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专题19 圆锥曲线高频考点深度剖析压轴解答题
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................10
题型一：轨迹方程
10
题型二：向量搭桥进行翻译
12
题型三：弦长、面积背景的条件翻译
13
题型四：斜率之和差商积问题
15
题型五：弦长、面积范围与最值问题
17
题型六：定值问题
19
题型七：中点弦与对称问题
21
题型八：定点问题
23
题型九：三点共线问题
24
题型十：四点共圆问题
26
题型十一：切线问题
28
题型十二：定比点差法
31
题型十三：齐次化
33
题型十四：极点极线问题
35
题型十五：同构问题
37
重难点突破：蝴蝶问题
39
解析几何作为高考数学中的一个关键部分，其题目往往设计得既具有挑战性又富有区分度，常作为试
1
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卷中用以检验学生能力和拉开分数差距的难题。这类题目不仅思维要求高，而且计算也相当复杂，常常让
学生感到棘手。通过深入分析近年来的高考真题和模拟试题，我们可以总结出以下几个主要的考查点：
（1）探究解析几何的基本方法和通用策略；
这涉及到运用解析几何的基本原理和公式，去求解和证明相关的几何问题。
（2）圆锥曲线中的极值、定点和定值问题；
这些问题通常要求学生能够灵活运用圆锥曲线的性质和方程，通过代数运算和几何分析，找出特定的
数值或位置关系。
（3）解析几何中常见的模型和问题类型；
这包括直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的位置关系，以及它们之间的交点、切线等几何
特征。
解析几何的核心内容可以用“定义、方程、位置关系”这八个字来概括。无论是高考中的哪一道解析
几何题目，都是围绕这八个字的内容，并结合上述三大核心考点来设计的。因此，掌握这八个字和三大考
点，对于提高解析几何的解题能力和应对高考都具有重要的意义。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
轨迹问题
掌握轨迹方程
2023 年II 卷第21 题，12 分
预计在2025 年的高
考数学中，解析几何题目
更可能以解答题的形式呈
现，并且这些题目将着重
考查学生的四大核心素
养：数学抽象能力、数学
建模能力、逻辑推理能力
和数学运算能力。
此外，我们预测解析
几何的热点问题将继续聚
焦于定点定值问题和极点
极线问题。这些问题不仅
要求学生具备扎实的数学
基础，还需要他们具备灵
活运用数学知识解决实际
问题的能力，以及深入理
解和分析几何图形性质的
能力。
弦长、面积问题
精通弦长面积计
算，提升几何解
题能力
2024 年I 卷第16 题，15 分
2023 年甲卷第21 题，12 分
2023 年天津卷第18 题，15 分
2023 年I 卷第22 题，12 分
斜率之和差商积问题
掌握斜率运算规
律
2022 年甲卷第21 题，12 分
2021 年乙卷第20 题，12 分
2021 年I 卷第21 题，12 分
定点定值问题
精通圆锥曲线定
点定值，精准解
题
2024 年天津卷第18 题，15 分
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年乙卷第20 题，12 分
2
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3
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1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
6、已知点
是椭圆上一个定点，椭圆
上有两动点
、
（1）若直线
，则直线
过定点
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若直线
，则直线
过定点
（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
7、过双曲线
上任一点
，
、
为双曲线上两动点
（1）若
，则直线
恒过定点
．
（2）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（3）若
，则直线
恒过定点
．
4
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（4）若直线
，则直线
斜率为定值
；
（5）当直线
过定点为原点时，则有
（第三定义）；
8、过抛物线
上任一点
引两条弦
、
，
（1）若
，则直线
恒过定点
．（2018 全国一卷文科）
（2）若
，则直线
恒过定点
．
（3）若直线
，则直线
斜率为定值则
．
5
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1．（2024 年北京高考数学真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
3．（2024 年天津高考数学真题）已知椭圆
的离心率为
．左顶点为
，下顶点为
是线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
6
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(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，
求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
5．（2023 年北京高考数学真题）已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、
下顶点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
6．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线
与抛物线
交于
两
点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
7
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7．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为
定点．
8．（2023 年天津高考数学真题）已知椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，
已知
．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点
在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角形
面积
的二倍，求直线
的方程．
9．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距
离，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
8
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(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
10．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率
为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
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题型一：轨迹方程
【典例1-1】一动圆
与圆
外切，与圆
内切． 设动圆圆心
的轨
迹为
(1)求曲线
的方程；
(2)直线与曲线
分别交于
两点，以
为直径的圆过坐标原点O，动点
在上，且
成等比数列，求动点
的轨迹方程．
【典例1-2】线段
的长为3，端点
分别在
轴和
轴上运动，点
满足
，记点
的轨迹
为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)曲线
与
轴的左右两个交点分别为
为
上异于
的动点.过点
分别作直线
，直
线
，其中与曲线
交于
两点，
交直线
于点
，点
满足
.
①求点
的轨迹方程；
②
的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
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求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点
的坐标
、
表示相关点
的坐标
、
，然后代入点
的坐标
所
满足的曲线方程，整理化简可得出动点
的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标
、
之间的直接关系难以找到时，往往先寻找
、
与某一参数得到方
程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【变式1-1】过点
的直线与抛物线
交于点M，N，且当直线恰好过抛物线C 的
焦点F 时，
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设点Q 在线段MN 上（异于端点），且
，求点Q 的轨迹方程．
1．已知动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的比为常数
，其中
，且
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点
，若曲线
上两动点
均在
轴上方，
，且
与
相交于点
．当
时，
（ⅰ）求证：
为定值
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（ⅱ）求动点
的轨迹方程．
题型二：向量搭桥进行翻译
【典例2-1】在平面直角坐标系中，已知曲线
，点P、Q 分别为
上不同的两点，
．
(1)求
所在椭圆的离心率；
(2)若
在y 轴上，若T 到直线
的距离为
，求P 的坐标；
(3)是否存在t，使得
是以T 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请
说明理由．
【典例2-2】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，右顶点为
，上顶点为
，设
为
上的
一点．
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(1)当
时，求
的值；
(2)若
点坐标为
，则在
上是否存在点
使
的面积为
，若存在，请求出所有满足条件
的点
的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知
点坐标为
，过点
和点
的直线与椭圆
交于另一点
，当直线与
轴和
轴均不平行
时，有
，求实数
的取值范围．
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
【变式2-1】已知动圆
与圆
外切，与圆
内切，记动圆
圆
心的运动轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)若
分别是
的左､右顶点，
是圆
上一点，设
和
的夹角为
，求
的取值范
围.
1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
的离心率为
，A 为椭圆左顶点，已知点
，
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且直线PA 的斜率为
.过点
作直线l 交椭圆于B，C 两点（B 在x 轴上方，C 在x 轴下方），设PB，
PC 两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E 分别在线段PD，PC 上）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当
时，若l 的斜率小于零，且
的面积为
，求证：
；
(3)若存在实数
，使得
，求此时直线DC 的斜率.
题型三：弦长、面积背景的条件翻译
【典例3-1】已知两定点
，
，动点P 满足
(1)求点P 的轨迹方程;
(2)过
的直线l 与动点P 的轨迹交于两点A，B，与直线
交于点C，设O 为坐标原点，若
，求直线l 的方程.
【典例3-2】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现过圆
上任意一点作双曲线
的两条切线，这两条切线互相垂直.我们通常把这个圆
称作双曲线
的蒙日圆.如
图，过双曲线
的蒙日圆上一点
作
的两条切线，与该蒙日圆分别交于异于点
的
，
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两点，
，且
的周长为
.
(1)求双曲线
的标准方程.
(2)过双曲线
的右焦点
的直线与
交于
，
两点（异于顶点），线段
的中垂线与
轴交于一点
，
是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点
设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公
式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）
关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数
间的关系．
【变式3-1】已知圆A：
，圆B：
，圆C 与圆A、圆B 都外切，记圆心C 的
轨迹为E．
(1)求E 的方程；
(2)过点
的直线交E 于M，N 两点，与直线
交于点T，过点T 作x 轴的平行线l，直线OM，ON
与直线l 分别交于S，Q 两点，证明：
与
的面积相等．
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1．对于椭圆：
（
），我们称双曲线：
为其伴随双曲线.已知椭圆C：
（
），它的离心率是其伴随双曲线
离心率的
倍.
(1)求椭圆C 伴随双曲线
的方程；
(2)点F 为
的上焦点，过F 的直线l 与
上支交于A，B 两点，设
的面积为S，
（其中O
为坐标原点）.若
，求
的值.
题型四：斜率之和差商积问题
【典例4-1】已知椭圆C：
的长轴长是短轴长的2 倍，焦距为
，点A，B 分别为C
的左、右顶点，点P，Q 为C 上的两个动点，且分别位于x 轴上、下两侧，
和
的面积分别为
，
，记
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
，求证直线PQ 过定点，并求出该点的坐标；
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(3)若
，设直线AP 和直线BQ 的斜率分别为
，
，求
的取值范围．
【典例4-2】已知双曲线
的方程为
，虚轴长为
，点
在曲线
上.
(1)求双曲线
的离心率；
(2)过原点
的直线与双曲线
交于
两点，已知直线
和
的斜率存在.证明：直线
和
的斜率
之积为定值.
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将
斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【变式4-1】已知椭圆
，直线
与
交于点
，过椭圆
上一点
（非顶
点）作
的切线与直线
和
分别交于点
.
(1)若
，求
取得最小值时椭圆
的标准方程；
(2)若椭圆
的右顶点为
，直线
与
轴交于点
，直线
与直线
交于点
，直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，求证：
，
，
成等差数列.
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1．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆相交于
两点，
的面积为
，求直线
的斜率之积的值.
题型五：弦长、面积范围与最值问题
【典例5-1】已知点
是椭圆
：
（
）上一点，
的焦距为2.
(1)求
的方程；
(2)过
的右焦点作斜率不为0 的直线，交
于
，
两点，
，
是
的左、右顶点，记直线
，
的斜率分别为
，
.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）设
为直线
与直线
的交点，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最小值.
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【典例5-2】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线交椭圆于
、
两点，过
的
直线交椭圆于
、
两点，且
⊥
，垂足为
.
(1)求
点的轨迹方程；
(2)证明：当
的斜率
存在且
时，
、
弦长的倒数和为定值；
(3)求四边形
的面积的最小值.
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线
与椭圆相交得到的
为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于
，有以下三种常见的
表达式：
①
（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②
（横截距已知的条件下使用）
③
（纵截距已知的条件下使用）
【变式5-1】已知曲线
，从
上任意不在
轴上的一点
向
轴作垂线
，
为垂足，
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是线段
的中点.
(1)求动点
的轨迹
的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)已知
，若
为轨迹
上位于
轴同侧的两点，且
共线，求四边形
面积的最大值.
1．已知双曲线
的离心率为
，焦距为
．
(1)求
的标准方程；
(2)若过点
作直线分别交
的左､右两支于
两点，交
的渐近线于
，
两点，求
的取值范
围．
题型六：定值问题
【典例6-1】平面直角坐标系中，动点
到点
的距离比它到
轴的距离多1．
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)若点C 为
，过
的直线l 与点
的轨迹交于A，B 两点（A，B 与C 不重合），直线
，
与直线
交于点
，
．证明：以
为直径的圆在
上截得的弦长为定值．
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【典例6-2】已知椭圆
的焦距为2，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上的两个动点，若直线
的斜率与直线
的斜率互为相反数，证明直线
的斜率为
定值，并求出该定值.
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【变式6-1】已知双曲线
的一条渐近线的斜率为
，双曲线
的一
条渐近线的斜率为
，且
的一个焦点到其渐近线距离为2.
(1)求
的方程；
(2)若
上任意一点
关于直线
的对称点为
，过
分别作
的两条渐近线的平行线，与
分别交于
求证：
为定值.
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1．定义：对椭圆
及任意一点
，称直线
为
关于点
的“极
线”.
结论1：若点
在椭圆
上，则
关于点
的极线就是
在点
处的切线.
结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点.
试根据上面的定义和结论解决下列问题：
已知
是椭圆
的两个焦点，
关于点
的极线
与
相交于
两点.
(1)求
；
(2)设
在点
处的切线为
，在点
处的切线为
，过在
上且在
外一点
作
的两条切线，切点分别
为
,证明：直线
相交于一点；
(3)若
是
上除顶点以外的任意一点，直线
和
分别与直线
相交于点
，证
明：
为定值.
题型七：中点弦与对称问题
【典例7-1】设椭圆
.已知点
，
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过点
的直线与椭圆
交于
两点（
在
右侧），且与线段
交于点
.
（i）证明：
；
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（ii）当
为
中点时，求直线
的方程.
【典例7-2】已知椭圆
：
的左、右焦点为
，
，
为椭圆上一点，且
，
．
(1)求椭圆
的离心率；
(2)已知直线交椭圆
于
，
两点，且线段
的中点为
，若椭圆
上存在点
，满足
，试求椭圆
的方程．
对于中点弦问题常用点差法解决．
【变式7-1】已知O 为坐标原点，点
在椭圆C：
上，直线l：
与C 交于
A，B 两点，且线段AB 的中点为M，直线OM 的斜率为
．
(1)求C 的方程；
(2)若
，试问C 上是否存在P，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
23
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1．已知双曲线
：
的左右顶点分别为
、
．
(1)求以
、
为焦点，离心率为
的椭圆的标准方程；
(2)直线过点
与双曲线
交于
两点，若点
恰为弦
的中点，求出直线的方程；
题型八：定点问题
【典例8-1】材料：椭圆
上点
处的切线方程可化为
，抛物线
上点
处的切线方程可化为
．
问题：已知椭圆
上点
处的切线为，且抛物线
与相切．
(1)求切线的方程．
(2)求抛物线
的方程．
(3)已知定点
，不过点
的直线与抛物线
恒有两个不同交点
，且与其准线交于点
（点
不在
轴上）．若直线
的斜率分别是
，且
成等差数列，证明：直线恒过定点．
24
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【典例8-2】已知椭圆
经过点
，其右焦点为
.
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若点
在椭圆
上，右顶点为A，且满足直线
与
的斜率之积为
，求证：直线PQ 过定点.
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明．
【变式8-1】已知椭圆
（
）的焦距为2，点
在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)若过动点P 的两条直线，
均与C 相切，且，
的斜率之积为
，点
，问是否存在定点
B，使得
？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
25
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1．已知椭圆
过点
，离心率为
，一条直线与椭圆
交于
、
两点，线
段
的垂直平分线为，
为直线
与直线的交点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.
题型九：三点共线问题
【典例9-1】已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，斜率为
的直线与椭圆
有两个不同的交点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线的方程为：
，椭圆上点
关于直线的对称点
（与
不重合）在椭圆
上，求的值；
(3)设
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，若点
和点
三点共线，求
的值.
26
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【典例9-2】已知椭圆
的一个焦点为
，点
在椭圆
上，过点
作一
直线交椭圆于
、
两点，且坐标原点
关于点
的对称点记为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)求
面积的最大值；
(3)设点
为点
关于
轴的对称点，求证：
、
、
三点共线.
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直
线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个
距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其
中两点的直线方程，在证明第3 点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，
计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形
的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思
想”．
【变式9-1】椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为A，B，过点
的动直
线与椭圆
相交于P，Q 两点，当直线的斜率为1 时，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设直线AP 与直线
的交点为
，是否存在定实数，使Q，B，N 三点共线?若存在，求出的值；若
不存在，请说明理由.
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1．已知椭圆
（
）的长轴为
，短轴长为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设直线l：
与椭圆
交于不同两点
；
①若
，求直线
的方程．
②已知点
，
，连接
交椭圆于另一点
，连接
交椭圆于另一点
，求证
三点
共线.
题型十：四点共圆问题
【典例10-1】在平面直角坐标系
中，椭圆
的长轴长为4，离心率为
，直线
交
于
两点.
(1)求
的方程；
(2)若直线过
的右焦点，当
面积最大时，求
；
(3)若直线不过原点，
为线段
的中点，直线
与
交于
两点，已知
四点共圆，证明：
.
28
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【典例10-2】已知椭圆T：
的右焦点为
，直线l：
与椭圆T 相切．
(1)求椭圆T 的方程；
(2)过点
作与x 轴平行的直线交椭圆T 于M，N 两点，直线PE 与y 轴交于点Q，证明：
M，N，E，Q 四点共圆．
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内对
角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【变式10-1】已知椭圆
，C 的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，
离心率为
．过F1作垂直于x 轴的直线与C 交于D，E 两点，且
．
(1)求C 的方程；
(2)若M，N 是C 上任意两点
①若点
，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G，设
和
的面积分别为
，
，
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若
，求线段MN 的长度；
②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P，Q 两点，已知P，Q，M，N
四点共圆， 求证：线段
的长度不大于
．
1．已知抛物线
的焦点为F，过点
的直线l 与
交于A、B 两点．设
在点A、B 处的切线分
别为，
，与x 轴交于点M，
与x 轴交于点N，设与
的交点为P．
(1)设点A 横坐标为a，求切线的斜率，并证明
；
(2)证明：点P 必在直线
上；
(3)若P、M、N、T 四点共圆，求点P 的坐标．
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题型十一：切线问题
【典例11-1】平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，其右焦点与抛物线
的焦点重合．
(1)求
，
的方程；
(2)点
是
上位于第一象限的动点，
在点
处的切线与
交于不同的两点
，
，线段
的中点为
，
直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
．问点
是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；
若不在，说明理由．
【典例11-2】给出如下的定义和定理：定义：若直线l 与抛物线
有且仅有一个公共点P，且l 与
的对称
轴不平行，则称直线l 为抛物线
的切线，公共点P 称为切点.定理：过抛物线
上一点
处的切线方程为
.运用上述材料解决以下问题.已知过抛物线
的焦点F 的直
线l 与C 相交于A，B 两点，过A，B 两点分别作C 的切线，两切线交点为M.
(1)当线段AB 中点的纵坐标为
时，求直线l 的斜率；
(2)求
的值；
(3)若点D 与点F 关于原点对称，过点D 作直线与C 相交于不同的两点P，Q，分别过P，Q 作C 的切线，
两切线相交于点R，问：是否存在直线，使得
与
的面积相等？若存在，求出的方程；若
不存在，试说明理由.
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（1）若点
是圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（2）若点
是圆
外的点，由点
向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB
所在直线方程为
．
（3）若点
是椭圆
上的点，则过点
的切线方程为
．
（4）若点
是椭圆
外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦
AB 所在直线方程为
．
【变式11-1】已知椭圆
的短轴长为
，且过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)点
为椭圆
外的一点，过
作两条直线与椭圆
相切，且这两条直线互相垂直，求点
的轨迹方程
；
(3)过平面上一点
作（2）中的轨迹
的两条切线且这两条切线互相垂直，设点
的轨迹方程为
.依此
类推，过平面上一点
作轨迹
的两条切线且这两条切线互相垂直，设点
的轨迹方程为
.在每条轨迹
方程
上任取三个点
，且使得
均为钝角（
为坐标原点）.求证：
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1．如图，已知椭圆
的上、下焦点分别为
，
，焦距为2，离心率为
，称圆
心
在椭圆
上运动，且半径为
的圆
是椭圆
的“环绕圆”.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)记直线
与椭圆
的另一个交点为点
，“环绕圆”
的面积为
，三角形
的面积为
，试
判断，是否存在点
，使
，若存在，求满足条件的直线
的条数，若不存在，请说明理由；
(3)若过原点
可作“环绕圆”
的两条切线，分别交椭圆
于
、
两点，直线
，
的斜率存在，记
为
，
，求
的取值范围.
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题型十二：定比点差法
【典例12-1】已知椭圆
的离心率为
，半焦距为
，且
．经过椭圆
的左焦点F，斜率为
的直线与椭圆交于A、B 两点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
时，求
的值；
(3)设
，延长AR，BR 分别与椭圆交于C，D 两点，直线CD 的斜率为
，求证：
为定值．
【典例12-2】过
的直线与椭圆
交于P，Q，过P 作
轴且与椭圆交于另一点N，F
为椭圆的右焦点，若
，求证：
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定比点差法是一种在解析几何中常用的方法，特别是在处理圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）上
的特定点时非常有效。该方法通过设定一个定点与曲线上任意两点之间的比值关系，结合点差法，可以简
化计算过程，快速求解出所需参数或几何量。
【变式12-1】已知椭圆
，点
，过点P 作椭圆的割线PAB，C 为B 关于x 轴的对称点．求
证：直线AC 恒过定点．
35
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1．在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C:
=1(a> b>0 )的离心率为
，以椭圆上的一点和长轴的两
个端点为顶点的三角形面积最大值为
（1）求a，b 的值
（2）当过点P(6，0)的动直线1 与椭圆C 交于不同的点A，B 时，在线段AB 上取点Q，使得
=
，问点Q 是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
题型十三：齐次化
【典例13-1】已知椭圆
的离心率为
，过椭圆C 右焦点并垂直于x 轴的直线PM 交
椭圆C 于P，M（点P 位于x 轴上方）两点，且△OPM（O 为坐标原点）的面积为
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 交椭圆C 于A，B（A，B 异于点P）两点，且直线PA 与PB 的斜率之积为
，求点P 到直线l
距离的最大值．
【典例13-2】如图，点
为椭圆
的右焦点，过
且垂直于
轴的直线与椭圆
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相交于
､
两点(
在
的上方)，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
､
是椭圆
上位于直线
两侧的动点，且满足
，试问直线
的斜率是否为
定值，请说明理由.
齐次化处理圆锥曲线是一种数学技巧，旨在将圆锥曲线的非齐次方程通过变量替换或坐标变换转化为
齐次方程。这种处理可以简化问题的复杂度，使得后续的求解过程更为直观和高效，常用于解决与圆锥曲
线相关的几何问题。
【变式13-1】已知抛物线
，过点
的直线与抛物线
交于P，Q 两点，
为坐标原点．证明：
．
1．已知椭圆C：
.过点
，两个焦点为
和
.设E，F 是椭圆C 上的两个动点.
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(1)如果直线AE 的斜率与直线AF 的斜率之和为2，证明：直线EF 恒过定点；
(2)如果直线AE 的斜率与直线AF 的斜率之积为2，证明：直线EF 恒过定点.
题型十四：极点极线问题
【典例14-1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
为上顶点，离心率 为
，
直线
与圆
相切.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)椭圆方程
，平面上有一点
. 定义直线方程
是椭圆
在
点
处的极线.
① 若
在椭圆
上，证明: 椭圆
在点
处的极线就是过点
的切线;
② 若过点
分别作椭圆
的两条切线和一条割线，切点为
，割线交椭圆
于
两点，
过点
分别作椭圆
的两条切线，且相交于点
. 证明:
三点共线.
【典例14-2】阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线
：
，
则称点
和直线：
是圆锥曲线
的一对极点和极线.事实
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上，在圆锥曲线方程中，以
替换
，以
替换
；以
替换
，以
替换
，即可得到
对应的极线方程.特别地，对于椭圆
，与点
对应的极线方程为
；
对于双曲线
，与点
对应的极线方程为
；对于抛物线
，与点
对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理：①当
在圆锥曲线
上时，其极线是曲线
在点
处的切线；②当
在
外时，其极线是从点
向曲线
所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当
在
内时，其极线是曲线
过点
的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已
知椭圆
：
.
(1)点
是直线：
上的一个动点，过点
向椭圆
引两条切线，切点分别为
，
，是否
存在定点
恒在直线
上，若存在，当
时，求直线
的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点
在圆
上，过点
作椭圆
的两条切线，切点分别为
，
，求
面积的最大值.
极点极线问题通常涉及圆锥曲线的特殊点和线。解决方法包括利用圆锥曲线的性质和定义，通过设定
极点和极线的关系，运用几何和代数方法求解。关键在于理解极点和极线的几何意义，并灵活运用相关公
式和定理。
【变式14-1】阅读材料：
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（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：
，则称点P(
，
)和直线
l：
是圆锥曲线G 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以
替换
，以
替换x(另一变量y 也是如此)，即可得到点P(
，
)对应的极线方程.特别地，对
于椭圆
，与点P(
，
)对应的极线方程为
；对于双曲线
，与点P(
，
)对应的极线方程为
；对于抛物线
，与点P(
，
)对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P 在圆锥曲线G 上时，其极线l 是曲线G 在点P 处的切线；
②当P 在G 外时，其极线l 是曲线G 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P 在G 内时，其极线l 是曲线G 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：
经过点P(4，0)，离心率是
，求椭圆C 的方程并写出与点P 对应的
极线方程；
(2)已知Q 是直线l：
上的一个动点，过点Q 向（1）中椭圆C 引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T 恒在直线MN 上，若存在，当
时，求直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.
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1．已知F 为抛物线
的焦点，直线
与C 交于A，B 两点且
.
（1）求C 的方程.
（2）若直线
与C 交于M，N 两点，且
与
相交于点T，证明：点T 在定直线上.
题型十五：同构问题
【典例15-1】抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
是抛物线
上位于第一象限的一点，过
作
（其中
）的两条切线，
分别交抛物线
于点
,
,证明：直线
经过定点．
【典例15-2】设抛物线
的焦点为F，过F 作直线l 交抛物线E 于A，B 两点.当l 与x 轴垂
直时，
面积为8，其中O 为坐标原点.
（1）求抛物线E 的标准方程；
（2）若l 的斜率存在且为
点
，直线
与E 的另一交点为C，直线
与E 的另一交点为D，设直
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线
的斜率为
，证明：
为定值.
利用圆锥曲线的标准方程和性质，通过变量替换、坐标变换等手段，将不同曲线或方程转化为相同或
相似的形式，从而简化求解过程。
【变式15-1】已知椭圆
的焦距为2，离心率为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）直线与
轴正半轴和
轴分别交于点
，与椭圆分别交于点
，各点均不重合且满足
．若
，证明：直线恒过定点．
1．已知抛物线
上的点
到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)过抛物线
上一点P 作圆
的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线
交于异于点P
的M，N 两点．证明：直线MN 与圆
相切．
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重难点突破：蝴蝶问题
【典例16-1】已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A，B，点M，N 是椭圆上异于A，B 的不同两点，直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，求证：直线
过定点．
【典例16-2】椭圆有两个顶点
过其焦点
的直线与椭圆交于
两点，并与
轴交于
点
，直线
与
交于点
．
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（1）当
时，求直线的方程；
（2）当
点异于
两点时，证明：
为定值．
关键在于利用圆锥曲线的对称性和几何性质，通过设定蝴蝶定理中的关键点，结合代数方法求解。需
要熟练掌握圆锥曲线的标准方程和交点求解技巧。
【变式16-1】设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线
MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
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(2)设直线
与C 另一个交点分别为A，B，记直线
的斜率为
，求
的值．
1.已知椭圆
的离心率为
，半焦距为
，且
．经过椭圆的左焦点F，
斜率为
的直线与椭圆交于A、B 两点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)当
时，求
的值；
(3)设
，延长AR，BR 分别与椭圆交于C，D 两点，直线CD 的斜率为
，求证：
为定值．
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