文档文本内容
2027 年高考一轮复习检测卷（全国一卷 03）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合A={−3,0,1,3,5)，B={x|x2 ∈A))，则A∩B=（ ）．
A．{0,1) B．{0,1,3) C．{−3,0,1,3) D．{0,1,3,5)
z+3
2．已知z=1−2i，则 =（ ）
2i
A．1−2i B．−1−2i C．1+2i D．−1+2i
3．【原创】已知向量⃗a=(cosα,sin2α+cos2α),⃗b=
(
sinα,tan
(2026π))
，则“α=
π
”是“向量⃗a,⃗b
3 3
共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
4．设直线l过点P(1,2)，且与圆x2+ y2=1相切，则直线l的方程为（ ）
A．4x−3 y+2=0 B．4x−3 y+2=0或x=1
C．3x−4 y+5=0 D．3x−4 y+5=0或x=1
5．【新背景】如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线
8
是一个离心率为 的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取❑√57=7.55）
11
（ ）
A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm6．已知函数 f (x)=
{|log
3
x),0<x≤3,)
若函数g(x)=f (x)−m有三个不同的零点，则m的取值范围为
2−log x,x>3,
3
（ ）
A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1) D．[0,1)
7．设一个简单几何体Ω的棱数与面数之和为α(Ω).用Υ 表示正n(n≥3)棱台，Ψ 表示正n（n ≥3）棱锥，
n n
则（ ）
A．α(Ψ )=α(Υ )
4 3
B．存在Ψ ，使得α(Ψ )=α(Υ )
n n 6
C．α(Ψ )>α(Υ )
4 3
D．存在Ψ ，使得α(Ψ )=α(Υ )
n n 5
8．若函数y=f (x)满足：在定义域内存在互不相同的三个数x ，x ，x ，当x ，x ，x 成等差数列，有
1 2 3 1 2 3
f (x )，f (x )，f (x )成等比数列，则称y=f (x)满足“性质P”．对于以下两个结论，说法正确的是
1 2 3
（ ）．
①函数y=x2不满足“性质P”；
②对于任意的正实数a，y=tan(ax)都满足“性质P”．
A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．残差是预测值减去观测值
B．一组数据：1，2，3，4，5，6的25百分位数是2
C．在独立性检验中，零假设是“分类变量X与Y独立”
D．在线性回归分析中，决定系数R2用来刻画拟合的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好
10．已知函数f (x)=lnx−2x+a，若直线x+ y−1=0是曲线y=lnx−2x+a的切线，则（ ）
A．a=2
1
B．x= 是f (x)的极小值点
2
C．直线4x+ y+m=0不可能是曲线y=lnx−2x+a的切线
D．f (x)≤0恒成立
x2 y2 n
11．双曲线 − =1(a)>0,b>0)可由以坐标原点为中心的曲线y=mx+ (mn≠0)绕其中心旋转一定角
a2 b2 x❑√3 ❑√3 x2 y2
度得到．现将曲线E:y= x− 绕原点旋转一定角度可得到双曲线C: − =1(a>0,b>0)，其左
3 2x a2 b2
右焦点分别为F 和F ，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（ ）
1 2
❑√3
A．直线y= x是曲线E的一条渐近线
3
B．双曲线C的离心率为2
13
C．若y2=4(x+m)与双曲线C有四个交点，则m>−
12
D．以PF 为直径的圆与圆x2+ y2=1相切
1
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
( 1) 10
12．已知二项式 ax− 的展开式中的常数项为252，则实数a=______．
x
π
13．已知α，β∈(0,π)，且sinα+sin(
β−
)=0，sinβ+cosα=0．则满足条件的一组α，β的值
2
可以是α=________，β=________．
14．一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位
长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望E(X)=________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA.
(1)求B；
3❑√3
(2)若△ABC的面积为 ，且⃗AD=2⃗DC，求BD的最小值.
4
16．（15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120∘，点E在线段PD
上，PB//平面AEC.(1)证明：E为PD的中点；
1
(2)若AB=2，二面角C−AE−D的余弦值为 ，求PA的长.
4
17．（15分）
已知曲线C:y=ax2的焦点为F且过点(2,8)，P是其上一点．
(1)求C的焦点坐标；
65
(2)作曲线在点P处的切线l，由点F作l的垂线，垂足为M，若S = ，求点P的坐标．
△PMF 16
18．（17分）
春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快
乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙
公司所售商品类似，存在竞争关系．
(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计
用户年龄段19—24岁 40 50
用户年龄段25—34岁 30
合计
依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断选择哪家直播间购物是否与用户的年龄有关；
(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直
播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播
间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；
(3)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为p(0<p<1)，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为f (p)，求
f (p)的最大值点p ．
0
n(ad−bc) 2
参考公式：χ2= ，其中n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
χ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
19．超导量子计算原型机“祖冲之三号”的问世标志着我国在量子计算硬件研发上进入世界第一方阵.帕德
逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，可在量子电路中用较少的
量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学家帕德发明的用多项式逼
近特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f (x)在x=0处的[m,n)阶帕德逼近定义为：
a +a x+⋯+a xm
R(x)= 0 1 m ，且满足：f (0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，f″(0)=R″(0)，…，
1+b x+⋯+b xn
1 n
f(m+n)(0)=R(m+n)(0).注：f″(x)=[f′(x)) ′ ，f′′′(x)=[f″(x)) ′ ，f(4)(x)=[f′′′(x)) ′ ，f(5)(x)=[f(4)(x)) ′ ，….
(1)求f (x)=ln(1+x)在x=0处的[1,1)阶帕德逼近R(x)；
(2)在（1）的条件下，当x>0，试比较f (x)与R(x)的大小，并证明；
2(a −1) n+3
(3)已知数列{a )满足a =2，lna = n ，证明： ≤a ≤2.
n 1 n+1 a +1 n+1 n
n
