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专题20 直线方程应用
目录
题型一：斜率几何意义.........................................................................................................................................................1
题型二：倾斜角范围最值.....................................................................................................................................................2
题型三：函数值域型求倾斜角.............................................................................................................................................3
题型四：直线方向向量.........................................................................................................................................................4
题型五：含参直线过定点.....................................................................................................................................................5
题型六：双直线含参型定圆.................................................................................................................................................6
题型七：截距式应用.............................................................................................................................................................6
题型八：直线一般式方程理论.............................................................................................................................................7
题型九：直线光学性质.........................................................................................................................................................8
题型十：两点距离公式应用...............................................................................................................................................10
题型十一：平行线应用.......................................................................................................................................................10
题型十二：对称：“将军饮马”型最值...........................................................................................................................11
题型十三：绝对值型...........................................................................................................................................................12
题型十四：对称：叠纸型...................................................................................................................................................13
题型一：斜率几何意义
1．（24-25 高二上·江西抚州·阶段练习）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为
“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点P(x , y)是阴
影部分（包括边界）的动点.则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
斜率型分式几何意义
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l 上，且x1≠x2，则l 的斜率k＝.。
若满足
1
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2．（20-21 高一下·辽宁大连·期中）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（2024 高二·全国·专题练习）已知函数
，且
，则
，
，
的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点
在函数
的图象上，当
，则
可能等于
（ ）
A．-1
B．
C．
D．0
5．（23-24 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y 满足
，则
的取值范
围是 ．
题型二：倾斜角范围最值
1．（24-25 高二上·安徽滁州·阶段练习）过
，
两点的直线的倾斜角的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
斜率与倾斜角关系是正切图像
由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α 增大而增大；
②当α＝时，斜率不存在，但直线存在；
③当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α 增大而增大．
2
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2．（24-25 高二上·重庆·阶段练习）设直线l 的方程为
（
），则直线l 的倾斜角
的
取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·河北唐山·阶段练习）设直线的方程为
，则直线的倾斜角
的范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二上·河北石家庄·阶段练习，多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线
的倾斜角
的取值范围是
B．函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
C．已知函数
在
上是增函数，则实数a 的取值范围是
D．若事件A 与事件B 相互独立，且
，
，则
5．（2024·全国·模拟预测）已知
，
分别是双曲线
的上、下焦点，过点
且
与
轴垂直的直线与
的一条渐近线相交于点
，且
在第四象限，四边形
为平行四边形．若直线
的倾斜角
，则
的离心率的取值范围是 ．
题型三：函数值域型求倾斜角
1．（24-25 高二上·浙江·阶段练习）已知
，
，直线：
上存在点P，
满足
，则的倾斜角的取值范围是（ ）
斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应
由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α 增大而增大；
当α＝时，斜率不存在，但直线存在；
当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α 增大而增大．
3
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A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
（
为
锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·河北·阶段练习）已知
分别是双曲线
的上下焦点，经过
､
点
且与
轴垂直的直线与
的一条渐近线相交于点
，且
在第四象限，四边形
为平行四边形，
若
的离心率的取值范围是
，则直线
的倾斜角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三上·辽宁铁岭·期末，多选）已知直线
与抛物线
交于
，
两点，
为抛物线
的焦点，若
，则直线的倾斜角可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二上·湖南长沙·阶段练习）直线
的倾斜角的取值范围是 .
6．（22-23 高三下·上海·阶段练习）已知曲线
，点
，
是曲线
上任意两个不同
点，若
，则称
，
两点心有灵犀，若
，
始终心有灵犀，则
的最小值
的正切值
．
题型四：直线方向向量
1．（24-25 高二上·江苏南通·阶段练习已知
是互相垂直的单位向量，若直线和
的方向向量分别为
，则和
所成的角的余弦值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：
与曲线W：
有三个交点D、
与直线l 平行的非零向量V 都称为
⃗
l 的方向向量,用它们来表示直线的方向.
斜率为k 的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍.
4
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E、F，且
，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·安徽黄山·期中）已知直线l 的一个方向向量为
，直线l 的倾斜角为
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．2
4．（23-24 高二上·福建三明·期中，多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线：
在y 轴上的截距为2
B．直线
的方向向量为
C．经过点
，且在x，y 轴上截距相等的直线方程为
D．已知直线过点
，且与x，y 轴正半轴交于点A、B 两点，则
面积的最小值为4
5．（2023·四川德阳·一模）已知实数
成公差非零的等差数列，集合
，
，若
，则
的最大值为 .
题型五：含参直线过定点
1．（24-25·全国·模拟）以直线
恒过的定点为圆心，半径为
的圆的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二上·湖南长沙·阶段练习）无论
为何值，直线
过定点
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点
，若直线
与线段AB
（含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
所以，含参直线，可以通过分离构造方程组解出定点
5
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4．（24-25 高二上·浙江杭州·阶段练习，多选）已知圆
，直线
，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线l 与圆C 有两个交点
C．当
时，圆C 上恰有四个点到直线的距离等于1
D．圆C 与圆
恰有三条公切线
5．（23-24 高二下·广东清远·阶段练习）如果直线
和曲线
恰有一个交点，那
么实数
的取值范围是 .
题型六：双直线含参型定圆
1．（2024·广东茂名·模拟预测）已知m，
，
，记直线
与直线
的交点为P，点Q 是圆C：
上的一点，若PQ 与C 相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·二模）已知直线
与直线
相交于点
，且点
到
点
的距离等于1，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·福建三明·阶段练习）已知直线：
与直线
：
交于点
A，若点
，则|AB|的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
4．（22-23 高二上·福建莆田·阶段练习，多选）已知
，若过定点A 的动直线
和过
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两
条直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段
的最值求解计算
6
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定点B 的动直线
交于点P（P 与A，B 不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A 点的坐标为
B．点P 的轨迹方程
C．
D．
的最大值为
5．（2024 高二上·江苏·专题练习）设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交于点
，则
的取值范围是 .
题型七：截距式应用
1．（22-23 高三·重庆·模拟）记函数
在点
处的切线为，若
直线在
轴上的截距恒小于，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．（19-20 高一·云南普洱·阶段练习）过点
在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．（22-23 高三·上海模拟）过点
的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．（23-24 高二上·广东惠州·期中，多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线
的倾斜角为
B．直线
必过定点
C．方程
与方程
表示同一条直线
D．经过点
，且在
轴上截距相等的直线方程为
5．（22-23 高三·内蒙古赤峰·模拟）已知过点
的直线L 在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和
最小时，求直线L 的方程为 ．
题型八：直线一般式方程理论
直线的截距和直线方程的截距式，关键有两点：
1.要注意截距为零的情况，
2.在截距不为零时，转化求解
7
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1．（22-23 高二上·上海浦东新·）在平面直角坐标系内，设
，
为不同的两点，直线l 的
方程为
，
，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N 在直线上
B．若
，则过M，N 两点的直线与直线l 平行
C．若
，则直线经过线段M，N 的中点；
D．若
，则点M，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M，N 的延长线相交；
2．（23-24 高二上·湖南·期中）已知
，
是直线
（
为常数）上两个不同的点，
则关于
和
的方程组
的解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．无论
，
，
如何，总是无解
B．无论
，
，
如何，总有唯一解
C．存在
，
，
，使
是方程组的一组解
D．存在
，
，
，使之有无穷多解
3．（21-22 高三·全国·模拟）若点
是直线
和
的公共点，则相异两点
和
所确定的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三·黑龙江哈尔滨·模拟，多选）已知
与
是直线
（
为常数）上两个
不同的点，则关于：
和
：
的交点情况说法错误的是（ ）
A．存在
、
、
使之无交点
B．存在
、
、
使之有无穷多交点
C．无论
、
、
如何，总是无交点
D．无论
、
、
如何，总是唯一交点
5．（24-25 高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线
的
倾斜角可以是
；②直线l 过点
，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
；③过点
的直线
的直线方程还可以写成
；④经过
，
直线系型：
(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝
0.
8
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两点的直线方程可以表示为
.
题型九：直线光学性质
1．（22-23·福建厦门·模拟）在直角坐标系
中，全集
，集合
，已知集合A 的补集
所对应区域的对称中心为M，点P 是
线段
（
，
）上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则
周长的最小值为（ ）
A．24
B．
C．14
D．
2．（19-20·江苏无锡·期中）如图，已知
，
，
，
，
，一束光线从
点
出发射到
上的
点，经
反射后，再经
反射，落到线段
上（不含端点），则直线
的斜率
的取值范围为（ ）
A．
B．(4 ,+∞)
C．
D．
3．（21-22 高二上·浙江绍兴·期中）如图，在直角坐标系中，三角形ABC 的顶点坐标分别为
、
、
，O 为原点，从O 点出发的光线先经AC 上的点
反射到边AB 上，再由AB 上的点
反
射回到BC 边上的点
停止，则光线
的斜率的范围为（ ）
直线光学性质，即直线对称性质
关于轴对称问题：
（1）点
关于直线
的对称点
，则有
；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
9
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A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·广东广州·期末，多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的
焦点．已知抛物线
，
为坐标原点，一束平行于
轴的光线从点
射入，经过
上的点A(x1, y1)反射后，再经
上另一点B(x2, y2)反射后，沿直线
射出，且
经过点
，则（ ）
A．当
时，延长
交直线
于点
，则
、
、
三点共线
B．当
时，若
平分
，则
C．
的大小为定值
D．设该抛物线的准线与
轴交于点
，则
5．（2122 高三·湖北宜昌·模拟）已知：
，
，
，
，
，一束光线从
点
出发发射到
上的
点经
反射后，再经
反射，落到线段
上（不含端点）
斜率的范围为
.
题型十：两点距离公式应用
1．（21-22 高二上·河北保定·期末）
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．6
D．
2．（23-24 高三上·重庆南岸·阶段练习）已知x，
，若
恒成立，则实
数m 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·湖南长沙·期末）已知
，且
，则
求解形如
的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
10
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的最大值为（ ）
A．9
B．12
C．36
D．48
4．（2024·甘肃定西·一模，多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．
的最小值是2
B．
的最小值是
C．
的最小值是
D．
的最小值是
5．（20-21 高三上·浙江温州·阶段练习）若
，则
的最小值是 ．
题型十一：平行线应用
1．（22-23 高二上·四川南充·期中）对于圆
上任意一点
，
的值与
，
无关，则
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·重庆江北·阶段练习）若椭圆
上的点到直线
的最短距离是
，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·全国·课后作业）若动点
分别在直线
和
上
移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．4
4．（24-25 高二上·江苏连云港·阶段练习，多选）下列选项正确的是（ ）
A．过点
且和直线
垂直的直线方程是
B．若直线的斜率
，则直线倾斜角
的取值范围是
两直线平行
(1)斜截式判断法：
两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2：
(ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝
k 2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0 与A2x＋B2y＋C2＝0，则有：
l1∥l2⇔A1 B2＝A2B1且A1 C2≠A2 C1；
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C．若直线
与
平行，则与
的距离为
D．已知圆
，圆
，
、
分别是圆
、
上的动点，
为
直线
上的动点，则
的最小值为
5．（2024·湖北·模拟预测）若函数
在不同两点
，
处的切线互相
平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
题型十二：对称：“将军饮马”型最值
1．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为
，河岸所在直
线方程为
，将军从点
处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所
在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二上·宁夏银川·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》
这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为
，若将军从点
处出发，河岸线所在直线方程为
，并假定将军只要到达军营
所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．13
B．11
C．9
D．7
3．（23-24 高二上·河南新乡·期中）
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（23-24 高二上·江西·阶段练习，多选）．2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗
的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰
富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮
马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
，
军营所在位置为
，河岸线所在直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
5．（24-25 高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄
昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚
下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在
12
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的位置为
，若将军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮
马”的最短总路程为 ．
题型十三：绝对值型
1．（23-24 高二上·江苏盐城·期中）已知实数
，
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高二上·河北邢台·阶段练习）设点
是圆
上任意一点，若
为定值，则
的值可能为
A．
B．0
C．3
D．6
3．（22-23 高二上·四川南充·期中）对于圆
上任意一点
的值与
无关，有下列结论:
① 点
的轨迹是一个圆；
② 有最小值；
③ 当
时，有最大值
；
④ 当
时，
.
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（24-25 高三上·广东·开学考试，多选）在平面直角坐标系
中，点
间的折线距离
，已知
，记
，则（ ）
A．若
，则有最小值8
B．若
，则A 点轨迹是一个正方形
C．若
，则有最大值15
D．若
，则点A 的轨迹所构成区域的面积为
5．（22-23·上海浦东新·阶段练习）已知实数
、
、
、
满足：
，
，
，则
的最大值为 .
题型十四：对称：叠纸型
1．（22-23 高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点
与点
重合，点
与点
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重合，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．（23-24 高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点
和点
重合，点
和
点
重合，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐
标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点
与点
重合，点
与点
重合，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（20-21 高二·全国·模拟）在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F 在圆外）．在
圆上任取一点M，将纸片折叠使M 与点F 重合，得到折痕CD．设直线CD 与直线OM 交于点P，则点P 的
轨迹为（ ）
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
5．（22-23 高二上·浙江宁波·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线
y=x+4 关于折痕对称的直线为 .
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