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专题4.2 向量四心及补充定理综合归类
目录
题型01 “奔驰定理”.............................................................................................................................................................1
题型02 极化恒等式..............................................................................................................................................................3
题型03 极化恒等式求最值范围...........................................................................................................................................4
.题型04 等和线题型：基础..................................................................................................................................................6
题型05 等和线题型：
型........................................................................................................................................6
题型06 等和线题型：
型......................................................................................................................................7
题型07 等和线题型：分数型..............................................................................................................................................8
题型08 等和线题型：与数列..............................................................................................................................................9
题型09 奔驰定理与重心型轨迹.........................................................................................................................................10
题型10 三角形四心向量：内心........................................................................................................................................11
题型11 三角形四心向量：外心........................................................................................................................................12
题型12 三角形四心向量：重心........................................................................................................................................12
题型13 三角形四心向量：垂心.........................................................................................................................................13
题型14 向量点域综合.........................................................................................................................................................14
高考练场.............................................................................................................................................................................. 16
题型01 “奔驰定理”
【解题攻略】
奔驰定理：
为
内一点，
，则
.
重要结论：
，
，
.
结论1：对于
内的任意一点
， 若
、
、
的面积分别为
、
、
，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于
平面内的任意一点
，若点
在
的外部，并且在
的内部或其对顶角的内部
所在区域时，则有
.
结论3：对于
内的任意一点
， 若
，则
、
、
的面积之比
为
.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
1
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结论4：对于
所在平面内不在三角形边上的任一点
，
，则
、
、
的面积分别为
.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之
比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
【典例1-1】（2022 春·全国·高三模拟）奔驰定理：已知
是
内的一点，
，
，
的
面积分别为
，
，
，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设
为三角形
内一点，且满足：
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知点P 为ABC 内一点，
，则△APB，△APC，△BPC 的面积之比为
（ ）
A．
B．
C．
D．
四川省三台中学2021-2022 学年高三4 月质量检测数学试题
【变式1-1】如图所示，设
为
所在平面内的一点，并且
，则
与
的面积之比等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知
是等边三角形，且
,那么四边形ABCD 的面积为(
)
2
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A．
B．
C．
D．
【变式1-3】
是
所在平面上的一点,满足
,若
,则
的面积为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
题型02 极化恒等式
【解题攻略】
极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
【典例1-1】（2023·江苏·高三专题练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：
，我们称为极化恒等
式.在△
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．32
B．-32
C．16
D．-16
2. 【典例1-2】如图,在
中,已知
,点
分別在边
上,
且
,若
为
的中点,则
的值为________
3
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【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，AD
边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝________．
【变式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在
中，
，
，点
是线段
上靠近点
的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2 的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 极化恒等式求最值范围
【解题攻略】
极化恒等式的模型：
平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O 是对角线交点．则AB·AD＝[|AC|2－|BD|2]．
4
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D
B
C
A
O
三角形模式：如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB·AC＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由
.
D
B
C
A
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
1. 【典例1-1】如图,在平面四边形
中,
,则
的最
大值为____
【典例1-2】已知点O 为坐标原点，
为圆
的内接正三角形，则
的最小值为_________．
【变式1-1】在锐角
中，已知
，则
的取值范围是____________．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线
与圆
相切于点
，设直线与
轴的交点为
，点
为圆
上的动点，则
的最大值为______．
【变式1-3】半径为4 的圆
上有三点
，满足
，点
是圆
内一点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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.题型04 等和线题型：基础
【解题攻略】
等和线基础：系数为1 型
形如
，求
值或者范围，其中可以理解对应系数如
，称之为
“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
【典例1-1 】. 在矩形ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点P 是以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若⃗
AP =λ⃗AB +μ⃗AD ，则λ+μ 的最大值为（ ）
A.3 B.2√2 C.√5 D.2
【典例1-2】已知
在
内，且
，
，则
____．
【变式1-1】在△ABC 中，∠BAC=
，以AB 为一边向△ABC 外作等边三角形ABD，
∠BCD=2∠ACD，
则
____________ ．
【变式1-2】已知在
中，
，
，
，P 为BC 上任意一点（含B，C），以P 为圆
心，1 为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】如图，A、B、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D，若
，则λ+μ 的取值范围是
A．(-∞,-1)
B．(-1,0)
C．(0,1)
D．(1,+∞)
题型05 等和线题型：
型
【解题攻略】
形如
，求
值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造
三角函数辅助角形式求最值。可构建直角坐标系并设
且
(
)，应用平面向量线性
关系的坐标表示求得
关于参数的函数式求最值.
6
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【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）O 是
的外心，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【典例1-2】在矩形ABCD 中，
，
，P 为矩形内一点，且
若
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 春·江苏无锡·高三江苏省天一中学校考）在
中，
，
，
，
为
的外心，若
，
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正三角形
的边长为2，D 是边
的中点，动点P 满足
，且
，其中
，则
的最大值为 ．
题型06 等和线题型：
型
【解题攻略】
形如
，求
值或者范围，有如下思维：
1. 如果动点P 在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
2. 可以借助等和线，找到
=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
【典例1-1】如图，在直角梯形
中，
，
∥
，
，
，图中圆弧所在
圆的圆心为点C，半径为
，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若
，其中
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角
满足
，
且O 为
的外接圆
圆心，若
，则
的取值范围为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022·四川·校联考三模）在直角梯形
中，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，以
为圆心，
为半径的半圆分别交
及其延长线于点
，
，点
在
上运动（如图）.若
，其中
，
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2019·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在
中，点
满足
.若存
在点
，使得
，且
，则
的取值范围是 ．
【变式1-3】（2022 秋·山东青岛·高三统考）将两个直角三角形如图拼在一起，当
点在线段
上移动时，
若
，当
取最大值时，
的值是 ．
题型07 等和线题型：分数型
【解题攻略】
形如
，求
值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线
或
者
， 然后对
采用均值不等式中的“1”的代换技巧。
【典例1-1】（2021·辽宁大连·大连八中校考一模）在
中，已知
，
，
，
为线段
上的一点，且
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
8
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【典例1-2】（2023 春·江苏南通·高三江苏省南通中学校考阶段练习）在
中，已知
，
，
，
为线段
上的一点，且
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且
，点F
为线段BD 上的一动点（包含端点），若
，则
的取值范围为 ．
【变式1-2】（2023 春·内蒙古乌兰察布·高三校考）已知
是正实数，
的三边长为
，点
是边
(
与点
不重合)上任一点，且
．若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知
为等边三角形，点G 是
的重心．过点G 的直线
l 与线段AB 交于点D，与线段AC 交于点E．设
，
，则
；
与
周长之比的取值范围为 ．
题型08 等和线题型：与数列
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，平面四边形
中，点D 为动点，
的面积是
面积的3 倍，数列
满足
，
，当
时，恒有
，
则数列
的前6 项和为（ ）．
A．2020
B．1818
C．911
D．912
【典例1-2】（2022 秋·安徽合肥·高三阶段练习）如图，点
为
的边
上一点，
，
9
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为边
上的一列点，满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】．（2022 秋·河北石家庄·高三正定中学阶段练习）如图，已知点
为
的边
上一点，
，
为边
上的一列点，满足
，其中实数列
中，
，
，则
A．46
B．30
C．242
D．161
【变式1-2】（2023 秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知四边形ABCD，
为边
BC 边上一点，连接
交BD 于
，点
满足
，其中
是首
项为1 的正项数列，
，则
的前n 项
.
题型09 奔驰定理与重心型轨迹
【解题攻略】
向量型求动点轨迹：
利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。
①直接法，设出动点的坐标
，根据题意列出关于
的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
10
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③参数法，把
分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将
代入
.
【典例1-1】（2024·全国·高三专题练习）已知
是平面上的4 个定点，
不共线，若点
满足
，其中
，则点
的轨迹一定经过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【典例1-2】（2022 春·重庆·高三统考）已知
是三角形
所在平面内一定点，动点
满足
，则
点轨迹一定通过三角形
的
A．重心
B．外心
C．垂心
D．内心
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满
足
＝
[(1－λ)
＋(1－λ)
＋(1＋2λ)·
]，λ∈R，则点P 的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC 的内心
B．△ABC 的垂心
C．△ABC 的重心
D．AB 边的外心
【变式1-2】（2023 春·全国·高三专题练习）已知
，
，
是不在同一直线上的三个点，
是平面
内一动点，若
，
，则点
的轨迹一定过
的（ ）
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
.
题型10 三角形四心向量：内心
【解题攻略】
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为内心，则
；
【典例1-1】（2020 春·山西运城·高三临猗县临晋中学校考开学考试）
为
所在平面上动点，点
满
足
,
,则射线
过
的
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【典例1-2】（2022 秋·重庆·高三重庆一中校考）已知
为
的内心，
，若
，
则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
11
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【变式1-1】（2021 春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知
，
，
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．若
是
的重心，则
B．若
是
的内心，则
C．若
是
的垂心，则
D．若
是
的外心，则
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）设
为
的内心，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在
中，若
，
则点
是
的（ ）
A．重心
B．内心
C．垂心
D．外心
题型11 三角形四心向量：外心
【解题攻略】
设
是
内一点且
；
若
为外心，则
；
【典例1-1】（2021 春·湖北武汉·高三统考）
中，
，点
为
的外心，
若
，则实数
．
【典例1-2】（2023 春·广东珠海·高三统考）在
中，
，
，
为
的外心，
，
，
分别为
，
，
的中点，且
，则
.
【变式1-1】（2023 春·湖北武汉·高三校联考阶段练习）设
的外心为
，且满足
，
，则
的面积为 .
【变式1-2】（2023 春·山东青岛·高三统考）记
的三个内角
的对边分别为
，
，，且
，
，若
是
的外心，则
．
【变式1-3】（2023 春·广东汕头·高三金山中学校考已知
为
的外心，若
，则
最小值 .
12
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题型12 三角形四心向量：重心
【解题攻略】
重心四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为重心，则
；
解决该类问题常用如下方法：
（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形；
（2）利用向量，结合向量的数量积进行求解；
（3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a=5
sin（B
），c=5 且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为
A．
1
B．
C．
1
D．
【典例1-2】（2022 春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）已知点
为
的重心，
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2020 春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知
中，
为
的重心，则
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过
的重心
作直线，已知与
、
的交点分别为
、
，
，若
，则实数
的值为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点
是
的重心，
，若
，
，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
13
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题型13 三角形四心向量：垂心
【解题攻略】
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为垂心，则
.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知
是
内的一点，若
、
、
的面积分别记为
、
、
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常
优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的
很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已
知
是
的垂心，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点
是
所在平面内一点，且满足
，则直线
必经过
的
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）设
为
的外心，若
，则点
是
的（ ）
A．重心
B．内心
C．垂心
D．外心
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知H 为
的垂心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在
中，D 为边BC 上的一点，H 为
的垂心，
，则
（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
14
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题型14 向量点域综合
【典例1-1】如图，在
中，点
是线段
及
、
的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的
任意一点，且
，则在直角坐标平面上，实数对
所表示的区域在直线
的右下
侧部分的面积是
A．
B．
C．4
D．5
【典例1-2】如图，A、B 分别是射线
上的两点，给出下列向量：①
;②
；
③
；④
；⑤
这些向量中以O 为起点，终点落在阴影区域内的是
________（填序号）．
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系
中，原点
为正八边形
的中心，
轴，
若坐标轴上的点
（异于点
）满足
（其中
，且、
），则满足
以上条件的点
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】如图，OM//AB，点P 在由射线OM、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，
且
，当
时，y 的取值范围是________
15
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【变式1-3】在
中，
，
，D 是
内切圆圆心，设P 是
外的三角形
区域内的动点，若
，则点
所在区域的面积为______.
高考练场
1.已知等边
边长为4，
为其内一点，且
，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点．BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则
BE·CE的值为________．
3.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当
取得最小值时，sin∠PAC 的值
为____．
4.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点
E，若点P 是圆弧EB (含端点B、E)上的一点，则
的取值范围是 .
5.直角梯形
中，
，
，
是边长为
的正三角形，
是平面上的动点，
，设
（
，
），则
的最大值为__________．
16
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6.（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知
为锐角三角形
的外心，若
，
，则
的最大值 .
7.（2022 秋·吉林松原·高三统考）在直角梯形ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F
分别为AB、BC 的中点．点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧
上变动（如图所示），若
=λ
+μ
，其中λ，μ∈R．则2λ
μ
﹣的取值范围是 ．
8.（2023·全国·高三专题练习）如图，在边长为
的正方形
中，
，
分别是边
，
上的两个
动点，且
，
为
的中点，
，则
的最大值是 ．
9.（2022·全国·高三专题练习）如图，在
中，D 是AC 边上一点，且
，
为直线
AB 上一点列，满足：
，且
，则数列
的前n 项和
．
10.（2023·全国·高三专题练习）过
内一点
任作一条直线，再分别过顶点
作的垂线，垂足
分别为
，若
恒成立，则点
是
的
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
11.（北京·高三强基计划）在
中，
，I 为
的内心，若
，
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则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12.（2023 春·云南大理·高三统考）在
中，
为其外心，
，若
，则
．
13.（2021 秋·河南南阳·高三校考阶段练习）已知
是
的重心，过点
作直线
与
，
交于点
，且
，
，
，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
14.（2023 春·广东东莞·高三东莞市厚街中学校考阶段练习）点P 为
所在平面内的动点，满足
，
，则点P 的轨迹通过
的
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
15.如图，
分别是射线
上的两点，给出下列向量：①
；②
；
③
；④
；⑤
若这些向量均以
为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有
A．①②
B．②④
C．①③
D．③⑤
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