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专题4.2 向量四心及补充定理综合归类
目录
题型01 “奔驰定理”.............................................................................................................................................................1
题型02 极化恒等式..............................................................................................................................................................5
题型03 极化恒等式求最值范围...........................................................................................................................................7
.题型04 等和线题型：基础................................................................................................................................................10
题型05 等和线题型：
型......................................................................................................................................13
题型06 等和线题型：
型....................................................................................................................................16
题型07 等和线题型：分数型............................................................................................................................................20
题型08 等和线题型：与数列............................................................................................................................................24
题型09 奔驰定理与重心型轨迹.........................................................................................................................................27
题型10 三角形四心向量：内心........................................................................................................................................29
题型11 三角形四心向量：外心........................................................................................................................................32
题型12 三角形四心向量：重心........................................................................................................................................35
题型13 三角形四心向量：垂心.........................................................................................................................................38
题型14 向量点域综合.........................................................................................................................................................41
高考练场.............................................................................................................................................................................. 44
题型01 “奔驰定理”
【解题攻略】
奔驰定理：
为
内一点，
，则
.
重要结论：
，
，
.
结论1：对于
内的任意一点
， 若
、
、
的面积分别为
、
、
，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于
平面内的任意一点
，若点
在
的外部，并且在
的内部或其对顶角的内部
所在区域时，则有
.
结论3：对于
内的任意一点
， 若
，则
、
、
的面积之比
为
.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
1
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结论4：对于
所在平面内不在三角形边上的任一点
，
，则
、
、
的面积分别为
.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之
比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
【典例1-1】（2022 春·全国·高三模拟）奔驰定理：已知
是
内的一点，
，
，
的
面积分别为
，
，
，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设
为三角形
内一点，且满足：
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接根据向量的基本运算得到
，再结合“奔驰定理”即可求解结论．
【详解】解：
为三角形
内一点，且满足
，
，
．
，
故选：D．
【典例1-2】已知点P 为ABC 内一点，
，则△APB，△APC，△BPC 的面积之比为
（ ）
A．
B．
C．
D．
四川省三台中学2021-2022 学年高三4 月质量检测数学试题
【答案】D
【分析】
先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面
积公式确定面积之比
【详解】
解：
，
，如图：
2
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，
，
、
、
三点共线，且
，
为三角形
的中位线
，而
，
，
的面积之比等于
故选：
．
【变式1-1】如图所示，设
为
所在平面内的一点，并且
，则
与
的面积之比等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题，延长AP 交BC 于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量
的关系，可得
与
的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP 交BC 于点D，因为A、P、D 三点共线，
所以
，设
代入可得
即
又因为
，即
，且
。解得
所以
可得
因为
与
有相同的底边，所以面积之比就等于
与
之比
3
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所以
与
的面积之比为
故选D
【变式1-2】已知
是等边三角形，且
,那么四边形ABCD 的面积为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设AD 的中点为E，以
为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E 为中点，得到
为平行四边形，再根据
可得四边形
为矩形，于是得到四边形ABCD 为直角梯形，
进而可得所求的面积．
【详解】取AD 的中点E，以
为邻边作平行四边形AECB，如图所示，
则有
，又
，∴
，∴四边形
为平行四边形，
又BE 为等边
的中线，∴
，∴平行四边形BCDE 是矩形，
∴四边形ABCD 是直角梯形．又
，
∴
，∴四边形ABCD 的面积为
．
故选A．
【变式1-3】
是
所在平面上的一点,满足
,若
,则
的面积为（
）
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】A
【解析】
∵
，
∴
，
∴
，且方向相同．
∴
，
4
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∴
．选A．
题型02 极化恒等式
【解题攻略】
极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
【典例1-1】（2023·江苏·高三专题练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：
，我们称为极化恒等
式.在△
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．32
B．-32
C．16
D．-16
【答案】D
【分析】由题设有
，
代入极化恒等式求
即可.
【详解】由题设，
，
，
.
故选：D
2. 【典例1-2】如图,在
中,已知
,点
分別在边
上,
且
,若
为
的中点,则
的值为________
解：取
的中点
,连接
,则
,
5
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在
中,
,
【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，AD
边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝________．
答案 ；解析 连结EG，FH，交于点O，则EF·FG＝EF·EH＝EO2－OH2＝1－＝，GH·HE＝GH·GF
＝GO2－OH2＝1－＝，因此EF·FG＋GH·HE＝．
【变式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在
中，
，
，点
是线段
上靠近点
的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用
，
两个向量表示
，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】
，
，
因
，所以
，
又
，所以
，故选：B
【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2 的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且
，则
的值为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图所示，以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，
建立平面直角坐标系，则
，
，
由
，得
，
所以
，
，
所以
．
故选：C.
题型03 极化恒等式求最值范围
【解题攻略】
极化恒等式的模型：
平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O 是对角线交点．则AB·AD＝[|AC|2－|BD|2]．
D
B
C
A
O
三角形模式：如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB·AC＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由
.
D
B
C
A
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
7
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记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
1. 【典例1-1】如图,在平面四边形
中,
,则
的最
大值为____
解：取
的中点
,连接
,
由
,
由
四点共圆,且直径为
.
则
.
所以
.
【典例1-2】已知点O 为坐标原点，
为圆
的内接正三角形，则
的最小值为_________．
解：取
的中点N，连结
，取其中点D，如图所示，则：
．
当正
沿圆周运动时，点D 在以M 圆心，以
为半径的小圆上运动．由
外接圆半径为1，可
求得
，从而
．所以
的最小值是
，故所求最小值为
．
8
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【变式1-1】在锐角
中，已知
，则
的取值范围是____________．
解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取
的中点为M，立即可
得等式
，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于“锐角”两个字，锐角的极限
状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．
如图，取
的中点M，可得
，
应长度变化的极限位置是
为直
角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即
为直角和
为直角．下面分两种情况进行分
析：过点C 作
，垂足为
，此时
；
过点C 作
，垂足为C，此时
，
，
因此
，故
取值范围是
．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知直线
与圆
相切于点
，设直线与
轴的交点为
，点
为圆
上的动点，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】圆
的圆心的为
，因为直线与圆
相切于点
则
所以
得
，所以
，
，
所以直线方程为
，圆的方程为
，所以
，
，
的中点
，
则
因为
，
所以
故
，所以
的最大值为
9
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故答案为：
【变式1-3】半径为4 的圆
上有三点
，满足
，点是圆
内一点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设
与
交于点
，
由
，
得四边形
是菱形，且
，
则
，
，
由图知
，
，而
，
所以
，
同理
，
，而
，
所以
，
所以
，
因为点是圆内一点，则
，
所以
，
即
的取值范围为
，
.题型04 等和线题型：基础
【解题攻略】
等和线基础：系数为1 型
形如
，求
值或者范围，其中可以理解对应系数如
，称之为
“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
【典例1-1 】. 在矩形ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点P 是以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若⃗
AP =λ⃗AB +μ⃗AD ，则λ+μ 的最大值为（ ）
A.3 B.2√2 C.√5 D.2
答案：A
解：根据图形可知，当点P 在圆上运动到与A 点距离最大时
λ+μ 有最大值，此时λ+μ= AP
AQ
，过A 点作BD 的垂线，如图所示垂足分别为M、N，
则λ+μ= AP
AQ = AM
AN =3
10
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【典例1-2】已知
在
内，且
，
，则
____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，
得到对应的结果.
【详解】
如图，
设BO 与AC 相交于D，则由
，可得
，
设CO 与AB 相交于E，则由
，可得
，
因B,O,D 三点共线，故存在实数m，
使
，
因C,O,E 三点共线，故存在实数n，使得
，
所以
，解得
，
，所以
，
，
故答案是：
.
【变式1-1】在△ABC 中，∠BAC=
，以AB 为一边向△ABC 外作等边三角形ABD，
∠BCD=2∠ACD，
则
____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
以A 为原点建立直角坐标系，则设
，
，
，
,则
，根据三倍角公式建立方程可求出m,利用点的坐标运算求出
即可.
【详解】
如图建系，
11
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设
，则
，
根据三倍角公式，有
，
于是
也即
解得
，于是
从而
.
【变式1-2】已知在
中，
，
，
，P 为BC 上任意一点（含B，C），以P 为圆
心，1 为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
如图:设
或
的延长线交
于D,过Q 作
//BC 交AC 或AC 的延长线于
,过圆上离BC 最远点作切
线与AB 的延长线交于
,与AC 的延长线交于
,过A 作
,垂足为
,然后根据向量知识将
的最大值转化为
的最大值来求,
【详解】如图:
设
或
的延长线交
于D,过Q 作
//BC 交AC 或AC
的延长线于
,过圆上离BC 最远点作切线与AB 的延长线交于
,与AC 的延长线交于
,
过A 作
,垂足为
,交BC 于K，此时圆P 的圆心为
,BC=5,
,
,其中
,又
,所以
,当Q 在BC 的下方时,
;
当Q 在BC 上时,
,当Q 在BC 的上方时,
,
12
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根据平面几何知识,可知当Q 为
、 D 为K 时，
最大，所以x+y 取最大，
所以：x+y 的最大值为：
．故选：C．
【变式1-3】如图，A、B、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D，若
，则λ+μ 的取值范围是
A．(-∞,-1)
B．(-1,0)
C．(0,1)
D．(1,+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由C,O,D 三点共线且点D 在圆外可设
，再由B,A,D 三点共线且点D 在圆外可得
，然后结合三角形法则可得
，进而可得
，
所以得到
，从而
，最后将其与已知向量式对比即可求出λ 与μ，据此问题即可解答．
【详解】
由点D 是圆O 外一点且C,O,D 三点共线，可设
，
由B,A,D 三点共线且点D 在圆外可得
，又
，∴
，
∴
，∴
．
又
，∴
，∴
．故选B．
题型05 等和线题型：
型
【解题攻略】
形如
，求
值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造
三角函数辅助角形式求最值。可构建直角坐标系并设
且
(
)，应用平面向量线性
关系的坐标表示求得
关于参数的函数式求最值.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）O 是
的外心，
，
，则
（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论
是否在
上.
【详解】当
在
上，则
为
的中点，
满足
，符合题意，
∴
，则
；
当
不在
上，取
的中点
，连接
，则
，
则
，
同理可得：
∵
，
，
联立可得
，解得
，故选：D.
【典例1-2】在矩形ABCD 中，
，
，P 为矩形内一点，且
若
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
可根据条件画出图形，根据图形设
，且
，则
又可用
表示为：
所以根据平面向量基本定理得到：
，所以
，
最大值为1，所以
的最大值为
．
【详解】
如图，设
，
，
14
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则：
；
又
；
；
；
的最大值为
．故选B．
【变式1-1】（2022 春·江苏无锡·高三江苏省天一中学校考）在
中，
，
，
，
为
的外心，若
，
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出图形，先推导出
，同理得出
，由此得出关于实数
、
的
方程组，解出这两个未知数的值，即可求出
的值.
【详解】如下图所示，取线段
的中点
，连接
，则
且
，
，
同理可得
，
，
由
，可得
，即
，
解得
，
，因此，
.故选：C.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正三角形
的边长为2，D 是边
的中点，动点P 满足
，且
，其中
，则
的最大值为 ．
15
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【答案】
/2.5
【分析】构建以
为原点，
为x、y 轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设
且
(
)，由向量线性关系的坐标表示列方程得到
关于
的三角函数式，应用正弦型函数性质求
最大值.
【详解】由题设，
在以
为圆心，1 为半径的圆上或圆内，
构建以
为原点，
为x、y 轴的直角坐标系，如下图示：
所以
，
，
，令
且
(
)，
所以
，
，
，
又
，即
，
所以
，而
，
则
，
故当
时，
有最大值
.故答案为：
题型06 等和线题型：
型
【解题攻略】
形如
，求
值或者范围，有如下思维：
1. 如果动点P 在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
2. 可以借助等和线，找到
=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
【典例1-1】如图，在直角梯形
中，
，
∥
，
，
，图中圆弧所在
圆的圆心为点C，半径为
，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若
，其中
，则
的取值范围是
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：以
点为坐标原点，
方向为
轴，
轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点
的坐标
为
，由意可知：
，
据此可得：
，则：
，目标函数：
，
其中 为直线系
的截距，
当直线与圆相切时，目标函数取得最大值
.
当直线过点
时，目标函数取得最小值
，则
的取值范围是
.本题选择B 选项.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角
满足
，
且O 为
的外接圆
圆心，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
，将
平方整理得
，设
，则有
，再设
，则有
=
=
，求解即可.
【详解】解：如图所示：
17
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由正弦定理可得：
，所以
，
在
中，由余弦定理可得
,
又因为
,所以
.
又因为
，
所以
，
即有：
，即
，所以
，
设
，可得
，又因为
为锐角三角形，所以
，
所以
，设
，则有
，
所以
=
=
，
所以
故选：A.
【变式1-1】（2022·四川·校联考三模）在直角梯形
中，
，
，
，
，
分别为
，
的中点，以
为圆心，
为半径的半圆分别交
及其延长线于点
，
，点
在
上运动（如图）.若
，其中
，
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出
，进而用辅助角公
式以及三角函数的性质即可求解.
18
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【详解】
分别以
所在直线为
轴，
轴，
方向为正方向建立直角坐标系，知
,
设
，由
得：
，即
,
则
，
由
可得：
，则
，故
.
则
的取值范围是
.
故选：C
【变式1-2】（2019·北京·首都师范大学附属中学校考一模）在
中，点
满足
.若存
在点
，使得
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】（﹣2，0）
【分析】由
，得
，结合条件
，得到m＝﹣
3λ
1
﹣，n＝3λ
1
﹣，利用mn＞0．可求出实数λ 的取值范围，由此可计算出m
n
﹣的取值范围．
【详解】由
，可得
，所以，
，
则m＝﹣3λ
1
﹣，n＝3λ
1
﹣，
由于mn＞0，则（﹣3λ
1
﹣）（3λ
1
﹣）＞0，即（3λ+1）（3λ
1
﹣）＜0，解得
，
∵λ＞0，所以，
，m
n
﹣＝（﹣3λ
1
﹣）﹣（3λ
1
﹣）＝﹣6λ∈（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）
【变式1-3】（2022 秋·山东青岛·高三统考）将两个直角三角形如图拼在一起，当
点在线段
上移动时，
若
，当
取最大值时，
的值是 ．
【答案】
19
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【详解】
如图所示：设
且
，由题意知，当
取最大值时，点
与点
重合．
中，由余弦定理
求得
又
，
故答案为
题型07 等和线题型：分数型
【解题攻略】
形如
，求
值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线
或
者
， 然后对
采用均值不等式中的“1”的代换技巧。
【典例1-1】（2021·辽宁大连·大连八中校考一模）在
中，已知
，
，
，
为线段
上的一点，且
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
中，设
，
，
，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求
，可得
，再由已知条件求得
，
，
，考虑建立以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得
，然后利用基
本不等式可求得
的最小值.
【详解】在
中，设
，
，
，
，即
，即
，
，
，
，
，
，
，
，即
，又
，
，
20
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，则
，所以，
，解得
，
.
以
所在的直线为
轴，以
所在的直线为
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则
、
、
，
为线段
上的一点，则存在实数
使得
，
，
设
，
，则
，
，
，
，
，消去
得
，
，
所以，
，
当且仅当
时，等号成立，因此，
的最小值为
.故选：A.
【典例1-2】（2023 春·江苏南通·高三江苏省南通中学校考阶段练习）在
中，已知
，
，
，
为线段
上的一点，且
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由sinB=cosA•sinC 化简可求 cosC=0 即C=90°，再由
，S△ABC=6 可得bccosA=9，
可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ 使得
,由
，
为单位向量，可得
，
，
可得
,可得
，
则由
，利用基本不等式求解最小值．
【详解】
中设
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
，
，根据直角三角形可得
，
，
21
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，
，
，
以
所在的直线为x 轴，以
所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得
，
，
，P 为直
线
上的一点，
则存在实数
使得
,
设
，
，则
，
，
,
,
，
则
,
,
故所求的最小值为
,故选：D.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且
，点F
为线段BD 上的一动点（包含端点），若
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由向量加法法则可得
，根据F 为线段BD 上的一动点（包含端点）有
且
、
，构造
并利用导数研究单调性，进而确定值
域，即可得结果.
【详解】由
，
所以
且
，结合目标式有
，
，
，
，
（舍），
故
在
、
上递减，在
上递增，
当
时
，当
时
，
所以
．故答案为：
22
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【变式1-2】（2023 春·内蒙古乌兰察布·高三校考）已知
是正实数，
的三边长为
，点
是边
(
与点
不重合)上任一点，且
．若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得到x、y 的关系式，再由题给条件得到关于m 的不等
式，利用均值定理即可得到实数
的取值范围.
【详解】以C 为原点分别以CB、CA 为x、y 轴建立平面直角坐标系如图：
则
，则
则
，又点P 在直线
：
上，则有
，即
由
恒成立，
可得
恒成立，由
，可得
则
（当且仅当
时等号成立）又
，
，则
则
，则
，则
，
则实数
的取值范围是
故答案为：
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知
为等边三角形，点G 是
的重心．过点G 的直线
l 与线段AB 交于点D，与线段AC 交于点E．设
，
，则
；
与
周长之比的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】连接AG 并延长，交BC 于F，可得
，变形可得
，根据D、
G、E 三点共线，即可得答案；设
的边长为1，设
与
周长之比
，可得
23
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，根据余弦定理，可求得
表达式，代入可得
，根据
的范
围，可得
的范围，利用导数，结合
的范围，即可得答案.
【详解】连接AG 并延长，交BC 于F，如图所示
由题意得，F 为BC 中点，
所以
，又G 为重心，所以
，所以
，即
，因为D、G、E 三点共线，所以
，即
.设
的边长为1，设
与
周长之比
，则
，在
中，由余弦定理得
，所以
，即
，
所以
，由（1）可得
，即
代入上式，可得
由题意得
，所以
，又
，所以
，
又
，所以
，因为
，所以
，令
，则
，
令
，则
，所以
在
上为增函数，
所以
，所以
与
周长之比的取值范围为
题型08 等和线题型：与数列
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，平面四边形
中，点D 为动点，
的面积是
面积的3 倍，数列
满足
，
，当
时，恒有
，
24
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则数列
的前6 项和为（ ）．
A．2020
B．1818
C．911
D．912
【答案】D
【分析】连接
交
于点
，根据
，得
，则
，
再根据
，设
，
，
，转化为
，根据
与
不共线，得到
，即
，变形为
，由等比数列的定义得到
是等比数列，得到通项公式，再用累加法得到
，然后用分组求和法求解.
【详解】如图，连接
交
于点
，
由
，得
，
，
设
，
，
，
，又
与
不共线，
所以
，则
，即
，所以
，所以
，
即
，
所以
是以2 为首项，4 为公比的等比数列，
所以
，由
，
，…，
，
累加得
，所以
，
所以
．故选：D．
【典例1-2】（2022 秋·安徽合肥·高三阶段练习）如图，点
为
的边
上一点，
，
25
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为边
上的一列点，满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算、共线向量的表示和等差数列的判定得出数列
和
的关系.
【详解】因为
，所以
，所以
，
因为
，且
，
所以
，得
，所以
，
又
，所以数列
表示首项为，公差为的等差数列，
所以
.故选：B.
【变式1-1】．（2022 秋·河北石家庄·高三正定中学阶段练习）如图，已知点
为
的边
上一点，
，
为边
上的一列点，满足
，其中实数列
中，
，
，则
A．46
B．30
C．242
D．161
【答案】D
【详解】因为
，所以
，设
26
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，
，又因为
，
，
以
，又
，所以数列
表示首项为
，公比为的等比
数列，所以
，
,故选D．
【变式1-2】（2023 秋·辽宁沈阳·高三新民市高级中学校考阶段练习）已知四边形ABCD，
为边
BC 边上一点，连接
交BD 于
，点
满足
，其中
是首
项为1 的正项数列，
，则
的前n 项
.
【答案】
【分析】由
结合共线向量定理的推论可得
，则可求得
，再由
可得
，从而得
，则得
，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】因为
，所以
，
因为
三点共线，所以
，所以
，
因为
，所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，所以
，因为
，所以
，
所以
，因为
，
所以
因为
，所以
，
所以
，
故答案为：
题型09 奔驰定理与重心型轨迹
【解题攻略】
向量型求动点轨迹：
利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。
①直接法，设出动点的坐标
，根据题意列出关于
的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把
分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将
代入
.
【典例1-1】（2024·全国·高三专题练习）已知
是平面上的4 个定点，
不共线，若点
满足
27
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，其中
，则点
的轨迹一定经过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【答案】A
【分析】设
边的中点为
，则
，进而结合题意得
，再根据向量共线判断即
可.
【详解】解：根据题意，设
边的中点为
，则
，
因为点
满足
，其中
所以，
，即
，
所以，点
的轨迹为
的中线
，
所以，点
的轨迹一定经过
的重心.
故选：A
【典例1-2】（2022 春·重庆·高三统考）已知
是三角形
所在平面内一定点，动点
满足
，则
点轨迹一定通过三角形
的
A．重心
B．外心
C．垂心
D．内心
【答案】A
【分析】作
，根据
，结合
求解.
【详解】如图所示：
作
，
因为
，
所以
，
由加法法则知，
在三角形的中线上，
所以动点P 的轨迹一定经过
的重心，
故选：A．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满
足
＝
[(1－λ)
＋(1－λ)
＋(1＋2λ)·
]，λ∈R，则点P 的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC 的内心
B．△ABC 的垂心
C．△ABC 的重心
D．AB 边的外心
【答案】C
【分析】根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对条件进行化简，得到
28
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，根据三点共线的充要条件知道
、
、
三点共线，从而得到点
的轨迹一定
经过
的重心．
【详解】取AB 的中点D，则2
＝
＋
，
∵
＝
[(1－λ)
＋(1－λ)
＋(1＋2λ)
]，
∴
＝
[2(1－λ)
＋(1＋2λ)
]＝
＋
，
而
＋
＝1，∴P，C，D 三点共线，
∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：C
【变式1-2】（2023 春·全国·高三专题练习）已知
，
，
是不在同一直线上的三个点，
是平面
内一动点，若
，
，则点
的轨迹一定过
的（ ）
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
【答案】B
【分析】设出
的中点
，利用向量的运算法则化简
；
据向量共线的充要条件得到
在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取
的中点
，连接
，
则
．又
，
，即
．
又
，
点在射线
上．
故
的轨迹过
的重心．
故选：B．
.
题型10 三角形四心向量：内心
【解题攻略】
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为内心，则
；
【典例1-1】（2020 春·山西运城·高三临猗县临晋中学校考开学考试）
为
所在平面上动点，点
满
29
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足
,
,则射线
过
的
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【分析】将
变形为
，因为
和
的模长都是1，根
据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为
和
分别是
和
的单位向量所以
是以
和
为邻边的平行四边形的
角平分线对应的向量。所以
的方向与
的角平分线重合
即射线
过
的内心。故选B
【典例1-2】（2022 秋·重庆·高三重庆一中校考）已知
为
的内心，
，若
，
则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】点O 是平面ABC 上任意一点，点I 是△ABC 内心的充要条件是：
其中BC=a、AC=b、AB=c，将O 点取作A 点带入得到
，故
由余弦定理得到
，
又因为
，最终求得
，故
．
故答案选D.
【变式1-1】（2021 春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知
，
，
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．若
是
的重心，则
B．若
是
的内心，则
C．若
是
的垂心，则
D．若
是
的外心，则
【答案】B
【分析】根据三角形各心的性质求出对应的
之间的比值，即可得出答案.
【详解】如图，设
，直线
与直线
交于
点，因为
，
30
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所以
，则
，即
，
过
作
分别平行于
，则
，而
，
，由平行线分线段成
比例得
，
同理
，所以
；
若
是
的重心，则
为
的中点，所以
，故A 正确；
若
是
的内心，则直线
平分
，而
，
，
所以
分
的比
，故B 不正确；
若
是
的垂心，如图，则
点与
点重合，则
，故C 正确；
若
是
的外心，因为
，所以线段AB 的中垂线的斜率为
，且AB 的中点为
，
所以线段AB 的中垂线的方程为
，即
，
又线段BC 的中垂线为
，
联立
，解得
，所以
，
，由于
，
，所以
，则
，故D 正确，故选：B.
【变式1-2】（2024·全国·高三专题练习）设
为
的内心，
，
，
，则
（ ）
31
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取
的中点
，连
，则
为内切圆的半径，利用面积关系求出
，得
，再根
据
得
，由平面向量基本定理求出
可得答案.
【详解】取
的中点
，连
，因为
，
，所以
，
，
所以
的内心
在线段
上，
为内切圆的半径，因为
，
所以
，所以
，得
，
所以
，所以
，又
，所以
，
又已知
，所以
，所以
.
故选：B.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在
中，若
，
则点
是
的（ ）
A．重心
B．内心
C．垂心
D．外心
【答案】B
【分析】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出
是
的内心.
【详解】过点
分别作
，
，
的垂线
，
，
，其垂足依次为
，如图所示，
由于
，
根据奔驰定理就有：
，
即
，
因此
，故点
是
的内心，B 选项正确.
故选：B
题型11 三角形四心向量：外心
【解题攻略】
设
是
内一点且
；
若
为外心，则
；
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【典例1-1】（2021 春·湖北武汉·高三统考）
中，
，点
为
的外心，
若
，则实数
．
【答案】
/
【分析】利用余弦定理可求出角
的余弦值，再利用向量的投影求出
和
的值，从而对
两边同时点乘
，
得到关于
的方程组，从而得解.
【详解】记
的中点分别为
，连接
，如图，
则
，
因为在
中，
，
由余弦定理，得
，
所以
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，所以
.故答案为：
.
【典例1-2】（2023 春·广东珠海·高三统考）在
中，
，
，
为
的外心，
，
，
分别为
，
，
的中点，且
，则
.
【答案】
【分析】先求出
，由
，
，
两边平
方，结合
及数量积的定义直接求解.
【详解】如图，
33
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设
的外接圆半径为
，由正弦定理
，则
，
又因为
，
，
分别为
，
，
的中点，
所以
，
，
，
三式平方相加可得
，
又因为
，代入得结果为
.
故答案为：
.
【变式1-1】（2023 春·湖北武汉·高三校联考阶段练习）设
的外心为
，且满足
，
，则
的面积为 .
【答案】
/
【分析】设
的外接圆的半径为
，根据平面向量的数量积的运算法则，求出两向量的夹角，判定
为等腰三角形，由此求得
的面积.
【详解】设
的外接圆的半径为
，因为
，所以
，
即
，解得
，又因为
，可得
，
又由
，可得
,
解得
，因为
，可得
，同理可得
，
由圆的性质知，
，所以
为等腰三角形，
因为
，所以
为等腰直角三角形，所以
，
所以
的面积为
.
故答案为：
.
【变式1-2】（2023 春·山东青岛·高三统考）记
的三个内角
的对边分别为
，
，，且
，
34
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，若
是
的外心，则
．
【答案】
【分析】作
于
，
于
，根据向量数量积的几何意义
，
，即可得到答案.
【详解】如图：
作
于
，
于
，
∵圆
中，
，∴
，因此
，
同理可得
，∴
.
故答案为:
.
【变式1-3】（2023 春·广东汕头·高三金山中学校考已知
为
的外心，若
，则
最小值 .
【答案】
【分析】利用外心的性质，向量的数量积运算得到
，再利用余弦定理求出
，
利用基本不等式求最值.
【详解】∵
为
的外心，若
，∴
,
∴
，∴
,
即
，即
，∴
,
当且仅当
时取等号，∴
的最小值为
.故答案为:
.
题型12 三角形四心向量：重心
【解题攻略】
重心四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为重心，则
；
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解决该类问题常用如下方法：
（1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形；
（2）利用向量，结合向量的数量积进行求解；
（3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a=5
sin（B
），c=5 且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为
A．
1
B．
C．
1
D．
【答案】D
【分析】首先根据条件解△ABC 可得：C
和△ABC 外接圆的半径R
，由此建立直角坐标系，可
得：.A（
，0），B（
，0），外心O 为（0，
），重心G
.从而求得|OG|2
sinθ
，即可得解.
【详解】A=5
sin（B
），c=5，∴a
csin（B
），由正弦定理可得：sinA
sinC
（sinB+cosB），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化为：sinBcosC=sinC sinB，sinB
0，
∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C
.∴△ABC 外接圆的半径R
.
如图所示，建立直角坐标系.A（
，0），B（
，0），O（0，
）.
△ABC 外接圆的方程为：x2
.设C（
cosθ，
sinθ）.θ∈
（0，π）
则G
.|OG|2
sinθ
，
∴|OG|的最小值为：
.故选：D.
【典例1-2】（2022 春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）已知点
为
的重心，
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
36
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【解析】由三角形重心的性质可得，
，由向量数量积的定义可求得
，
然后根据向量数量积的性质可得|
，结合基本不等式可求
的最小值.
【详解】如图所示，设
的中点为
，
由三角形重心性质可得
，
又
为
中点，
，
，
则
.
又
，
，由向量的数量积定义可得，
，
.
，当且仅当
时等号成立，即
的最小值
.
故选：C.
【变式1-1】（2020 春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知
中，
为
的重心，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题，先用余弦定理求得
，再用向量
表示出
，然后代入用向量的数量
积公式进行计算即可求得结果.
【详解】因为
中，
为
的重心，
所以
，由余弦定理可得：
且
所以
=
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过
的重心
作直线，已知与
、
的交点分别为
、
，
，若
，则实数
的值为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
37
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【解析】利用面积之比，转化为
的方程，解方程即可.
【详解】设
,因为G 为
的重心，所以
,即
.
由于
三点共线，所以
，即
.
因为
，
，所以
，
即有
，解之得
或
.故选B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点
是
的重心，
，若
，
，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解
的最小值即可.
【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得
,
，
根据向量的数量积的定义可得
,
设
，则
，
，
当且仅当
，即
，△ABC 是等腰三角形时等号成立.
综上可得
的最小值是
.
本题选择C 选项.
题型13 三角形四心向量：垂心
【解题攻略】
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为垂心，则
.
38
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【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知
是
内的一点，若
、
、
的面积分别记为
、
、
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常
优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的
很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已
知
是
的垂心，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由O 是垂心，可得
，结合
可得
，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵
是
的垂心，延长
交
与点
，
∴
，
同理可得
，∴
：
，
又
，
∴
，
又
，
∴
，
不妨设
，其中
，
∵
，
∴
，解得
或
，
当
时，此时
，则
都是钝角，则
，矛盾.
故
，则
，∴
是锐角，
，
39
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于是
，解得
.
故选：A.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点
是
所在平面内一点，且满足
，则直线
必经过
的
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【解析】两边同乘以向量
，利用向量的数量积运算可求得
从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量
,得
。
。
即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心，故选D.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）设
为
的外心，若
，则点
是
的（ ）
A．重心
B．内心
C．垂心
D．外心
【答案】C
【分析】取BC 的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由
，结合
，得
到
，从而
，再由
为
的外心，得到
即可.
【详解】解：取BC 的中点D，如图所示，
连接OD，AM，BM，CM．因为
，
所以
，又
，则
，所以
，
又由于
为
的外心，所以
，因此有
．同理可得
，
，
所以点
是
的垂心．故选：C．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知H 为
的垂心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
，
，利用
、
得
，
40
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，解得
， 再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意，
，同理
．
由H 为△ABC 的垂心，得
，即
，
可知
，即
．同理有
，
即
，可知
，即
，解得
，
，又
，所以
．
故选：C．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在
中，D 为边BC 上的一点，H 为
的垂心，
，则
（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
【答案】C
【分析】令BC，AB 边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得
，
再借助面积法及正弦定理计算可得
即可得解.
【详解】设BC，AB 边上的高分别为AE，CF，则AE 与CF 交点为H，如图，
由B，C，D 三点共线可得：
，于是有
，
则
，
在
中，
，则
，
在
中，由正弦定理得
，则
，
41
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在
中，由正弦定理有
，于是得
，
因此，
，
所以
2021 故选：C
题型14 向量点域综合
【典例1-1】如图，在
中，点
是线段
及
、
的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的
任意一点，且
，则在直角坐标平面上，实数对
所表示的区域在直线
的右下
侧部分的面积是
A．
B．
C．4
D．5
【答案】B
【详解】试题分析：如图,过
作
,
,因此面积为
,故选B.
【典例1-2】如图，A、B 分别是射线
上的两点，给出下列向量：①
;②
；
③
；④
；⑤
这些向量中以O 为起点，终点落在阴影区域内的是
________（填序号）．
42
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【答案】①③
【分析】设
，证明当点P 落在阴影区域内时，
满足：
且
，对照
各个条件一一验证即可.
【详解】
设
.
当点P 在线段AB 上时，过点P 分别作PE∥OA，PF∥OB 分别交OB、OA 于点E、F.
则
。
同理可得：当点P 落在阴影区域除了线段AB 上时，
.
因此当点P 落在阴影区域内时，
满足：
且
.
据此可知:只有①③满足条件.
故答案为：①③
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系
中，原点
为正八边形
的中心，
轴，
若坐标轴上的点
（异于点
）满足
（其中
，且、
），则满足
以上条件的点
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
山东省滨州市2019—2020 学年下学期高三年级期末考试数学试题
【答案】D
【分析】分点
在
、
轴进行分类讨论，可得出点
、
关于坐标轴对称，由此可得出点
的个数.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若点
在
轴上，则
、
关于
轴对称，
43
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由图可知，
与
、
与
、
与
、
与
关于
轴对称，
此时，符合条件的点
有
个；
②若点
在
轴上，则
、
关于
轴对称，
由图可知，
与
、
与
、
与
、
与
关于
轴对称，
此时，符合条件的点
有
个.
综上所述，满足题中条件的点
的个数为
.
故选：D.
【变式1-2】如图，OM//AB，点P 在由射线OM、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，
且
，当
时，y 的取值范围是________
【答案】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，该四边形应是以
和
的反向
延长线为两邻边，得到
的取值范围，当
时，要使
点落在指定区域内，即
点应落在
上，得到
的范围．
【详解】解：如图，
，点
在由射线
，
线段
及
的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
且
，由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以
和
的反向延长线为两邻边，
的取值范围是
；
当
时，要使
点落在指定区域内，即
点应落在
上，
，
，
的取值范围是
，
．故答案为：
，
【变式1-3】在
中，
，
，D 是
内切圆圆心，设P 是
外的三角形
区域内的动点，若
，则点
所在区域的面积为______.
江苏省盐城市东台创新高级中学2019-2020 学年高三上学期11 月检测数学试题
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求出内切圆半径，求出
点所在区域面积，利用
与
点坐标间的关系
可求得所要求的面积
【详解】以
为原点，
为
轴，
为
轴建立如图所求的平面直角坐标系，
∵
，
，∴
，
∴
内切圆
的半径为
，
44
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则圆
外的
外部的面积为
，
，
∴点
所在区域面积为
，
而点
所在区域面积为点
所在区域面积的
，面积为
．
故答案为：
．
高考练场
1.已知等边
边长为4，
为其内一点，且
，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵
，∴
．如图所示，
延长
到点
，使得
，分别以
为邻边作平行四边形
，则
，又
，可得
，∴
，
∴
，∴
，故选B.
2.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点．BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则
BE·CE的值为________．
45
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答案 ；解析 极化恒等式法 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，
有AB·AC＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4， FB·FC＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝，m2＝．因此
EB·EC＝ED2－DB2＝4n2－m2＝．即BE·CE＝．
3.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当
取得最小值时，sin∠PAC 的值
为____．
【答案】
【解析】取边
的中点为
，连接线段
，设正三角形的边长为
由极化恒等式可得：
，
则当取最小值时，
也取最小值，
又
，此时，点
在
上靠近
的四等分点，
在
中，余弦定理可得
，
由正弦定理可得：
4.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点
E，若点P 是圆弧EB (含端点B、E)上的一点，则
的取值范围是 .
【答案】[8
8 2,0]
【解析】取AB 的中点设为O，则
2
2
2
1
=
4
4
PA PB
PO
AB
PO
，
当O、P、C 共线时， PO 取得最小值为
；
当P 与B（或E）重合时，PO 取得最大值为PO=2，
所以PA PB
的取值范围是[8
8 2,0]
.
5.直角梯形
中，
，
，
是边长为
的正三角形，
是平面上的动点，
，设
（
，
），则
的最大值为__________．
46
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【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
以
为原点，
为
轴，
所在直线为
轴，建立直角坐标系，
可设
，
因为
，所以
，
，即
的最大值为
故答案为
.
6.（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知
为锐角三角形
的外心，若
，
，则
的最大值 .
【答案】
【分析】设
外接圆的半径为，
,求出
，
，在
两别
分别乘以
，可表示出
，利用基本不等式可求出最值.
【详解】设
外接圆的半径为，
,如图，
，
，
可得
，
同理可得
，
在
两别分别乘以
得
47
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，整理得
，
，
当且仅当
，即
等号成立,则
的最大值为
.故答案为：
.
7.（2022 秋·吉林松原·高三统考）在直角梯形ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F
分别为AB、BC 的中点．点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧
上变动（如图所示），若
=λ
+μ
，其中λ，μ∈R．则2λ
μ
﹣的取值范围是 ．
【答案】[
1
﹣，1]．
【详解】试题分析：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P
（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ 用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）
（0°≤α≤90°），
∵
=λ
+μ
，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=
λ+1.5μ
﹣
，sinα=λ+0.5μ，
∴λ= （3sinα
cosα
﹣
），μ= （cosα+sinα），∴2λ
μ=sinα
cosα=
﹣
﹣
sin（α
45°
﹣
）∵0°≤α≤90°，
∴﹣45°≤α
45°≤45°
﹣
，∴﹣
≤sin（α
45°
﹣
）≤
，∴﹣1≤
sin（α
45°
﹣
）≤1∴2λ
μ
﹣的取值范围是
[
1
﹣，1]．
故答案为[
1
﹣，1]．
8.（2023·全国·高三专题练习）如图，在边长为
的正方形
中，
，
分别是边
，
上的两个
动点，且
，
为
的中点，
，则
的最大值是 ．
48
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【答案】
【分析】建立直角坐标系，，设
，
，然后根据
得
，再设
，
，
，根据
，表示出
，进而表示出
，换元
之后利用基本不等式求解最值.
【详解】以
为坐标原点，以
，
所在直线为
，
轴建立平面直角坐标系，设
，
，
则
．
由
可得
，所以可设
，
，
．
因为
，由
可得
，
，
所以
．设
，
，
则
，
即当
时，
取最大值，最大值为
．故答案为：
.
9.（2022·全国·高三专题练习）如图，在
中，D 是AC 边上一点，且
，
为直线
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AB 上一点列，满足：
，且
，则数列
的前n 项和
．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算平面向量基本定理可得
，令
，进而可得
为等比数列，再利用求和公式即得.
【详解】由于D 是AC 边上一点，且
，则
，
由于
为直线AB 上一点列，则
．
因为
，则
，故
，
整理
，即
，故
，
令
，则
，即
，因此
，
，
所以
为等比数列，
，则
，
故
．
故答案为：
10.（2023·全国·高三专题练习）过
内一点
任作一条直线，再分别过顶点
作的垂线，垂足
分别为
，若
恒成立，则点
是
的
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
【答案】B
【分析】本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过
内一点
任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则
，有
.
如图：
50
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则有直线AM 经过BC 的中点，
同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，
所以点
是
的重心，故选B.
11.（北京·高三强基计划）在
中，
，I 为
的内心，若
，
则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据内心的向量形式可得
，故可求
的值.
【详解】设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，根据内心的性质可知
，
于是
，
于是
．故选：C.
12.（2023 春·云南大理·高三统考）在
中，
为其外心，
，若
，则
．
【答案】
/
【分析】根据向量的模长公式，结合外心的性质即可求解.
【详解】由
可得
，平方可得
,
由于
为
外心，所以
，
所以
,
故答案为：
13.（2021 秋·河南南阳·高三校考阶段练习）已知
是
的重心，过点
作直线
与
，
交于
点
，且
，
，
，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据
三点共线得到
，也就是
，再利用
得到
，最后利用基本不等式求
的最小值.
【详解】
因为
三点共线，故
，因为
，所以
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，又
为重心，故
，而
不共线，所以
，
也即是
.
，由基本不等式可以得到：
，当且仅当
等号成立，故
的最小值为
，故选D.
14.（2023 春·广东东莞·高三东莞市厚街中学校考阶段练习）点P 为
所在平面内的动点，满足
，
，则点P 的轨迹通过
的
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
【答案】C
【分析】对题目的式子两边乘以
，得到
所在直线为高所在直线，即可．
【详解】处理原式得到
故
所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C．
15.如图，
分别是射线
上的两点，给出下列向量：①
；②
；
③
；④
；⑤
若这些向量均以
为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有
A．①②
B．②④
C．①③
D．③⑤
【答案】B
【详解】试题分析：在
上取
使
，以
为邻边作平行四边形
，
其终点不在阴影区域内，排除选项
；取
的中点
，作
，由于
,所以
的终点在阴影区域内；排除选项
，故选
．
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