PBC，△PBC 是边长为2 的正三角形，求点
E 到平面PAD 的距离.
(1)证明 如图，取PD 的中点F，连接AF，EF，
因为E 为PC 的中点，F 为PD 的中点，
所以EF 綉CD.
又AB 綉CD，
所以EF 綉AB，
故四边形ABEF 为平行四边形，
所以BE∥AF.
又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
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(2)解 法一(向量法) 如图，取BC 的中点O，AD 的中点
M，连接OP，OM，则OM∥AB∥CD.
在等边△PBC 中，PO＝，OP⊥BC.
又AB⊥平面PBC，所以OM⊥平面PBC.
如图，以O 为坐标原点，分别以射线OC，OM，OP 的方向
为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则P(0，0，)，A(－1，1，0)，D(1，2，0)，
C(1，0，0)，故E，
所以AD＝(2，1，0)，PA＝(－1，1，－)，PE＝.
设平面PAD 的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝－2，z＝－，故n＝(1，－2，－)为平面PAD 的一个法向量.
所以点E 到平面PAD 的距离d＝
＝
＝.
法二(等体积法) 由(1)得BE∥平面PAD，
故点B 到平面PAD 的距离等于点E 到平面PAD 的距离.
如图，取BC 的中点G，连接PG，DG，BD，易知PG⊥BC.
又△PBC 是边长为2 的正三角形，
所以PG＝，PB＝BC＝2.
因为AB⊥平面PBC，AB⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面PBC.
因为平面ABCD∩平面PBC＝BC，
所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥GD.
因为AB⊥平面PBC，所以AB⊥BC，AB⊥PB，
所以四边形ABCD 是直角梯形，且AB＝1，BC＝2，CD＝2，
则AD＝，S△ABD＝×1×2＝1.
因为AB⊥PB，AB＝1，PB＝2，
所以PA＝.
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在Rt△PGD 中，易知DG＝.
又PG＝，所以PD＝2，
所以S△APD＝×2×＝.
设点B 到平面PAD 的距离为h，
因为三棱锥P－ABD 的体积
V＝S△APD×h＝S△ABD×PG，
所以h＝＝＝.
所以点E 到平面PAD 的距离为.
感悟提升 (1)向量法求点到直线距离的步骤
①根据图形求出直线的单位方向向量v.
②在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M 与直线外的点N 的
方向向量MN.
③垂线段长度d＝.
(2)求点到平面的距离的常用方法
①直接法：过P 点作平面α 的垂线，垂足为Q，把PQ 放在某个三角形中，解三
角形求出PQ 的长度就是点P 到平面α 的距离.
②转化法：若点P 所在的直线l 平行于平面α，则转化为直线l 上某一个点到平
面α 的距离来求.
③等体积法.
④向量法：设平面α 的一个法向量为n，A 是α 内任意点，则点P 到α 的距离为
d＝.
训练1 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1 中，各棱长均为4，
N 是CC1的中点.
(1)求点N 到直线AB 的距离；
(2)求点C1到平面ABN 的距离.
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4).
∵N 是CC1的中点，
∴N(0，4，2).
(1)AN＝(0，4，2)，AB＝(2，2，0)，
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则|AN|＝2，|AB|＝4.
设点N 到直线AB 的距离为d1，
则d1＝)
＝＝4.
(2)设平面ABN 的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝2，则y＝－1，x＝，
即n＝.
易知C1N＝(0，0，－2)，
设点C1到平面ABN 的距离为d2，
则d2＝＝＝.
题型二 立体几何中的探索性问题
例3 (12 分)(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧
面AA1B1B 为正方形，AB＝BC＝2，E，F 分别为AC 和CC1的
中点，D 为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D 为何值时，平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角的
正弦值最小？
[规范答题]
(1)证明 因为E，F 分别是AC 和CC1的中点，且AB＝BC＝
2，侧面AA1B1B 为正方形，
所以CF＝1，BF＝.
如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，于
是AF ＝＝3 ，所以AC ＝＝2. 由AB2 ＋BC2 ＝AC2 ，得
BA⊥BC，……………………2 分
故以B 为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角
坐标系B－xyz，
则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，BF＝(0，2，1).
设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)，……………………4 分
于是DE＝(1－m，1，－2)，
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所以BF·DE＝0，所以BF⊥DE. ……………………6 分
(2)解 易知平面BB1C1C 的一个法向量为n1＝(1，0，0). ……………………7 分
设平面DFE 的法向量为n2＝(x，y，z)，
则
又DE＝(1－m，1，－2)，EF＝(－1，1，1)，
所以
令x＝3，得y＝m＋1，z＝2－m，
于是，平面DFE 的一个法向量为n2＝(3，m＋1，2－m)，……………………9 分
所以cos〈n1，n2〉＝.
设平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角为θ，则sin θ＝
＝，……………………10 分
故当m＝时，平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小，为，即当
B1D＝时，平面BB1C1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小.
……………………12 分
第一步 根据已知条件建立空间直角坐标
系，利用向量法证明线线垂直
第二步 求两平面的法向量
第三步 计算向量的夹角(或函数值)
第四步 借助于函数的单调性或基本不等式确定最值
第五步 反思解题思路，检查易错点
训练2 如图，四棱锥S－ABCD 的底面是正方形，每条侧棱
的长都是底面边长的倍，P 为侧棱SD 上的点.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC 与平面DAC 夹角的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E，使得BE∥平
面PAC.若存在，求SE∶EC 的值；若不存在，试说明理由.
(1)证明 连接BD，设AC 交BD 于点O，连接SO.由题意
知SO⊥平面ABCD，以O 为坐标原点，以OB，OC，OS分
别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O－xyz.
设底面边长为a，则高SO＝a，于是
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S，D，C.
于是，OC＝，SD＝，
则OC·SD＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)解 由题设知，平面PAC 的一个法向量DS＝，平面DAC 的一个法向量OS＝.
由题知，二面角P－AC－D 为锐角，
则cos〈OS，DS〉＝＝，
所以二面角的大小为30°.
(3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE∥平面PAC.
根据第(2)问知DS是平面PAC 的一个法向量，且DS＝，CS＝.
设CE＝tCS，
则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS
＝.
又BE·DS＝0，得－＋0＋a2t＝0，
则t＝，
当SE∶EC＝2∶1 时，BE⊥DS.
由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.
因此在棱SC 上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.
题型三 折叠问题
例4 图①是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连
接DG，如图②.
(1)证明：图②中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图②中的平面BCG 与平面ACG 夹角的大小.
(1)证明 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
所以AD，CG 确定一个平面，从而A，C，G，D 四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，
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所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解 作EH⊥BC，垂足为H.
因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，
所以EH⊥平面ABC.
由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝.
以H 为坐标原点，HC的方向为x 轴的正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系H－xyz，
则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，
G(2，0，)，CG＝(1，0，)，AC＝(2，－1，0).
设平面ACGD 的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以可取n＝(3，6，－).
又平面BCGE 的法向量可取m＝(0，1，0)，
所以cos〈n，m〉＝＝.
因此平面BCG 与平面ACG 夹角的大小为30°.
感悟提升 1.折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前
后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地，翻折后还在同一个平面上
的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.
2.由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个
证明过程围绕着线面垂直这个核心展开，这是解决空间垂直问题的技巧.
训练3 (2022·宁波质检)图1 是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，
DC＝3，AD＝，CE＝2ED.以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达C1的位置
且AC1＝，如图2.
(1)证明：平面BC1E⊥平面ABED；
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(2)求直线BC1与平面AC1D 所成角的正弦值.
(1)证明 在图①中，连接AE，AC，AC 交BE 于F.
∵CE＝2ED，DC＝3，
∴CE＝2，∴AB＝CE.
又AB∥CD，∴四边形AECB 是平行四边形.
在Rt△ACD 中，AC＝＝2，
∴AF＝CF＝.
在图②中，AC1＝，∵AF2＋C1F2＝AC，∴C1F⊥AF，
由题意得C1F⊥BE，又BE∩AF＝F，
∴C1F⊥平面ABED，又C1F⊂平面BC1E，
∴平面BC1E⊥平面ABED.
(2)解 如图②，以D 为坐标原点，DA，DE的方向分别为x，y 轴的正方向，
FC1的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，2，0)，
E(0，1，0)，F，C1，
∴BC1＝，DA＝(，0，0)，DC1＝.
设平面AC1D 的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝，得n＝(0，－2，)，∴|n|＝.
记直线BC1与平面AC1D 所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝.
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1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N 分别为CD，
BB1的中点，求异面直线MN 与A1B 的距离.
解 以A 为原点，以AD，AB，AA1为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图.
则M(3，2，0)，N(0，4，1)，A1(0，0，2)，B(0，4，0)，
即MN＝(－3，2，1)，A1B＝(0，4，－2).
设MN，A1B 公垂线的方向向量为
n＝(x，y，z)，
则有⇒
令y＝1，则z＝2，x＝，
即n＝，|n|＝.
又MA1＝(－3，－2，2)在n 上的射影的长度为
d＝＝＝＝.
即异面直线MN 与A1B 的距离为.
2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，
∠ABC＝45°，点E 是CD 边的中点，将△DAE 沿AE 折起，
使点D 到达点P 的位置，且PB＝2.
(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；
(2)求点E 到平面PAB 的距离.
(1)证明 在平行四边形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，点E 是CD 边
的中点，将△DAE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且PB＝2，
∴AE＝＝2，
∴AE⊥AB.∵AB2＋PA2＝PB2，∴AB⊥PA.
∵AE∩PA＝A，AE，PA⊂平面PAE，
∴AB⊥平面PAE，∵AB⊂平面ABCE，
∴平面PAE⊥平面ABCE.
(2)解 ∵AE＝2，DE＝2，PA＝2，
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∴PA2＝AE2＋PE2，∴AE⊥PE.
∵AB⊥平面PAE，AB∥CE，
∴CE⊥平面PAE，∴EA，EC，EP 两两垂直，
以E 为原点，EA，EC，EP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，
建立空间直角坐标系，
则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，P(0，0，2)，
PE＝(0，0，－2)，PA＝(2，0，－2)，PB＝(2，4，－2).
设平面PAB 的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，0，1)，
∴点E 到平面PAB 的距离d＝＝＝.
3.(2022·湖北七市联考)如图，四棱锥P－ABCD 中，底面
ABCD 是直角梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，PD＝DC＝BC
＝2PA＝2AB＝2，PD⊥DC.
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)设BM＝λBD(0＜λ＜1) ，当平面PAM 与平面PBD 夹角的余弦值为时，求λ 的
值.
(1) 证明 因为四边形ABCD 是直角梯形，AB∥DC ，∠BAD ＝90° ，所以
AD⊥DC.
因为PD⊥DC，PD∩AD＝D，所以CD⊥平面PAD.
又因为PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA.
取CD 的中点E，连接BE，
在Rt△BCE 中，BC＝2，CE＝1，可得BE＝，所以AD＝.
又PD＝2PA＝2，所以PA2＋AD2＝PD2，所以PA⊥AD，
又AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.
(2)解 以A 为原点，以AB，AD，AP 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角
坐标系如图所示，
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则B(1，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，
所以BP＝(－1，0，1)，BD＝(－1，，0).
设平面PBD 的法向量m＝(x，y，z)，
由
令y＝1，得m＝(，1，).
设M(x0，y0，z0)，由BM＝λBD(0＜λ＜1)，得(x0－1，y0，z0)＝λ(－1，，0)，
所以M(1－λ，λ，0)，所以AP＝(0，0，1)，AM＝(1－λ，λ，0).
设平面PAM 的法向量n＝(x1，y1，z1)，
由得
令x1＝λ，得平面PAM 的一个法向量为
n＝(λ，λ－1，0).
设平面PAM 与平面PBD 夹角的平面角为θ，
则有cos θ＝＝＝＝，解得λ＝0 或λ＝.
因为0＜λ＜1，所以λ＝.
4.如图1，在直角梯形ABCD 中，E，F 分别为AB 的三等分点，FG∥BC，
ED∥BC，AB⊥BC，BC⊥DC，AB＝3，BC＝2，若沿着FG，ED 折叠，使得点
A 和点B 重合，如图2 所示，连接GC，BD.
(1)求证：平面GBD⊥平面BCDE；
(2)求平面BGC 与平面DGC 夹角的余弦值.
(1)证明 取BD，BE 的中点，分别记为O，M，连接GO，OM，MF.
则OM∥DE 且OM＝DE.又因为GF∥DE 且GF＝DE，
所以GF∥OM 且GF＝OM，故四边形OGFM 为平行四边形，
故GO∥FM.因为M 为EB 的中点，
△BEF 为等边三角形，故FM⊥EB，
易知平面EFB⊥平面BCDE，
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又平面EFB∩平面BCDE＝BE，故FM⊥平面BCDE，
因此GO⊥平面BCDE.又GO⊂平面GBD，
故平面GBD⊥平面BCDE.
(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，1，0)，
C(0，1，2)，D(0，0，2)，G，
则CD＝(0，－1，0)，CG＝，CB＝(0，0，－2).
设平面DGC 的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，得m＝.
设平面BGC 的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即
令x2＝1，得n＝(1，，0).
则|cos〈m，n〉|＝＝，
故平面BGC 与平面DGC 夹角的余弦值为.
5.如图，在四棱锥P－ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，
PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
(3)在棱PA 上是否存在点M；使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，
说明理由.
(1)证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，PA∩AB＝A.
∴PD⊥平面PAB.
(2)解 取AD 中点O，连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.
又∵PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
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∵CO⊂平面ABCD，∴PO⊥CO.
∵AC＝CD，∴CO⊥AD.
以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系.
易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0).
则PB＝(1，1，－1)，PD＝(0，－1，－1)，
PC＝(2，0，－1)，CD＝(－2，－1，0).
设n＝(x0，y0，1)为平面PDC 的一个法向量.
由得
解得即n＝.
设PB 与平面PCD 的夹角为θ.
则sin θ＝|cos〈n，PB〉|＝
＝＝.
所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.
(3)解 设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AM＝λAP，因此点M(0，1
－λ，λ)，BM＝(－1，－λ，λ).
因为BM⊄平面PCD，所以BM∥平面PCD，
当且仅当BM·n＝0，即(－1，－λ，λ)·＝0，解得λ＝，所以在棱PA 上存在点M
使得BM∥平面PCD，此时＝.
6.(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面
ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E 为
PD 的中点，点F 在PC 上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求平面FAE 与平面PAE 夹角的余弦值；
(3)设点G 在PB 上，且＝.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.
(1)证明 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因为AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
(2)解 过点A 作AD 的垂线交BC 于点M.
因为PA⊥平面ABCD，AM，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AM，PA⊥AD.
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建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，
2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
因为E 为PD 的中点，
所以E(0，1，1)，
所以AE＝(0，1，1)，PC＝(2，2，－2)，AP＝(0，0，2)，
所以PF＝PC＝，
所以AF＝AP＋PF＝.
设平面FAE 的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝1，则y＝－1，x＝－1.
于是n＝(－1，－1，1).
又因为平面PAE 的一个法向量为p＝(1，0，0)，
所以cos〈n，p〉＝＝－.
由题知，平面FAE 与平面PAE 夹角的余弦值为.
(3)解 直线AG 在平面AEF 内，理由如下：
因为点G 在PB 上，且＝，PB＝(2，－1，－2)，
所以PG＝PB＝，
所以AG＝AP＋PG＝.
由(2)知，平面AEF 的一个法向量n＝(－1，－1，1)，
所以AG·n＝－＋＋＝0.
又点A∈平面AEF，所以直线AG 在平面AEF 内.
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