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第 2 题 抽象函数综合问题 （一题多解）
已知定义在 上的函数 满足：对 ，且
，函数 为偶函数，则（ ）
A． B． C． 为偶函数 D．
利用赋值法结合抽象函数的对称性与周期性计算一一判定选项即可.
令 ，所以 ，于是 ，A正确；
令 ，所以 ，于是 ，
又 不恒为0，所以 ，于是 为奇函数，C错误；
因为函数 为偶函数，所以函数 的图象关于 对称，
于是其周期为4，所以 ，因此B答案正确；
因为 ，所以 ，于是 ，
所以 ，D正确，故选ABD．（2024·四川泸州·一模）
1．已知函数 的定义域为 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】应用赋值法可求得 ， 和 ，变换可得
，与 联立即可求得 ，应用
可得 ，进而可得 .
【详解】因为 所以 所以 ，
取 ，由 可知， ，故A错误；
取 ，由 知， ，
所以 ，故B正确；
令 ，由 知， ，即 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
由 得， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
利用正弦的和、差公式构造函数模型 满足条件，一一判定选项.
不妨取
又 为偶，故可设 ，且周期
对于A， ，对于B， 对称中心为
有 ，故
对于C，易知 为奇函数
对于D，由上可知， ，
故 ，
有
故答案为ABD
（24-25高一上·山东日照·期中）
2．设 ，定义在R上的函数 满足 ，且 ，，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D．
【答案】ABD
【分析】对于A，令 ， ，又 ，即可求得 ，即可判断；
对于B，令 ，再由 ， ，即可得 ，即可判断；
对于C，令 ，可得 ，从而 为奇函数，即可判断；
对于D，可推得 ，即 的周期为 ，则 ，即可判断．
【详解】对于A，令 ， ，得 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，令 ，代入可得 ，
因为 ， ，所以 ，
从而 ，故B正确；
对于C，令 ，代入得 ，
又因为对 ， 恒成立且不恒为0，
所以 ，从而得 为奇函数，
又 不恒等于0，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 为 的周期，
所以 ，故D正确．
故选：ABD．
（24-25高一上·吉林·期中）3．已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函数，则
（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．
C．
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】对A：由 是奇函数可得 ，即可得解；对B：由
，借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结
合周期性与赋值法计算即可得；对D：由 ，计算即可得.
【详解】对A：由 是奇函数，则 ，又 定义域为 ，
故 的图象关于点 对称，故A正确；
对B：由 ，则 ，
故 ，故 周期为 ，故 ，故B正确；
对C： ，令 ，有 ，
故 ，故C错误；
对D：由 ，
则，故D正确.
故选：ABD.
（2024高三·全国·专题练习）
4．已知函数 的定义域为 ， ， ，则（ ）
A．
B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于点 对称
D．
【答案】ABD
【分析】令 ， ，可得 ，即可判断A；令 ，即可根据奇函数的定义
判断B；由 ，可得 ，可判断 的图象关于点
对称，即可判断C；结合奇函数的性质，即可判断D．
【详解】对于A，令 ， ，则 ，即 ，解得
，故A正确；
对于B，令 ，则 ，得 ，
由A可知 ，则 ，即 ，故 是奇函数，B正确；
对于C，对任意的 都有 ，可得 ，
因此 的图象关于点 对称，故C错误；对于D，由于 且 是奇函数，得 ，
即 ，因此 ， ， ，…，
，故D正确．
故选：ABD．
（23-24高三上·江西九江·期末）
5．已知函数f：R→R满足对任意x，y，z都有 ，则（
）
A．
B．
C．函数 为奇函数
D．函数 为偶函数
【答案】AD
【分析】
用赋值法判断AB；求出函数的解析式，即可判断C；根据C中函数的解析式，即可判
断D．
【详解】
对于A，令 ，则有 ，即 ，所以 ，
故A正确；
对于B，令 ，则有 ，即 ，所以 ，
故B错误；
对于C，令 ，则有 ，即 ，令 则有 所以对任意 ，则有 ；
经检验，对任意实数x，y，z，有 ，满足题意，所以
，此时函数为偶函数，故C错误；
对于D，由C可知有 ，所以有 为偶函数，故D正确．
故选：AD．
（2024·四川德阳·一模）
6．定义在R上的函数 满足 ，则下列结论正
确的有（ ）
A． B． 为奇函数
C．6是 的一个周期 D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法求解逐项判断即可.
【详解】该函数满足 且 ，
对于A，令 ，可得 ，解得 ，故A正确；
对于B，令 ， ，所以 ，所以 为偶函数，
故B错误；
对于C，令 ， ，
可得 ，令 ，可得 ，
将两式相加得： ，所以 ，
所以 ，所以 ，因此，6是 的一个周期，故C正确；
对于D，令 ， ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
因为 ，令 ， ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
由于6是 的一个周期，
所以
所以 ，故
D正确；
故选：ACD
（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）
7．定义域为 的函数 对任意的非零实数 ， 都满足 .当
时， .下列结论正确的是（ ）
A． B． 满足C． D． 在 上单调递增
【答案】BC
【分析】A根据充分必要性说明；B利用题设条件证 ，即可判断；
C令 、 即可判断；D先说明奇偶性，再利用单调性定义及题设条件证明
的单调性，即说明 上单调性.
【详解】由 ，易知 定义域为 ，满足 且
时 ，必要性成立，
但满足题设要求的函数不一定是 ，A错；
由 ，则 ，B对；
令 ，则 ，
令 ，则 ，C对，
令 ，则 ，定义域为 ，即为偶函数，
令 ，则 ，
由 ，则 ，即 在 上递增，故 上递减，D错；
故选：BC
（24-25高一上·湖南·阶段练习）
8．已知定义域为 的函数 满足： ，且当时， ，则（ ）
A．
B． 的图象关于 轴对称
C． 在 上单调递减
D．不等式 的解集为
【答案】ABD
【分析】A选项，赋值法得到 ，进而赋值得到 ；B选项，令 得，
，B正确；C选项，令 ， ，由定义法得到 在
上单调递增，C错误；D选项，变形得到 ，在BC基础上，得到
不等式，求出解集.
【详解】A选项， 中，令 得 ，
解得 ，
令 得 ，解得 ，A正确；
B选项， 中，令 得，
，故 的图象关于 轴对称，B正确；
C选项， 中，令 ，其中 ，
则 ，因为当 时， ，且 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 在 上单调递增，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，
故 ，
即 ，
由BC选项知， 在 上单调递增，又 为偶函数，
，且 ，
两边平方得 ，
解得 ，且 ，
所以不等式 的解集为 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数
值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解
（24-25高三上·江西·阶段练习）
9．已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ，若
为偶函数，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．C．
D．
【答案】BD
【分析】由 得到 ，再结合 ，确
定 ，进而通过 的对称性、周期性逐项判断即可.
【详解】 ①，
②，
由②可得： ③，
①③联立可得： ④，
所以 的图象关于点 对称，A错；
由④，又 为偶函数，所以 ，
所以 ，两式相减可得： ，
又 ， ，结合
所以 ，B对，
，由 ，可知： ，
所以 ，所以 ，C错；
由 ，可得 ，结合 ，
得： ，所以 ，
又 ，所以
即 ， ， ，
所以 ，
所以 ，D正确.
故选：BD
（24-25高三上·四川自贡·期中）
10．已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函数，
则（ ）
A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】利用已知抽象函数关系式和奇偶性定义可推导得到 的周期性和对称性，由此
可知ABC的正误；根据周期性可求得
的值，由此可计算得到D正确.
【详解】对于A， ，
， ，
，即 是周期 的周期函数，，A正确；
对于C， 为奇函数， ，
即 ， 关于点 中心对称，C正确；
对于B， ， 令 ，则 ，
，又 ， ，B错误；
对于D， 且 关于点 中心对称， ，
， ，
又 ， ， 图象关于 轴对称，
又 关于点 中心对称， 的图象关于 轴对称；
当 时， ，
，
，
，
，，
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：关于函数对称性结论如下：
（1）若 ，则 关于直线 成轴对称；
（2）若 ，则 关于 成中心对称.
（2024高三·全国·专题练习）
11．已知函数 不为常数函数，且对任意 ，都有 ，则
（ ）
A． B． 恒成立
C． 为偶函数 D．
【答案】ABD
【分析】根据赋值法可求得选项A，令 ，用换元法得到函数，可判断B；根据偶函数
的定义可判断C，结合选项B中的结论可判断D.
【详解】对于A，令 ，得 ．
由题意，得 不恒为零，所以 ，故A正确；
对于B，令 ，得 ，再令 ，得 ，
于是得到 ， ，
令 ，得 ，故 ，所以 ，从而 恒成立，故B正确；
对于C，若 为偶函数，则 ，即 ，
令 ，得 ，
又 ，所以 为常数函数，与已知条件矛盾，故C错误；
对于D，由 ， ，
得 ，当且仅当 时，等号成
立，
由函数 不为常数函数， ，满足 ，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：
本题考查抽象函数的性质，关键掌握函数奇偶性的判定及性质：
（1）赋值法，赋值法在抽象函数中是常用的一种方法，易理解，好计算；
（2）换元法，根据换元法将抽象函数转化为具体函数，更易分析解析式；
（3）运用函数奇偶性的性质可得到对称位置的函数值；
（3）结合基本不等式可求出最值，注意“一正二定三相等”．
（2024·湖北·一模）
12．已知定义在 上的函数 分别满足： 为偶函数，
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 为周期函数
B．
C． 的图像关于点 中心对称D．
【答案】ACD
【分析】根据表达式化简计算可得 ，即A正确，因为偶函数在原
点处的取值不确定，可判断B错误，由对称中心定义可判断C正确，利用累加法计算可得
D正确.
【详解】对于A，由 可得 ，即 的周
期为2，A正确.
对于B，因为 为偶函数，令 可得 无法确定，B错误，
对于C，因为 为偶函数，所以 ，
可得 ，
因此 关于点 中心对称，即C正确；
对于D， ， ，
累加可得 ，所以 ，即D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：在求解对称中心问题时，要充分利用定义将表达式化简得出相应结论
即可.
