1
限时练1
(时间:45 分钟,满分:80 分)
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.(2023 新高考Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1}
B.{0,1,2}
C.{-2}
D.{2}
2.(2022 全国乙,理2)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b 为实数,则( )
A.a=1,b=-2
B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2
D.a=-1,b=-2
3.(2023 河北唐山二模)某校高三年级一共有1 200 名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80 百
分位数是103,则数学成绩不小于103 分的人数至少为( )
A.220
B.240
C.250
D.300
4.(2023 全国甲,理4)已知向量a,b,c 满足|a|=|b|=1,|c|=√2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=( )
A.-4
5
B.-2
5
C.2
5
D.4
5
5.“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量,通过
植树造林、节能减排等形式,以抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某“碳中
和”研究中心计划派5 名专家分别到A,B,C 三地指导“碳中和”工作,每位专家只去一个地方,且每
地至少派驻1 名专家,则分派方法的种数为( )
A.90
B.150
C.180
D.300
6.(2023 黑龙江实验中学二模)已知直线l:2x+y+m=0 上存在点A,使得过点A 可作两条直线与圆
C:x2+y2-2x-4y+2=0 分别切于点M,N,且∠MAN=120°,则实数m 的取值范围是( )
A.[-√5-2,√5-2]
B.[-√15-2√3,√15-2√3]
C.[-2√5-4,2√5-4]
D.[0,√15-2√3]
7.(2023 云南昆明一中模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)<f(x)成立,则
(
)
A.ef(1)<f(2)
B.ef(1)≤f(2)
C.ef(1)>f(2)
D.ef(1)≥f(2)
8.(2023 福建漳州三模)已知正三棱锥P-ABC 的侧面与底面所成的二面角为π
3 ,侧棱PA=√21
2 ,则该正
三棱锥的外接球的表面积为( )
A.7 π
4
B.7 π
12
C.49 π
4
D.49 π
12
二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选
对的得5 分,部分选对的得2 分,有选错的得0 分.
9.(2023 湖南长沙明德中学三模)若a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.√a+√b≤√2
B.1
a + 4
b ≥9
C.a2+4b2≥5
4
D.b
2
a + a
2
b ≥1
10.(2023 河北保定统考一模)沙漏是古代的一种计时装置,由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的
连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称
为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6 cm,细沙全部
在上部时,其高度为圆锥高度的2
3(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙,且细沙
全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是( )
2
A.沙漏的侧面积是9√5π cm2
B.沙漏中的细沙体积为16 π
3
cm3
C.细沙全部漏入下部后堆成的圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是837 秒(π≈3.14)
11.(2023 新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0 为f(x)的极小值点
12.(2023 山西临汾二模)已知函数fn(x)=sinnx+cosnx(n∈N*),则下列说法正确的是( )
A.f1(x)在区间[- π
3 , π
4]上单调递增
B.f4(x)的最小正周期为π
2
C.f3(x)的值域为(- √2
2 , √2
2 )
D.f4(x)的图象可以由函数g(x)=1
4 sin 4x 的图象,先向左平移π
8 个单位长度,再向上平移3
4 个单位长度得
到
三、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.
13.(2023 广东广州模拟)已知n∈N*且n>1,x(x3-2
x )n的展开式中存在常数项,写出n 的一个值:
.
14.(2023 山东泰安一模)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(
1
2)= 1
4 ,则f(
11
2 )的值是
.
15.(2023 贵州六校联盟模拟)在实际生活中,常常要用到如图1 所示的“直角弯管”.它的制作方法如
下:如图2,用一个与圆柱底面所成角为45°的平面截圆柱,将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可
以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆,若将圆柱被截开的一段(如图3)
的侧面沿着圆柱的一条母线剪开,并展开成平面图形,则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的
部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T,若椭圆的长轴长为4√2,则T= .
3
16.(2023 广东广州一模)已知n∈N*,将数列{2n-1}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列得到新数列
{an},则1
a1
+ 1
a2
+…+ 1
a10
= .
4
限时练1
1.C 解析 由题意,x2-x-6≥0,解得x≤-2 或x≥3,N=(-∞,-2]∪[3,+∞).因为M={-2,-1,0,1,2},所以
M∩N={-2}.故选C.
2.A 解析 ∵z=1-2i,∴z=1+2i,∴z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0,
∴{
a+b+1=0,
2a-2=0, 解得{
a=1,
b=-2.故选A.
3.B 解析 因为所有学生成绩的第80 百分位数是103,所以数学成绩不小于103 分的人数至少
为1 200-1 200×80%=240.
4.D 解析 由a+b+c=0,得a+b=-c,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2,即|a|2+|b|2+2|a||b|cos<a,b>=|c|2.
又|a|=|b|=1,|c|=√2,所以2+2cos<a,b>=2,解得cos<a,b>=0,则<a,b>=π
2 .不妨设a=(1,0),b=(0,1).
因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),所以cos<a-c,b-c>=
(a-c )·(b-c )
|a-c||b-c|
=
2×1+1×2
√2
2+1
2·√1
2+2
2 = 4
5 .故选D.
5.B 解析 第一类,有一个地方去3 个专家,剩下的2 个专家各去一个地方,
分派方法种数为
C5
1·C4
1·C3
3
A2
2
· A3
3= 5×4×1
2×1
×3×2×1=60;
第二类,有一个地方去1 个专家,另两个地方各去2 个专家,
分派方法种数为C5
1·C4
2·C2
2
A2
2
· A3
3=
5× 4×3
2
×1
2×1
×3×2×1=90.由分类加法计数原理可知,分派
方法的种数为60+90=150.
6.C 解析 由x2+y2-2x-4y+2=0 可得(x-1)2+(y-2)2=3,圆心C(1,2),半径r=√3.
过点A 可作两条直线与圆C:x2+y2-2x-4y+2=0 分别切于点M,N,连接AC,CM,CN,如图.
由∠MAN=120°知,∠MAC=60°.又|MC|=r=√3,
所以|AC|=| MC |
sin 60°=2.
由题意,只需直线上存在与圆心距离为2 的点即可,
即圆心到直线的距离d=|2+2+m|
√2
2+1
2
≤2,
解得-2√5-4≤m≤2√5-4.
7.C 解析 令g(x)=f ( x )
e
x
,则g'(x)=f '( x )- f ( x )
e
x
<0,
所以g(x)=f ( x )
e
x
为R 上的减函数,
所以g(1)>g(2),即f (1)
e
> f (2)
e
2
,化简可得ef(1)>f(2).
8.C 解析 由题意,作正三棱锥P-ABC,取AB 的中点D,连接PD,CD,取等边三角形ABC 的中心
O,连接PO,如图所示.
5
在正三棱锥P-ABC 中,易知AP=BP,PO⊥平面ABC.
∵D 为AB 的中点,∴PD⊥AB.
在等边三角形ABC 中,∵D 为AB 的中点,∴CD⊥AB.
∵CD⊂平面ABC,PD⊂平面APB,∴∠PDC=π
3 .
设AD=x,则在Rt△APD 中,PD=√A P
2- A D
2=√
21
4 - x
2,在Rt△ADC 中,CD=AD·tanπ
3 =√3x,
在△PDC 中,根据余弦定理得,PD2+DC2-2PD·DCcos∠PDC=PC2,则3x2+21
4 -x2-2√3x·√
21
4 - x
2·cos
π
3 = 21
4 ,化简可得2x=√
63
4 -3 x
2,解得x=3
2(负值舍去),
则AD=3
2,CD=3√3
2 .
在等边三角形ABC 中,∵O 是中心,
∴O∈CD,OD=1
3CD=√3
2 ,CO=2
3CD=√3.
∵PO⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,∴PO⊥CD.
在Rt△POD 中,PO=OD·tanπ
3 = 3
2.
设正三棱锥P-ABC 的外接球的半径为r,
假设正三棱锥P-ABC 的外接球球心在线段PO 上,则(PO-r)2+CO2=r2,
可得(
3
2 -r)
2
+3=r2,解得r=7
4 > 3
2,不符合题意;
假设正三棱锥P-ABC 的外接球球心在线段PO 的延长线上,则(r-PO)2+CO2=r2,
可得(r - 3
2)
2
+3=r2,解得r=7
4 > 3
2,符合题意.
故正三棱锥P-ABC 的外接球的表面积S=4πr2=49
4 π.
9.ABD 解析 对于A,(√a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+a+b=2,当且仅当a=b=1
2时,等号成
立,所以√a+√b≤√2,当且仅当a=b=1
2时,等号成立,故A 正确;
对于B,1
a + 4
b =(
1
a + 4
b)(a+b)=1+4+b
a + 4 a
b ≥5+2√
b
a · 4 a
b =9,当且仅当b
a = 4 a
b 且a+b=1,即a=
1
3,b=2
3时,等号成立,故B 正确;
对于C,a2+4b2=(1-b)2+4b2=5b2-2b+1=5(b- 1
5)
2
+ 4
5 ≥4
5 ,当且仅当b=1
5,a=4
5 时,等号成立,故C 不
正确;
对于D,b
2
a + a
2
b +1=b
2
a + a
2
b +a+b≥2√a· b
2
a
+2√b· a
2
b
=2,当且仅当a=b=1
2时,等号成立,故D 正
确.
6
故选ABD.
10.BD 解析 对于A,设下面圆锥的半径为r,母线长为l,
则r=3 cm,l=√3
2+6
2=3√5cm,
故下面圆锥的侧面积S=πrl=3×3√5π=9√5π cm2,故沙漏的侧面积为2S=18√5π cm2,故A 错误;
对于B,因为细沙全部在上部时,高度为圆锥高度的2
3,
所以上部细沙形成的圆锥底面半径为2
3×3=2 cm,高为6×2
3=4 cm,故底面积为π·22=4π cm2,所以
沙漏中的细沙体积为1
3×4π×4=16 π
3
cm3,故B 正确;
对于C,由B 选项可知,细沙全部漏入下部后堆成的圆锥形沙堆的体积为16 π
3
cm3,底面积为
π·32=9π cm2,故高为3× 16 π
3
9 π
= 16
9
≈1.8 cm,故C 错误;
对于D,16 π
3
÷0.02≈16×3.14
3×0.02 ≈837 秒,故该沙漏的一个沙时大约是837 秒,故D 正确.
故选BD.
11.ABC 解析 对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A 正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B 正确;
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0,再令
x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C 正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,
所以D 错误.故选ABC.
12.ABD 解析 对于A,由题意可得f1(x)=sin x+cos x=√2sin(x + π
4),x∈[- π
3 , π
4],则x+
π
4 ∈[- π
12 , π
2],
故f1(x)在区间[- π
3 , π
4]上单调递增,故A 正确;
对于B,D,由题意可得f4(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x=1-1
2sin22x=1-
1
2 × 1-cos 4 x
2
= 1
4 cos 4x+3
4 ,故f4(x)的最小正周期T=2π
4 = π
2 ,故B 正确;
函数g(x)=1
4 sin 4x 的图象,先向左平移π
8 个单位长度,得到y=g(x + π
8)= 1
4 sin 4(x + π
8)= 1
4 sin
(4 x + π
2)= 1
4 cos 4x 的图象,再向上平移3
4 个单位长度,得到y=1
4 cos 4x+3
4 =f4(x)的图象,故D 正确;
对于C,由题意可得f3(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)·(sin2x-sin xcos x+cos2x)=(sin x+cos x)(1-sin
xcos x),
令t=sin x+cos x=√2sin(x + π
4)∈[-√2,√2],
则sin xcos x=t
2-1
2
,可得y=t(1- t
2-1
2 )= 3
2t-1
2t3,
7
构建g(t)=3
2t-1
2t3,t∈[-√2,√2],则g'(t)=3
2 - 3
2t2,t∈(-√2,√2),令g'(t)>0,解得-1<t<1,令g'(t)<0,解
得-√2<t<-1 或1<t<√2,故g(t)在(-1,1)内单调递增,在(-√2,-1),(1,√2)上单调递减,且g(√2)=√2
2 ,g(-
√2)=-√2
2 ,g(1)=1,g(-1)=-1,显然-1<-√2
2 < √2
2 <1,故g(t)在[-√2,√2]上的值域为[-1,1],
所以f3(x)的值域为[-1,1],故C 错误.
故选ABD.
13.5(答案不唯一) 解析 (x
3- 2
x)
n
的展开式的通项为Tk+1=Cn
k x
3(n-k )(- 2
x)
k
=(-2)k·Cn
k
x3n-4k,k=0,1,2,…,n.
因为x(x
3- 2
x)
n
的展开式中存在常数项,所以3n-4k=-1 有解,即n=4 k -1
3
,可得n 的一个值为5.
14.1
4 解析 因为f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(x)=f(-x).又f(x)=f(2-x),所以f(x)=f(-x)=f(2-x),
所以f(x)是周期为2 的函数.则f(
11
2 )=f(
11
2 -6)=f(- 1
2)=f(
1
2)= 1
4 .
15.4π 解析 设圆柱底面圆的半径为r,因为椭圆截面与底面的夹角为45°,椭圆的长轴长为4√2,
所以2r=4√2sin 45°=4,即r=2.正弦型函数的最小正周期T 为圆柱的侧面展开图的底边边长,即圆
柱的底面圆的周长,所以T=4π.
16.10
21 解析 对于数列{n2-1},当n 为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),则n2-1=(2k-1)2-1=4k(k-1)为偶数;
当n 为偶数时,设n=2k(k∈N*),则n2-1=4k2-1 为奇数.
因为数列{2n-1}是正奇数列,所以an=4n2-1,
则1
an
=
1
4 n
2-1
=
1
(2n-1)(2n+1) = 1
2(
1
2n-1 -
1
2n+1),
因此1
a1
+ 1
a2
+…+ 1
a10
= 1
2×(1-1
3 + 1
3 - 1
5+…+ 1
19 - 1
21)=1
2(1- 1
21)= 10
21.
