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专题20 空间几何体的结构、三视图、表面积与体积
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
空间几何体的结构、三视图、表面积与体积近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023 年全国乙（文科），第16 题,5 分
已知三棱锥外接求半径，求线段长
2023 年全国乙（文科），第19 题,12 分
1、证明线面平行；
2、求三棱锥的体积；
2023 年全国乙（理科），第3 题,5 分
2023 年全国乙（文科），第3 题,5 分
通过三视图求几何体的表面积
2023 年全国乙（理科），第8 题,5 分
圆锥体积相关计算
2023 年全国乙（理科），第9 题,5 分
证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线
面角的正切值
2023 年全国乙（理科），第19 题,12 分
1、证明线面平行；
2、证明面面垂直；
3、求二面角
2023 年全国甲（文科），第10 题,5 分
证明线面垂直，求三棱锥的体积
2023 年全国甲（文科），第16 题,5 分
正方体的外接球、棱切球问题
2023 年全国甲（文科），第18 题,12 分
1、证明面面垂直；
2、求四棱锥的高
2023 年全国甲（理科），第11 题,5 分
四棱锥表面积有关计算
余弦定理解三
角形
2023 年全国甲（理科），第15 题,5 分
正方体的棱切球问题
2023 年全国甲（理科），第18 题,12 分
1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线
线相等；
2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值
2. 命题规律及备考策略
1
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【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常以选填题出现；
2.考查已知三视图求几何体的体积或表面积；
3.考查球体问题；
4.考查几何体的体积或表面积.
【备考策略】1.认识柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征,并能运用这些特征识别现实生活中简
单物体的结构；
2.理解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式,并能用公式解决实际问题；
3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
【命题预测】1.考查已知三视图求几何体的体积或表面积；
2.考查球体问题；
3.考查几何体的体积或表面积.
知识讲解
一、空间几何体的结构特征
1.简单多面体的结构特征
2
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名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相 且
多边形
互相
且
侧棱
相交于
但不一定相等
延长线交于
侧面
形状
2.旋转体的结构特征
名称
图形
母线
轴截面
侧面展开图
圆柱
互相平行且相等,垂直
于 底 面
矩形
圆锥
相 交 于
圆台
延长线交于
球
二、直观图
斜二测画法:
(1)原图形中x 轴,y 轴,z 轴两两垂直,直观图中x' 轴,y'
轴的夹角为45°(或135°),z' 轴与x' 轴和y'
轴所
在平面
.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍
,平行于x 轴和z 轴的线段在直观
图中保持原长度
,平行于y 轴的线段在直观图中的长度为
.
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系：
S直观图=√2
4 S原图形
，
S原图形=2√2S直观.
3
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三、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称几何体
侧面展开图
侧面积公式
圆柱
S圆柱侧=
圆锥
S圆锥侧=
圆台
S圆台侧=
四、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积=S 侧+2S 底
V =S底h
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积=S 侧+S 底
V =1
3 S底h
台体(棱台和圆台) S 表面积=S 侧+S 上
+S 下
V =1
3 （S上+S下+√S上S下）h
球
S=
V = 4
3 πR3
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
2.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a ,球的半径为R ,
①若球为正方体的外接球,则2R=√3a ;
②若球为正方体的内切球,则2 R=a ;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=√2a .
(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a ,b ,c ,外接球的半径为R ,则2 R=√a2+b2+c2
.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧:(1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在
4
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条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,再依据题意判定.(2)通过反例对结构特
征进行辨析,要说明一个说法是错误的,只要举出一个反例即可.
(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平
行于y 轴的线段长度减半,平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向:一是已知
原图形求直观图的相关量;二是已知直观图求原图形中的相关量.
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系为S 直观图=√2
4 S 原图形.
通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题:(1)求几何体的表面积或侧面积;(2)求几何体表面上任
意两个点的最短表面距离.
空间几何体表面积的求法
(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.
(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.
(3)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的删、补.
(4)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的
柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.
计算柱体、锥体、台体的体积,关键是根据条件求出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面,特
别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.
若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公
式求解.
“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把不完整几何体通过“补形”补成一个完整
的几何体或将一个复杂的几何体置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的
补形法有对称补形、联系补形和还原补形.对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥”.
利用“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过
将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题.
考点一、基本立体图形
命题角度1 结构特征
1．下列结论正确的是（ ）.
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在的直线为旋转轴,其余两条边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥
C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
5
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命题角度2 直观图
2 ．有一块多边形的菜地, 它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形( 如图所示),
∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积是 .
.
命题角度3 展开图
3．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的母线长为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．有下列说法:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③存在每个面都是直角三角形的四面体;
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确的说法是 .(填序号)
6
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2．如图，
是水平放置的
的直观图，则
的周长为
．
3．如图,已知正三棱柱ABC −A1B1C1的侧棱长为a ,底面边长为b ,一只蚂蚁从点A 出发沿每个侧面爬到点
A1,路线为A→M →N →A1,则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．√a2+9b2
B．√9a2+b2 C．√4 a2+9b2 D．√a2+b2
考点二、几何体的表面积
1．（2022 年全国新高考II 卷数学试题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021 年北京市高考数学试题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
3．（2023 届河北省调研数学试题）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
底面
，
，若
，
，则三棱锥
的
外接球表面积为 .
1．（2020 年天津市高考数学试题）若棱长为
的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020 年北京市高考数学试题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积
为（ ）．
8
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A．
B．
C．
D．
3．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表
面积是（ ）
A．6+4
B．4+4
C．6+2
D．4+2
考点三、几何体的体积
命题角度1 直接法求体积
1．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为
2 π
,侧面积分别为S甲
和S乙
,体积分别为V 甲
和V 乙
.若
S甲
S乙
=2,则
V 甲
V 乙
=（ ）.
A．√5
B．2√2
C．√10
D．5√10
4
9
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命题角度2 割补法求体积
2．如图所示,已知多面体ABCDEFG 中,AB ,AC ,AD 两两互相垂直,平面ABC ∥平面DEFG ,平面BEF
∥平面ADGC ,AB =AD =DG =2 ,AC =EF =1,则该多面体的体积为 .
命题角度3 等体积转换法求体积
3．（2023 年广西柳州联考数学试题）如图所示,已知三棱柱ABC −A1B1C1的所有棱长均为1,且
AA1⊥底面ABC ,则三棱锥B1−ABC 1的体积为（ ）.
A．
√3
12
B．
√3
4 C．
√6
12 D．
√6
4
1．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方
形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
10
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A．8
B．12
C．16
D．20
2．（2022 年浙江省高考数学试题）某几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积（单位：
）是（ ）
A．
B．8 π
C．
D．
3．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且
，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四、球体问题
11
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1．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体
中，
为
的中点，若该
正方体的棱与球
的球面有公共点，则球
的半径的取值范围是
．
2．在三棱锥
中，
平面
，
，且
，则三棱锥
外接
球的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面
上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是边长为的正三角形，
为球
的直径，
且
，则此棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年贵州省教学质量监测考试数学试题）在正四棱台
中，
，
．其外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该
圆锥内半径最大的球的体积为
．
2．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））正四棱锥的顶点都在同一球面上，若
该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
3．已知三棱锥
，其中
平面
，
，
，则该三棱锥外接球的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 年云南省学业质量监测数学试题）现有一个高为2 的三棱锥
被一个平行于底面的平面
截去一个高为1 的三棱锥，得到棱台
．已知
，
，
，则该棱台的外接
球体积为 ．
5．（2023 年重庆市九校联盟模拟数学试题）设直三棱柱
的所有顶点都在一个球面上，且球
的表面积为
，
，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
6．（2023 年广东省模拟数学试题）如图，在边长为2 的正方形
中，
，
分别是
，
的中点，
将
，
，
分别沿
，
，
折起，使得
三点重合于点
，若三棱锥
的所有顶点均在球
的球面上，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【基础过关】
13
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1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知
为球
的球面上的三个点，⊙
为
的外接圆，若⊙
的面积为
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为7
8 ,SA 与圆锥底面所成的角为45°.若ΔSAB 的面积
为5√15,则该圆锥的侧面积为 .
3．（2020 年浙江省高考数学试题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：
cm3）是（ ）
A．
B．
C．3
D．6
4．（2021 年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆锥的高之比为
，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021 年浙江省高考数学试题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
14
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A．
B．3
C．
D．
7．（2021 年北京市高考数学试题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失
而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：
）．24h 降雨量的等级划分如下：
等级
24h 降雨量（精确到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h 的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h 降雨量的等级是（ ）
A．小雨
B．中雨
C．大雨
D．暴雨
8．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，
G．该正方体截去三棱锥
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是
15
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（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某
条棱的一个端点在正视图中对应的点为
，在俯视图中对应的点为
，则该端点在侧视图中对应的点为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，
它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，
则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
16
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11．（2018 年全国卷Ⅲ文数高考试题）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，
凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成
长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2022 年全国新高考I 卷数学试题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分
水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为
；水位为海拔
时，相
应水面的面积为
，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上
升到
时，增加的水量约为（
）（ ）
A．
B．
C．
D．
13．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点
在正视图上的对应点为
，
圆柱表面上的点
在左视图上的对应点为
，则在此圆柱侧面上，从
到
的路径中，最短路径的长度
为（ ）
A．
B．
C．
D．2
14．（2023 年辽宁省模拟数学试题）所有棱长均为6 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底
面边长为2 的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
17
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15．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
则该圆锥的侧
面积为 .
16．（2020 年江苏省高考数学试题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知
螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是
cm3.
17．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星
导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星
到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r 为
的球，其上点A 的纬度是指
与赤
道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星
信号覆盖地球表面的表面积为
（单位：
），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%
B．34%
C．42%
D．50%
18
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【能力提升】
1．在三棱锥
中，平面
平面
，
，
，则该三棱锥外接球的表
面积是 .
2．已知正方体
的棱长为6，E、F 分别是
、
的中点，则平面CEF 截正方体所得的
截面的周长为
．
3．（2023 届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）三棱锥
中，
平面
，
．若
，
，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
4．（2023 届广东省调研数学试题）如图，一个棱长1 分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水，若将该
容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19
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5．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别
为
，
，过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知三棱锥
的所有顶点都在球O 的球面上，且
平面
，
，
，
，则球O 的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC 是面积为
的等边三角形，且
其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．
8．（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，
∠BAD=60°．以
为球心，
为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为
．
9．（2022 年全国新高考I 卷数学试题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体
积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点
均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．√3
3
D．√2
2
11．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球
面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
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12．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）设
是同一个半径为4 的球的球面上四点，
为等
边三角形且其面积为
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知A，B，C 是表面积为
的球O 的球面上的三个点，且
，
，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的
代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多
面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．
图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．
则该半正多面体共有
个面，其棱长为
．
15．如图，多面体
中，面
为正方形，
平面
，
，且
，
，
为棱
的中点，
为棱
上的动点，有下列结论：
①当
为棱
的中点时，
平面
；
②存在点
，使得
；
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③三棱锥
的体积为定值；
④三棱锥
的外接球表面积为
．
其中正确的结论序号为
．（填写所有正确结论的序号）
16．如图，在棱长为2 的正方体
中，
分别是棱
的中点，点
在线段
上运动，给出下列四个结论：
①平面
截正方体
所得的截面图形是五边形；
②直线
到平面
的距离是
；
③存在点
，使得
；
④△
面积的最小值是
．
其中所有正确结论的序号是
．
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【真题感知】
1．（2023 年全国甲卷理科数学试题）在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，以
EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的
边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A．24
B．26
C．28
D．30
3．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
4．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知圆锥PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆
锥的母线，
，若
的面积等于
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 年全国甲卷理科数学试题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 年新高考天津数学高考真题）在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的点
满足
，则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
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7．（2022 年高考（天津卷）数学真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的
底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为
，腰为3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23
B．24
C．26
D．27
8．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在正四棱台
中，
，则该
棱台的体积为
．
9．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为
．
10．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点
均在半径为2 的球面上，
是边长为3
的等边三角形，
平面
，则
．
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